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概率论的基本概念经典习题-1

经典习题—古典概率部分

1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。 ⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-；

⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A

B P A P B ==+；

⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则

()()

()()()()(),()()

P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===，

[]()()

()()()1()()

P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-=

-，

[]()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-，

[]()

()()()1()()

P A P A B P A P B A P B A P A B =+-=

+。 ■

2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明: ⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。证明:由于0(),()1P A P B <<，故 ⑴.若()()P B A P B A =，则

()()()()

()()()()1()

P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-，故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立；

⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故

()()()

()()()()

P AB P A P B P B A P B P A P A =

≥=。

■

3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。证明:()()1()1()()()()P AB P A

B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=。

;

4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。

解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k

k n P A C αα-=-，故

00()()()(1)k k n k

k k n k k n

k n

P B P A P B A C

βαα-≤≤≤≤==

-∑

∑。

■

5、进行独立重复试验，直到事件A 发生为止，若每次试验中A 发生的概率都是()0P A α=>，求A 迟早要发生的概率。

解:用k A 表示在第k 次试验中事件A 发生，B 表示A 迟早要发生，则()0k P A α=>，故 112111()()(1)1k k k k k P B P A A A A αα--≤<+∞

≤<+∞

???=

-=∑

∑

，

只要试验中A 发生的概率()0P A α=>，则在独立重复试验中，A 迟早会发生。 ■ 6、把一个表面涂上颜色的正立方体锯成3

N m =个大小相同的小立方体，再将它们充分混合后，放回地随机取n 个，其中3,1m n ≥≥为自然数，求所取的n 个小立方体中，k 个面上有颜色的个数恰为,0,1,2,3k x k =的概率。

解: 以正方体的某一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体的棱长为0a >，则将其锯成3

N m =个大小相同的小立方体，就是沿三组平面:

,,,,,1,2,...,1x ia m y ja m z ka m i j k m ====-锯开，这样锯开后:

只有位于原来立方体顶点处的小立方体之三面有色(共有38m =个)，位于原来立方体棱上的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个，共有212(2)m m =-个)，位于原来立方体表面的小立方体之两

面有色(出去顶点处的8个及棱上2m 个，共有216(2)m m =-个)，其余3

0(2)m m =-个是表面无色

的，用i A 表示任取的一个小立方体是i 面有色的，则

332333(2),

06(2),1

()12(2),28,

i i i m m i m m i p P A m N m m i m i ?-=?

?-=?

===?

?-=?

?=?若若若若，

故所取的n 个小立方体中，k 个面上有颜色的个数恰为,0,1,2,3k x k =的概率为:

120121231232230123301230123!(2)32!

()!!!!!!!!

x x x x x x x x x x x x n n p p p p m n P B x x x x m x x x x +++++-==

?，其中01230,,,x x x x n ≤≤为整数，且0123x x x x n +++=。 ■ 7、某种商品的商标应为“MAXAM ”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“MAXAM ”的概率。

解:用ij A 表示脱落的字母为商标“MAXAM ”中第,i j 个字母(从左数起)，15i j ≤<≤，用B 表示将脱落的字母放回后仍为“MAXAM ”,则

2511

(),1510ij P A i j C =

=≤<≤，1,(,)(1,5)(2,4)()12,(,)(1,5),(2,4)ij i j P B A i j =?=?≠?

若或若，故 15

1113

()()()2180.6101025

ij ij i j P B P A P B A ≤<≤==?

?+??==∑。

■

8、设有4m ≥个人，,a b 是其中的两人，在下列情形下，分别求,a b 之间恰有k 人的概率: {

⑴. 4m ≥人排成一排；

⑵. 4m ≥人排成一圈。

解:用Ω表示试验的样本空间，k A 表示所求的事件，则问题是古典概率问题。

⑴. 若4m ≥人排成一排，则!m Ω=，而事件k A 发生当且仅当“a 排在第i 个位置，而b 排在第

(1)i k ++个位置”或“b 排在第i 个位置，而a 排在第(1)i k ++个位置”，1,2,...,1i m k =--，故2(1)(2)!k A m k m =---，从而,a b 之间恰有k 人的概率为:

2(1)(2)!2(1)

(),02!(1)

k k A m k m m k P A k m m m m -----=

==≤≤-Ω-； ⑵. 若4m ≥人排成一圈，则此时以a 所在的位置为第一位，按顺时针方向依次为第2,3,...,m 位，从而(1)!m Ω=-，而事件k A 发生当且仅当“以a 所在的位置为第一位，按顺时针方向计算，b 排在第(1)k +个位置，或b 排在第(1)m k -+个位置”，故

①．若213m n =+≥为奇数，则2(2)!2(21)!,0,1,...,1k A m n k n =-=-=-，故

2(2)!21

(),0,1,...,1(1)!1k k A m P A k n m m n

-=====-Ω--；

②．若223m n =+≥为偶数，则2(2)!2(2)!,0,1,...,1

(2)!(2)!,

k m n k n A m n k n -==-??=?-==??若若，故

2(2)!

22,0,1,...,1

(1)!121()(2)!11

,(1)!121k k m k n m m n A P A m k n

m m n -?===-?--+?

==?

Ω-?===?--+?

若若；；

上述①②还可以统一表示为:

[][]2(2)!2,

0,1,...,22

(1)!1()3(1)(2)!3(1),21

2(1)!2(1)k k m m

m k m m m A P A m k m m m -?==-?--?

==?

Ω-----??==-?--?

