高等数学同济七版第四章电子教案

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I 上，可导函数

()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I

∈都有

()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的

一个原函数.

例如：因()

22x x '=，故2

x 是2x 的一个原函数.

定理（原函数存在定理）：如果函数

()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数

()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数.

注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数.

定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ?， 其中?

称为积分号，

()f x 称为被积函数，()d f x x 称

为被积表达式，

x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+?

注：()d f x x ?是()f x 的原函数，故有

d ()d ()d f x x f x x

?

?=???或d ()d ()d ;f x x f x x ??=???

又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+?或d ()().F x F x C =+?

所以记号?

与d 是互逆的 例：求

d x x ?

解：由于2

2

x x '

??=

???

，所以22x 是x 的一个原函数，因此2

d 2

x x x C =

+? 例：求1

d x x

?

解：当0x ＞时，有1(ln )x x

'= 当0x ＜时，有[]11ln()(1)x x x

'-=

?-=-，故ln |1d |x C x x =+?

函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线.

例：已知曲线上任一点处的切线斜率 等于该点横坐标的两倍，

且曲线经过点(1,2)，求该曲线的方程

解：设所求曲线方程为()y f x =，由题意得

()2f x x '=，即()f x 为2x 的一个原函数，

所以

2()2,d f x x x x C ==+?

又所求曲线通过点(1,2)，故21C =+，1C = 于是所求曲线方程为21y x =+

二、基本积分表 （1）d k x kx C =+?

（k

是常数） （2）1

1d x x x C μμ

μ+=++?（1μ≠-）（3）l d n x x C x

=+? （4）ln d x

x

a a x C a

=+?（5）e e d x x x C =+?（6）cos s d in x x x C =+? （7）sin c d os x x x C =-+?（8）2

2d sec ta d n cos x x x x C x

==+?

? （9）22

csc co d t sin d x

x x x C x

==-+??（10）2

arcsin 1x C x

=+-?

（11）2

arctan 1d x

x C x

=++?（12）sec tan se d c x x x x C =+? （13）

csc cot cs d c x x x x C =-+?

例：求

d x x

x

?

解：31312

2

2

d d 2312

x

x x x C x

C C x x

x

-+--

==

+=-+=-

+-+?

?

三、不定积分的性质 （1）

[]()()()d d )d (f x g x x f x x g x x +=+???

（2）()d ()d kf x x k f x x =?

?

注：性质（1）可推广到有限多个函数的情形

例：求3

2

(1)d x x x

-? 解：33222(1)331d d x x x x x x x x --+-=??231

(3)d x x x x =-+-? 2d d d 3d 3x x x x x x x

=-+-????2

133ln 2x x x C x =

-+++ 例：求3e d x x

x ?

解：(3e)3e 3e d (3e)d ln(3e)1ln 3

x x x x x x

x x C C ==+=++?? 例：求42

d 4

1

x x x -+? 解：()()

2

24

4

2

22113413

11

d d d 1

x

x x x x x x x x x +-----==+++???

22

22

311311d d d d x x x x x x x x =--=--++?? ??

?????3

3arctan 3x x x C =--+ 例：求2

tan d x x ?

解：

()

22tan d s 1d ec x x x x =-??2d sec d x x x =-??tan x x C =-+

例：求2sin d 2

x

x ?

解：211

sin d (1cos )d (1cos )d 222

x x x x x x =-=-?

?? 11

(d cos d )(sin )22

x x x x x C =

-=-+?? 例：求22

1

d sin cos 22

x x x

? 解：222

11

d d sin sin cos ()222

x x x x x =??24csc d 4cot x x x C ==-+? 例：求4222+3

d 1

x x x x ++?

解：422222+34d =2-1+d =11

x x x x x x x +++??（）2

212d -1d +4d 1x x x x x +???

32

=-4arctan 3

x x x C ++ 注：①多项式除法

②4242222

2222

222+322-+3-3+1-4==2-=2-1111

x x x x x x x x x x x x x ++++++ 作业：

第二节 换元积分法

一、第一类换元法 定理：设

()f u 具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式

()[()]()d ()d u x f x x x f u u ???=??'=????

