第一章特殊平行四边形检测题
（本检测题满分：120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. (2015?江苏连云港中考)已知四边形ABCD，下列说法正确的是( )
A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
2.（2015·贵州安顺中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B 恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（）
第2题图
A.2
B.
C.
D.6
3.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）
A.150°
B. 135°
C. 120°
D. 100°
4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和
15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）
A.6 cm和9 cm
B. 5 cm 和10 cm
C. 4 cm 和11 cm
D. 7 cm和8 cm
5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，
，则图中阴影部分的面积为（）
A.3
B.4
C.6
D.8
6.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）
A.20
B.15
C.10
D.5
7.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）
A.4
B.2
C.
D.
8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A.每一条对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）
A. B. C. D.
第5题图第6题图
D
C
B
A
（1）
（2）
10.如图是一张矩形纸片， ，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（每小题3分，共24分）
11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.
12.如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E ，F 分别从点B ，D 同时以同样的速度沿边BC ，DC 向点C 运动.给出以下四个结论： ① ; ② ∠∠;
③ 当点E ，F 分别为边BC ，DC 的中点时，△AEF 是等边三角形； ④ 当点E ，F 分别为边BC ，DC 的中点时，△AEF 的面积最大. 上述正确结论的序号有 .
第12题图
F
E
D
C
B
A
第13题图
E
D C
B A
第14题图
13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使，则∠BCE 的度数
是 .
14.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，
，连接，已知△的周长为24 cm ，则矩形的周长是 cm.
15.（2015·贵州安顺中考）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE =1，F 为AB 上的一点，AF =2，P 为AC 上一个动点，则PF +PE 的最小值为 .
第15题图
16.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为_________.
17.如图，矩形的对角线，
，则图中五个小矩形的周长之和为_______.
第9题图 第10题图
18. （2015·上海中考）已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ＝AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD ＝________度．
三、解答题（共66分）
19.（8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 外角的平分线，已知∠BAC =∠ACD .
（1）求证：△ABC ≌△CDA ；
（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形
.
第19
题图第20题图
20.（8分）如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE 、BD 且AE =AB . （1）求证：∠ABE =∠EAD ；
（2）若∠AEB =2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形. 21.（8分）（2015·贵州安顺中考）如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F . （1）求证:AE =DF .
（2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由
.
第21题图
第22题图
22.（8分）如图，正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF=FM ；
C
D
A B
第17题图
（2）当AE =1时，求EF 的长.
23.（8分）如图，在矩形中，
相交于点，平分，交于点.若
，求∠的度数
.
第23
题图第24题图
24.（8分）如图所示，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE ＝CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE ＝BF ，∠BEF ＝2∠BAC . （1）求证：OE ＝OF ；
（2）若BC ＝23，求AB 的长. 25.(8
分)已知：如图，在四边形中，∥，平分∠，，为的
中点.试说明：互相垂直平分.
第25题图
26.(10分) 如图，在△中，∠，
的垂直平分线
交于点，交于
点，点在上，且. (1)求证：四边形是平行四边形. (2)当∠满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由.
第一章 特殊平行四边形检测题参考答案
一、选择题
1.B 解析：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故A 项错误；两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形，故B 项正确；对角线相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是矩形，故C 项错误；对角线相等且互相垂直的四边形不一定
第26题图
是正方形，故D 项错误.
2. A 解析：根据图形折叠的性质可得：∠BCE =∠ACE =∠ACB ，∠B =∠COE =90°，BC =CO =AC ，
所以∠BAC =30°，所以∠BCE =∠ACE =∠ACB =30°.因为BC =3，所以CE =2.
3.C 解析：如图，连接AC .在菱形ABCD 中，AD=DC ,AE ⊥CD ， AF ⊥BC ，因为
，所以AE 是CD 的中垂线，所以，所以△ADC 是等边三角形，所以∠
60°，从
而∠
120°.
