静力学基本概念
（1）刚体
刚体：形状大小都要考虑的，在任何受力情况下体内任意两点之间的距离始
（2）力
力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态改变（外效应）
。在理论力学中仅讨论力的外效应，不讨论力的内效
力系：作用在研究对象上的一群力。
等效力系：两个力系作用于同一物体，若作用效应相同，则此两个力系互为
3）平衡
（4）静力学公理
公理1（二力平衡公理）作用在同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条
2（加减平衡力系公理）在任一力系中加上或减去一个或多个平衡力系，不
推论（力的可传性原理）作用于刚体的力可沿其作用线移至杆体内任意点，
公理3（力的平行四边形法则）作用于同一作用点的两个力，可以按平行四
推论（三力平衡汇交定理）当刚体受三个力作用而平衡时，若其中任何两个
则其余一个力的作用线必交于同一点，且三个力的作用
4（作用与反作用定律）两个物体间相互作用力同时存在，且等大、反
公理5（刚化原理）如变形物体在已知力系作用下处于平衡状态，则将此物
其平衡状态不变。可见，刚体静力学的平衡条件对变形体成平衡
（5）约束和约束力
）约束：阻碍物体自由运动的限制条件。约束是以物体相互接触的方式构
）约束力：约束对物体的作用。约束力的方向总与约束限制物体的运动方
4.1-1列出了工程中常见的几种约束类型、简图及其对应的约束力的
7种多见于平面问题中，后4种则多见于空间问题中。
4.1-1 工程中常见约束类型、简图及其对应约束力的表示
束类约束简图 约束力矢量图 约束力描述
作用点：物体接触点 方位：沿柔索 方向：背离被约束物体 大小：待求
单面约束： 作用点：物体接触点 方位：垂直支撑公切面 方向：指向被约束物体 大小：待求 这类约束为物体提供压力。
双面约束：假设其中一个约束面与物体接触，绘制约束力，不能同时假设两个约束面与物体同时接触。 作用点：物体接触点 方位：垂直共切面
作用点：物体接触点 方位：沿链杆两铰点的连线 方向：不定
作用点：物体接触点，过铰中心 方位：不定 方向：不定 大小：待求
方向任意假设的分力，
作用点：物体接触点，过铰中心 方位：不定 方向：不定 大小：待求
（活动
作用点：物体接触点，过铰中心 方位：垂直支撑面 方向：不定
NNA NA TB TA A A
在约束面内既不能移动也不能转动，用两个方位互相垂直、方向任意假设的两个分力表示限制移动的力，用作用面与物体在同一平面内
的、转向任意假设的集中力偶表示限制
Y向可微小移动，用方位互相垂直、方向任意假设的两个分力，表示限制径向的移动
三个方向都不允许移动，用三个互相垂直的力表示限制的移动。
空间任意方向都不允许移动，用方位相互垂直，方向任意的三个分力来代替这个约束力
三个轴向都不允许移动和转动，用三个方位相互垂直的分力来代替限制空间移动的约束力，并用三个矢量方位相互垂直，转向任意的力偶代替限制转动的约束力偶
（6）受力分析图
受力分析图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤是：
）明确研究对象，解除约束，取分离体；
）把作用在分离体上所有的主动力和约束力全部画在分离体上。
7）注意事项
一定按约束性质和它们所提供的约束力的特点画，并在研究对
会判断二力构件和三力构件，并根据二力平
对于方向不能确定的约束力，有时可
画受力分析图时，应注意复铰（链接两个或两个以上
、作用于铰处的集中力和作用于相邻刚体上的线分布力等情况的处理
力的分解、力的投影、力对点之矩与力对轴之矩
1）力沿直角坐标轴的分解和力在轴上的投影
YZxyzFFFFFiFjFkuvuuvuuvuuvvvv
iv、
v、kv分别是沿直角坐标轴x、y、z轴的基矢量；
Fuuv、YFuuv、ZFuuv分
Fuv沿直角坐标轴的分力；
F、yF、zF分别为Fuv在直角坐标轴x、y、z轴
(如图4.1-1)
cossincos
xyFFFF
sinsinsin
xyFFFF
FF
4.1-1
、、分别为
uv与各轴正向间的夹角；
F则为Fuv在Oxy平面上的投
4.1-1所示。
2）力对点之矩（简称力矩）
uv对矩心O的矩是个代数量，即
MFFauv
a为矩心点至力Fuv作用线的距离，称为力臂。通常规定力使物体绕矩心转动
在空间问题中，力对点之矩是个定位矢量，如图4.1-2，其表达式为
4.1-2
OzyxzyxMFMrFyFzFizFxFjxFyFkuvvuvvvv
Nm或kNm。
3）力对轴之矩
4.1-3
Fuv对任一
轴之矩为力Fuv在垂直z轴的平面上的投影对该平面与z轴交点O之
''
OxyxyMFMFFaOABuvuuuv
''OAB的面积，正负号依右手螺旋法则确定，即四指与力
uv的方向一致，掌心面向轴，拇指指向与z轴的指向一致，上式取正号，反之取
Fuv与矩轴共面（即平行或相交）时，力对轴之矩等于零。其单
4.1-3中可见，''OAB的面积等于OAB面积在''OAB平面（即Oxy面）
Fuv对z轴之矩
MFuv等于力Fuv对z轴上任一点O的矩
MFuv在z轴上的投影，或力Fuv对点O的矩OMFuv在经过O点的任一轴上的投