若若。 ■

9、从n 双不同尺码的鞋子中随机地取2m 只，求所取的鞋子中恰好有2k 只能配成k 双鞋的概率(其中

1m n ≤≤，且{}max 2,0m n k m -≤≤)。

解:用Ω表示试验的样本空间，A 表示所求事件，则很显然这是古典概率问题，且

22m n C Ω=，2221222222()()4k k m k m k k m k m k

n n k n n k A C C C C C C ------????==????，故

{}2222()4,max 0,2k m k m k m

n n k n P A A C C C m n k m ---=Ω=-≤≤。

■ 10、设有1m ≥个袋子，每个袋中装有1n ≥种颜色的球，其中第i 个袋中所含第j 种颜色的球数为

10,1,1,2,...,,1,2,...,ij ij j n

a a i m j n ≤≤≥≥==∑且，先随机地取一个袋子，再从所选的袋子中随机

地取一球，求所取的球是第j 种颜色的概率。

解:用i A 表示选袋子时，选到的是第i 个袋子，j B 表示最后取到的是第j 种颜色的球，并记

12i i i in N a a a =++???+，则1

(),(),1,2,...,,1,2,...,ij i j i i

a P A P B A i m j n m N ====，

在由全概率公式得111

()()(),1,2,...,ij j i j i i m i m i

a P B P A P B A j n m N ≤≤≤≤===∑∑。 ■ 11、工厂检查产品质量时，对每批产品进行放回抽样检查，如果在抽取到k 件时发现次品()k n ≤，则立即停止检查，并认为这批产品不合格；如果连续抽取的n 件都合格，则也停止检查，并认为这批产品合格。若某产品的次品率为01p <<，求这批产品抽检的样品数为k 的概率。

—

解:用k A 表示抽检的第k 件样品合格，X 表示这批产品抽检的样品数，则

121121121()(1),1,2,...,1()()(1),k k k n

n n n n P A A A A p p k n P X k P A A A A A A A A p k n

----????=-=-?

==?

????+???=-=?若若。

■

12、为了估计某湖中鱼的数量，捕捉了1000M =条鱼，给其做上标记后放回到湖中，再从中重新捕捉了150n =条鱼，结果发现有10m =是做了标记的，问湖中有多少条鱼的可能性最大

解:设湖中有N 条鱼，其中做了标记的有1000M =条，其余是未做标记的，则湖中重新捕捉的150n =条鱼中有10m =条做了标记的鱼的概率为:

()(),1140m n m M N M

C C f N P A N M n m C --==≥+-=，由于 11()()()115000(1)

()n m

n m

N M

N M n n

N N f N N n N M nM C C N C C f N N N M n m m

---

-----==≥??≤=---+，故114015000M n m N nM m =+-≤≤=时，()f N 是单调递增的，而15000N nM m ≥=时是单调递减的，从而()f N 的最大值点为15000N =，故湖中有15000条鱼的可能性最大。 ■ 13、设袋中有a 只白球，b 只黑球，现丢失一只球，但不知其颜色，为了确定其颜色，从袋中随机地取n 球，发现其中有k 只白球，其余为黑球，问丢失的那只球最有可能是什么颜色解:用A 表示丢失的那只球是白球，B 表示从袋中随机地取n 球，发现其中有k 只白球，则:

1111

11()()1()()()k n k k n k

k n k

a b

a b a b n

n k n k

a b a b a b C C P B A b a k C C C C k a b n C C P B A C C b n k a

-------+-+---===≥??+≤-+，￥

若()k a b n +≤，则丢失的最有可能是白球，否则，丢失的最有可能是黑球。 ■ 14、设n 人每人携带一件礼品参加聚会，聚会开始后，先把所有礼品编号，然后每人任抽一个号码，按号码领取礼品，求领到自己带来的礼品的人数X 之概率分布及其数字特征。

解:用k A 表示第k 人领到自己带来的礼品，则对任意的自然数1211k k n i i i n ≤≤≤<

12()!

()!

k i i i n k P A A A n -???=

，故 (

)

1212121

()()()()m

n m m m n n m m m n P X m C P A A A A A A C P A A A A A A ++++==??????=??????

()1212112212()()()()m n m m m m m m n C P A A A P A A A A A A A A A A A A ++=???-????????????????

120

0!()!()!(1)()(1)!()!!()!!

n m n m

k k

n n m

m k k k n n m n m k C

P A A A m n m k n m k n ---+==---=-???=-?---∑∑ 01(1)!!

n m k m k -=-=∑，0,1,2,...,m n =。特别1

01(1)1(1)lim ()lim ,0,1,2,...!!!!!k k n m n n k k e P X m m m k m k m --+∞→∞→∞==--=====∑∑(1Poisson λ=的分布)， 1101001(1)1(1)()()(1)!!!()!k k m

n m n n m m k m k m

E X mP X m m k m k m ----=====--====--∑∑∑∑∑ 11

00010

(1)!11(1)1(1)1!!()!!!k m n n n k n k m k m

m k m k k m k m k m k m k C C k m k m k k -------======-=?=-=+-=-∑∑∑∑∑∑，

}

()2202001(1)1(1)(1)(1)()(2)!!!()!k k m

n m

n n m m k m k m

E X X m m P X m m k m k m ----=====---=-===--∑∑∑∑∑

00010(1)!11(1)1(1)1!!()!!!k m n n n k n k m k m

m k m k k m k m k m k m k C C k m k m k k -------======-=?=-=+-=-∑∑∑∑∑∑，

()2()(1)()()1D X E X X E X EX =-+-=。 ■ 15、设袋子有2m ≥种不同颜色的球，其中第k 种颜色的球所占之比例为01k p <<，1,2,...,k m =，且

11k k m

p ≤≤=∑

，从袋中放回地随机取球，每次取一球，直到所有颜色的球都出现为止，用X 表示

试验结束时的取球次数，求X 的概率分布。

解:用()n A k 表示第n 次取到一只第k 种颜色的球，则事件“X n =”发生当且仅当存在1k m ≤≤，使之满足“第n 次取到的一只球是第k 种颜色的球，即()n A k 发生，且前(1)n -次取球时，其余(1)m -种颜色的球都至少取一次”，令121(,,,)0,,1,

1k m k i i

i m D X x x x x i k x n x n ≤≤??