第2题答图
F E
D
C
A
第4题答图
4.B 解析:如图，在矩形ABCD 中，10 cm ，
15 cm ，
是∠
的平分线，则
∠
∠
C .由AE ∥BC 得∠∠AEB ，所以∠∠AEB ，即
，所以
10 cm ，ED =AD -AE =15-10=5(cm)，故选 B.
5.B 解析：因为矩形ABCD 的面积为，
所以阴影部分的面积为，故选B ． 6. D 解析：在菱形中，由∠
=
，得 ∠.又∵ ， ∴ △
是等边三角形，∴
.
7.B 解析：如图，在正方形中，
，则
，
即，所以
，所以正方形的面积为2
，故选B.
8.C
A
B
第7题答图
9.A 解析：由题意知AC ⊥BD ,且 4 ， 5 ，
所以211
4510cm )22
S AC BD =
?=??=菱形（. 10.A 解析：由折叠知，四边形
为正方形， ∴
.
二、填空题
11.6 解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6. 12.①②③ 解析：因为四边形ABCD 为菱形，所以AB CD ，∠B =∠D ，BE =DF ，
所以△
≌△
，所以AE AF ，①正确.
由CB =CD ，BE=DF ,得CE=CF ，所以∠CEF=∠CFE ，②正确. 当E ，F 分别为BC ，CD 的中点时，BE=DF =21BC =2
1
DC .连接AC ，BD ，知△为等边三角
形，所以
⊥
.因为AC ⊥BD ,所以∠ACE =60°，∠CEF =30
°，⊥
，所以 ∠AEF =
.
由①知AE AF ，故△
为等边三角形，③正确.
设菱形的边长为1，当点E ，F 分别为边BC ，DC 的中点时，的面积为，而当点E ，
F 分别与点B ，D 重合时，=，故④错.
13.22.5° 解析:由四边形是正方形，得∠∠又，
所以.5°，所以∠.
14.48 解析:由矩形
可知，又⊥，所以垂直平分，所以.
已
知
△
的
周
长为
24
cm
，
即
所以矩形ABCD 的周长为
15.
解析：如图，作E 关于直线AC 的对称点E ′，则BE =DE ′，连接E ′F ，则E ′F
即为所求，过F 作FG ⊥CD 于G ，
在Rt △E ′FG 中，
GE ′=CD -DE ′-CG =CD -BE -BF =4-1-2=1，GF =4，
所以E ′F =＝＝.
第15题答图
16.96 解析：因为菱形的周长是40，所以边长是10． 如图，
，
．根据菱形的性质，有
⊥
，
， 所以
，
．
所以．
17. 28 解析：由勾股定理,得
.又，
，所以
所以五个小矩形的周长之和为
18.22.5 解析：由四边形ABCD 是正方形，可知∠BAD =∠D =90°，∠CAD =1
2
∠BAD =45°. 由FE ⊥AC ，可知∠AEF =90°.
在Rt△ABC 与Rt△ADC 中，AE =AD ，AF =AF ， ∴ Rt△AEF ≌Rt△ADF （HL ）， ∴ ∠FAD =∠FAE =
12∠CAD =1
2
×45°=22.5°. 三、解答题
19.证明：（1）∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠ACB ，∴ ∠FAC =∠B +∠ACB =2∠BCA . ∵ AD 平分∠FAC ，∴ ∠FAC =2∠CAD ，∴ ∠CAD =∠ACB .
在△ABC 和△CDA 中，∠BAC ＝∠DCA ，AC ＝AC ，∠DAC ＝∠ACB ， ∴ △ABC ≌△CDA .
（2）∵ ∠FAC =2∠ACB ，∠FAC =2∠DAC ，∴ ∠DAC =∠ACB ，∴ AD ∥BC . ∵ ∠BAC =∠ACD ，∴ AB ∥CD ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. ∵ ∠B =60°，AB =AC ，∴ △ABC 是等边三角形， ∴ AB =BC ，∴ 平行四边形ABCD 是菱形. 20.证明：（1）在□ABCD 中，AD ∥BC ，∴ ∠AEB =∠EAD . ∵ AE =AB ，∴ ∠ABE =∠AEB ，∴ ∠ABE =∠EAD . （2）∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADB =∠DBE .