Fuv对该轴之矩。这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩之间的关系。
Ozy
MFMFyFzFuvuv
Oxz
MFMFzFxFuvuv
Oyx
MFMFxFyFuvuv
4）合力矩定理
F时，则其合力对于任一点之矩（或矩矢）或任
（或矩矢）或同轴之矩的代数和（或矢量
。
ROimFmFuuuvuuvuuuv
uuv 力对点之矩矢
ROimFmFuuvuuv 力对点之矩
RximFmFuuvuuv 力对轴之矩
汇交力系的合成与平衡
1）汇交力系:诸力作用线交于一点的力系。
2）汇交力系合成结果
Fuuv,为RiFFuuv；其二，作用线通过汇交点的一个合力
Fuuv等于零，即0RiFFuuv，这是汇交力系平衡的充要条件。
3）汇交力系的求解
所示。对于空间汇交力系，由于作图不方便一般采用解析法。
4.1-2 求解汇交力系的两种方法
Fuuv 平衡条件0RFuuv
按力的多边形法则，得汇交力系的力的多边形示意
其开口边决定了合力的大小和方位及指向，指向
力的多边形自行封闭
析
平面汇交力系 RxiyiFFiFjssuuv
xiyiFFF
,xi
FFiFuurr cos,yiRRFFjFuur 0xiF 0yiF x、y轴不相互平行；有两个独立方程，可解两个未知量
间汇交力
RxiyiziFFiFjFksssuuv
2
xiyiziFFFF
,xi
FFiFuurr cos,yiRRFFjFuurr
,zi
FFkFuurr 0xiF 0yiF 0ziF x、y、z轴不共面；有三个独立方程，可解三个未知量
力偶理论
1）力偶与力偶矩
）力偶,'FFuvuuv：等量、反向、不共线的两平行力组成的力系。
）力偶的性质：力偶没有合力，即不能用一个力等效，也不能与一个力平衡。
没有移动效应。力偶在任一轴上的投影为零。力偶只
）力偶矩：力偶的旋转效应决定于力偶矩，其计算如表4.1-3所述。
4.1-3 力偶矩的计算
空间力偶矩矢
Fd
大小：Fd 方位：依右手螺旋法则，即四指与力的方向一致，掌
自由矢量
Nm或kNm
1：只要力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意转动或移动，或从刚体的一个平面移
2：在力偶矩大小和转向不变的条件下，可任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，
为组成力偶的力的大小，d为力偶中两个力作用线间的垂直距离，称为
2）力偶系的合成与平衡
即一个合力偶或平衡。具体计算时，通常采用
4.1-4所述。
4.1-4 力偶的合成与平衡的解析法
空间力偶系
合力
iMm iixiyizMmmimjmkuuvuuvvvv
Mm 0
ixiyizMmmimjmkuuvuuvvvv
m
0ixm 0iym 0izm
、
、z轴不共面；可求解三个未知量
m、iym、izm分别为力偶矩矢imuuv在相应坐标轴上的投影。
Fur和'Fuur，对任一x轴之矩的和等于该力偶矩矢muv在同一轴
cos
xxmFmFmmuvuuv
为muv矢量与x轴的夹角。
3）汇交力系和力偶系的平衡问题
首先选取分离体；然后画分离体受力分析图，在分析约束力方向时，注意利
尽量选取与未知力垂直的坐标轴，使参与计算的未知量的个
尽量使一个方程求解一个未知量，而力偶系的平衡方程与矩心的选
注意区分力偶的矢量方向或是转向，确定好投影的正方向；最后求
一般力系的简化与平衡
（ 1）力线平移定理
作用在刚体上的力，若其向刚体上某点平移时，不改变原力对刚体的
外效应，
同理，根据力的平移定理可得：共面的一个力'F和一个力偶m可合成为一个
，合力F的大小、方向与原力相等，其作用线离原力作用线的距离为
。
2）任意力系的简化
）简化的一般结果
可将作用在刚体上的任意力系向任一点Ｏ（称为简化中
简化，得到一个作用在简化中心的共点力系和一个附加力偶系，进而可以合
该力等于原力系向简化中心简化的主矢，该力偶的力偶
FFuuvuv 作用线通过简化中心O
OOi
OiMmFMmFuuuvuuuvuuvuuv空间：平面：
主矢的方向和大小与简化中心无关，只与原力系中各个分力相关，其作用线
）简化的最后结果
4.1-5。
4.1-5 任意力系向一点的简化的最后结果
主矩 最后结
说明
FFuuvuv 0
Muuuv或0OM 平衡 任意力系的平衡条件
Muuuv或0OM 合力偶 此主矩与简化中心无关
FFuuvuv 0OMuuuv或0OM 合力 合力的作用线过简化中心
Muuuv ROFMuuvuuuv 合力的作用线离简化中心的距离为O
MdF
Muuuv //ROFMuuvuuuv 力螺旋 力螺旋中心轴（力的作用线）过简化中心
Fuuv与OMuuuv成
力螺旋中心轴（力的作用线）离简化中心的距离为sinO
MdF
）平行分布的线载荷的合成
表示，其单位为N
或kNm。
Fuuv，该合力的大小和作用线位置依据合力
4.1-6所述。
4.1-6 线载荷合成结果
均匀分布的线载荷 线性分布的线载荷
学简
成结
作用在分布线长度中点的一个合力，其作用线的方向与线载荷的方向一致 作用在距离线载荷集度为零的分布长度的2