==???=≠≤≤=-????

∑，则由全概率公式得:

()()12

1211

12(1)!()()(),!!!

m k

x x x n n k

m k m

k X D m n P X n P A k P X n A k p p p p n m x x x ≤≤=∈-==

?==???≥???∑∑∑

。■

16、某人有甲、乙两盒火柴，甲盒中有1m ≥根火柴，乙盒中有1n ≥根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒，取到甲、乙两盒的概率分别为,1αα-，然后再从中随机地取一根，求他首次拿到空的火柴盒时，另一盒中还有r 根的概率({}1min ,r m n ≤≤)。

解:用A 表示“他首次拿到的空火柴盒是甲盒”，B 表示“他首次拿到空的火柴盒时，另一盒中还有r 根火柴”，则他总共那了(1)m n r +-+次火柴盒，且最后一次取到的是空盒，而前()m n r +-次中，他拿过此盒火柴的次数=此盒火柴原有的火柴数，故由全概率公式得: ()()()()()()()(1)

(1)(1)m

n r

n m r

n m n r n m r P B P A P B A P A P B A C C ααααα

α--+-+-=+=-+-- 11(1)(1)m m n r n m r

n m n r m n r C C ααα

α+--++-+-=-+-。 ■ 】

17、甲、乙两人各出0a >元赌博，每一赌局甲方获胜的概率为01p <<，乙方获胜的概率为

1q p =-(没有平局)，约定赌博进行到其中一人先胜满一定局数时结束，且先胜满规定局数者将赢

得所有赌资，由于某种原因，赌博中途停止，这时甲需再胜m 局才能赢得所有赌资，而乙需再胜n 局才能赢得所有赌资，其中,1m n ≥，问应该如何分配2a 元的赌资才算公平

解:很显然，平分赌资、某人独得所有赌资或按甲、乙所胜局数的比例:m n 分配赌资，都不能使两人都满意，因此公平的分配方案应在假设游戏能进行下去的情况下，按他们二人分别获得全局优胜的概

率之比来分配赌资，只有这样，才能使两人都无话可说。用A 表示“在游戏能进行下去的假设下，甲赢得所有赌资(即甲方先赢了m 局)”，则A 发生等价于“在未来的()m k +局中，前面(1)m k +-局中乙胜了k 局，甲胜了(1)m -局，且甲胜了第()m k +局，其中01k n ≤≤-”，故 1101

()(1)m m k

m k k n P A C p p -+-≤≤-=

-∑

，1101

()(1)n k n

n k k m P A C p p -+-≤≤-=

-∑

，

从而甲、乙两人赢得的赌资数额为122()(),2()()y aP A y aP A ==元元。 ■ 18、设有2m 个人(编号分别为1,2,...,2,3m

m ≥)参加乒乓球比赛，第一轮比赛时，将2m 个人随机地两两配对，输者被淘汰掉，赢者再随机地两两配对进行第二轮比赛，如此类似进行后面的各轮比赛，直到经过m 轮比赛后，只剩一名整场比赛的优胜者为止。假设每个人在各场比赛中获胜的可能性都相同，求

⑴．第i 人能进入第k 轮比赛的概率； ⑵．第,i j 在第k 轮比赛中相遇的概率；

⑶．第i 人为整场比赛的优胜者的概率。 ■ 19、设每个人出生于一年365N =(只考虑平年)天中任何一天的可能性都相同，现随机地选取n 个人，其中10n N k n ≤≤≤≤且，求所取的n 个人中至少有两人同生日的概率。

解:A 表示n 个人中至少有两人同生日，则由于每个人出生于一年365N =(只考虑平年)天中任何一天的可能性都相同，故n 个人的不同排列就是从1,2,...,N 可重复地选取n 个数组成的全排列，这样的

排列共有365n n

N Ω==个，而(1)(1)!n

N A N N N n C n =-???-+=?，故

[

365!!

()1()111,2365

n n

N n n

C n C n P A P A A n N ??=-=-Ω=-=-≥，经过计算可得下表:

20、两人玩游戏，第一人写好一个数01或，第二人猜测第一人所写的数字，假设第一人后一次写01或与前面所写的数字独立，且每次写0的概率为p ，写1的概率为(1)p -，问第二人应采用何策略，即他应以怎样的概率说出每个数字，才能使其猜中的次数最多

解:用,k k A A 分别表示第一人在第k 次写的数字为0、1，,k k B B 分别表示第二人在第k 次猜的数字为

0、1，则,k k A B 独立，再设第二人采用的策略为(),()1k k P B q P B q ==-，则第k 次猜对的概率

为()()()()(1)(1)k k k k k f q P C P A B P A B pq p q ==+=+--，它是q 的线性函数，其最大值点为:

1,12

0,12

p q p ≥??=?≤??若若，即12p ≥时，第二人应每次说出0，否则每次说出1。 ■

21、将有一枚匀质的骰子连掷若干次，用k A 表示“所掷6k 次中至少出现k 个6点”，求()k k p P A =，其中1,2,3k =。

解:每次抛掷骰子时，出现6点的概率都是16α=，故“所掷6k 次中至少出现k 个6点”的概率为:

661112601

1618

1(56)0.665102023,1

()1(16)(56)

117560.618667373,21268560.597345686,3i i k i

k k k i k k p P A C k k --≤≤--?-==??

==-

=-??==??

?-??==?

∑

若若若。

■ 22、设甲袋中有m 只黑球、1只白球，乙袋中有(1)m +只黑球，其中1m ≥为自然数，现从甲、乙两袋中随机地各取一球，交换后放回袋中，即把甲袋中取到的球放入乙袋，而把乙袋中取到的球放入甲袋，然后按同样的规则继续交换，求经过n 次交换后白球仍在甲袋中的概率。解:令k A 表示经过n 次交换后白球仍在甲袋中, k A 表示经过n 次交换后白球在乙袋中，则

00()1p P A ==，且由全概率公式得:

1111111

()()()()()(1)

n n n n n n n n n n m p P A P A P A A P A P A A p p m m ------==+=+-++ 2

2111111()111111n n m m m p p m m m m m m -----=+=+?+=???++++++101111111()()1()111121n n n m m m m p m m m m m -----????=++???++=+????+++++????