证：由[()][()]()d dF x f x x x ???'=

则

[()]()d [()]f x x x dF x ???'=??[]

()

[()]()u x F x C F u C ??==+=+()()d u x f u u ?=??

=???

上述方法称为第一类换元法，也叫凑微分法 例：求

2cos 2d x x ?

解：2cos 2d cos 2(2)d x x x x x

'=??

?

2cos d sin sin 2u x u u u C x C ==+=+?令

例：求1

d 32

x x +? 解：

11111d (32)d d 323323x x x u x x u '=?+=++???11ln ||ln |32|33

u C x C =+=++ 例：求2

e d x x x ?

解：()

2

222

22111e d e d e d e 222

x

x x x x x x x x C '=

==+???

例：求

?

解：1

22

21(1)()d 2

x x x x '=-???1

2221(1)d(1)2x x =---? 3

3

22

221(1)1(1)3232

x C x C -=-?+=--+

例：求22

d x

a x +?

解：22222d

d 1d 11arctan 11x

x x x a C a a a a x a x x a a =?==++??

??++ ? ?

????

???

例：x

解：arc i d

s n

x x

x C a

==+ 例：求22

d x

x a -?

解：22d 111d 2x x a x a x a x a

??

=- ?-+-????1d d 2x x a x a x a ??

=

- ?-+??

??

1d()d()2x a x a a x a x a -+??

=

-??-+????1(ln ||ln ||)2x a x a C a

=--++1ln 2x a C a x a -=++ 例：求()1

d 1+2ln x x x ?

解：()()d 1+2ln 1d ln 11d ln 1+2ln 1+2ln 1+2ln 21+2ln 2

x x x x C x x x x ===+???

例：求

x

解：

(

22233

x e e e C ==

=+??

例：求3

sin d x x ?

解：3

2

sin sin si d d n x x x x x =??()2

co s 1s co -d x x =-?3cos co -+3

s x

x C =+ 例：求23

sin cos d x x x ?

解：23

22

sin cos sin cos sin d d x x x x x x =?

?

()

22

sin 1si d n sin x x x =-?

(

)

352

4

sin sin sin sin sin 3d 5

x x

x x x C =-=-+?

例：求tan d x x ?

解：sin 1

tan d d dcos ln |cos |cos cos x x x x x x C x x =

=-=-+?

??

类似可得cot d ln |sin |x x x C =+?

例：求2

cos d x x ?

解：()2

1cos 21

cos cos 22d d d d 2

x x x x x x x +==+??

??11

cos 2(2)2d 4

d x x x =+?? sin 224

x x

C =

++ 例：求4

sec d x x ?

解：()422

2

sec d sec sec d 1tan d(tan )x x x x x x x ==

+??

?2

d(tan )tan

d(tan )x x x =+??

31

tan tan 3

x x C =++

例：求3

tan sec d x x x ?

解：()

3

22tan sec d tan tan sec d sec 1d(sec )x x x x x x x x x =

?=-?

??

2

3

1sec d(sec )d(sec )sec sec 3

x x x x x C =-=-+?

?

例：求csc d x x ?

解：2

d d d 2csc d sin 2sin cos tan cos 2222

x x x x x x x x x x ===????d tan 2ln tan 2tan 2x x C x ?? ???==+? 又因为2

sin

2sin 1cos 22tan csc cot 2sin sin cos 2

x x

x x x x x x x

-====- 所以 csc d ln csc cot x x x x C =-+?

类似可得

sec d ln sec tan x x x x C =++?

例：求cos3cos2d x x x ?

解：()111

cos3cos2d =

cos +cos5d =cos d +cos5d52210

x x x x x x x x x x ???? 11

=sin +sin5210

x x C + 作业：

二、第二类换元法 定理：设()x t ψ=单调、可导，且()0t ψ'≠，又设[()]()f t t ψψ'具有原函数，则有换元

公式

1()

()[()]d (d )t x f x x f t t t ψψψ-=??'=??

??

