第六章概率初步
2 频率的稳定性（第1课时）
一、教学目标：
1.知识与技能: 通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率。
2.过程与方法: 在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力。
3.情感与态度:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力.
教学重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小。
教学难点：大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
二、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境，激发兴趣；分组试验，获取数据；合作交流，探究新知；巩固训练，发展思维；归纳小结；布置作业。
第一环节课前准备
以2人合作小组为单位准备图钉。
第二环节创设情境，激发兴趣
活动内容：教师首先设计一个情景对话：以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景展开交流，引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测，进而产生通过试验验证的想法。
活动目的：培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会试验结果可能性有可能不同。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的试验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题。
第三环节分组试验，获取数据
活动内容：参照教材提供的任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，让同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验。
请同学们拿出准备好的图钉：
m称介绍频率定义:在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值
n
为事件发生的频率。
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表：
证之前的猜想.当试验的次数较少时,规律不明显,甚至与开始的猜测有矛盾，让学生动脑得出造成这种结果的原因是试验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发的把全班试验的结果都统计出来，学会进行试验和收集试验数据。分组试验也可以培养学生的合作精神和探索意识，激发学生形
成由大胆猜想到验证猜想最后总结规律的数学思考过程.
第四环节操作交流，探究新知
活动内容：(1)请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图
（2）小明共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，观察图像，钉尖朝上的频率的变化有什么规律?
结论:在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性
活动目的：通过绘制折线统计图的过程,使学生进一步对数据进行处理,观察形象直观的统计图进而得出结论,突出本节课的重点.学生分组讨论议一议的两个问题,进一步加深对频率稳定性的认识,初步体会用频率可以估计事件发生的可能性的大小.
第五环节巩固训练发展思维
活动内容：
问题1、某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
（2）根据上表画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
（3）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率变化有什么规律？
数学理解：抛一个如图所示的瓶盖，盖口向上或盖口向下的可能性是否一样大？怎样才能验证自己结论的正确性？
活动目的：设置问题1主要是衔接本节课的探索试验题,使学生形成分析数据、计算数据、绘制表格、归纳总结的数学思维，同时进一步体会频率的稳定性。本题难度不大，适合学生独立完成后展演。
第六环节回忆思考，归纳小结
活动内容：1、通过本节课的学习，你了解了哪些知识？
2、在本节课的教学活动中，你获得了哪些活动体验？
活动目的：对本节课的知识进行回顾，师生互相交流如何通过试验的方法来确定频率的稳定性，及用频率来估计事件发生的可能性的大小。同时总结活动体验，有利于学生积累活动经验，形成良好的数学思考过程。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，树立正确的随机观念，通过现实世界中熟悉和感兴趣的问题，丰富对频率背景的认识，积累大量的活动经验。
第七环节布置作业
教材 145页知识技能 1
6.2.1频率的稳定性 课题 6.2.1频率的稳定性课型新授课 教学目标 1、.通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率。 2、.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力。 重点 通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小。 难点大量重复试验得到频率的稳定值的分析. 教学 方法 自学与小组合作学习相结合的方法。 教学 环节 二次备课复习 导入 回顾上节课学习的不确定事件和确定事件 课程讲授一、创设情景引入 教师首先设计一个情景对话:以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景展开交流, 引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测,进而产生通过试验验证的想法。 二、应用练习促进深化 参照教材提供的任意掷一枚图钉, 出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果, 让同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境,让学生来做做试验。 请同学们拿出准备好的图钉: (1)两人一组做 20次掷图钉游戏,并将数据记录在下表中：
2 钉尖朝上次数钉尖朝下次数 钉尖朝上频率(钉尖朝上次数/试验总次数) 钉尖朝下频率(钉尖朝下次数/试验总次数) 介绍频率定义:在n 次重复试验中,不确定事件A 发生了m 次,则比值n m 称为事件发生的频率。 (2)累计全班同学的试验结果,并将试验数据汇总填入下表: 试验总次数n 20 40 80 120 160 200
