人教版 九年级数学 竞赛专题：代数最值问题（含答案）
【例1】当x 变化时，分式12
15
632
2++++x x x x 的最小值是 ．
【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则2
2
3162y x x ++的最小值为（ ）
A.
719 B. 3 C. 7
27 D. 13 【例3】()2
13
22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).
【例4】（1）已知2
11-
+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2
2b a +的值． （2）求使()168422+-+
+x x 取得最小值的实数x 的值．
（3）求使2016414129492
2
2
2
+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．
【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？
【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2019，求k 的最大可能值．
（2）a ，b ，c 为正整数，且4
3
2
c b a =+，求c 的最小值．
（
能力训练
A 级
1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．
2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．
3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ． 4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( ) 5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）
A.(0，2
1-
) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)
6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么
4
441
1y x +的最小值为（ ） A.
21 B. 85 C. 1 D. 4
5
E.
2
7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.
（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；
②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？
8．方程()()06122
=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，
（1）求m 的取值范围；
（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．
9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求2
2b ab a +-的最大值与最小值．
10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．
11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()??
??
??+-500141
x 元．
（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，
叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？
B 级
1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22
++=和a bx x y ++=22
都与x 轴有公共点，则2
2b a +的最小值是 ．
2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．
4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）
A. 0
B. 4
C. 8
D. 10
5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）
A. 5
B.
423 C. 427 D. 4
35
6．如果抛物线()112
----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
7．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？
8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 5
3
,51==
.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？
9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．
10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且b
c
a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．
11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99
求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．
12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．
参考答案
例1. 4 提示：原式=1
12
-
62
-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为7
1
-=x 的抛物线.
例3. 分三种情况讨论：①0≤a
即???
????+
-=+-=21322213222
2b a a b 解得???==31b a ②a
即???
????+-=+-=21322213222
2b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0
213,b =4
13
,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=02
13
41321-2>+?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则??
?
?
?=--=41317
2b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，
4
13
） 例4. （1）
121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（
x .当x =4
3时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=
x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2
3
.
(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42
+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.
10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x
当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有
22
4
===DA EB CA BC ,
从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =3
8. (3)如图， 原式=
[]
22222
2
2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（
=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时
5423=x ，5
432=y .
例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--
，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得
0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以
[][]0)(34)(422222≥+-?--m a S an a S an a ，可化为222
3-m a an S ≥）（.
∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.
例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2019，即
120192
k(k )
+≤ k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.
（2） 若取???=+=-2
22b
a c
b a
c ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2
=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故c
A 级1．57- 1
11
- 2．1 3．14 提示：y =5
－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：
原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －
34
)2
+1034，由此得x 12+x 22最小值为103
4
，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得
ab =
12(1－k )，于是有（a +b )2=1
2(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +
12
k -=0的两实根，由Δ≥0，得1
33k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0
的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=c
a
>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|x 1|<1，
|OB |=|x 2|<1，∴－1 c a =x 1x 2<1，c 当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b +1，从而a +c ，则211,12>≥，于是a >4，即a ≥5，故b ≥b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y = 1111 1[500000(0500)(1500)(2500)( 500)]444 4x x -+?++?++?++++=11(1) [500000500x ]42 x x x -++? = 500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008 x x =， 即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废． B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构 造方程． 3． 提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1= 4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥ 2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－ 4 3 s ≥0，z =1－1 3 s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB ， C (2125,24k k k -++-），ABC S =k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价 为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对 甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4× （25s 2－27)≥0，解得189 1.05180 s ≤ =，进而得x =0.75（万元） ，3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤13 3 ,故z 的最大值为 133，最小值为－1． 10．设b c x a b ==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52 a －3>0，得到 1≤a ≤ 52 3 ，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3． 故 a min =1， b =－4， c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－3 4 ，x 2=－ 1 4 ．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219 499 r s t r s t -++=??++=?，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴ 19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111++ +个 ＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2 ＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1) 这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把 较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1． 故 当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111++ +22个 222222+++?+=94从而，A+B=494. 七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。 6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 九年级数学测验二 满分：120分 时间：150分钟 一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 1.实数x 、y 满足等式22 92|3|0x y xy x y xy -++-=，则x y -的取值范围为 。 2.关于x 的方程1 1 3267 a a x x a +=-++无解，则实数a 的可能取值有 。 3. 已知111Rt A B C ?的直角边长分别为1a 、1b ，斜边长为1x ，222Rt A B C ?的直角边长分别为2a 、2b ，斜边长为2x ；请以111Rt A B C ?与222Rt A B C ?的直角边长构造出Rt ABC ?的直角边： ，使得其斜边长为 12x x 4.在ABC ?中，P 为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立： 当 时，ABC ?为以BC 为底边的等腰三角形； 当 时，ABC ?为以AC 为底边的等腰三角形，且P 为它外接圆的圆心； 当 时，ABC ?为等边三角形。 5.在四边形ABCD 中，P 、Q 、R 、S 分别为AB 、BC 、CD 、DA 四边中点，记四边形ABCD 的对角线长度之和为 1l ，四边形PQRS 的对角线长度之和为2l ，令1 2 l k l = ，则k 的取值范围为 。 6.已知函数2 1y ax ax a =++-与直线0x ay a ++=只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。 7.给出三个关于x 的方程：2 2 2 20,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=， 若2 2 0a b ac bc -+-≠，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ； 若0abc ≠，则前两个方程均有实根的概率为 ； 若0ab >，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。 8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边 与最长边之比为 。 9.如图，给出反比例函数3 k y x =，这里1k >；在x 轴正半轴上依次排列 2010个点122010,,,A A A L ，点n A 的坐标为(,0)(1,2,,2010)n x n =L ， 1(1,2,,2009)n n x x d n +=+=L ，1(1)x d k =-；过点n A 作x 轴的垂线交反比例函数于点n P ，记12n n n P P P ++?的 面积为(1,2,,2008)n S n =L ，那么122008S S S +++=L 。 二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分） 10.若22221a ab b ++= ，那么a 、b （ ） A.一个为无理数、一个为有理数 B.均为分数 C 均为无限不循环小数 D.不是实数 11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ） A. 3 2 333k k k -+- B. 3 2 331k k k ++- C. 3 2 332k k k +-+ D. 3 2 332k k k -++ 12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：①22.5? ②30? ③36? ④45? A.4 B.3 C.2 D.1 13.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n 种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。 