也就是距离线载荷集度最大的分布长度的
处，其作用线的方向与线载荷的方向一致
ql 1
Rql
（3）力系的平衡条件与平衡方程
FFuuvuv
OiMMFuuuvuuuvuuv
4.1-7列出了各力系的平衡方程。但应当指出，在空间力系和空间平行力系的
其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然，该力矩方程必
4.1-7 力系的平衡方程
系名
平衡方程的表示形式 独立方程
汇交力系 标准式 一力矩式 二力矩式 2 =0ixF
F
=0ixF =0AiMFuuv =0AiMFuuv =0BiMFuuv
（x、y轴不平行，不重合） (A点和汇交点O的
x轴) (A、B连线不能通过汇交点O)
=0im 1
标准式 二力矩式 2 =0ixF
iMFuuv
=0AiMFuuv =0BiMFuuv
（z轴不能垂直各力） (A、B连线不能和各力平行)
标准式 二力矩式 三力矩式 3 =0ixF
F
iMFuuv
=0AiMFuuv =0BiMFuuv =0ixF
=0AiMFuuv =0BiMFuuv =0CiMFuuv
（x、y轴不平行，不重合） (A、B连线不能垂直x轴) (A、B、C三点不共线)
汇交力系 标准式 一力矩式 二力矩式 三力矩式 3 =0ixF
F
F
=0ixF =0iyF =0ziMFuuv =0yiMFuuv =0ziMFuuv =0ixF =0xiMFuuv =0yiMFuuv =0ziMFuuv
(任意两根轴不能平行、重合) (z轴不能通过汇
z轴不能垂
x轴和y轴所
z轴
汇交点所组成
平面不能垂
直
y轴组成
) (y、z轴不能通过汇交点；不能在y、z轴上 找到两点A、B,使A、B和汇交点O共线；如y、z轴有
,则x轴不能垂
)
(x、y、z三轴没有共同交点；如有一直线经过汇交点且和x、y两轴有交点,则此直线不能为z轴；z轴也不能和经过汇交点且和x、y两轴有交点的直线平行或相交；从汇交点不能引一直线 和x、y、z三轴相交)
标准式 3 =0xiMFuuv
iMFuuv =0ziMFuuv
标准式 三力矩式 3 =0xiMFuuv
iMFuuv
F
=0xiMFuuv =0yiMFuuv =0ziMFuuv
(z轴平行各力,xoy面垂直z轴) (x、y、z三条轴不能有共同交点；如果x、y轴有交点O,经过O点平行各力的直线为L,则z轴不能和
L共面;三条轴中任两条轴都不能共面;不能作出与三条轴都相交且平行的直线)
标准式 四力矩式 五力矩式 六力矩式 6 =0ixF
F
F
iMFuuv
iMFuuv
iMFuuv
=0ixF =0iyF =0iuMFuuv =0xiMFuuv =0yiMFuuv =0ziMFuuv =0ixF =0ivMFuuv =0iuMFuuv =0xiMFuuv =0yiMFuuv =0ziMFuuv '=0ixMFuuv '=0iyMFuuv =0iuMFuuv =0xiMFuuv =0yiMFuuv =0ziMFuuv
（x、y、z三轴不能平行,
(u轴不能和z轴共面) （u、v不能在yoz所在平面
; u、v不能都和
z轴相交,也不
y或z轴共面）
(u轴与'OO不共面,平面'''Oxy不过O点)
物体系统的平衡
1）静定与静不定问题
）静定问题
4.1-4（a）。
）静不定（超静定）问题
则单独应用刚体静力学的理论就
4.1-4（b）。静不定问题仅用刚体平衡方程式
还需考虑作用与物体上的力与物体变形的关系，再列
静不定问题已超出了理论力学所能研究的范围，将留待
）静不定次（度）数
2）物体系统平衡问题的解法和步骤
）判断物体系统是否属于静定系统。物体系统是否静定，仅取决于系统内
而不能由系统中某
n个物体组成的静定系统，且在平面任意
3n个独立平衡方程能解出3n个未知量。
若系统中某些物体受其他力系作用时，则其独立平衡方程数以及所能求出
）选取研究对象的先后次序的原则是便于求解。根据已知条件和待求量，
也可以取其中的某些部分或是某一物体为研究对
）分析研究对象的受力情况并画出受力分析图。在受力分析图上只画外力
在各物体的拆开出，物体间的相互作用力必须符合作用与反作用定
画物体系统中某研究对象的受力分析图时，不能将作用在系统中其他部分上
）列出平衡方程。平衡方程要根据物体所作用的力系类型列出，不能多列。
。投影轴应尽量选
而矩轴应使其与更多的未知力共面（矩心
。力求做到一个平衡方程中只包含一个未知量。
）由平衡方程解出未知量。若求得的约束力或约束力偶为负值。说明力的
若用它代入另一个方程求解其他未
）利用不独立平衡方程进行校核。
平面桁架
1）定义
杆件
2
）对于桁架的分析计算作如下假设
）各杆件都用光滑铰链连接。
）各杆件都是直杆。
）杆件所受的外载荷都作用在节点上。对于平面桁架各力作用线都在桁架
）各杆件的自重或略去不计，或平均分配到杆件两端的节点上。
图
3）平面桁架内力的计算方法
4.1-8所述。当需要计算桁架中所有杆件的内力时，可采用节点法；若
一般以截面法较为方便，但有时也可综合应用
在计算中，习惯将各杆件的内力假设为拉力。若所得结果为正
4.1-8 平面桁架内力计算方法
节点法 截面法