240 280 320 360 400 钉尖朝上次数m 钉尖朝上频率m/n 三、能力再提升 (1)请同学们根据已填的表格,完成下面的折线统计图 (2)小明共做了400次掷图钉游戏,并记录了游戏的结果绘制了下面的折线 统计图, 观察图像,钉尖朝上的频率的变化有什么规律? 3、 结论 :在试验次数很大时,钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动,即钉尖朝上的频率具有稳定性。 小结频率具有稳定性。 作业 布置 知识技能1 板书 设计 频率的稳定性6.2.1 频率具有稳定性
6．2频率的稳定性 1．理解频率和概率的意义； 2．了解频率与概率的关系，能够用频率估计某一事件的概率．(重点，难点) 一、情境导入 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？ 二、合作探究 探究点一：频率的稳定性 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他完全相同．小 明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在25%左右，则口袋中红色球可能有() A．5个B．10个C．15个D．45个 解析：∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中红色球的频率为25%，故红球的个数为60×25%＝15(个)．故选C. 方法总结：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下才可以近似地作为这个事件的概率．解题时由“频数＝数据总数×频率”计算即可． 探究点二：用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率 为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着 地的次数是实验总次数的40%，下列说法错误的是() A．钉尖着地的频率是0.4
B ．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近 C ．钉尖着地的概率约为0.4 D ．前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次 解析：A.钉尖着地的频率是0.4，故此选项说法正确；B.随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4，故此选项说法正确；C.∵钉尖着地的频率是0.4，∴钉尖着地的概率大约是0.4，故此选项说法正确；D.前20次试验结束后，钉尖着地的次数应该在8次左右，故此选项说法错误．故选D. 【类型二】 利用频率估计球的个数 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行 摸球实验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据(结果保留两位小数)： ________； (2)估算袋中白球的个数． 解析：(1)用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；(2)根据概率公式列出方程求解即可． 解：(1)251÷1000≈0.25.∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； (2)设袋中白球为x 个， 1 1＋x ＝0.25，x ＝3. 答：估计袋中有3个白球． 方法总结：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P (A )＝m n . 【类型三】 利用频率折线图估计概率 一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的， 将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下(结果保留两位小数)：
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 同步练习 一、七彩题 1．（一题多解）一组数据有30个，把它们分成四组，其中第一组，?第二组的频数分别为7，9，第三组的频率为0.1，则第四组的频数是多少？ 2．（一题多变题）一组数据64个分成8个小组，从第一小组到第四小组的频数分别是5，7，11，13，第五小组到第七小组的频率都是0.125，则第八小组的频率是多少？ （1）一变：在样本个数为80的一组数据的频数分布直方图中，?某一小组相应的长方
形的高为32，则落在该组的频率为多少？ （2）二变：为了了解小学生的素质教育情况，某县在全县各小学共抽取了200名五年级学生进行素质教育调查，将所得的数据整理后分成5小组，画出频数分布直方图，已知从左到右前4个小组的频率分别为0.04，0.12，0.16，0.4，则第5小组的频数为多少？ 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）某中学部分同学参加全国初中数学竞赛，取得了优异的成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩．（成绩都是整数，试题满分120分），并且绘制了频数分布直方图，如图所示．请回答： （1）该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？ （2）如果成绩在90分以上（含90分）的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？ （3）图中还提供了其他信息，例如该中学没有获得满分的同学等等，请再写出两条信息．
学习过程 一、复习预习 第一环节课前准备 以2人合作小组为单位准备图钉。 第二环节创设情境，激发兴趣 活动内容：教师首先设计一个情景对话：以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景展开交流，引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测，进而产生通过试验验证的想法。 活动目的：培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会试验结果可能性有可能不同。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的试验来验证。这就是我们本节课要来