， 111lim lim ()lim 1()212

n n n n n n m p P A m →∞

→∞

→∞-?

?==

+=??+??。

■

23、设袋中有a 只白球，b 只黑球，每次从袋中取出一球(取出的球不放回)，往袋中另放一球，放入的

球之颜色按如下规则，再从袋中取下一个球，求经过n 次取放后，从袋中取一球为白球的概率:

⑴．放入的球为白球、黑球之概率依次为α、(1)α-，01α≤≤；

⑵．放入的球与取出的球异色、同色(仍为黑白两色之一)之概率依次为β、(1)β-，01β≤≤。解:用n a 表示“经过n 次取放后，袋中的白球数”，11,n n A A ++分别表示“经过n 次取放后，再从袋中取一球为白球、黑球，即第(1)n +次取球时取到白球、黑球”，则

1111(),()1n n n n n n a a

p P A q P A a b a b

++++==

==-++。

⑴．若放入的球为白球、黑球之概率依次为α、(1)α-，用,n n B B 分别表示“第n 次放入的是白、黑球”，则由全概率公式得

1111()()()()()n n n n n n n n n n n n p P A P A B P A A B P A B P A A B ++++==+ 11()()()()n n n n n n n n n n P A B P A A B P A B P A A B ++++

11(1)(1)(1)(1)n n n n n

n n n a a a a

p p p p a b a b a b a b

αααα+-=+-+-+--++++ []11

(1)(1)(1)()(1)()n n n n n n n p p p p p p p a b a b

αααα=+--+-+

+--++ /

1111(1)1(1)(1)n n p p a b a b a b a b a b

αα-??=-+=+-+-=?????+++++??

111111(1)(1)(1)n n

p a b a b a b a b

α-?

+-+???+-+-??++++?? 1111(1)(1)()(1)n n n a a a b a b a b a b a b ααα?

?=--+-=+--??+++++??

；

⑵．若放入的球与取出的球异色、同色(仍为黑白两色之一)之概率依次为β、(1)β-，用,n n C C 分别表示“第n 次放入的与取出的球异、同色”，则由全概率公式得 1111()()()()()n n n n n n n n n n n n p P A P A C P A A C P A C P A A C ++++==+ 11()()()()n n n n n n n n n n P A C P A A C P A C P A A C ++++

11(1)(1)(1)(1)n n n n n

n n n a a a a

p p p p a b a b a b a b

ββββ+-=-+-++--++++ []11

(1)(1)(1)(1)()()n n n n n n n p p p p p p p a b a b

ββββ=-+--+-++-++ 2

1222(1)1(1)(1)n n p p a b a b a b a b a b βββββ-??=-+=+-+-=?????+++++??

112221(1)(1)(1)n n

p a b a b a b a b

ββββ-?

+-+???+-+-??++++?? "

1221121(1)(1)()(1)222n n n a a b a b a b a b a b a b βββ-??=

--+-=+-??+++++??

。

■

24、设甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有b 只白球，只a 黑球，先从甲袋中取一球，若得白球，下次则以概率α从甲袋中取一球、以概率(1)α-从乙袋中取一球；若得黑球，下次则以概率(1)

α-

从甲袋中取一球、以概率α从乙袋中取一球。

解:用,n n A A 分别表示“第n 次取到的球为白球、黑球”，,n n B B 分别表示“第n 次从甲、乙取球”,则

1111(),()1,()1,()n n n n n n n n P B A P B A P B A P B A αααα----==-=-=，

11()()()n n n n n n n n a

P A B A P A B A P A B a b --===+， 11()()()n n n n n n n n b

P A B A P A B A P A B a b

--===+，故由全概率公式得

111111()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n p P A P A P B A P A B A P A P B A P A B A ------==+

111111()()()()()()n n n n n n n n n n n n P A P B A P A B A P A P B A P A B A ------++

1(1)(21)n a b a b p a b a b αα

α---+=-+

++ 22

12(1)(21)

1(21)(21)()n n a b a b a b a b p p a b a b

a b a b αα

ααα----+--??=-++-+-=?????++++?

? 》

211(1)(1),(21)

n n a b a b

r r r p r a b a b ααα---+-=

++???++=-++其中 111(21)()22n n a b a b α--=+-+。

■

25、设甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有b 只白球，只a 黑球，从两袋中各取一球交换放入另

一袋中，则经过n 次交换后，从甲袋中再取一球为白球的概率为

解:用,n n A A 分别表示“经过(1)n -次交换后，第n 次从甲袋中再取一球为白球、黑球”，,n n B B 分别表示“经过(1)n -次交换后，第n 次从乙袋中再取一球为白球、黑球”，而n a 分别表示“经过(1)n -次交换后，甲袋中的白球数(即乙袋中的黑球数)”，则

()(),()()1n n n n n n a a

P A P B P A P B a b a b

==-++，,n n A B 独立， 111111(),(),()()n n n n n n n n n n n n n n n a a a

P A A B P A A B P A A B P A A B a b a b a b

+++++-=

===+++，故由全概率公式得

1111()()()()()n n n n n n n n n n n n p P A P A B P A A B P A B P A A B ++++==+ 11()()()()n n n n n n n n n n P A B P A A B P A B P A A B ++++

11(1)(1)(1)()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b +-??=

-+-+-+??+++++++++??

112(1)()(1)()n n n n n n

p p p p p p a b a b

=-++

-+-++ 2

121122(1)1(1)(1)n n p p a b a b a b a b a b -??=-+=+-+-=?????+++++??