证：设[()]()f t t ψψ'的原函数为()t Φ，记1

()=()x F x ψ-????Φ，则

()1()=

=[()]()=[()]=()

d dt F x f t t f t f x dt dx t ψψψψΦ''??'，即()F x 是()f x 的原函数 ()11()()()+=+d ()t x f x x C x t x C C F ψψ--=??=?

????+=ΦΦ??

1()=[()]d ()t x f t t t ψψψ-=??'??? 例：求

22d (0)a x x a -?

＞

解：设sin x a t =，22

t ππ

-

≤≤， 2

2

2

2

d cos d(sin )cos d a x x a t a t a t t -==?

??2

(1cos2)d 2

a t t =+?

21(sin 2)22

a t t C =++222=arcsin 22a x x a x C a +-+

例：求2

2

d (0)x a x a

+?

＞

解：设tan 2

2x a t t π

π??=- ???＜＜，则

222sec d d sec d sec a t x t t t a t x a ==+?

??ln sec tan t t C =++221ln x x a

C a ?

?

+ ?=++ ?

?

()

22ln x x a C =+++

类似地，得

2222

d ln x x x a C x a =+-+-?

（0a >）

（14）

tan d ln cos x x x C =-+?（15）cot d ln sin x x x C =+?

（16）sec d ln sec tan x x x x C =++?（17）csc d ln csc cot x x x x C =-+?

（18）22

d 1arctan x x C a a a x

=++?（19）22d 1ln 2x x a

C a x a x a -=++-?

（20

）

1arcs in

x x C a =+（21

）()

1ln x x C =+ （22

）

ln x x C =+

倒代换：分子次数远低于分母次数（相差两次以上）时，采用此法

例：求

4

d x x

?

解：令1x t =

，则21

d -d x t t

=，故

()

1222

4

=1

x a t t dt x

t -?

当0x >时，有

()(

)()3

22

2

122

22

2

2

2

11

=-11=-+23a t x a t

d a t

C x a a

---?

()

32

2

2

3

2222223

--=-+-+33a x a x x C C a a x

?? ???=

当0x <时，有相同的结果 作业：

第三节 分部积分法

设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数，则()uv u v uv '''=+， 两端求不定积分，得uv u vdx uv dx ''=+??，

从而uv dx uv u vdx ''=-??即udv uv vdu =-??

称为分部积分公式 例1：求cos x xdx ? 解：cos (sin )sin sin x xdx xd x x x xdx ==-???sin cos x x x C =++

例2：求e x

x dx ?

解：e e e e x x x x x dx xd x dx ==-??

?

e e (1)e x x x

x C x C =-+=-+

注：222e e e e 22

2x

x

x x

x x x x dx d dx ??==- ??????，不可以 例3：求2e x

x dx ?

解：

22222e (e )e e ()e 2e x x x x x x x dx x d x d x x x dx ==-=-????

22e 2(e e )e (22)x x x x x x C x x C =--+=-++

结论：当被积函数为幂函数与三角(弦)函数或指数函数的乘积时要把幂函数看成u . 例4：求ln x xdx ?

解：222222

1ln ln (ln )ln ln 222224

x x x x x x x xdx x d x x dx x C x =-=-?=-+???（） 例5：求arctan x xdx ?

解：22

211arctan =arctan =

arctan -arctan 222

x x xdx xdx x x d x ??? 2222221111

arctan arctan 222211x x x x x dx x dx x x +-=-=-++?? ()222111arctan 1=arctan arctan +2222

1x x x dx x x x C x ??=---- ?+???()

211

=

+1arctan +22

x x x C - 例6：求arccos d x x ?

解：arccos arccos arccos xdx x x xd x =-?

?arccos x x x =+

()

21arccos 12x x x =-

-

arccos x x C = 结论：当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时要把对数函数或反三角函数看成

u .

例7：求e sin x

xdx ?

解：e sin sin (e )e sin e cos x

x x

x

xdx xd x xdx ==-?

?

?

e sin cos (e )x x

x xd =-?

e sin e cos e sin x x x x x xdx =--?