研究的问题。 实际教学效果：学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测，事实上，学生对游戏的公平性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的可能性有大有小，这就为下一环节用试验估算事件发生频率打好基础。同时简短对话易于快速引入新课，利于课堂环节的衔接。 第三环节 分组试验，获取数据 活动内容：参照教材提供的任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，让同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验。 请同学们拿出准备好的图钉： （1） 两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中： （钉尖朝上次数介绍频率定义:在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值n 称为事件发生的频率。 二、知识讲解 考点1：频率定义: 在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值 n m 称为事件发生的频率。 易错点：准确找出m 与n 的值。 三、例题精析 【例题1】 【题干】某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
完成上表。 【答案】0.9,0.8,0.82,0.88,0.84,0.858,0.861. 【解析】根据概率公式 即可求出。 【例题2】 【题干】根据上表说出最大与最小频率之差。 【答案】0.1 【解析】0.9-0.8=0.1 【例题3】 【题干】观察表格，击中靶心的频率变化有什么规律？ 【答案】频率在0.9-0.8之间浮动。 【解析】通过观察：0.9,0.8,0.82,0.88,0.84,0.858,0.861；在0.9-0.8之间浮动。 四、课堂运用 【基础】某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量， 于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名、2000名、3000 名、4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下： n m
第 1课时 课题：感受频率的稳定性 学习目标：通过试验感知事件发生频率的稳定性;计算频率，画频率折线图。 复习回顾:1. 在一定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定 ________,这些事情称为必然事件. 2. 有些事情我们事先能肯定它一定_________,这些事情称为不可能事件事件. 3. ____________和___________统称为确定事件 4.不确定事件:有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称 ______________也称为随机事件. 5. 不确定事件发生的可能性是___________. 6. 事件A 发生的频率= 试验总次数 发生的次数 事件A . 小明与小亮做了1000次的摸球试验,其 中有530次摸到红球,则摸到红球的频率是__________. 一． 探究新知： 任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性相同吗？ （1） 小组做60次（每两人20次）掷图钉游戏，并将数据记录在下 表中： 介绍频率定义:在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值 n m 称为事件发生的频率。 （2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表： (1)请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图
（2）观察图像，钉尖朝上的频率的变化有什么规律? 结论: （3）通过上面的试验，你认为顶尖朝上和顶尖朝下的可能性一样大吗？ 二、课堂练习、加深理解 某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率，应采用什么具体做法? 在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率．如果随着移植棵数n的越来越大，频率m n 越来越稳定于某个常数，那么这个常数就可以被当作成活率的近似值． （1）下表是统计试验中的部分数据，请补充完整： （2）由下表可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. （3）林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活 _______棵. （4）我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少向林业部门购买约_______棵.
9.2频率的稳定性（2） 教学目标 l.经历猜测、试验、收集与分析试验结果等过程. 2.初步体验有些事件发生是确定的，有些事件发生是不确定的. 教学重点与难点 重点：经历猜测、试验、收集与分析试验结果等过程 难点：明确事件发生的可能性是有大有小的 教学过程 一、新授 投掷骰子，不可能预测出掷得的结果. 会不会在“没有规则”的背后，隐含着某种规律呢？ 在反复实验中观察不确定现象，以发现它们隐含的规律. 表1 历史上抛掷硬币实验的若干结果 抛掷一枚硬币 绘制折线图
思考 由图可以看到，当实验次数比较多的时候， 1.“出现正面”的频率变动明显减小， 表现为“风平浪静”， 2.“出现正面”的频率在0.5附近波动！ 抛掷两枚硬币1 “出现两个正面”和“出现一正一反”这两个不确定事件的频率是否也会比较稳定. 用两种不同颜色画两条折线 抛掷两枚硬币2 思考 （1）在实验中， “出现两个正面”的频率稳定在％附近， “出现一正一反”的频率稳定在％附近. （2）如果将实验中的硬币换成瓶盖，你觉得频率也会逐渐稳定吗？如果是，那么稳定的数值会和（1）中一致吗？ 概括 无论是抛掷均匀的硬币还是抛掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（顶尖朝上）的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性. 由于事件A发生的频率，表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁，这就意味着事件A发生的可能性也越大，因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的大小，我们把这个刻画事件A发生的可能性的大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P（A）. 一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 二、练习 1. 问题提出：一枚图钉被抛起后钉尖触地的机会有多大？你能不通过实验预测出来吗？ 教师活动：提出问题. 学生活动：思考、回答：(不能). 2. 探索解决问题的方法：通过创设实验活动的情境，用频率估计机会的大小. 3. 构建实验：请同学们拿出一枚图钉(相同形状)，做抛掷实验.分别记录抛掷40次、80次、120次、160次、200次、240次、280次、320次、360次、400次、440次、480次后出现钉尖触地的频数和频率，列出统计表，绘制折线图. 三、作业 课后习题