1112221(1)(1)(1)n n

p a b a b a b a b

-??=

+-+???+-+-??++++?? 12112n

a b a b a b ??-??=+-?? ?++????

??。

■

26、设在(]0,t 内电话用户向总机来k 次呼叫的概率为()k p t ，且在不交叠的时段内是否来呼叫、来多少次都互不相关，而0t ??>，在(],t t t +?内来一次呼叫的概率为()t o t λ?+?，来两次及两次以上的概率为()o t ?，求()k p t 。

解:用()X t 表示在(]0,t 内电话用户向总机的呼叫次数，则由全概率公式得 ()()(]()0

()()(),()k

k i p t t P X t t k P X t k i P t t t i X t k i =+?=+?==

=-+?=-∑在内来次呼叫

(]()[][]10

(),()1()()()()

k i k k i p t P t t t i p t t o t p t t o t o t λλ--==+?=-?+?+?+?+?∑在内来次呼叫 []1()()()()k k k p t p t p t t o t λ-=+-?+?，

[][]110

0()()()()lim lim ()()()()k k k

k k k k t t p t t p t o t p t p t p t p t p t t t λλ--?→?→+?-??

?'==-+=-??????

，故()k p t 满足如下方程:

}

1()()()0:()1(0)0(1)

k k k p t p t p t t p t k k λλ-'+=???

===≥??若或若，0,1,2,...k =，解之

得

()(),0,0,1,2,...

k t

k t p t e t k k λλ-=>=。

■

27、随机游动:设一个质点在直线上运动，在任意时刻n 所处位置n X 的可能为0,1,...,m 之一，且 ⑴．初始位置的概率分布为00()(),0,1,...,P X i p i i m ===；

⑵．状态转移概率:0,0,1,...,n i j m ?≥=及，有

1,011

,00,1,...,(),110,

i i ij n n i j i m j i m q P X j X i j i m j i αγβ-≤=-≤-???≤==?

====?

≤=+≤???-≥?若若若若，其中1,

01,111,

i i i i i i i m i m βγαβα-=???

=--≤≤-??

-=??若若若，

而00,1,0,1,1,2,...,12m i i i i i m m αβαβαβ≤<<<+≤=-≥及均为常数；

求该质点任意时刻n 所处位置n X 的概率分布()()n n p i P X i ==及其平稳分布lim ()i n n p i μ→∞

=。

解:由题设知该质点运动的状态转移概率矩阵为:

()

001

1122233(1)(1)

332221110000000

000000000

000

000000000000000000000

00ij

m m m m m m m m m m m

m Q q γβαγβαγβαγγβαγβαγβαγ+?+--------??

???????

?????==?

??????

，，

且瞬时概率分布()(0),(1),...,()n n n n P p p p m =及其平稳分布()01,,...,lim m n n P

μμμμ→∞

==满足状态转移方程及平稳方程:10,0,1,...n

n n P P Q P Q n -===，00,1i

i m

Q μμμ

≤≤=≥=∑且

，即

0001111111111001(1),01(1),111(1)1

i i i i i i i i i i i i i

m m m m m i m m i m i m μβμαμβμαμμβμαβμαμμμβμαμμμμ++--++--≤≤=-+??

=≤≤-??=+--+≤≤-??

????

==+-????

?++???+=?∑。 ⑴．若00,10,1,1,2,...,1m i i i i i m αβαβαβ<<<<+≤=-且，则平稳分布()01,,...,m μμμμ=为:

12112001011121211201

10010111(1),0(1),1m m i i

m i m i i m ααααααββββββμαααααααααβββββββββ---????

+++???+=?????

=????????+++???+≤≤????????若若；

⑵．若0010,1,1,2,...,1m i i i i i m βααβαβ=<<<<+≤=-且，则平稳分布()01,,...,m μμμμ=为:

1,0

0,1i i i m

μ=??=?≤≤??若若，即()1,0,...,0μ=，这时0X =为唯一的吸收壁；

⑶．若0010,1,1,2,...,1m i i i i i m αβαβαβ=<<<<+≤=-且，则平稳分布()01,,...,m μμμμ=为:

0,01

1,i i m i m

μ≤≤-??=?=??若若，即()0,0,...,1μ=，这时X m =为唯一的吸收壁；

⑷．若000,1,1,2,...,1m i i i i i m αβαβαβ==<<+≤=-且，则平稳分布()01,,...,m μμμμ=为:

,00,111,i i i m i m

λμλ=???

=≤≤-??-=??若若若，即(),0,...,1μλλ=-，其中01λ≤≤，这时0X =与X m =为两

个吸收壁。

■

、

⑷．若2m =，且100101Q αα

βαα-?? ?

=- ? ?-??，其中01,01αβ≤≤<<均为常数，则Q 可对角化: 1(1)1

0011101010(1)01110

011Q βαβαβααααβααββ---??????

???=---++ ?????+ ?????---??????

，这时，由状态转移方程10,0,1,...n

n n P P Q P Q n -===得n 时刻的瞬时概率分布n P :

0111110111(0)(1)()(1)()()(1)()()

(2)(1)(1)()(1)(1)()()n n n n

n n n

p p p p p p p p p p p p p βαββαβαααααααβαββαβααα?=+++---+--??=++--??

?=--++----+--?，当且仅当01α<<时，存在极限分布1lim (

,,)111n n P βαβ

μααα

→∞

-==+++。 28、设甲袋中有m 只黑球，乙袋中有n 只白球，其中2n m ≥≥为自然数，现从甲、乙两袋中随机地各取一球，交换后放回袋中，即把甲袋中取到的球放入乙袋，而把乙袋中取到的球放入甲袋，然后按同样的规则继续交换，用n X 表示经过n 次交换后，甲袋中的白球数，求

⑴．n X 的分布； ⑵．n X 在n →+∞时的极限分布。解⑴．n X 的分布: 0,i j m ?≤≤，有

011(2)1,1()()(),110,

i i i i ij k k i i j i m mn i m n i j i m mn q P X j X i m i n i j i m mn ααβγβ-?=≤=-≤-??