所以1e sin e (sin cos )2

x

x

xdx x x C =

-+? 例8：求3

sec xdx ?

解：3

2

sec =sec tan sec tan tan sec sec tan sec tan xdx xd x x x xd x x x x xdx =-=-?

???

()

23=sec tan sec sec 1=sec tan sec +sec x x x x dx x x xdx xdx ---??? 3=sec tan +ln sec tan sec x x x x xdx +-?

所以3

1

sec (sec tan +ln sec tan )2

xdx x x x x C =

++?

总结：以上两个例题为循环出现解方程型. 以上所有例题所用的方法都是比较典型的. 例

9：求?

解：设

t =，则2x t =，2dx tdt =，

于是2e t t dt =

?

?

)

2e (1)1t t C C =-+=+

作业：212-21369116P 、

、2、15、、20、24

第四节 有理函数的积分

一、有理函数的积分 定义：两个多项式的商

()

()

P x Q x 称为有理函数，又称有理分式，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，称这有理函数为真分式,否则称为假分式.

由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分．

例如：422

222342111

x x x x x ++=-+++

根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分． 设

()

()

P x Q x 为真分式 第一步：对分母()Q x 在实系数内作标准分解：

()()()

(

)

()1

12111

2s

t s t t Q x x a x a x p x q x p q μλμ

λ

=--++++L L

第二步：根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k

x a -的因式，

它所对应的部分分式是()()

12

2k k A A A x a x a x a +++---L 对每个形如()2k

x px q ++的因式，它所对应的部分分式是

()

()

1122

22

22

k k

k

B x

C B x C B x C x px q x px q

x

px q

++++

++

++++++L

第三步：确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母

()Q x ，而其分子亦应与原分子()P x 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待

定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．

例：对432543224910

5248

x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解

解：按上述步骤依次执行如下：

()Q x =5

4

3

2

5248x x x x x +--+-()()

()

2

2

221x x x

x =-+-+

部分分式分解的待定形式为

()01222221

2A A A Bx C

x x x x x ++++-+-++ 例：求

21

5d 6x x x x +-+?

解：设213256x A B

x x x x +=+---+，得1231A B A B +=??+=-?

，从而解得4,3A B ==

于是

2143

()d 3256d x x x x x x x +=----+??4ln 33ln 2x x C =---+

例：求2

d 2

(21)(1)

x x x x x ++++? 解：设2

2221(21)(1)1x A Bx C x x x x x x ++=+++++++，有20212A B A B c A C +=??++=??+=?，解得210

A B C =??=-??=? 于是2d 2(21)(1)x x x x x ++++?22()d 211x x x x x =-+++?21(21)1ln 21d 21

x x x x x +-=+-++? 2221d(1)1d ln 2113221

()24

x x x

x x x x ++=+-+++++??

21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++

例：求

()()

2

3

11

d x x x x

---?

解：设

()()()

2

2

3

1+1

1+11x A

B C

x x x x x -=

+

+---，得1,1=1A B C ==--， 于是()221111d 1+1561d x x x x x x x x ??+--=++??--+-???

?

??1

ln 1ln +11x x C x =+--+-

步骤：

①化假为真（凑或用多项式除法） ②分母分解因式（分解到最简） ③分解成部分分式之和

④求解各个小积分（特别是分母是两次的）

二、可化为有理函数的积分举例 设tan

()2

x

t x ππ=-<<，则 2

222tan

2tan

222sin 2sin cos 221sec 1tan 22x x

x x t x x x t ====++ 2

2

2

222221tan 1tan 122cos cos sin 221sec 1tan 2

2

x

x

x x t x x x t ---=-=

==++

222tan

22tan 11tan 2

x

t x x t ==-- 例：求1sin d sin (1cos )

x

x x x ++? 解： 设tan

()2x t x ππ=-<<，则22d d 1x t t

=+ 于是222

22

211sin 21d d sin (1cos )121111t

x t x t x x t t t t t +

++=?

++??

-+

?++???? 2

1112d 2ln 222

t t t t t C t ??

??=++=+++ ? ?????