6.2频率的稳定性习题 一、选择题 1．在抛掷一枚硬币的实验中，某小组做了1000次实验，最后出现正面的频率为49.6%，此时出现正面的频数为( ) A．496 B．500 C．516 D．不能确定 2．小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的频率约是( ) A．38% B．60% C．63% D．无法确定 3. 在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的可能性最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( ) A．①②③B．①②C．①③D．②③ 二、填空题 4. 在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，比值称为事件A发生的频率． 5. 当试验次数很大时，某一事件的频率会在一个附近摆动，称为频率的稳定性． 6、为调查某批乒乓球的质量,根据所做试验,绘制了这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图(如图),则这批乒乓球“优等品”的频率稳定在(精确到0.01).
7. 在一个不透明的袋子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将袋中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 . 8. 小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表，阅读并回答问题： 抛掷结果 10次 50次 500次 5000次 出现正面次数 3 24 258 2498 出现正面的频率 30% 48% 51.6% 49.96% 小明抛完10次时，得到 次反面，反面出现的频率是 ； (2)当他抛完5000次时，反面出现的次数是 ，反面出现的频率是 ； (3)通过上表我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于 ，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于 . 9. 如图，广宇购物中心设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物满20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 200 400 500 1000 落在“牙膏”区域的次数m 32 58 121 149 300 落在“牙膏”区域的频率m n 0.3025 (2)请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？
第六章 概率初步 2 频率的稳定性（第 1 课时） 、 教学目标： 1. 知识与技能 : 通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在 某一常数附 近，并据此能估计出某一事件发生的频率。 2. 过程与方法 : 在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学 生的辩证思 维能力。 3. 情感与态度 : 通过对实际问题的分析 , 培养使用数学的良好意识 , 激发学习 兴 趣, 体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应 用数学的能力 并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小。 教学难点： 大量重复试验得到频率的稳定值的分析 三、教学过程分析 获取数据；合作交流，探究新知；巩固训练，发展思维； 第一环节 课前准备 以 2 人合作小组为单位准备图钉。 第二环节 创设情境，激发兴趣 活动内容： 教师首先设计一个情景对话： 以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景 展开交流， 引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测， 进而产生通过试验验 证的想法。 实际教学效果： 学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测， 事 实上，学生对游戏的公平性进行猜测的过程， 就已经开始体会事件发生的可能性 有大有小， 这就为下一环节用试验估算事件发生频率打好基础。 同时简短对话易 于快速引入新课，利于课堂环节的衔接。 第三环节分组试验，获取数据 活动内容：参照教材提供的任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种 结果，让同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境， 让学生来做做 试 、教学重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时， 实验的频率具有稳定性， 本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境， 激发兴趣；分组试验， 归纳小结；布置作业。
