§1.4 三角函数的图象和性质
教学目的：
（一）1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法;
2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法;
3.理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法. （二）1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;
2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
3.会求简单函数的奇偶性.
（三）1.理解并掌握作正切函数和余切函数图像的方法;
2.理解并掌握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法;
3.掌握正切函数的性质和性质的简单应用;
4.会解决一些实际问题.
教学重点：
1.用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象;
2.正、余弦和正切函数的性质. 教学难点：
1.用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象;
2.正、余弦和正切函数性质的理解与应用.
教学过程： 一、复习引入：
1.弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.
2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点),(y x P ,P 与原点的距离r (0222
2>+=+=y x y x r )
则 比值
r y
叫做α的正弦 记作r y =αsin 比值r x
叫做α的余弦 记作r x =
αcos 比值x
y
叫做α的正切 记作x
y =
αtan
3.三角函数线:
根据正弦,余弦,正切的定义,
则有 MP =αsin ,OM =αcos ,AT =αtan
这三条与单位圆有关的有向线段AT OM MP ,,分别叫做角α的正弦线,余弦线,正切线.
当角α的终边落在x 轴上时,M 与P 重合,A 与T 重合,此时正弦线,正切线分别变成一个点;当角α的终边在y 轴上时,O 与M 重合,余弦线变成一个点,过A 的切线平行于y 轴,不能与角α的终边相交,所以正切线不存在,此时角α的正切值不存在. 二、讲解新课：
(一)正弦函数、余弦函数的图象
1.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):
为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. 正弦函数x y sin =的图象
第一步,在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ,以1O 为圆心作单位圆,从这个圆与x 轴
的交点A 起把圆分成n (这里12=n )等份.把x 轴上从0到π2这一段分成
n (这里12=n )等份.(预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应).
第二步,在单位圆中画出对应于角0,6π,3π,2
π
,…,π2的正弦线正弦线(等价于“列
表”).把角x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x
重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步,连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,
就得到正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为π2,就得到x y sin =,R x ∈的图象.
把角x ()x R ∈的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数x y sin =的图象.
余弦函数x y cos =的图象
用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”.把坐标轴
向下平移,过1O 作与x 轴的正半轴成
4
π
角的直线,又过余弦线A O 1的终点A 作x 轴的垂线,它与前面所作的直线交于'A ,那么A O 1与'AA 长度相等且方向同时为正,我们就把余弦线A O 1“竖立”起来成为'AA ,用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”
起来,再将它们平移,使起点与x 轴上相应的点x 重合,则终点就是余弦函数图象上的点.
也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”(把角x 的余弦线M O 1按逆时针方向旋转
2
π
到11M O 位置,则11M O 与M O 1长度相等,方向相同.) 根据诱导公式)2
sin(cos π
+
=x x ,还可以把正弦函数x y sin =的图象向左平移
2
π
正弦函数x y sin =的图象和余弦函数x y cos =的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中,
五个关键点是:)0,2(),1,2
3
(),0,(),1,2(
),0,0(ππππ
- 余弦函数x y cos =,]2,0[π∈x 的图像中,
五个关键点是:)1,2(),0,2
3
(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.
因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.
(二)正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或),(+∞-∞). 2.值域 (1)值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以1|cos |,1|sin |≤≤x x , 即1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是]1,1[-. (2)最值
正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=
,22
ππ
时,取得最大值1
②当且仅当Z k k x ∈+-
=,22
ππ
时,取得最小值1-
余弦函数R x x y ∈=,cos
①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1- 3.周期性
由)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义：对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值
时,都有)()(x f T x f =+,那么函数)(x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
由此可知,)0,(2,,4,2,,4,2≠∈--k Z k k πππππ 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.
根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,)≠∈(0,2k Z k k π都是它的周期,最小正周期是π2. 4.奇偶性
由x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-
可知:x y sin =(R x ∈)为奇函数,其图象关于原点O 对称
x y cos =(R x ∈)为偶函数,其图象关于y 轴对称
5.对称性
正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈;
余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z π
π?
?
+∈ ??
?
, 对称轴是直线()x k k Z π=∈
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点). 6.单调性
从]2
,2[,sin ππ3
-∈=x x y 的图象上可看出:
当]2,2[π
π-
∈x 时,曲线逐渐上升,x sin 的值由1-增大到1 当]2
,2[ππ3
∈x 时,曲线逐渐下降,x sin 的值由1减小到1-
结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间)](22
,
22
[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
上都是增函数,
其值从1-增大到1;
正弦函数在每一个闭区间)](22
,22[
Z k k k ∈+3
+ππππ
上都是减函数, 其值从1减小到1-.