A. 180(2)n n -或180(1)1n n -+ B. 90n 或18021n + C. 180n 或360 21 n + D. 180(1)n n -或180(21)21n n -+ 14.如图，一开口向下的抛物线与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点Q （0，-3），其顶点为P ，若 ~PAB BAQ ??，则抛物线的方程为（ ） A. 2143 333y x x =- -- B. 2123363y x x =-- - C. 2323y x x =-- D. 2 343y x x =-- 15.如图，在半径为r 的O e 中，有内接矩形ABCD ，AB 中点E 与圆上逆时针排列的三点 F 、G 、H 构成边长为a 的菱形，若2GDH EFG ∠=∠，则DG 的长为（ ） A. 2242r a -2242r a + B. 242r ra -242r ra +C. 2 42ra a -2 42ra a + D. 22a r r -或2 2a r r + 16. 如图，在直角坐标系中，直线340x y a ++=与y 轴、反比例函数k y x =和x 轴 依次交于A 、B 、C 、D 四点，若2BC AB CD =+，且2AC BD ?=，则 a k =（ ） 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 专题09 特殊与一般 ——二次函数与二次方程 阅读与思考 二次函数的一般形式是()02 ≠++=a c bx ax y ，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际 上是关于x 的二次三项式，若令y =0，则得02 =++c bx ax 这是一个关于x 的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当0>?时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x 轴有两个不同的交点，设为 A (1x ，0)， B (2x ，0)，其中1x ，2x 是方程两相异实根，a ac b AB 42-=; 2.当0=?时，方程有两个相等实数根，抛物线与x 轴只有一个交点； 3.当0 九年级数学（上）竞赛试题 一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何 体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ， 则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点 ，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（ ） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ） 第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是 。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是 。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图 初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组 123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++= 2012年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式 可以化简为（）． （第1（甲）题） （A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a 1（乙）．如果，那么的值为（）． （A）（B）（C）2 （D） 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x， y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B）（C）（D） 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．， AD = 3，BD = 5，则CD的长为 （）． （第3（乙）题） （A）（B）4 （C）（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为 ，则中最大的是（）． （A）（B）（C）（D） 5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后， 黑板上剩下的数是（）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 . 2019-2020学年九年级数学上学期知识竞赛试题 （时间：100分钟 满分：100） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分，请将唯一正确答案填入下表中） 1的结果是 （ ） A 、6 B C 、2 D 2．如图所示，其中是中心对称图形的是 （ ） 3．下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是 （ ） A 、93和 B 、31 3 和 C 、318和 D 、2412和 4．下列解方程中，解法正确的是 （ ） A 、，两边都除以2x ，可得 B 、 C 、(x －2)2＝4，解得x －2＝2，x －2＝－2，∴x 1＝4，x 2＝0 D 、，得x ＝a 5．某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程程正确的是（ ） A 、200(1+a%)2=148 B 、200(1－a%)2=148 C 、200(1－2a%)=148 D 、200(1+2a%)=148 6．下列命题是假命题的是 （ ） A 、三点确定一个圆 B 、三角形的内心到三角形各边的距离都相等 C 、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D 、垂直于弦的直径平分弦 7、如上图、一只小虫子欲从A 点不重复的经过图中的每一个 点或每一条线段而最终到达目的地E ，试问这只小虫子沿 E P A →→行走的概率是（ ） A 、31 B 、61 C 、91 D 、121 8．中心角90AOB ∠=的扇形面积为24πcm ，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ） A ．1cm B ．2cm C D ．4cm 9.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与 AB 的位置关系是（ ） （A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不能确定 10.如图所示,EF 为⊙O 的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,那么E 、F 两点到直线MN 的距离之和等于 ( ) A. 12cm B. 8cm C. 6cm D.3cm 二、填空题（每小题2分，共计20分） 初中数学竞赛重要定理、公式及结论 代数篇 【乘法公式】 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2， 平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2， 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … ＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算 由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式（欧拉公式） (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被 除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式： f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。 【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。 【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。 【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。 【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数． 九年级数学竞赛试卷（含答案） 温馨提示： 1.本试卷共 8 页,三大题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 一、 选择题（每小题4分,满40分） 下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确 答案的代号字母填入题前小括号内 1. 下列说法中不正确的是（ ） A.