《频率的稳定性》教案 教学目标 一、知识与技能 通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率。 二、过程与方法 在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力。 三、情感态度和价值观 通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力 教学重点 通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性， 并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小。 教学难点 大量重复试验得到频率的稳定值的分析. 教学方法 通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历自主探索、分组实验、合作交流等活动形式，以学生为主体，教师创设和谐，愉悦的环境，辅以适当的引导。同时利用计算机演示教学内容，提高教学的交互性与直观性，打破教学常规，提高课堂效率。 课前准备 PPT课件 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 活动内容：教师首先设计一个情景对话：以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景展开交流，引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测，进而产生通过试验验证的想法。
活动目的：培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会试验结果可能性有可能不同。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的试验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题。 实际教学效果：学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测，事实上，学生对游戏的公平性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的可能性有大有小，这就为下一环节用试验估算事件发生频率打好基础。同时简短对话易于快速引入新课，利于课堂环节的衔接。 二、新课学习 活动内容：参照教材提供的任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，让同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验。 请同学们拿出准备好的图钉： （1）两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中： 称为事件发介绍频率定义:在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 n 生的频率。 （2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表： 活动目的：通过分组试验让学生体验不确定事件发生的可能性的发现过程，验证之前的猜想.当试验的次数较少时,规律不明显,甚至与开始的猜测有矛盾，让学生动脑得出造成这种结果的原因是试验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发的
第九章概率初步 2 频率的稳定性（第1课时） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经体验过事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性,对一些游戏的公平性能初步地作出自己的评判.学生已接触了不确定事件，了解了不确定事件发生的可能性有大有小，学生具备了进一步探索频率的稳定性及频率与概率的关系的能力. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，并对“做数学”有相当的兴趣和积极性，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析 教科书基于学生对大量重复试验事件发生频率的认识，提出了本课的具体学习任务：使学生经历“猜测—实验和收集实验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，探索大量重复试验中不确定事件发生的频率会稳定在一个常数附近.频率、概率是新课程标准第三学段“统计与概率”中的两个重要概念.通过这部分内容的学习可以帮助学生，进一步理解试验频率和理论概率的辨证关系，同时亦为学生体会概率和统计之间的联系打下基础.让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的统计意识，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标.为此，本节课设计了以下目标： 教学目标： 1.知识与技能: 通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率. 2.过程与方法: 在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力. 3.情感与态度:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力. 教学重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性， 并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小.
2 频率的稳定性 1.在课外实践活动中,甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率,其试验次数分别为10次、50次、100次、200次,其中试验相对科学的是( D ) (A)甲组(B)乙组(C)丙组(D)丁组 2.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同.小张通过多次摸球试验后发现,其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色球的个数很可能是( B ) (A)6 (B)16 (C)18 (D)24 3.(2019泰州)小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表: 抛掷次数100 200 300 400 500 正面朝上 53 98 156 202 244 的频数 若抛掷硬币的次数为1 000,则“正面朝上”的频数最接近( C ) (A)20 (B)300 (C)500 (D)800 4.(2019长沙)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,
然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表 : 摸球试 验次数 100 1 000 5 000 10 000 50 000 100 000 “摸出黑球” 的次数 36 387 2 019 4 009 19 970 40 008 “摸出黑球” 的频率 (结果保 留小数点 后三位) 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是0.4 .(结果保留小数点后一位) 5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果. 下面有三个推断: ①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616; ②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;