取节点为研究对象 将桁架沿某个面截成两
应用平面汇交力系平衡
应用平面任意力系平衡方程求解桁架内力
一般先要判断桁架中的零力杆（内力为零的杆件），对于表4.1-9
4.1-9桁架零力杆的判断
特点 条件 图示 判断
型节点 节点上连接两根
且只有两根
不共
节点上不受力 两杆全是零力杆 节点受一集
其方位
其中一根
件的轴线
杆件轴线不与力方位重合的杆件为零力杆
型节点 节点上连接三根
其中两根杆件
另一
节点上不受力 杆件轴线不与两根轴线共线杆件重合的杆件为零力杆
物体的重心
1）物体的重心是一确定的点，它与物体在空间的位置有关。
2）物体的重心坐标公式
）iiCii
i
xPxPyPyPzPz
或PCPCP
xdPxPydPyPzdPz
x、Cy、Cz表示物体重心C的坐标；P及dP表示各微小部分的重
x、iy、iz及x、y、z表示各微小部分重心所在位置的坐标；P表示物体
）当物体在同一近地表面时，其重心就是其质心，则质心坐标公式为
i
i
i
xmxMymyMzmz
或MCMC
xdmxMydmyMzdmz
x、Cy、Cz表示物体质心C的坐标；m及dm表示各微小部分的质
x、iy、iz及x、y、z表示各微小部分质心所在位置的坐标；M表示物体
）当物体在同一近地表面及均质时，其重心就是体积中心，则体积中心的
i
i
i
xVxVyVyVzVz
或VCVC
xdVxVydVyVzdVz
x、Cy、Cz表示物体体积中心C的坐标；V及dV表示各微小部分
x、iy、iz及x、y、z表示各微小部分体积中心所在位置的坐标；V表
当物体在同一近地表面、均质及等厚薄板时，其重心就是形心，则形心
i
i
i
xAxAyAyAzAz
或ACACA
xdAxAydAyAzdAz
x、Cy、Cz表示物体形心C的坐标；A及dA表示各微小部分的面
x、iy、iz及x、y、z表示各微小部分形心所在位置的坐标；A表示物体
．材料在拉伸、压缩时的力学性能
低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力-应变曲线；力学性能指标。
．拉伸和压缩
轴力和轴力图；杆件横截面和斜截面上的应力；强度条件；胡克定律；变形
要求：
引言
材料力学的任务
刚度和稳定性计算的学科。这些计算是工程师选
变形固体的基本假设
固体在外力作用下将发生变形，故称为变形固
杆件的主要几何特征
L远大于横向尺寸（高度和宽度）的构件。这是材料力学研究
轴向拉伸与压缩
5-1-1
5-1-1所示。
。
轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力
内力
截面法
任取一部分为研究对象，称为脱离体。用内力代替弃去部分对脱离
5-1-2所示。
5-1-2
轴力
其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以
F或N表示。轴力规定以拉力为正，压力为负。
轴力图
5-1-3。
轴向拉压杆横截面上的应力
为正应力。正应力在整个横截面上均
5-1-4所示，其表示为
FN
为横截面上的正应力，N/m2或Pa；
F为轴力，N；A为横截面面积，
2。
15图 415图
轴向拉压杆斜截面上的应力
5-1-5，其总应力及应力分量为
应力 cos
FpN
应力 2
coscosp
应力 2sin
sin0p
为由横截面外法线转至截面外法线的夹角，以逆时针转动为正；A为
m-m的截面积；
为横截面上的正应力。以拉应力为正，压应力为负。
0的横截面上，最小正应力发生在F 2F F FN x (+) (-) F PPPmm图5-1-4
的纵截面上，其值分别为
0max
45的斜截面上，最小切应力发生在0的横截面
的纵截面上，其值分别为
2
0max
5-1-5
材料的力学性能
低碳钢在拉抻时的力学性能
-应变曲线如图5-1-6所示。
5-1-6 低碳钢拉伸时的应力—应变曲线
5-1-1。
5-1-1
图5-1-6中线段 特征点 说明
Oab 比例极限p
p为应力与应变成正比的最高应力；
为不产生残余的最高应力
bc 屈服强度
s为应力变化不大而变形显
ce 抗拉强度
b为材料在断裂前所能承受
ef 产生颈缩现象到断裂
5-1-6中的
dd。
称为冷作硬化，如图5-1-6中曲线defd，在图5-1-6中，fo
d段表示经冷作硬化，再拉
5-1-2。
5-1-2 主要性能指标表
性能指标 说明
弹性模量Ｅ 当≤
时，E
屈服强度s 材料出现显著的塑性变形
材料的最大承载能力
延伸率%1001LLL 材料拉断时的变形程度
%1001
AA 材料的塑性变形程度
低碳钢的力学性能
5-1-7中实线所示。
、屈服强度e、弹性模量Ｅ与拉伸时基本相同，
。
铸铁拉伸时的力学性能
-应变曲线如图5-1-8所示。
o
5-1-7 低 碳钢压缩时
图5-1-8 铸铁拉伸时的应力—应变曲线b
拉断前的应变很小，实验时只能测到抗拉强
。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。
铸铁压缩时的力学性能
5-1-9所示。
4~5倍，破坏时破裂面与轴线成45~35
塑性材料和脆性材料
%5的材料称为脆性材料。
屈服强度
.0
