三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示
题型1 已知函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。
一、函数的奇偶性
例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ）
A.0 B ．
4πC ．2
π
D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();
y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则
sin()+
();
2
y A x k k Z π
??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()();
2
y A x k k Z π
??π=+=+
∈(3)若是奇函数，则
cos()();
y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则
tan()().2k y A x k Z π
??=+=
∈(5)若是奇函数，则
.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）
A.0 B ．1 C ．1-D ．1
±
2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）
A 充分不必要条件
B ．必要不充分条
C ．充要条件
D ．无关条件
3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）
A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0
f =
2.()sin(2)()()2f x x x R f x π
=-∈例设，则是( )
A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π
最小正周期为
的奇函数D ．2π
最小正周期为的偶函数
2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )
A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数
2.(0,)2π
π变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )
A.cos 2y x =B ．|sin 2|y x =C ．|cos 2|y x =D ．|sin |y x =
二、函数的周期性
3.sin(2)cos(2)66y x x ππ
=++例函数的最小正周期为( )
A.
2πB ．4π
C ．2π
D ．π
【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：
sin()b,cos()b,tan()b
22,,.||||||
y A x y A x y A x ω?ω?ω?πππ
ωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为
|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πω?ω?ω?ω=+=+=+(2)函数的周期均为
2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x π
ω?ω?ω=++≠=++≠(3)函数的周期均为
1.sin(2)cos(2)63y x x ππ
=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )
A.,1πB
．π．2,1πD
．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.
()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )
A.3
π
最小正周期为
的周期函数 B ．23
π
最小正周期为
的周期函数 C ．π最小正周期为2的周期函数D ．非周期函数
三、函数的单调性
.sin(2)([0,])6y x x π
π=-∈例4函数的递增区间是( )
A.[0,]3πB ．7[,]1212ππC ．5[,]36ππ
D ．5[,]6ππ
【评注】求三角函数的单调区间：
sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>若函数则
22()2
2
322()22
(3)sin()0,0sin()
sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x π
π
πω?πππ
πω?πω?ωω?ω?ω?ω?-
≤+≤+
∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；
(2)函数的递减区间由决定；
若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；
对于函数和单调性的讨论同上。
31.sin ()[()44y x f x f x ππ
=+-变式函数在,]内单调递增，则可以是( )
A.1B ．cos x C ．sin x D ．cos x
-
()sin()(0)(42f x x π
π
ωωπω=+>变式2.若在,)上单调递增，则的取值范围是（ ）
A.15[,]24B ．13[,]24C ．1
(0,]2D ．(0,2]
3.()cos()cos()(0)
33
(1)()(2)(),[0,]()22
f x x x x f x f x x f x ππ
ωωωωππ
=+++->∈变式已知函数求的值域；若的最小正周期为，的单调递减区间.
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）
.sin(2)3y x π
=+例5函数图象的对称轴方程可能是( )
A.6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π
=
【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：
sin (),(,0)();
2
cos (),(,0)();
2
tan (
,0)();2
2
sin()(),=
();
2
:y x x k k Z k k Z y x x k k Z k k Z k y x k Z k y A x b x k k Z x k Z x k π
πππ
πππ
π
π?
π
ω?ω?πω
ω?π==+∈∈==∈+∈=∈+
-=+++=+∈∈+=(1)函数的对称轴为对称中心(2)函数的对称轴为对称中心(3)函数无对称轴，对称中心(4)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令()=
(),(,)()cos()(),=();
22:()=(),(,)()
2k k k Z x k Z b k Z k y A x b x k k Z x k Z k k x k k Z x k Z b k Z π?
π?
ω
ω
π?
ω?ω?πω
πππ?π?πω?πωω
--∈∈∈-=+++=∈∈+-+-+=+∈∈∈得对称中心为；
(5)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令得对称中心为
1.sin()(0)()3y x f x π
ωωπ=+>变式已知函数的最小正周期为，则的图象( )
A.(,0)3π关于点对称 B ．4x π
=关于直线对称
C ．(,0)4π关于点对称
D ．3x π
=关于直线对称
.sin()4y x π
=-变式2函数的图象的一个对称中心是( )
A.(,0)π- B ．3(,0)4π- C ．3(,0)4πD ．(,0)2π 223.()sin cos .
55
x x
f x =+变式函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是
__________.sin 0x x a a a =>变式4若函数y 的图象向右平移个单位（）后的图象关于y 轴对称，则的最小值是( )
A.
76
πB ．2πC ．6πD ．
3π
五、三角函数性质的综合
【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；
121()()()()(2)22
4
(3)()()sin(),00()[,]f x y f x f x f x T T T
f x f x A x A f x ωωθθ???=>>（）对称性奇偶性：若函数的图象关于轴对称，则是偶函数；若函数的图象关于原点对称，则是奇函数；
对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；
相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；
对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函数单调；
特殊的，若，函数在上单调12120[,]{||,}4
T
max θθθθθθ∈=≥，且设，则
。6.()sin 2cos 2,0,()(),6117(1)()0;(2)()();(3)()12105
2()[,]()63
(5)(,)().
f x a x b x ab f x f x R f f f f x f x k k k Z a b f x π
πππππ
ππ=+≠≤∈=<++∈例设若对任成立则
不具奇偶性；
(4)的单调递增区间是；
存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论中正确的是__________________
7.()4cos()sin cos(2)(0)
6
3(1)()(2)()[,].22
f x x x x f x f x π
ωωωπωππ
ω=--+>-例已知函数求的值域；若在区间为增函数，求的最大值
21.()2sin (0),()[,].
43
f x x f x ππ
ωωω=>-
变式已知函数若在上递增，求的取值范围
8.()sin()(0),()()(,)=______.
36363
f x x f f πππππ
ωωω=+>=例若且在上有最小值无最大值，则
题型2 根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。 【思路提示】
由图象求得y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才
能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为0x ω?+=，第二点（即图象最高点）为2
x π
ω?+=
，第三点（即图象下降时
与横轴的交点）为x ω?π+=，第四点（即图象最低点）为32
x π
ω?+=，第五点（即图象上升时与横轴的交点）为2.x ω?π+=。
.()sin(2)(,)(0)f x A x A R f ??=+∈=例9函数部分图象如下图所示，则（ ）
A.1
2-
B ．1-
C ．32-
D ．3
1.()sin()(0,0)(0)________.
f x A x A f ω?ω=+>>=变式函数部分图象如下图所示，则
2
.()cos()()(0)________.
23f x A x f f πω?=+=-=变式2部分图象如下图所示，,则
.()sin()(0,0,||)()f x A x A f x ω?ω?π=+>><例10已知函数部分图象如下图所示，求
的解析式。
变式1.已知)(cos )(2
?ω+=x x f （ω，?为常数），如果存在正整数ω和实数?使得函数
()f x 的图象如图所示（图象经过点（1,0）），求ω的值.
112
y
O
x