第六章概率初步 2 频率的稳定性（第1课时） 教学目标： 1.知识与技能:通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率。 2.过程与方法:在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力。 3.情感与态度:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力 教学重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小。 教学难点：大量重复试验得到频率的稳定值的分析. 学习方式：学生在教师指导下进行“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”的一系列活动，积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的规律。 教学方式：通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历自主探索、分组实验、合作交流等活动形式，以学生为主体，教师创设和谐，愉悦的环境，辅以适当的引导。同时利用计算机演示教学内容，提高教学的交互性与直观性，打破教学常规，提高课堂效率。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境，激发兴趣；分组试验，获取数据；合作交流，探究新知；巩固训练，发展思维；归纳小结；布置作业。 第一环节课前准备 以2人合作小组为单位准备图钉。
第二环节 创设情境，激发兴趣 活动内容：教师首先设计一个情景对话：以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景展开交流，引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测，进而产生通过试验验证的想法。 活动目的：培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会试验结果可能性有可能不同。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的试验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题。 实际教学效果：学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测，事实上，学生对游戏的公平性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的可能性有大有小，这就为下一环节用试验估算事件发生频率打好基础。同时简短对话易于快速引入新课，利于课堂环节的衔接。 第三环节 分组试验，获取数据 活动内容：参照教材提供的任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，让同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验。 请同学们拿出准备好的图钉： （1） 两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中： 介绍频率定义:在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值 n m 称为事件发生的频率。
6.2频率的稳定性 1. 理解频率与概率的意义 2. 了解频率与概率的关系，能够用频率估计某一事件的概率.（重点，难点） 、情境导入 养鱼专业户为了估计她承包的鱼塘里有多少条鱼（假设这个鱼塘里养的就是同一种鱼 100条做上标记，然后放回塘里,过了一段时间，待带标记的鱼完全与塘里的鱼混合后，再捕上100条,发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？ 二、合作探究 探究点一：频率的稳定性 白色玻璃球共60个，除颜色外其她完全相同.小明通过多 次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在25%左右，则口袋中红色球可能有（） A. 5 个 B.10 个 C.15 个 D.45 个 解析：???摸到红色球的频率稳定在25%左右，???口袋中红色球的频率为25%,故红球的个数为60 X 25%= 15（个）.故选C、方法总结：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下才可以近似地作为这个事件的概率.解题时由“频数=数据总数X频率”计算即可. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 探究点二：用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率 是实验总次数的40%,下列说法错误的就是（） A. 钉尖着地的频率就是0、4 B. 随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0、4附近 C. 钉尖着地的概率约为0、4 D. 前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定就是8次 解析:A、钉尖着地的频率就是0、4,故此选项说法正确;B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频 率稳定在0、4,故此选项说法正确；C、T钉尖着地的频率就是0、4, ?钉尖着地的概率大约就是0、4,故此选项说法正确；D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数应该在故 ）,先捕上在一个不透明的布袋中装有红色、 为了瞧图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数就 8次左右，故此选项说法错误