? 211tan tan ln tan 42222

x x x

C =

+++ 注：万能换元对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的． 例：求

解：设

u =，于是 32x u =-，2d 3d x u u =，

23d 1u u u =+?2113d 1u u u -+=+?23(ln |1|)2u

u u C =-+++

3ln |1C =

++ 例：求

解：设

t =，于是5d 6d x t t =，

5

236d (1)t t t t =+?2

2

6d 1t t t =+?

2161)d 1(t t =-+?6(arctan )t t C =-+

C =+

作业：

第四章复习

1. 求3

d 3

x x x +? 解：33222731=39=9273323d d 3d x x x x x x x x x x x x ??-+--+- ?+++?

???? 32

3=927ln 332

x x x x C -+-++ 2. 求2

2+3

310

d x x x x +-? 解：()()2

2+32+31

1==++52+52310d d d x x x x x x x x x x x ?? ?--+-????? 11

=+=ln +5l 2+2

d d n 5x x x x C x x +-+-?

? 3. 求2

+1

2d 5

x x x x -+? 解：2

222+1122+41221

==22225252525

d d d d x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-+-+-+???? ()

()2

22

111=

25222514

d d x x x x x x -++-+-+?? ()

22111=ln 2521221d x x x x --++-??+ ???

?()211=ln 25arctan 2

2x C x x --+++ 4. 求

()

2

d 1

x

x x

+?

解：()

222

1

=+ln 11d d 1d x

x x x x x x x x x x -??=- ?+++??

??? ()()

22

2

d 111ln 1ln ln 122

1x x x x x C =-

+=-+++?

高等数学(同济五版)-第四章-不定积分-练习题册

34 / 8 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、求下列不定积分： 1．dx x x ? ． 2．?x x dx 2 ． 3．?-dx x 2 )2(． 4．?-dx x x 2 )1( 5．? +++dx x x x 1133224． 6．?+dx x x 2 2 1． 7．??-?dx x x x 3 2532． 8．?-dx x x x )tan (sec sec ． 二、一曲线通过点)3,(2 e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 第二节 换元积分法

35 / 8 一、填空题： 1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2 x d ． 3．=dx x 3 )23(4 -x d ． 4．=- dx e x 2 )1(2 x e d - +． 5．=xdx 23sin )23(cos x d ． 6．=x dx |)|ln 53(x d -． 7． 291x dx + )3(arctan x d ． 8．=-21x xdx )1(2 x d -． 9． ?=dx x x )(')(φφ ． 10．若 ?+=C x F dx x f )()(则?=)()]([x dg x g f ． 二、选择题(单选)： 设)(x f 为 可导函数，则： (A) ()C x f dx x f +='?)2()2(； (B) ()C x f dx x f +=' ?)2(2)2(； (C) ())2()2(x f dx x f =' ?； (D) C x f dx x f +='?)2()2(． 答：( ) 三、求下列不定积分： 1．?-dx x 3 )23(． 2．? -3 32x dx ． 3．? ?xdx x 210 sec tan ． 4．? x x dx cos sin ． 5．? -dx xe x 2 ． 6．dx x x ? -2 32．

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)

第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

同济大学(高等数学)-第四章-不定积分

第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =， 求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0), x x x =>所以ln x 是 1 x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

高等数学同济七版第四章电子教案

第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I 上，可导函数 ()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I ∈都有 ()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的 一个原函数. 例如：因() 22x x '=，故2 x 是2x 的一个原函数. 定理（原函数存在定理）：如果函数 ()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数 ()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数. 注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数. 定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ?， 其中? 称为积分号， ()f x 称为被积函数，()d f x x 称 为被积表达式， x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+? 注：()d f x x ?是()f x 的原函数，故有 d ()d ()d f x x f x x ? ?=???或d ()d ()d ;f x x f x x ??=??? 又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+?或d ()().F x F x C =+? 所以记号? 与d 是互逆的 例：求 d x x ? 解：由于2 2 x x ' ??= ??? ，所以22x 是x 的一个原函数，因此2 d 2 x x x C = +? 例：求1 d x x ? 解：当0x ＞时，有1(ln )x x '= 当0x ＜时，有[]11ln()(1)x x x '-= ?-=-，故ln |1d |x C x x =+? 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线.