余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ上都是增函数,
其值从1-增加到1;
余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ上都是减函数,
其值从1减小到1-.
和的图象和性质(表中k Z ∈)
(三)正切函数的图象和性质 1.正切函数x y tan =的图像 在区间)2
,2(π
π-
内作出函数x y tan =图像,根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数R x x
y ∈=t an ,且()
z k k x ∈+≠
ππ
2
的图像,称“正切曲线”. 2.正切函数和余切函数的性质 (1)定义域:()z k k x ∈+≠2
π
π
(2)值域:R (3)周期:
()()()??
? ??∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且
??
?
?
?∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan π
π且的周期为π=T (最小正周期) (4)奇偶性:正切函数是奇函数
由诱导公式x x tan )tan(
-=-,我们可以证明正切函数是奇函数,正切函数的图像关于原点对成. (5)对称性:对称中心是,02k π??
???
()k Z ∈,特别提醒：
正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处. (6)单调性:由图像可知,正切函数再区间Z k k k ∈++-
),2
,
2
(ππ
ππ
内都是单调增
函数.
三、讲解范例： (一)图象问题
例1 画出cos ()y x x R =∈与sin ()y x x R =-∈两函数的图象,观察两曲线的平移关系. 解: 略
例2 作下列函数的简图:
(1)x y sin 1+=,]2,0[π∈x (2)|sin |x y = (3）||sin x y = 解: 略
例3 用五点法作函数]2,0[),3
cos(2ππ
∈+
=x x y 的简图,并求其与直线2=y 交点
个数. 解: 略
例4 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x 的集合: (1)21sin ≥x (2))
25
0(21cos π<<≤x x
解: 略
例5 求下列函数的定义域: (1)1sin 2+=x y (2)x x y cos 162-+-= (3)x x y cos sin -=
解: 略
补充例题：
(1)函数x x f sin )(=图象的对称轴是 ____;对称中心是 _____. (2)函数)3
sin()(π
+
=x x f 图象的对称轴是_____ ;对称中心是 __.
(3)函数1)3
sin(2)(++
=π
x x f 图象的对称轴是_____ ;对称中心是 __. (4)函数)cos(x y +=π与x y cos =的图象关于________对称.(填一种情况即可)
(5)方程10
sin x
x =的根的个数为( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
(6)用五点法作函数x y 2sin 2=的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是( )
A.ππππ2,23,,2,0
B.ππππ,4
,2,4,03
C.ππππ4,3,2,,0
D.ππππ3
2
,2,3,6,0
(二)定义域、值域问题 例1 求下列函数的定义域:
(1)x
y sin 11+
= (2)x y cos 21-=
(3))3sin 2lg(-=x y
求下列函数的值域:
(1)]4
3
,3[
,1sin sin 2
ππ∈+-=x x x y (2)]3
2
,6[),6sin(2πππ∈+=x x y
(3)3
cos 3
cos +-=x x y
解: 略
例2 求使下列函数取得最大值的自变量x (x R ∈)的集合,并说出最大值是什么;
若[,)32
x ππ
∈-
呢？ (1)1cos +=x y ; (2)x y 2sin =
解: 略
例3 已知函数b x a x f +-
=)32sin(2)(π
的定义域为]2
,0[π
,值域为[5,1]-. 求b a ,的值. 解: 略
例4 求函数])2
,0[(2385cos sin 2
π
∈-++=x a x a x y 的最大值. 解: 略
例5 (1)已知x x x x y cos sin cos sin 2-+=(],0[π∈x ),求y 的最大值和最小值.
(2)求x x x x x x x x x f 432234cos cos sin 2cos sin cos sin 2sin )(++++=的最大值和最小值. (注:)4
sin(2cos sin π
-
=-x x x ,x x x 2sin 2
1
cos sin =
) 解: 略
(三)周期性、奇偶性问题 例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)x
x x
x x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=
(2)x x x x f 2cos cos sin )(4
4+-=(x x x 22sin cos 2cos -=)
(3))sin 1lg(sin )(2x x x f ++= (4)()sin cos f x x x =+ 解: 略
例2 (1)已知),(13sin )(为常数b a x b ax x f =+=,且7)5(=f ,求)5(-f .