问题：图钉扔出后，哪种情况出现的可能性大？ 为了研究这个问题，2003年北京市某学校高一（5）班的学生做了如下试验： 在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察“钉尖朝上”出现频率的变化情况。 （1）每人手捏一枚图钉的钉尖、钉帽在下，从1.2米的高度让图钉自由下落。 （2）重复20次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。 图。 观察上图，“钉尖朝上”出现的频率有什么样的变化趋 0.00 0.200.400.600.801.001.201 7 131925313743495561677379859197103109115图3—1 钉尖朝上 钉尖着地 频率 投掷次数
势？ 归纳概括 （1）在大量重复试验的情况下，出现“钉尖朝上”的频率会呈现出稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动。随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势。 （2）有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”大的可能性越小。 阅读思考 历史上曾有人做过掷硬币的试验，试验结果如下表。 重复抛掷硬币，出现“正面朝上”的频率是事先无法确定的。但是在大量重复抛掷硬币时，出现“正面朝上”的频率具有稳定性——它在0.5附近摆动。
又如，考察新生婴儿的性别：可能是男孩，也可能是女孩。对大量新生婴儿的统计显示：出现“新生婴儿是男孩”的频率具有稳定性。 著名数学家拉普拉斯对男婴和女婴的出生规律作了详细的研究，他对伦敦、彼得堡、柏林和法国的情形进行了研究，得到了庞大的统计资料。这些统计资料显示：10年间，男孩出生的频率在22/43附近摆动。 下表是上个世纪波兰的一些统计结果1： 下表是我国历次人口普查总人口性别构成情况2，它们与拉普拉斯得到的结果非常地接近。 1引自：《概率论及数理统计》[波兰]M·费史著，王福保译，上海：上海科学技术出版社，1962年10月2数据引自：国家统计局的统计数据
《概率的稳定性》 一、选择题 1．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 2．抛硬币抛10次，其中正面朝上6次，反面朝上4次，则正面朝上的频率是( ) A.0.4 B.0.6 C.4 D.6 3．小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率是( ) A.38% B.60% C.约63% D.无法确定 4．做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为( ) A.0.22 B.0.44 C.0.50 D.0.56 5．在做“抛掷两枚硬币实验”时，有部分同学没有硬币，因而需要用别的实物来替代进行实验，在以下所选的替代物中，你认为较合适的是( ) A.两张扑克牌，一张是红桃，另一张是黑桃 B.两个乒乓球，一个是黄色，另一个是白色 C.两个相同的矿泉水瓶盖 D.四张扑克牌，两张是红桃，另两张是黑桃 6．为了看一种图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明作了1000次试验，其中钉尖着地的次数是480次．下列说法错误的是( ) A.钉尖着地的频率是0.48 B.前500次试验结束后，钉尖着地的次数一定是240次 C.钉尖着地的概率大约是0.48 D.随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.48
第六章概率初步 2 频率的稳定性（第2课时） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经会求简单事件发生的可能性。对简单事件发生的可能性能够做出预测，并阐述自己的理由。前面一节课中又学习了在实验次数很大时，不确定事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动。学生具备了进一步学习由不确定事件发生的频率来估计事件发生的概率的能力。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经体验实验次数很大时，不确定事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生对事件发生等可能性的认识，提出了本课的具体学习任务：使学生经历“猜测—实验和收集实验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，了解频率的稳定性和如何通过大量重复实验发生的频率来估计事件发生的概率。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“统计与概率”这一数学学习领域，因而务必服务于概率教学的远期目标：“让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的概率意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的 教学目标： 1.知识与技能:学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分 析问题,解决问题的能力； 2.过程与方法:通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化 和估算的思想方法； 3.情感态度与价值观:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激
3 系统的频率响应和稳定性研究 3.1 实验目的 （1） 绘制并观察典型开环系统的Nyquist 围线。 （2） 绘制并观察典型开环系统的Bode 图。 （3） 运用Nyquist 准则判断闭环系统的稳定性。 （4） 初步掌握相关MATLAB 指令的使用方法。 3.2 预习要求 （1） 开环Nyquist 曲线、Bode 图的基本成图规律。 （2） 典型开环系统Nyquist 围线的成图规律。 （3） Nyquisi 原理和使用要领。 （4） 阅读和了解相关的MATLAB 指令。 3.3 实验内容 一 （必做内容）使用sisotool 交互界面研究典型开环系统的频率特性曲线，并进行闭环系统稳定性讨论。 以下各小题的要求： （A ） 根据所给开环传递函数的结构形式，绘制相应的幅相频率曲线和对数幅相频率曲线。 （B ） 显示出曲线对应的开环传递函数具体表达式。 （C ） 假如MATLAB 指令绘制的幅相频率曲线不封闭，或用文字说明所缺部分曲线的走向，或在图上加以添加所缺曲线；曲线与(-1,j0)点的几何关系应足够清晰，能支持判断结论的导出。 （D ） 对该开环函数构成的单位负反馈系统的稳定性作出判断，说明理由；假如闭环不稳定，则应指出不稳定极点的数目。 （1） ) 1)(1(211++=s T s T K G ，其中K , T 1 , T 2 可取大于0的任意数。 （2） ) 1)(1)(1(3212+++=s T s T s T K G ，其中K , T 1 , T 2 , T 3 可取大于0的任意 （3） )1(14+= s T s K G ，其中K , T 1 可取大于0的任意数。 （4） ) 1)(1()1(216+++=s T s T s s T K G a ，其中。 K 可取大于0的任意数。