∵ ∠ABE =∠AEB ，∠AEB =2∠ADB ，∴ ∠ABE =2∠ADB ， ∴ ∠ABD =∠ABE -∠DBE =2∠ADB -∠ADB =∠ADB ，∴ AB =AD . 又∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ 四边形ABCD 是菱形
. 21.解：（1）证明：因为DE ∥AC ，DF ∥AB ，
第16题答图
所以四边形AEDF是平行四边形,
所以AE=DF.
（2）解：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形，理由如下：
因为DE∥AC，DF∥AB，
所以四边形AEDF是平行四边形，且∠BAD=∠FDA.
又AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAF，
所以∠DAF=∠FDA，
所以AF=DF，
所以平行四边形AEDF为菱形.
22.（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.
∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，
∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF.
（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.
∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，
解得：x=，即EF=.
23.解：因为平分，所以.
又知，所以
因为，所以△为等边三角形，所以
因为，
所以△为等腰直角三角形，所以．
所以，，所以=75°.
24.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.
∴∠OAE=∠OCF.
又∵OA=OC, ∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA）.∴OE=OF.
（2）解:连接BO.∵BE=BF，∴△BEF是等腰三角形.
又∵OE=OF,∴BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴∠BOF=90°.
第24题答图
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF=90°.
又∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,
∴∠BAC=∠EOA.∴AE=OE.
∵AE=CF,OE=OF,∴OF=CF.
又∵BF=BF,∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.
∴∠OBF=∠CBF.∴∠CBF=∠FBO=∠OBE.
∵∠ABC=90°,∴∠OBE=30°.∴∠BEO=60°.∴∠BAC=30°.
在Rt△BAC中，∵BC=23,∴AC=2BC=4.
AB=
点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种：①等腰三角形中的等角对等边；②全等三角形中的对应边相等；③线段垂直平分线的性质；④角平分线的性质；⑤勾股定理；⑥借助第三条线段进行等量代换．
25.解：如图，连接∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.
第25题答图
因为在Rt△中，是的中点，所以是Rt△的斜边BC上的中线，
所以，所以．
因为平分，所以，所以所以∥.
又AD∥BC，所以四边形是平行四边形．
又，所以平行四边形是菱形，所以互相垂直平分．
26.（1）证明：由题意知∠∠，
∴∥，∴∠∠ .
∵，∴∠∠AEF =∠EAC =∠ECA .
又∵，∴△≌△，
∴，∴四边形是平行四边形．
（2）解：当∠时，四边形是菱形．理由如下：
∵ ∠，∠
，∴ AB 2
1
. ∵ 垂直平分
，∴
.
又∵
，∴
AB 2
1
，∴ ， ∴ 平行四边形是菱形．
第一章特殊平行四边形单元测试 一、选择题 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( ) A．20° B．40° C．80° D．100° 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( ) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．如果要证明 ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( ) A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分 6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( ) A．10 B．8 C．6 D．5 7．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( ) A．12＋12 2 B．2＋6 2 C．12＋ 2 D．24＋6 2 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12a C．8a D．4a 9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( ) A．8 B．4 2 C．8 2 D．16 10．下列命题中，错误的是( ) A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等且互相垂直平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( ) A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60° 12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( ) A．40° B．35° C．20° D．15° 13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( ) A．75° B．60° C．55° D．45° 14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( ) A. 2 B ．2 C. 6 D．2 2 15．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件， 不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 二、填空题 16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．第1题图 第2题图第3题图 第4题图第7题图 第8题图 第11题图第12题图第13题图 第14题图 第15题图 第16题图第17题图
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
第一章特殊平行四边形检测题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（ D ） A.正方形 B.矩形 C.等腰梯 形 D.直角梯形 3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（ D ） ①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ B ） A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm 5.如图，在矩形 中， 分别为边 的中点.若
， ，则图中阴影部分的面积为（ B ） A.3 B.4 C.6 D.8 第6题图 第5题图 6.如图，在菱形 中， ，∠ ，则对角线 等于（D ）
A.20 B.15 C.10 D.5 7.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ B ） A.4 B.2 C. D. 8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 A. B. C. D.