?+-?=--=≤=≤?====??

--?=≤=+≤??

??若若若其它，令()(0),(1),...,()k k k k P P X P X P X m ====，由全概率公式得:

1110

()()()()m m

k k k k ij k i i P X j P X i P X j X i q P X i ---=========∑∑，

写成矩阵表示即22

120,1,2,...,k k k P P Q P Q P Q k n --===???==，其中()

(1)(1)

m m Q q +?+=与13题

的Q 形式完全相同，而()0000(0),(1),...,()(1,0,...0,0)P P X P X P X m =====； ⑵．由13题的结论知n →+∞时，极限分布()01lim ,,...,n m n P μμμμ→∞

==为:

011012,0,1,2,...,k m k k m k m

k k n m n m m n k

p C C C C k m

βββμααα---+???====???。

■

29、设袋子中有2m ≥个黑球，无白球，每次从中不放回地取一球，若取到黑球，则往袋中放一白球，若取到白球，则往袋中放一黑球，用n X 表示经过n 次取球后袋中的白球数，求其分布。解:由题设知n X 的可能取值为0,1,...,m ，且0,i j m ?≤≤及1n ≥，有

011()(1),110,

ij n n i m j i m q P X j X i i m j i m -≤=-≤-???

====-≤=+≤??

??若若其它，

记()0000(0),(1),...,()(1

,0,0,...,0)P P X P X P X m =====， ()(0),(1),...,()n n n n P P X P X P X m ====，1n ≥，则10n n

n P P Q P Q -==，其中()

(1)(1)

m m Q q +?+=与13题的Q 形式完全相同，(),0,1,2,...,1i m i m i m i m βα-==-=-，

而其极限分布()01lim ,,...,n m n P μμμμ→∞

==为0121

1111(

)i i m m

m m m m

C C C C C μ=

+++???+。 ■—

第一章概率论的基本概念练习题

第一章概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：（1）Φ=AB ，（2）B A ?，（3） 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ，161 )()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；

概率论与数理统计总复习公式概念定理

概率论与数理统计总复习第一章概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω- 差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件切记： ()A B AB A AB A B B -==-=-U 2. 概率的性质单调性：若 B A ?，则 )()()(A P B P A B P -=- 加法定理：)()()() (AB P B P A P B A P -+=Y )()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y )()()(ABC P CA P BC P +-- 例1 设 ,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ??=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。解：()()()P A C P A P AC -=- ()()P A P C =- （AC C =Q ）故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-= 由此 ()()()P AB C P AB P ABC -= - ()()P AB P C =- （ABC C =Q ） 0.50.30.2=-=

注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。 3. 条件概率与三个重要公式乘法公式全概率公式 1()()(/)n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球 ∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式其中故 ; )/()()(A B P A P AB P =()(/) (/)() i i i P B P A B P B A P A = 2 ()()(|) k k k P B P A P B A ==∑201102 244224012222 666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002 334242012222 666631 (|)(|)(|)151515 C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4 ()0.16 25 P B ==

第一章概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念一、随机事件其运算 1．随机试验、样本点和样本空间 (1)随机试验随机试验具有如下特点的试验． 1、在相同的条件下，试验可以重复进行． 2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个． 3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω．随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等．随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生．只包含一个样本点的事件称为基本事件．在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件．在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件． 3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ?．B A ??A ∈?ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系设A ,B 为二事件，若B A ?并且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2． (3)事件的并设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3． (4)事件的交设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差设A ,B 为二事件，称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A ?．B A ? }|{B A ?∈=ωωω且．见图1—5． (6)互不相容关系

第1章概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念教学内容： 1.随机试验 2.样本空间、随机事件 3.频率与概率 4.等可能概率（古典概率） 5.条件概率 6.独立性教学目标： 1.了解样本空间、随机事件的概念, 理解事件之间的关系与运算； 2.了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率, 几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算； 3.理解条件概率的概念, 掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵； 4.理解事件独立性的概念, 掌握贝努里概型并会应用它进行概率计算. 教学重点：事件之间的关系与运算、古典概率、几何概率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。

教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。教学方法：讲授法、演示法、练习法。教学手段：多媒体+板书。课时安排：10课时。教学过程：

§1.1 随机实验一、概率论的诞生及应用 1654年, 法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(c a<), 另一赌徒胜b局(c b<)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望. 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 二、随机现象 1.确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。 2.统计规律性在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。 3.随机现象这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果有具有统计规律性的现象称为随机现象。简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为: 1、2、3、4、5、6等注：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用函数加以描述；

第一章概率论的基本概念习题答案

第三章多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?

11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.

第一章概率论的基本概念重点和难点

第一章概率论的基本概念一、重点、难点概要复述随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。 1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________. 2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为 ________________. 3．设为随机事件，则。 A．B． C．D． 4. 设为随机事件，则。 A． B． C． D． 5.设事件满足，则 _______. 6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是 ____________. 7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________. 8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______. 9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________. 10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为 ___________。若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率

为__________. 二、常见问题及解法 (一) 随机事件的表示： 1．随机事件的表示：设为随机事件，则 i）同时发生可表示为； ii）至少有一个发生可表示为； iii）发生但不发生可表示为（二）随机事件概率的求法 1．利用加法公式： 2. 应用乘法公式：，其中. ，其中。注：若，则由乘法公式可得从而，也即与可以相互转换。又因；故，可相互转换。 3. 在古典概型中求事件的概率： 4. 在几何概型中求事件概率： 5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的概率为，则事件恰发生次的概率为：，。 6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事件，则（i）全概公式: （ii）逆概公式：，其中。（三）事件独立性的判断 1. 根据实际问题直观判断 2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。三、拓展练习 1.设事件满足求 2.设事件满足，已知，求。 3．设事件满足，，，求至少有一个发生的概率为。 4. 设事件满足则有（A）（B）（C）（D） 5. 设事件满足则