若 a 为任一有理数,则 a 的倒数是 B.若∣a ∣＝∣b ∣,则 a ＝±b C.x2＝（－2） 2,则 x ＝±2 D.x2＋1 一定是正数 2.图中从三个方向看所得的图形所对应的直观图是（ ） 3. m m m m m m 15462-+的值（ ） A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负 4.四边形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 相交于点 O,给出下列四个条件：①AD ∥BC;②AD ＝BC;③OA ＝OC;④OB ＝OD,从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 5.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中一次性随机抽取两张,则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ） A. 41 B. 3 1 C. 2 1 D. 4 3 6.如图所示,半径为 5 的☉A 中,弦 BC 、ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知 DE ＝6,∠BAC ＋∠EAD ＝180°,则弦 BC 的弦心距等于（ ） A. 2 41 B. 2 34 C.4 D.3 7.如图所示,P 为☉o 的直径 BA 延长线上一点,PC 与☉O 相切.切点为 C.点 D 是☉O 上一点,连接PD.已知 PC=PD=BC.下列结论：①PD 与☉O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 8.如图,在平面直角坐标系中,放置一个半径为 1 的圆,与两坐标轴相切,若该圆沿 x 轴正方向滚动 2016 圈后（滚动时在 x 轴上不滑动）,则该圆的圆心坐 标为（ ） A.（4032π＋1,0） B.（4032π＋1,1） C.（4032π－1,0） D.（4032π－1,1） 9.如图所示,平行四边形 ABCD 中,AB ：BC=3:2,∠DAB=60°,E 在 AB 上,且 AE ：EB=1：2,F 是 BC 的中点,过 D 分别作 DP ⊥AF 于 P,DQ ⊥CE 于 Q,则 DP ：DQ 等于（ ） A.3:4 B. 13 : 25 C. 13 : 26 D. 23 : 13 10.如图,菱形 ABCD 中,AB ＝2,∠B ＝60°,M 为 AB 的中点,动点 P 在菱形的边上从点 B 出发,沿 B → C →D 的方向运动,到达点 D 时停止。连接 MP,设点 P 运动的路程为 x,MP 2＝y,则 y 与 x 之间的函数关系图象大致为（ ） 2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知 t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小 数部分，则 11 2b a -= （ ） .A 1 2 .B 2 .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方 案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 33 3 321(1),26 31,=--=- 2和 26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ） .A 0 . B 14 . C 3 4 - .D 2- 4.已知 O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 （ ） .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，0 90BAC BDC ∠=∠=，AB AC == 1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ) . A 2 . B 3 . C 2 . D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ) 初三数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．要使方程组???=+=+2 3223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ） （A ）334<a （D ）3 43<>a a 或 2．一块含有?30AB ＝8cm, 里面 空 心DEF ?的各边与ABC ?的对应边平行，且各对应边的距离都是 1cm,那么DEF ?的周长是（ ） (A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+ 3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( ) (A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种 4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( ) (A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y (C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y 5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( ) (A) 32 (B) 31 (C) 21 (D) 6 1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方 向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。 如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶 点，棋子停在顶点D 。依这样的规则，在这10次移动的过程中， 棋子不可能分为两停到的顶点是( ) (A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F. 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 初中数学竞赛专题辅导代数式的求值 代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等,经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值.因此,求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍. １.利用因式分解方法求值 因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中，经常被采用. 分析ｘ的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后,再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看能否利用已知条件． 解已知条件可变形为3x２+3x－1＝０,所以 6ｘ4＋１5ｘ3＋10ｘ2 =(6x４+6ｘ3-2x2)+(9x3+9x2－3ｘ）+(３x2＋3x-1)+1 =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1 =0+1=1. 说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程（或方程组），而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答. 例2 已知a,ｂ，ｃ为实数，且满足下式: a２＋b2+c2＝１,① 求a+b＋c的值． 解将②式因式分解变形如下 即 所以 a＋ｂ＋c=0或ｂc＋ac＋ab＝０. 若bc+ac+ａb=0，则 （a＋ｂ+c)2＝a2+b2＋c2+２(bc+ac+ａb） =ａ2+b2＋ｃ２＝1, 所以ａ+b+c＝±１.所以a＋b＋ｃ的值为0,1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形： 即 前一解法是加一项,再减去一项；这个解法是将3拆成１+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式. ２．利用乘法公式求值 例3 已知x+y=m,x3＋y3=n,m≠0，求x2＋y2的值． 解因为x＋ｙ＝m，所以 m3=(x＋y)3=ｘ3+y3+3xy（ｘ+y)=ｎ＋3m·ｘy, 所以 求x２+6xy+ｙ2的值． 九年级数学竞赛题 （全卷满分120分 考试时间100分钟） 一选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意) 1.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） 2.三角形的两边长分别为2和6，第三是方程x 2 -2x-3=0的解，则第三边的长为（ ） A. 7 B.3 C.7或3 D.无法确定 3下列旋转体中三视图相同的是（ ） 4若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是（ ） Ａ.