0.2%的残余应变时所
.0表示，如图5-1-10所示。
5-1-10bo
5-1-9b%2.02
.0
强度条件
许用应力
sn
bn
为屈服强度；b为抗拉强度；ns、nb为安全系数。
强度条件
FmaxNmax
FmaxNmax
maxNA
AF
max，再根据平衡条件，由maxNF计算P。
轴向拉压杆的变形 胡克定律
轴向拉压杆的变形
5-1-11所示。
5-1-11
向变形 LLL
向线应变
L
向变形 aaa
向线应变
a
胡克定律
E为材料的弹性模量。
LFLN
EA为杆的抗拉(压)刚度，表示抗拉压弹性变形的能力。
泊松比
横向线应变与轴向线应变之比的绝对
是材料的弹性常数之一，无量纲。
剪切的概念及实用计算
剪切的概念
SF
5-2-1
剪切的力学模型如图5-2-1所示。
①受力特征：构件上受到一对大小相等、方向相反，作用线相距很近且与构
②变形特征：构件沿内力的分界面有发生相对错动的趋势。
F或Q表示。
剪切实用计算
名义切应力
A为剪切面面积，sF为剪力，则名
sAF
许用切应力
用实验的方法求得名义剪切极限应力，再除以安全因
n。
剪切条件
sAF
挤压的概念及实用计算
挤压的概念
F：承压接触面上的总压力。
挤压实用计算
名义挤压应力
bbsAF
A
为名义挤压面面积。当挤压面为平面时，则名义挤压面面积等于实际
当挤压面为曲面时，则名义挤压面面积各取为实际承压接触
5-2-2所示。
h2ht
5-2-2
LhA
bs
dtA
许用挤压应力
按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应力，再除以
挤压强度条件
bbsAF
切应力互等定理 剪切胡克定律
纯剪切
若单元体各个侧面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切。纯
，如图5-2-3所示。
：在切应力作用下，单元
，无量纲。在材料力学中规定以单元体
为正，反之为负。
切应力互等定理
5-2-3），即
剪切胡克定律
与剪应变成正比，即
G
G为剪切弹性模量。
E、G、间只有二个独立常数，它们之间的关系为
2EG
图5-2-3
扭转的概念
扭转的力学模型
5-3-1所示。
5-3-1 扭转的力学模型eMeM
杆两端受到一对力偶矩相等、转向相反、作用平面与杆件轴线
杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线
：杆件任意两横截面间相对转动的角度。
外力偶矩的计算
kW55.9rnNMe
Ps02.7rnNMe
N的单位为千瓦（kW）或公制马力（
P，smN5.735P1S）；
n的单位为转每分（r/min），Me的单位为kN·m。
扭矩和扭矩图
受扭杆件横截面上的内力，是一个横截面平面内的力偶，其力偶矩
T表示，见图5-3-2，其值用截面法求得。
T的正负号规定，以右手法则
表示扭矩矢量，当矢量的指
圆杆扭转时的切应力及强度条件
横截面上的切应力
切应力分布规律
其方向垂直于该点所在的半径，其值与该点到圆
5-3-3。
eMeMeM
M外法线外法线
5-3-2mmTeMTmax图5-3-3
切应力计算公式
的任一点的切应力
IT
pmaxWTRIT (5-3-4)
切应力计算公式的讨论
ax≤），小变形条件下的等截面实心或空心
T为所求截面上的扭矩。
Ｉ
称为极惯性矩，Ｗt称为抗扭截面系数，其值与截面尺寸有关。
5.3-4ddD)(a)(b
5-3-4(a)）
323t4PdWdI，
对于空心圆截面（图5-3-4(b)）
43441
132DWDItP，
d。
圆杆扭转时的强度条件
max
TW≤
截面设计和确定许可荷载三类问题
圆杆扭转时的扭转角计算及刚度条件
圆杆的扭转角计算
GITdxd
的单位为mrad
raddx
T
p
的单位为rad
LＬ内T、G、I
均为常量，则
GITL
GI表示圆杆抵抗扭转弹性
圆杆扭转时的刚度条件
m
M
T180maxmax
同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确定许可荷载三 类
1：某传动轴，承受mKNM
0.2外力偶作用，轴材料的许用切应力为
60，试分别按①横截面为实心圆截面，直径为d；②横截面为8.0的
D，内径为
d，确定轴的截面尺寸，并确定其重量比。
A）3.052.499.719.51
＝
空GGmmdmmDmmd
B）152.399.619.41
＝
空GGmmdmmDmmd
C）2567050
＝
空GGmmdmmDmmd
D）
.052.499.619.51
＝
空GGmmdmmDmmd
（D）
1）横截面为实心圆截面．设轴的直径为d，则
MTdW
3
Mde9.51109.51
80102.2161633633
2）横截面为空心圆截面，设横截面的外径为D，得
e
MDW
143
MDe9.61109.61
808.01102.2161163364334
3）重量比较，由于两根轴的材料和长度相同，其重量之比就等于两者的横
5.0
52.499.61
1d4G2222212dDAAG＝＝实空实空
2：某传动轴，转速n=300 r/min(转/分），轮1为主动轮，输入的功率P
