函数的图像
一、考纲要求
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法
二、复习目标
1、根据函数解析式画出函数图像。
2、掌握函数图像的平移与对称变换。
3、数形结合思想
的应用。
三、重点难点
1、 平移变换、对称变换
2、数形结合思想的应用。
四、要点梳理
1、函数图像的定义
2、描点法
描点法画函数的图像，其基本步骤是列表、描点、连线。首先：（1）确定函数的 ；
（2）化简函数的 ；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；
其次：列表（尤其注意特殊点如：最高点、最低点、与坐标轴的交点）；最后描点，连线。
3：图像的变换
（1） 平移变换
①水平变换：()(0)y f x a a =±>的图像，可由()y f x =的图像向 （+）
或向 （-）平移 单位而得到。
1 ②竖直平移：()(0)y f x b b =±>的图像，
可由()y f x =的图像向 （+）或向 （-）平移 单位而得到。
（2）对称变换
①()()y f x y f x =-=与的图像关于 对称
②()()y f x y f x =-=与的图像关于 对称
③()()y f x y f x =--=与的图像关于 对称 ④()y f x =的图像可由()y f x =的图像在x 轴下方的部分以x 轴为对称
轴 ，其余部分不变而得到。 ⑤为得到()y f x =的图像，可将()y f x =, x ≥0的图像作出，再利用偶函数的图像关于
对称，作出x<0的图像
五、基础自测
1．函数f (x )＝2x 3的图象( )
A ．关于y 轴对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于直线y ＝x 对称
D ．关于原点对称
2．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，
所得图象对应的函数的解析式是( )
A ．y ＝(x －3)2＋3
B ．y ＝(x －3)2＋1
C ．y ＝(x －1)2＋3
D ．y ＝(x －1)2＋1
3.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，
(3,1)，则f ? ??
??1f (3)的值等于________．
4、若函数()y f x =的值域为[]1,2，则()y f x a =+的值域为
5、若函数x y a b =+的图象如图所示，则a ，b 的取值范围
分别为 ；若(2,0)A ，(0,2)B -，则
a b +的值为___________．
六、典例精讲
例1、作出下列函数的图像 (1) 21x y x -=- (2) f (x )＝???
3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].
(3) |21|x y =- (4) 12log ()y x =-
反思：
例2、函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是
( )．
反思：
例3 函数244,1,()43,1
x x f x x x x -?=?-->?≤的图象和函数2()log g x x =图象交点个数为 ．
反思：
例4.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
反思：
七、谈谈自己的收获
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数 1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2．自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定： ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题： （1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 （2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。 （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二．平面直角坐标系： 1．各象限内点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0. （2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0. （3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0 （4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0 （2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数 3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）. （2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. （3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y） 4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.
【学习目标】 使学生掌握函数图像的画法.并会用函数图像求定义域、值域 【课堂导学】 一、预习作业 1、描点法作函数图像步骤： 2、还可以用计算机生成。 二、典型例题 例1、本节开头的问题中：如果把人口数（百万人）看做是年份x 的函数，试根据表，画出这个函数的图像。 例2、试画出下列函数的图像，并根据图像，分别求这两个函数的值域。 ⑴()1;f x x =+ ⑵2 ()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈ 例3、试画出函数f (x )=x 2+1的图像，并根据图像回答下列问题； ⑴比较f (-2)、 f (1) 、f (3)的大小； ⑵若0 ★例4、作出下列函数的图像，并求值域 （1）、y=x2-2|x|－3 （2）、y=|x2－2x－3| 三、板书设计 【巩固反馈】 一、填空题 1．下列可作为函数y=f(x) 图像的是＿＿＿ (1) （2） (3) 2．函数y = f （x ）的图像与直线 x =a 的交点个数为＿＿＿ 3．根据函数y =(x －1)2－3(0≤ x ≤3)的图像，比较大小： f (0) f (1), f (0) f (3), f (1) f (3). 4．如右图，已知函数f (x )的图像关于直线x =1对称，则满足 不等式f (a )>f (3)的实数a 的取值范围是 。 二、解答题 5．