频率的稳定性 一、学习目标： 1.知识与技能: 通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率。 2.过程与方法: 在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力。 3.情感与态度:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力 二、学习重、难点： 重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小。 难点：大量重复试验得到频率的稳定值的分析. 三、学法指导： 学习方式：学生在教师指导下进行“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”的一系列活动，积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的规律。 教学方式：通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历自主探索、分组实验、合作交流等活动形式，以学生为主体，教师创设和谐，愉悦的环境，辅以适当的引导。同时利用计算机演示教学内容，提高教学的交互性与直观性，打破教学常规，提高课堂效率。 四、学习内容 教科书基于学生对大量重复试验事件发生频率的认识，提出了本课的具体学习任务：使学生经历“猜测—实验和收集实验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，探索大量重复试验中不确定事件发生的频率会稳定在一个常数附近。频率、概率是新课程标准第三学段“统计与概率”中的两个重要概念。通过这部分内容的学习可以帮助学生，进一步理解试验频率和理论概率的辨证关系，同时亦为学生体会概率和统计之间的联系打下基础。让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的统计意识，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。 五、教学过程设计： 第一环节课前准备以2人合作小组为单位准备图钉。 第二环节创设情境，激发兴趣 活动内容：教师首先设计一个情景对话：以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景
第2课时课题：频率的稳定性 学习目标：1、经历“猜测—试验—收集试验数据—分析试验结果”的活动过程； 2、了解不确定事件发生频率的稳定性，并会用频率来估计概率； 3、了解必然事件、不可能事件和不确定事件发生的可能性大小。 自主学习，思考问题 知识预备：抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现、 两种情况，你认为出现这两种情况的可能性相同吗？ 探索新知： 问题1：你能理解频率的稳定性吗？如何利用频率估计概率？ 活动：1、同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将数据填在书上表中： 2、各组分工合作，分别累计进行到20、40、60、80、100、120、140、160、180、200次正面朝上的次数，并完成书上表中： 3、根据已填的表格，在书上画出折线统计图： 观察折线统计图，你发现了什么？4、请阅读课本P144页。 由此发现：（1）在试验次数很大时事件发生的频率都会在附近摆动，这个性质称为； （2）我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的，记为； （3）一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的来估计事件A发生的。 问题2：事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少? 思考发现：必然事件发生的概率为；不可能事件发生的概率为；不确定事件A发生的概率P(A)是之间的一个。 学以致用 1、由上面的实验，请你估计抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的概率分别是多少？他们相等吗？ 2、某事件发生的可能性如下：请选择： （1）有可能，但不一定发生； ( ) ⑵发生与不发生的可能性一样；( ) ⑶发生可能性极少；( ) ⑷不可能发生。( )
《频率的稳定性》教案 学习目标： 1.知识与技能：通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率. 2.过程与方法：在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力. 3.情感与态度：通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力. 学习重、难点： 重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性， 并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小. 难点：大量重复试验得到频率的稳定值的分析. 教学过程分析： 本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境，激发兴趣；合作交流，获取数据；操作交流，探究新知；学以致用，发展思维；回忆思考，归纳小结；布置作业. 第一环节课前准备 以4人合作小组为单位准备一元硬币，并回顾知识点. 第二环节创设情境，激发兴趣 活动内容：教师首先让学生回顾学过的三类事件，接着让学生抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现正面朝上、正面朝下两种情况，你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？（让学生体验数学来源于生活）. 第三环节合作交流，获取数据 活动内容：参照教材提供的任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上和正面朝下两种结果，让同学猜想正面朝上和正面朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验. 请同学们拿出准备好的硬币： （1）同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将数据填在下表中： 试验总次数20 正面（壹圆）朝上的次数 正面朝下的次数 正面朝上的频率 （正面朝上的次数/试验总次数） 正面朝下的频率