=50
，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P
=10 kW，P3=P4=20 kW。
试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩。
若将轮1与论3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。
(1) 计算各传动轮传递的外力偶矩；
23495501591.7 318.3 636.7PMNmMNmMMNm
画出轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；
1273.4 TkNm
对调论1与轮3，扭矩图为；
955 TkNm
T(Nm) x (+) 636.7 955 636.(-) T(Nm) x (+) 318.3 1273.636.(-) 800 800 800 1 4 3 2 P4 P3 P2 P1
3：图示受扭圆杆，沿平面ABCD截取下半部分为研究对象，如图b所示。
ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？
ABCD上的切向内
力分布及其大小。该
在图b中，左右两个横截面上的水
ABCD的竖直向下的力偶矩，正好与截面ABCD
1、计算长为 l 的纵截面ABCD上切向内力的合力偶矩。
c所示，在纵截面上取一微面积dldA ，其上切向内力的合力即
TlddF
s
z轴的微力矩为
TlddFdM
sz2
z轴的合力偶矩为
RpzzITlRldITdMM322320，方向竖直向上。
、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩
d所示，微面积dddA上切向内力的水平分量为
d
TdddF
sinsin2
2
0s32sin2RITddITF
Rp
z轴的力偶矩为
2lRITlF
，竖直向下。
ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水
4：已知钻探机杆的外径D = 60 mm，内径d = 50 mm，功率P = 7.46 kW，
n =180 r/min，钻杆入土深度l = 40 m，G = 80 GPa，[τ]= 40 MPa。设土壤对
试求：(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；
作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；(3) 求A、B两截面的相对扭转角。
根据题意，此题为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用
1、求阻力矩集度M
N390
46.795499549
kWrnPT
mmN75.9
390lTM
、作扭矩图，进行强度校核
c所示。最大扭矩出现在A截面，所以A截面为危险截
7.17
5060
10303902412443maxmaxmmmNIDTP
、计算A、B两截面的相对扭转角
.8148.0210506010804039032241244900radmPammNlGITdxGIlxTGIMdxplplpAB
5：直径mmd25的钢圆杆，受轴向拉力kN60作用时，在标距为mm200的
mm113.0。当其承受一对扭转外力偶矩mkNM
2.0时，在标距
mm200的长度内相对扭转了732.0的角度。试求钢材的弹性常数E,G和。
E
ELALFEEALFLNN216
25113.01020010609233
②计算切变模量Ｇ，
由公式度180
epeGIlMradGIlM，求得
GPaPa
lMG
e6.81106.811800254.0
732.010200102.01809433
2EG计算泊松比
324.01
6.812102161299GE
6：图示圆轴，已知mkNM
4.1，mkNMB6.0，mkNMC8.0；
d40
，mmd702；ml2.01，ml4.02；MPa60，m1，
G80；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。
kN6.0mkN8.0
ABcBCMTMT
AB段内的扭矩最大，而BC段的直径小，因而不能直接确定最大切应
段
dMWTBt7.47
406001616333111
段
9.11
1070(80016163332222dMWTCt
/71.1180
401080600321801249
11PGIT
/24.0180
701080800321801249
22PGIT
/71.1
max
此轴不满足刚度条件。
⑤计算两端面的相对扭转角
AB、BC段上的扭矩和截面各自不变，要分别计算两段的相对扭转角，
(32
11422211122212dlTdlTGGIlTGIlTPPCB
.0180101)402.0600704.0800(10803212449CB
总扭转角为各段扭转角的代数和。各段的
阶梯状圆轴在两段连接处有应力集中现象，在以上计算中对此并未