作出下列函数的图像： （1）y =243x x -+； (2 ) y =12 x －1,x ,4z ∈≤且x ； (3 ) 2 (1)1(1)x x y x x ?≥-=?+<-? 6．借助函数y =x 2的图像，画出函数y = x 2－2x +1的图像。 §5正弦函数y＝sinx的图像导学案 班级：__________ 小组：___________姓名：_____________ 学习目标: 一．【三维目标】 1.知识与技能 （1）了解正弦线； （2）了解并理解利用单位圆画正弦函数的图像； （3）掌握正弦函数图像的“五点作图法”。 2.过程与方法 体会周期性在画函数y＝sinx图像过程中的应用，从图像中进一步分析验证诱导公式的正确性。 2、情感态度与价值观 通过从单位圆和图像两个不同角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二.【学习重点、难点】 重点:“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像；难点: 利用单位圆画正弦函数图像。 预习案【课前预习，成竹在胸】 1.复习：正弦函数是一个周期函数，最小正周期是____，所以，关键就在于画出________上的正弦函数的图像。 2.预习： （1）正弦函数x x∈的图像叫做正弦曲线。 =，R y sin （2）正弦线：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M →P 。②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sin α ＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．（如图1） (3)几何法的作图步骤。 ①建立直角坐标系，在y 轴左侧作单位圆,并把⊙O 十二等分 ②过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、 2π 、……、π2角的正弦线 ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28) ○4取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 ○5描点连线得y=sinx x ∈[0,2π]的图像 ○ 6利用周期性画出y=sinx （x ∈R ）的图像（如图2） （图1） （图2） （4）五点作图法： 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑 曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”，这五个关键点是： ___________________________，描出这五个点后，函数y=sinx ， α的终边 P M O x y 函数图象变换 一．平移变换（0,0>>k h ） 1．左右平移：“左+右-” （1）将函数()y f x =的图象 ，即可得()y f x h =+的图象； （2）将函数()y f x =的图象 ，即可得)(h x f y -=的图象； 2．上下平移：“上+下-” （1）将函数()y f x =的图象 ，即可得()y f x k =+的图象 （2）将函数()y f x =的图象 ，即可得k x f y -=)(的图象 例如：将函数x y 2log =的图象 即可得)2(log 2+=x y 的图象 将函数x y 2log =的图象 即可得2log 2+=x y 的图象 变式1：将函数x y 2log 2=的图象向右平移1个单位，得到函数________________的图象. 变式2：将函数x y 3=的图象__________________________得到函数23-=x y 的图象. 二．翻折变换 1．要得到函数|()|y f x =的图象，可将函数()y f x =的图象位于x 轴下方的关于x 轴对称翻折到 x 轴上方，其余部分不变（不保留x 轴下方的部分）. 2．要得到函数(||)y f x =的图象,先作出()y f x =)0(≥x 的图象，再利用偶函数关于y 轴对称， 作出0 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 1.（2006·梅列区）函数y = 3 x+1 中自变量x 的取值范围是 .x ≠-1 2．（2006·晋江市）函数3 21-= x y 中，自变量x 的取值范围是 . x ≠2 3 3.（2006·旅顺口区）如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2观察图象写出y 1＞y 2时，x 的取值范围 ． －2＜x ＜0或x ＞3 4．（2006·南通市）在函数5 2-=x x y 中,自变量x 的取值范围是_ ________．x>5 5．（2006·衡阳市）函数y =中自变量劣的取值范围是 . x ≥1 6．（2006·盐城市）函数y= 1 -x 1中，自变量x 的取值范围是 . x ≠1 7．（2006·永州市）函数y =中自变量x 的取值范围是 ．3x ≤ 8．（2006·潍坊市）函数12 y x -=-中，自变量x 的取值范围是（ ）Ｄ A ．1x -≥ B ．2x > C ．1x >-且2x ≠ D ．1x -≥且2x ≠ 9．（2006·广东省）函数1 1+= x y 中自变量x 的取值范围是 ( A ) A ．x ≠-l B ．x >-1 C ．x =- 1 D ．x <- 1 10．（2006·永州市）小慧今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ）D 11．（2006·湛江市）小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（ ）A A ． B ． C ． D ． （分） 八年级数学（上）导学案 班级 姓名 学号 §4.3.2 一次函数的图像(2) 一、教学目标是： 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质； 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略； 二、教学过程 一、第一环节：问题引入： 1、作正比例函数图象的一般步骤有: 、 、 。 2、回顾正比例函数图象的性质？ 3、作一次函数图象的一般步骤有: 。 1、请作出一次函数12+=x y 的图象． 解： 第二环节： 活动探究 1、合作探究，发现规律 在同一直角坐标系内分别画出y=2x+3, y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象． . ； 得出结论：一次函数图像是 .因此作一次函数图像时，只要确定 点，再过这 点作直线就可以了.一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+. 