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

同济高等数学第七版第4章习题解答

209 教材习题同步解析 习题4-1 2. 求下列不定积分: (2)x ?; (3)x (4)?x x x d 32; (5) ?x x x d 1 2 ; (11)x x x d )1(13? -+）（; (12)?-x x x d )1(2; (15)x x e e x x d 1? ??? ? ??--; (16)?x e x x d 3; (19)? x x d 2 cos 2; (20)?+x x d 2cos 11; (21)? -x x x x d sin cos 2cos ; (22)?x x x x d sin cos 2cos 2 2; (23)? x x d cot 2; (25)22d 1 x x x +?. (26)?++x x x x d 12322 4. 解 (2)35 222 d 5 x x x x C ==+?? . (3)x C =. (4)C x x dx x x x x += =? ? 3 3373 210 3d . (5) C x x x x x x x +?-==? ?- 132d d 1 252 .

209 (11) x x x d )1(13?-+）（x x x x d 132? ?? ? ??-+-= ?? ? ? - + - =x x x x x x x d d d d 23 21 2 C x x x x +-+-=25 23 35 2 3231. (12) ()? ? +-= -x x x x x x x d 21d 12 2 C x x x x x x x ++-=??? ? ??+-=? -25 232123212152342d 2. (15)C x e x x e x x e e x x x x +-=??? ? ??-=???? ??-? ?--21212d d 1. (16)C e C e e x e x e x x x x x x ++=+= =? ? 1 3ln 3)3ln()3(d )3(d 3. (19)? ?+=x x x x d 2cos 1d 2cos 2 C x x x x ++=+=? )sin (2 1d )cos 1(21. (20)? ?+==+C x x x x x tan 21 d cos 21d 2cos 112. (21)x x x x x x x x x d sin cos sin cos d sin cos 2cos 22?? --=- ? +-=+=C x x x x x cos sin d )sin (cos . (22)222222cos 2cos sin d d cos sin cos sin x x x x x x x x x -=? ? 22 1 1d sin cos x x x ??=- ??? ?C x x +--=tan cot .

高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh

尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；

（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适 用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

同济版 高等数学 课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限， 得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去） ，故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

同济大学高等数学第四版 详解 习题九

194 习题九 1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π 4 t = ; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0). 解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π 4 t = 的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ????????? 当π 4 t =时， ,,222a b c x y z === 切线方程为 2220a b c x y z a c - --==-. 法平面方程为 0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ??????? 即 22 022 a c ax cz -- +=. （2）联立方程组 2226 x y z x y z ?++=? ++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得 d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x y z x x ? +?+?=??? ?++=?? 解 得 d d ,,d d y z x z x y x y z x y z --==-- 在点M 0（1，-2，1）处，00 d d 0,1d d M M y z x x ==- 所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为 121 101 x y z -+-==- 法平面方程为 1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0 即x -z =0. (3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得 d d 22,21d d y z y m z x x ==- 于是 d d 1,d d 2y m z x y x z ==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2m y z ??-???? ,故切线方程 为 000 00 ,112x x y y z z m y z ---==- 法平面方程为 00000 1()()()02m x x y y z z y z -+ ---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2 t 在相应点的切线垂直于平面0x y ++=，并求相应的切 线和法平面方程。 解：1cos ,sin ,2cos 2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{} 1cos ,sin ,2cos 2 t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n = . 且T ∥n , 故 2cos 1cos sin 11 t t t -==解得 π2t =，相应点的坐 标为π1,1,2?- ? .且 {1,1T = 故切线方程为 π 1 1211x y - +-== 法平面方程为 π 1102 x y z - ++--= 即 π042x y ?? ++-=+ ??? . 3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt 的切线与z 轴形成定 角。 证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为 {sin ,cos ,}T a t a t b =-. 与z 轴同向的单位向量为 {0,0,1}k = 两向量的夹角余弦为 cos θ= = 为一定值。 故螺旋线的切线与z 轴形成定角。