7：图示圆截面轴，AB与BC段的直径分别为d
与d2，且d1=4d2/3，材料的
G。若扭力偶矩M=1 kNm，许用切应力[τ] =80 MPa，单位长度的许用扭转角
θ]=0.5 0/m，
G=80 GPa，
1）
试确定轴径；
2） 试求轴内的最大切应力与截面C的转角；
3） 若将BC段设计为空心的，内外径之比
1Dd，则BC段实心与空心
(1) 确定轴径
9.39108016101
1mm3.501080161012161226323321631331dddMdddMBCAB
8.615.0180
8032101180mm5.735.018010803210218024
9314193ddGITddGITBCBCBCABABAB
8.61mm5.73
1dd
34
1dd
8.61mm4.82
1dd
求轴内的最大切应力与截面C的转角
M l l M A C B
MPa
MWT
ABAB22.18
1231max
MPa
M
MWT
BCBC59.2116
13232max
MPa59.21
C截面的转角；
Ml
GMldGMlGIlTGIlTpBCBCpABABBCABC64
4
411042.16.16
13212
3）若将BC段设计为空心的，内外径之比
1Dd，则BC段截面尺寸
8.401080
16101
1643343DDDMBC
83.625.0180
1080321011804493DDGIT
BCBC
综合轴的强度和刚度条件，就取空心轴外径mm41.31mm83.62dD
③比较BC实心与空心的用材量之比
轴的材料、长度相同，则质量比等于轴的横截面面积之比
78.0
42222ddDQQBCBC＝实空
分析与讨论：
实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充
空心轴的材料分布离轴心愈远，其搞扭截面系数和极2M T x (+) M
还要注意加上成本和构造上的要
弯矩图的基本方法——列出剪力方程和弯矩方程，然后，
剪力、弯矩之间的微分关系及应用于检查剪力图、弯矩图
明确弯曲正应力公式的
弯曲内力
平面弯曲的概念
弯曲变形特征
平面弯曲
（外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面）与弯曲平面（即梁
5-5-1所示。
只要外力（横向力或外力偶）都作用在此纵对称面内。
纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面（即
平行的平面内；横力弯曲时，
梁横截面上的内力分量——剪力与弯矩
剪力与弯矩
F表示。
M表示。
dx，使右侧截面对左侧截面产生向下相
反之为负；使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之
5-5-2(b)所示。
pmm
SF
RSF
F
RMMMMSFSFSF)(a)(b
5-5-2
其数值等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在横截
图5-5-1
5-5-2(a)。
iRFs
其数值等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截
且向上外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶
5-5-2(a)
iCMM
剪力方程与弯矩方程
表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的函数，称为剪力
xFF
s
表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，称为弯矩
xMM
剪力图与弯矩图
表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的图线，称为剪力图。
表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯矩图。
荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用
q、
F、M间的微分关系
q(x)为截面位置x的连续函数，且规定以向上为正，则有
xq
xdFs
xF
xdMs
xq
xFdxxMds22
应用
5-5-1和式
表明剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点处的荷载集度，弯矩图上某
5-5-3的几何意义可根据M(x)对x二阶导数的正负，定出M(x)图的凸凹
若q(x)>0，则M图为上凸的曲线；若q(x)<0，则M图为下凹的曲线；若q(x)
0，则M图为直线。
5-5-1可得
dxxqxdFB
BAs
SASBFF
B上的剪力与截面A上的剪力之差等于梁上AB间荷载集度q(x)图的面
5-5-2可得
xFxdMB
sBA
ABMM
B上的弯矩与截面A上的弯矩之差等于梁上AB间剪力图的面积，但两
5-5-1、式5-5-2，根据梁上已知的荷载集度，判定剪力、弯矩图