（1）（2） 一、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是___6______. 13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使 ，则∠BCE的度数是22.5° . 14.如图，矩形 的两条对角线交于点 ，过点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ，
初中数学特殊平行四边形的证明 一．解答题（共30小题） 1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论． 2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． 求证：四边形BCFE是菱形． 3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC． 5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？ 6．（2015春?宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE． 7．（2014?雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC 的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形． 8．（2014?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；
1．下列说法正确的有（） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形 ③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形⑤对角线相等的平行四边形是矩形 2．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（） 3．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=900；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 ( ) A、①④?⑥ B、①③?⑤ C、①②?⑥ D、②③?④ 4．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（） 5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（） 6．如图边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。 7.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点 O顺时针旋转75°至OA’B’C’的位置.若OB=C=120°，则点B’的坐标为 . 8.如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是． 6题图7题图8题图 9.如图,E为正方形ABCD的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值为_________. 10.如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ． 11.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN 的最小值是．
最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理. （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. （3）如何用尺规作图法作出角平分线
初三中考数学专题复习特殊平行四边形综合练 习题含答案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
1. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（） A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．2. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是（） A．6 B．5 C．4 D．3 3. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、 ②两部分，将①展开后得到的平面图形是（） A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．菱形 4. 菱形ABCD中，若:2:1 A B ∠∠=，CAD ∠的平分线AE与边CD间的关系是（） A．相等 B．互相平分但不垂直 C．互相垂直但不平分 D．垂直平分5. 矩形ABCD的长为5，宽为3，点E 、F将AC三等分，则△BEF的面积为（）． A．355 .. 232 B C D．5 6. 一个矩形和一个平行四边形的边分别相等，若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍，则平行四边形的锐角的度数为（）． A．15° B．30° C．45° D．60°
7. 正方形一边上任一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线长的 （）． A．1 3 B．1 2 C．1 4 D．2倍 8. E为正方形ABCD的BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于F，则∠ACE=（）． A．° B．125° C．135° D．150° 9. 在ABCD中，AB＝3，BC＝4，当ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（） ①AC＝5 ②∠A＋∠C＝180 °③AC⊥BD④AC＝BD A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 10. 如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．2 B．3 C．2 3 11. 正方形ABCD中，M为AD上一点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F，若ME+MF= 8cm，则AC=_____． 12. 若矩形两邻边之比为3：4，周长为28cm，则它的边长为_____________． 13. 在矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，且CE=AB，连结DE，则 ∠ADE=_________ 14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则菱形的高为_______． D C A
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答 案 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一、解答题 1、（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC于点E，F、求证：AE=CF、（2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I、求证：EI=FG、考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）、分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF、（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得 A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得 △A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG、解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF， ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，， ∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG、点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用、 2、在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F、若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论： PD+PE+PF=A B、请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC 内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明、考点：平行四边形的性质、专题：探究型、分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以 FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证， FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=A B、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=A B、证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点， ∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF， ∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，
九年级上册数学知识点总结 第一章 证明（二） 一、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形：等边对等角，等角对等边。 三、等边三角形 （1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式： 由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （如图1所示，AO=BO=CO ） 3、角的平分线的判定定理： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示，OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F