概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念第一节随机事件、频率与概率一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握概率的基本性质及其运算二、教学重点：概率的概念三、教学难点：事件关系的分析与运算四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质五、小结：六、布置作业：标准化作业第一章题目第二节古典概型、条件概率一、教学目的：通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题．二、教学重点：古典概率、条件概率计算三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一）五、小结：六、布置作业：标准化作业第一章题目第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公

式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算．二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用三、教学难点：应用公式分析与建模四、教学内容：１.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性五、小结：六、布置作业：标准化作业第一章题目第四节习题课一、教学目的：通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力．二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算五、讲练习题第二章随机变量及其分布第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布一、教学目的：通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布．

概率论与数理统计习题集及答案89892汇编

第1章概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案 §1 .8. 1：用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 424222p p p p p -=-+= 2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章随机变量及其分布 §2.2 10-分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X 有分布律： X 2 3 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 §2.3 贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ §2.6 均匀分布和指数分布 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (1)确定c ，使得 P(X>c) = P(X

第一章概率论的基本概念

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则（） A ．()P A B =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P AB P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B = B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（） A ．()A B B A -= B ．()A B B A -? C ．()A B B A -? D ．()A B B A -= 8．设事件A 与B 互不相容，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件

概率论的基本概念经典习题-1

经典习题—古典概率部分 1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。 ⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-U ； ⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+U ； ⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则 ()() ()()()()(),()() P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===， []()() ()()()1()() P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-= -， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-， []() ()()()1()() P A P A B P A P B A P B A P A B =+-= +U 。 ■ 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明: ⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。证明:由于0(),()1P A P B <<，故 ⑴.若()()P B A P B A =，则 ()()()() ()()()()1() P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-，故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故 ()()() ()()()() P AB P A P B P B A P B P A P A = ≥=。 ■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=U U 。 4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故

概率论的基本概念

概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.随机现象在一定条件下具有多个可能的结果，个别几次观察中结果呈现出随机性（不确定性），在大量重复观察中结果又呈现出固有的客观规律性的自然现象称为随机现象. 随机现象的三大特点：（1）在一定条件下具有多个可能的结果，所有可能的结果已知；（2）在一次观察中，结果呈现出随机性，不能确定哪一个结果将会出现；（3）在大量的重复观察（相同条件下的观察）中，结果的出现又呈现出固有的客观规律性. 2.随机试验具有以下几个特点的实验称为随机实验，常用E 来表示 1）可以在相同的条件下重复进行； 2）试验的结果不止一个，并且能事先明确试验所有可能的结果； 3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 注：随机试验即可在相同条件下重复进行的针对随机现象的试验.

1.2 样本空间与随机事件 1. 样本空间与随机事件的概念 1) 样本空间随机试验E的所有可能结果E的样本空间，记为S. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点. 样本空间依据样本点数可分为以下三类（1）有限样本空间：样本空间中样本点数是有限的；（2）无限可列样本空间：样本空间中具有可列无穷多个样本点；（3）无限不可列样本空间：样本空间中具有不可列无穷多个样本点. 2) 随机事件一般，称随机试验E的样本空间S的任何一个子集为E的随机事件，简称为事件. 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生. 注：（1）：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生；（2）：由一个样本点构成的单点集，称为基本事件；（3）：样本空间S是必然事件，空集是不可能事件，它们两个发生与否不具有随机性，为了方便将它们两个也称为随机事件。

概率论的基本概念经典习题-1

经典习题—古典概率部分 1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。 ⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-； ⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+； ⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则 ()() ()()()()(),()() P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===， []()() ()()()1()() P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-= -， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-， []() ()()()1()() P A P A B P A P B A P B A P A B =+-= +。 ■ , 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明: ⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。证明:由于0(),()1P A P B <<，故 ⑴.若()()P B A P B A =，则 ()()()() ()()()()1() P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-，故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故 ()()() ()()()() P AB P A P B P B A P B P A P A = ≥=。 ■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=。 ; 4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故

概率统计作业解答

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《概率论与数理统计》作业解答第一章概率论的基本概念习题（P24-28） 1. 写出下列随机试验的样本空间S ： (1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. (3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果. (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 分析要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果. 解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数. 设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ??==??????? . (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =???. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为： (5) 所求样本空间为：{} 22(,):1S x y x y =+< 2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生.

概率论和数理统计知识点与练习题集

第一章概率论的基本概念 §概率的定义一、概率的性质（1）1 P. ≤A ) ( 0≤ （2）0 ) P，1 φ (= P. S ) (= （3）()()()() P A B P A P B P AB. ?=+- （4）) A P- =. P (A ( 1 ) （5）) P A B B A = P P- -.特别地，若A = ( ) ( ) ( P (AB ) A B?，-，) = P- ( ) B P A P≥. (A ( B ( ) ) ) P A P (B 例设,A B为随机事件, ()0.4,()0.3 P A B ?= P A P B A，则()_____. =-= 解：,3.0 A P B B P()()()()0.7 P A B P A P B P AB ?=+-= P -AB ( ) ( ) (= = - )

§ 条件概率一、条件概率定义设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，称)|(A B P = ) () (A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。二、全概率公式全概率公式：12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，且满足：（1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则对S 中的任意一个事件B 都有 ) ()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=

例设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为20 1 ,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率解以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是： ;20 19 )|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321====== A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式，有： 112233()(|)()(|)()(|)() =++P B P B A P A P B A P A P B A P A 92.010 2 20191031514105109=?+?+?= 三、贝叶斯公式设B 是样本空间S 的一个事件，12,,,n A A A 为S 的一个事件组，且满足：（1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则 ) ()()()()()()() ()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++= = 这个公式称为贝叶斯公式。例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，