矩形 Ｂ．菱形 Ｃ．对角线互相垂直的四边形 Ｄ．对角线相等的四边形 ５在Rt △ABC 中，若∠C=90O ,BC=6,AC=8,sinA 的值为（ ） A. 45 B. 35 C.43 D. 34 6若二次函数y=ax 2 +bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表 则当x=1时，y 的值为 A. 5 B.-3 C-13 D.-27 7若二次函数y=ax 2 +c,当x 取x 1,x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为（ ）A.a+c B.a-c C.-c D.c 8.已知抛物线y=x 2 +2x+m 的顶点在直线y=-2x+1上，则m 的值为（ ) A.2 B.3 C.4 D.5 9.在平面直角坐标系中，A(-3,4),B(3,2)在x 轴上找一点p,使PA+PB 最小，则点P 的坐标是（ ）A.(-1,0) B.(0，0） C.(1,0） D.(3,0) 10．一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球出颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） （A ） 31 (B)81 (C)154 (D)11 4 二填空题（本题共6小题，每小题4分共计24分） 11、方程(m 2 －1)x 2 +(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程. 12.、已知函数 x y 41 - =，当x ＜0时，y _______0，此时，其图象的相应部分在第_______象限； 13王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手 435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x 人，则根据题意，可列方程： . 14．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC=7cm ，那么ED= cm ；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= C A D B E 九年级数学抽测试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分． ) 1．下列一元二次方程没有实数根的是( ) A ．x 2＋6x ＋9＝0 B ．x 2－5＝0 C ．x 2＋x ＋3＝0 D ．x 2－2x －1＝0 2．用配方法解方程x 2＋1＝8x ，变形后的结果正确的是( ) A ．(x ＋4)2＝15 B ．(x ＋4)2＝17 C ．(x －4)2＝15 D ．(x －4)2＝17 3．把抛物线y ＝－1 2x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线 解析式为( ) A ．y ＝－12(x ＋1)2＋1 B ．y ＝－1 2(x ＋1)2－1 C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1 D ．y ＝－1 2 (x －1)2－1 4．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB ＝3，则BE ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若?=∠55ABD ， 则BCD ∠的度数为（ ） A ．?25 B ．?30 C ．?35 D ．?40 6．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝2，则图中阴影部分的面积是( ) A.π4 B.12＋π4 C.π2 D.12＋π2 7．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，△OAB 是边长为4的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为 C A O B D ( ) A．(2，23) B．(－2，4) C．(－2，22) D．(－2，23) 8．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是( ) A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 9．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( ) A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对 10.函数y＝mx＋n与y＝n mx，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象可能是() 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的7 000元/m2下降到12月份的5 670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球个． 13. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例 函数 6 y x （x＞0）的图象上，则点C的坐标为。 初中数学竞赛题汇编 （代数部分1） 江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答 例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。 解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。∴m＋n＝1，mn＝－1 ∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3 又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4 ∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11 例2已知 解：设，则 u＋v＋w＝1……①……② 由②得即 uv＋vw＋wu＝0 将①两边平方得 u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1 即 例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+… + x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0 例4：证明循环小数为有理数。 证明：设＝x…① 将①两边同乘以100，得 …② ②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。 例5：证明是无理数。 证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设 ＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①， 所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。 例6：；；。 解： 例7：化简（1）；（2） （3）；（4）； （5）； （6）。 解：（1）方法1 2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知 t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则 11 2b a -= （ ） . A 12. B . C 1. D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858.B 6860.C 9260.D 9262 3(B ）.已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当 a b -为整数时，ab = （ ） .A 0.B 14.C 3 4 -.D 2- 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若 8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 （ ） .A 12.B 15.C 16.D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，0 90BAC BDC ∠=∠=，AB AC =1CD =,对角线 的交点为M ，则DM = ( ) . A .B . C 2 .D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++=则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ) 人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A 【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.初中数学竞赛教程
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