第一章特殊平行四边形检测题 （本检测题满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. (2015?江苏连云港中考)已知四边形ABCD，下列说法正确的是( ) A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形 C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 2.（2015·贵州安顺中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B 恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（） 第2题图 A.2 B. C. D.6 3.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（） A.150° B. 135° C. 120° D. 100° 4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（） A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm 5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若， ，则图中阴影部分的面积为（） A.3 B.4 C.6 D.8 6.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（） A.20 B.15 C.10 D.5 7.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（） A.4 B.2 C. D. 第5题图第6题图
8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 9.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上 的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ） A. B. C. D. D C B A （1） （2） 10.如图是一张矩形纸片， ，若将纸片沿折叠，使落在上，点的 对应点为点，若，则 （ ） A. B. C. D. 二、 填空题（每小题3分，共24分） 11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________. 12.如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E ，F 分别从点B ，D 同时以同样的速度沿边BC ，DC 向点C 运动.给出以下四个结论： ① ; ② ∠ ∠ ; ③ 当点E ，F 分别为边BC ，DC 的中点时，△AEF 是等边三角形； ④ 当点E ，F 分别为边BC ，DC 的中点时，△AEF 的面积最大. 上述正确结论的序号有 . 第12题图 F E D C B A 第13题图 E D C B A 第14题图 第9题图 第10题图
第一早《特殊平仃四边形》检测题 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，贝U 菱形的内角中 钝角的度数是（ 2.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是: ① 平行四边形：②菱形;③矩形；④对角线互相垂直的四边形.（ ） 3.已知一矩形的两边长分别为10 cm 和15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分, 这两部分的长为（ ） 则图中阴影部分的面积为（ 7.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 8.如图，将一个长为iO 口口，宽为S cm 的矩形纸片先按照从左向右对折， 再按照从下向 上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（ 1））,再 打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ B. 20 C 宦 C. 4" cni" A.150 ° B. 135 C. 120 ° D. 100 ° A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ A.6 cm 和 9 cm B. 5 cm 和 10 cm C. 4 cm 和 11 cm D. 7 cm 和 8 cm 4.如图，在矩形A 肚D 中，匚几 G H 分别为边AS. DA. CD ?,班的中点.若45 = 2 =4 , A.3 C.6 5.如图，在菱形磁D 中，= = 3，则对角线」〔等于（ ） A.20 B.15 C.10 D.5 6.若正方形的对角线长为2 cm ， 则这个正方形的面积为（ B.2 口口卫 C.住 cm- D. C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 D. 30 cini" C C D D.8 第5题图
九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线
特殊平行四边形综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题： 例1：（2007义乌）在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：（2007大连）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例3：（2008台州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 例4：（2008青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由． 实战演练： 1.（2007滨州）对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A B C D E F E ' G
A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 D ．菱形、正方形 2.（2008常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 3.（2008扬州）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.（2007连云港）如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边 AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BA C ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.（2007泉州）在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点）， 若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，已知120 2.5AOD AB ∠==o ，，则AC 的长为 ． D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D A B C D A B C D
E D C B A 第一章 特殊平行四边形检测题 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每题4分，共32分） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 2．如图，在矩形 中， 分别为边 的中点.若正方形ABCD 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 3.如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）； A. AO = BO = CO = DO ，AC ⊥BD B. AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC = BD C. AD ∥BC ，AB ∥CD, AC ⊥BD D. AO = CO ，BO = CO ，AB = BC 4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 5．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ） A ．8cm 和3．4cm 和3cm C ．8cm 和3 D ．4cm 和36．若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ） A ．3 2 B ．32 C ．3cm 2 D ．8cm 2 7．依次连接菱形各边的中点为顶点，可以组成一个( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 8．如图，已知矩形ABCD 中，BD 是对角线，∠ABD=30°，将ΔABD 沿BD 折叠，使点A 落在 E 处，则∠CDE=( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 第8题 第2题 第3题 A B C D O
特殊的平行四边形的证明 --矩形(复习课)教学设计 知识清单 一．矩形的性质： 四个角相等（都是90。） 对角线相等 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二．矩形的判定： 1、“平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形” 2、“平行四边形” +“对角线相等”=“矩形” 3、“四边形”+“三个角是直角”=“矩形” 练习题： 1、下列性质中，矩形具备而一般平行四边形不具备的是( ) A.内角和为360° B.对边平行且相等 C.对角线相等 D.对角相等 2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是( ) A.2 B.4 C.2 D.4 3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长． 4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落 在AD边的F点上，求DF和AE的值。
5、在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD 6、（变式一）在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，求证：DF=BC 7、（变式二）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． (1)求证：OE =OF； (2)若CE =12，CF =5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 8、如图所示，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．当t= 时，四边形APQD也为矩形.