第一章概率论的基本概念

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是：（） A．AB AC +B．() + A B C C．ABC D．A B C ++ 2．设B A ?则（） A．() =1-P（A）B．()()() P A B -=- P B A P B A C．P(B|A) = P(B) D．(|)() P A B P A = 3．设A、B是两个事件，P（A）> 0，P（B）> 0,当下面的条件（）成立时，A与B一定独立 A．()()() = B．P（A|B）=0 P A B P A P B C．P（A|B）= P（B）D．P（A|B）= () P A 4．设P（A）= a，P（B）= b, P（A+B）= c, 则() P A B为：（）A．a-b B．c-b C．a(1-b) D．b-a 5．设事件A与B的概率大于零，且A与B为对立事件，则不成立的是（）A．A与B互不相容B．A与B相互独立 C．A与B互不独立D．A与B互不相容 6．设A与B为两个事件，P（A）≠P（B）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（）A．P（A|B）=1 B．P(B|A)=1 C．(|A)1 p B= p B=D．(A|)1 7．设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A．() -? A B B A -= A B B A B．() C．() A B B A -= D．() A B B A -? 8．设事件A与B互不相容，则有（） A．P（AB）=p（A）P（B）B．P（AB）=0 C．A与B互不相容D．A+B是必然事件

9．设事件A 与B 独立，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （AB ）=0 D ．P （A+B ）=1 10．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （A|B ）=P （A ） D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ） 11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则（） A ．A 与 B 互斥 B ．AB 是不可能事件 C ．P （A ）=0或P （B ）=0 D ．AB 未必是不可能事件 12．若事件A 、B 满足A B ?，则（） A ．A 与 B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生 C ．B 发生时则A 必发生 D ．A 不发生则B 总不发生 13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于（） A ． ()()P B P AB - B ．()()()P A P B P AB -+ C ．()()P A P AB - D ．()()()P A P B P AB -- 14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示（） A ．A 、 B 、 C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个 C ．A 、B 、C 至多发生两个 D ．A 、B 、C 至多发生一个 15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 相互对立 D ．A 与B 互不独立 16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则P A B C -= （）（）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.3 17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为（） A ．1/2 B ．1/3 C ．1/4 D ．3/4 18．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（） A ．121p p -- B ．121p p - C ．12121p p p p --+ D ．122p p -- 19．每次试验的成功率为)10(<

西财期末概率论1(有答案)

概率统计（1）附“标准正态分布函数值”：(2.0)0.9772, (3.08)0.999, (0.5)0.6915Φ=Φ=Φ= 一．填空题：(共 8小题，每小题 3分，共24 分) 1．设()0.5,()0.7P B P A B == ，则()P A B = . 2. 已知随机变量X 服从正态分布N （1，2），F(x )为其分布函数，则)(x F '= . 3 若随机变量X 的概率密度为2 4 ()x X p x -= ，则2()E X = . 4设随机变量X 概率密度为2100 , 100()0, 100x p x x x ?>? =??≤? ，以Y 表示对X 的四次独立重复观察中事件{X ≤200}出现的次数，则P{Y=2}= . 5.若二维随机变量（X,Y ）在区域{(,)/01,01}D x y x y =<<<<内服从均匀分布，则 1()2 P X Y X ≥ >= . 6．若随机变量X 与Y 相互独立，且()()1,9,2,4X N Y N 服从正态分布服从正态分布，则2X Y -服从________分布. 7．设随机变量X 与Y 相互独立且均服从二项分布B(10, 0.2), 则由切贝雪夫不等式有{2}P X Y -≤( ) 8. 设~(0,4)X N ,~(1,5)Y N ，且X 与Y 相互独立，则Z X Y =-的分布函数()z F z =（）。。二．选择题：(共小6题，每小题 2分，共12 分) 1．若当事件A 与B 同时发生时，事件C 一定发生，则（）. ()()()() 1 ()()()()1()()() ()()() a P C P A P B b P C P A P B c P C P AB d P C P A B ≤+-≥+-== 2．设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（） (a ) 5 2,53- == b a (b) 3 2,3 2= = b a (c) 2 3,2 1= - =b a (d) 2 3,2 1-== b a 3．设随机变量X 服从正态分布2 (,)N μσ，则随着σ的增大，概率() P X μσ-<

概率论概念术语中英对照

概率论与数理统计重要数学概念英汉对照 Chapter 2 Sample Space：样本空间 Random event: 随机事件 Simple event:; 基本事件 Independent : 独立 Dependent: 不独立 Mutually exclusive or disjoint : 互斥，互不相容 Axiom: 公理 Union: 并 Intersection: 交 Complement: 补 The law of Total Probability: 全概率公式 Bayes’ Theorem: 贝叶斯原理 Chapter 3 Discrete random variable (rv) : 离散型随机变量 Continuous random variable : 连续型随机变量 Probability distribution : 概率分布 Parameter: 参数 Family of probability distribution: 分布族

Probability mass function (pmf): 概率质量函数 Cumulative distribution function (cdf) : 累积分布函数（分布函数）Step function: 阶梯函数 Expected value: 期望 Variance: 方差 Standard deviation: 标准差 Binomial distribution: 二项分布 Hypergeometric distribution: 超几何分布 Negative binomial distribution: 负二项分布 Geometric distribution: 几何分布 Poisson distribution: 泊松分布 Chapter 4 Probability density function(pdf): 概率密度函数 Uniform distribution: 均匀分布 Percentile of a continuous distribution: 连续型分布的百分位数Normal distribution: 正态分布 Probability Plots: 概率图 Sample percentiles: 样本百分位数 Chapter 5 Joint probability mass function: 联合概率（质量）函数

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概率论的基本概念经典习题-1

第一章 概率论的基本概念练习题

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