凹向等；而由式5-5-4、式5-5-5或由截面法
iRFs，左（右）iCMM
特殊截面上的剪力、弯矩值
F图有突变，M图形成尖角。突变值等于集中
F图无变化，但M图有突变。其突变值等于该力偶
剪力与荷载间的关系以及剪力图的弯矩图的一些特征
5-5-1，以供参考。
5-5-1 几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
向下的均布荷载 无荷载 集中力 集中力偶
向下方倾斜的直线 水平直线，一般为 在C处有突变 在C处无变化
下凸的二次抛物线 一般为斜直线 在C处有尖角 在C处有突变
在0sF的截
在剪力变号的截面 在紧靠C点的某一侧的截面
弯曲正应力 qPCeM或或CPC或或eMC
弯曲正应力和正应力强度条件
纯弯曲
中性层与中性轴
当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过截
杆件发生平面弯曲时，中性层（或杆轴的曲率与弯矩间的
EIM1
为变形后中性层（或杆轴）的曲率半径；EI
为杆的抗弯刚度，轴z为
平面弯曲杆件横截面上的正应力
bx
zh
5-5-3
正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧
5-5-3。
一点应力 y
M
最大应力
zWMyIMmaxmax
M为所求截面的弯矩；I
截面对中性轴的惯性矩；Wz为抗弯截面系数。
yIWzz，它是一个只与横截面的开关和尺寸有关的几何量。对于矩形截
5-5-4（a））：
,2,122max3bhWhybhIzz
5-5-4（b））
,2,643max4dWdydIzz
d
z
y
5-5-4)(a)(b
横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横力弯曲时，
5hL，纯弯曲时的正应力公式仍适用。
梁的正应力强度条件
WMmaxmax
,max,ct，且材料的ct时，梁的拉伸与压缩强度均就得
弯曲切应力和切应力强度条件
矩形截面梁的切应力
①切应力方向与截面的侧边平行；②沿截面宽度切应力均匀分布
5-5-5）。
zsbISF*
F为横截面上的剪力；b为横截面的宽度；Iz为整个横截面对中性轴的惯
*
S为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。
Qbmax
z
5-5-5
FbhFss2323max
其它常用截面图形的最大切应力
字形截面
ISF
zs*max
d为腹板厚度；*
axzzSI可查型钢表。
形截面
Fs34max
形截面
Fs21max
切应力强度条件
ISF
zs*maxmax
axsF为全梁的最大剪力；*maxzS为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静
b为横截面在中性轴处的宽度；I
为整个横截面对中性轴的惯性矩。
梁的合理截面
WMmaxmax，可知，在截面积A一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数
AW
而言，对工字形、
t的塑性材料，般采用对称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最
t的脆性材料，一般采
T形、槽形等，使最大拉应力
ax,t和最大应力max,c
和c，如图5-5-6所示。
,tmax,cccmax,ttmax,cczz
(a)(b
5-5-6
弯曲中心的概念
梁分别在两个形心主惯性平面xy和xz内弯曲时，横截面
F，和sF作用线的交点，称为截面的弯曲中心，也称为剪切中心。
T形、L形等狭长矩形组成的截面，两个狭长矩
弯曲变形
梁的挠度与转角
挠曲线
梁的轴线由直线变为光滑的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为
挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线xf（见
5-5-7）。
挠度与转角
5-5-7
。沿
xf
横截面相对原来的位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作。
dtan
挠曲线近似策分方程
EIxMdxd22
5-5-15所示坐标系下建立的。挠度v向下为正，转角顺时针转为正。
积分法计算梁的位移
5-5-16，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，
EIxMdxd22
Cdx
xMdxdv
DxCdxdx
xM
C、D可由梁的边界条件确定。当梁的弯矩方程需分段列出时，挠
分段积分。于是全梁的积分常数数目将为分段数目
为了确定全部积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的
。
用叠加法求梁的位移
叠加原理
叠加原理的适用条件
要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须
叠加法的特征
转角等于单独作用下挠度转角的总和，应该是几