九年级上册第一章单元测试卷 松岗中学李卫 一．选择题（共12小题） 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是 （） A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 2.正方形的一条对角线长为8，则正方形的边长为（） A.2 B.4 C. D. 3.在下列命题中，是真命题的是（） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75° 第4题第5 题第6题 5.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3） 6.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（） A．10 B． C．6 D．5
7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： ①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 8.矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（） A． B． C． D．
第7题第8 题第9题 9.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，P E⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（） A． B． C． D． 10.如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（） A．1 B．2 C． D．
2014年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版） （八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
四边形判定定理以及性质定理 一、平行四边形： 判定：（1）两组对边分别平行的四边形（2）两组对边分别相等的四边形（3）一组对边平行且相等的四边形（4）对角线互相平分的四边形（5）两组对角分别相等的四边形 性质：两组对边分别平行对边相等对角相等两条对角线互相平分是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点 二、矩形： 判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形（2）有三个内角是直角的四边形（3）对角线相等的平行四边形 性质：四个角都是直角两条对角线相等 三、菱形： 判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）四条边都相等的四边形（3）对角线互相垂直的平行四边形 性质：四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角 四、正方形： 判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形（2）有一组邻边相等的矩形（3）有一个内角是直角的菱形 性质：四个角都是直角四条边都相等两条对角线相等，并且互相垂直每条对角线平分一组对角 五、其他定理 中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 六、平行四边形证明题 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。（1）求证：BE=DF （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，判断四边形MENF的形状 2、如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交于点B、D。求证：四边形ABCD是平行四边形 3、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。（1）求证：△ABE≌△CDF （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO 4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD。求证：EF=AD
九年级第一章测试题（特殊的平行四边形） 考试时间120分钟，满分100分 第I 卷（选择题，共30 分） 、选择题（每题3分，共30 分） 2 .若平行四边形的一边长为10cm,则它的两条对角线的长度可以是 3.如图，平行四边形ABCD 中，经过两对角线交点 0的直线分别交 于点E ,交AD 于点F.若BC=7 CD=5 OE=2则四边形ABEF 的周长等 于 （ ） 如图，矩形ABCD 勺对角线AC BD 相交于点0, CE// BD, DE// AC 若 AC=4则四边形CODE 勺周长（ ） 6 C . 8 姓名 班级 得分 1.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形, 最多能作（ A. 4个 B . 3个 C. 2个 D. 1个 A. 5cm 和 7cm B. 18cm 和 28cm C. 6cm 和 8cm D. 8cm 和 12cm BC A. 14 B . 15 C. 16 D.无法确定 D . 10
A. S i =S B . S i >S C. S v S 2 D 不能确定 120°,若一条对角线的长是2,那 5.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到 一个钝角为120° 6.如图，菱形ABCD 中,对角线AC BD 交于点0,菱形ABCD 周长为32, 点P 是边CD 的中点，贝懺段OP 的长为（ 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A. 15° 或 30 B . 30° 或 45 C. 45° 或 60° D. 30° 或 60° A. 3 B. 5 C. 8 7.如图，在平行四边形ABCD 中, HG// AB 若四边形AEPH 和四边形 S 2的大小关系为（ ） BD 上一点 P,作 EF// BC ， CFPG 勺面积分另为S i 和S,则S 与 过对角线 n A C B
八年级数学《特殊平行四边形》综合练习题 一，选择题（39分） 1：在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 5.对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 D ．菱形、正方形 6.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 7.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900 时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 8.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BA C ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 A B A E D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ
C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 9.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 10.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 11.如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若 22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边） 有（ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 12.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ． 3 10 B ． 13 C ． 25 D ． 49 13.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ ） A ． B ． C ． D Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ D B C ' D A B M B A D C 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C