(2)若()f x 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,
求当0 (3)若函数()sin()f x x α=+是偶函数,求α的值. 解: 略 例3 求下列三角函数的周期,并探究其结. (1)x y cos 3= (2)x y 2sin = (3))621sin(2π-=x y (4))3 5sin(2ππ-=x y 解: 略 点评: 一般地,函数R x x A y ∈+=),sin(?ω及函数R x x y ∈+=),cos(?ω(其中 A 、ω、?为常数,且0≠A ,0>ω)的周期ω π 2= T . 例4 (1)求函数x x x x y 2cos 32cos 2sin 42sin 222++=的周期. (2)求函数)6 (3sin 4x y -=π 的周期. 解: 略 例5 求下列函数的最小正周期: (1)|sin |x y = (2)|1cos 2|+=x y (3)|cos ||sin |x x y += 解: 略 例6 (1)已知)(x f 是周期为5的周期函数,且2007)1(=f ,求)11 (f . (2)已知奇函数)(x f 是R 上的函数,且2)1(=f ,)()3(x f x f =+,求)8(f . 解: 略 例7 )(x f 是定义在R 上的偶函数,其图象关于1=x 对称,对任意的]2 1 ,0[,21∈x x , 都有)()()(2121x f x f x x f =+. (1)设2)1(=f ,求)4 1(),21(f f ; (2)证明:)(x f 是周期函数. 解: 略 例8 (1)若函数)(x f y =(R x ∈)的图象关于直线a x =与b x =(a b >)都对称, 求证:)(x f 是周期函数,且)(2a b -是它的一个周期; (2)若函数)(x f y =(R x ∈)满足)()()(a x f a x f x f ++-=(常数+ ∈R a ),求证:)(x f 是周期函数,且a 6是它的一个周期. 解: 略 (四)单调性问题 例1 求下列函数(x R ∈)的单调区间: (1)x y cos -= (2))3 2cos(π +=x y (3))6 2cos(π + -=x y (4))3sin(π -=x y (5)x y 2sin -= (6))4 21sin(π +-=x y 解: 略 例2 求下列的单调递增区间: (1)sin 21()2 x y = (2)12 log cos y x = 解: 略 例3 不通过求值,比较下列各式的大小: (1))18 sin(π - ,)10 sin(π - (2))523cos(π- ,)4 17cos(π- (3) 194sin , 160cos (4)1sin ,2sin ,3sin 解: 略 例4 求函数)3 21sin(π +=x y ,]2,2[ππ-∈x 的单调增区间. 解: 略 例5 已知x x x f sin 1sin 1log )(2 1 +-=. (1)求)(x f 的定义域和值域; (2)判断它的奇偶性、周期性; (3)判断)(x f 的单调性. 解: 略 (1)},2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π,R x f ∈)( (2)奇函数,周期函数π2=T (2)增区间:Z k k k ∈+ - ],2 2,2 2[π ππ π;减区间:Z k k k ∈++ ],2 3 2,22[πππ π (五)正切函数的图象和性质 例1 讨论函数?? ? ? ? +=4tan πx y 的性质.(定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性) 解: 略 例2 (1)用描点法作函数)2 ,23(),42tan( π ππ-∈+=x x y 的图像. (2)作出函数|tan |x y =的图像,并根据图像求其单调区间. (3)作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x x x y 且2 3,2π π≠ x 的简图. 解: 略 例3 不通过求值,比较下列各组数的大小. (1) 135tan , 138tan (2)??? ??-413tan π,?? ? ??-517tan π (3)1tan ,2tan ,3tan ,4tan 解: 略 例4 解不等式3tan ≥x . 解: 略 例5 求下列函数的定义域 (1)1tan cot -=x x y (2))tan 1lg(x y -= (3)2 tan x y = 解: 略 例6 求函数),2 (1tan tan 2 Z k k x R x x x y ∈+ =∈++=π π且的值域. 解: 略 思考：如果]4 ,3[π π- ∈x ,结果又如何？ 例7 证明：如果βαππ βαcot tan ),2 (,<∈且,那么必有πβα2 3< +. 证明: 略 例8 (1)求函数?? ? ??-=46tan 3x y π的定义域、 值域,并指出其周期性、奇偶性、单调性. (2)求函数x y 2tan =的定义域、值域和周期,并作出它在区间],[ππ-内的图像. 解: 略 例9 试讨论函数x y a tan log =的单调性. 解: 略 例10 若),,0(cos 2R m n x n m y ∈>-=ωω的最大值是 32,最小值是12 -, 求函数x n m y )24tan( +=的最小正周期. 解: 略 例11 已知函数)2 ||,0,0)(tan(π ?ω?ω< >>+=A x A y 的图象与x 轴相交的两个 相邻点的坐标为)0,6 (π 和)0,65 (π,且经过点)3,0(-,求其解析式. 解: 略 例12 已知函数)3sin()(π ω+ =x a x f 和)0)(3 tan()(>-=ωπ ωx b x g 的最小正周期 之和为3,()(),()()122244 f g f πππππ =+=且,求)(x f 和)(x g 的解析式. 解: 略
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