议一议： 1、上述四个函数中，随着x 值的增大，y 的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？ 2、直线y=-x 与y=-x+3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y=-x 变为直线y=-x+3 吗？一般地，直线y=kx+b 与y=kx 又有什么关系？ 3、直线y=2x+3与y=-x+3有什么共同点？一般地，你能从函数y=kx ＋b 的图象上直接看出b 的值吗？ 4、如何确定直线y=kx ＋b 所经过的象限？ 归纳出一次函数图象的特点： 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而 ，当b >0时，直线必过 象限； 当b <0时，直线必过 象限； 当0k <时，y 随x 的增大而 ，当b >0时，直线必过 象限； 当b <0时，直线必过 象限. x … … y … … 函数图像变换与旋转 一.平移变换： 1.y=f （x ）→y=f(x±a )(a>0) 原图像横向平移a 个单位（左+右-） 2.y=f （x ）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b 个单位（上+下-） 3.若将函数y=f （x ）的图像右移a ，上移b 个单位，得到函数y=f （x-a ）+b 二．对称变换： 1.y=f （x ）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y 轴对称； 对比：若f=（-x ）=f （x ） 则函数自身的图像关于y 轴对称； 2.y=f （x ）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x 轴对称； 3.y=f （x ）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称； 对比：若f （-x ）=-f （x ）则函数自身的图像关于原点对称； 4.y=f （x ）→y=f -1 （x ）原图像与新图像关于直线y=x 对称； 5.y=f （x ）→y=f -1（-x ）原图像与新图像关于直线y=-x 对称； 6.y=f （x ）→y=f（2a-x ）原图像与新图像关于直线x=a 对称； 7.y=f （x ）→y=2b-f （x ）原图像与新图像关于直线y=b 对称； 8.y=f （x ）→y=2b-f （2a-x ）原图像与新图像关于点（a ，b ）对称； 三．翻折变换： 1.y=f （x ）→y=f(|x|)的图像在y 轴右侧（x>0）的部分与y=f （x ）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称； 2.y=f （x ）→y=|f(x)|的图像在x 轴上方部分与y=f （x ）的图像相同，其他部分图像为y=f （x ）图像下方部分关于x 轴的对称图像； 3.y=f （x ）→y=f(|x+a|)变换步骤： 法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a 右边图像，后去掉直线x=a 左边图像并作关于直线x=a 对称图像y=f （x ）→y=f(x+a )→y=f(|x+a|) 法2:先保留y 轴右边图像，去掉y 轴左边图像，并作关于y 轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f （x ）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|) 四．伸缩变换： 1.y=f （x ）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变； 2.y=f （x ）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的1a ，纵坐标不变； 函数的定义 一、自变量与应变量 在数学中，通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。那么y 随着x 变化而变化，则我们把x 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是x 函数。 一次函数的图像及性质 一、一次例函数定义 形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。 二、正比例函数 当一次函数()()叫正比例函数。时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。且与y 轴的截距是b ，与y 轴的交点坐标为()b ,0。 2、当0>k 时，正比例kx y =的函数图像过一、三象限， 的增大而增大。随x y 3、当0 六、用函数的观点看不等式 设两个一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的交点 为点()00,y x ，如图可知 （1）当o x x >时，21y y >； （2）当o x x =时，21y y =； （3）当o x x <时，21y y <。 反比例函数图像及性质 一、反比例函数定义 形如()0≠= k x k y 这样的函数叫反比例函数。k 叫比例系数()为常数k 。 二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。 三、反比例函数的性质 2、当0>k 时，反比例函数x k y =的图像分布在一、三象限。 3、当0 5.2.1二次函数的图像与性质⑷ 班级 姓名 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数()k h x a y ++=2 的图像，掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想. 【课前自习】 2 2.抛物线22+=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线()2 32--=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线()2121 +- =x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称； 抛物线()212 1+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称 【课堂助学】 一、 自主探索： 1.画出二次函数()2121 -=x y 和()212 12+-=x y 的图像： ⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： 2.观察上图: ⑴函数 的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同； ⑵函数 可以看成 的图像先向 平移 个单位长度得到 函数 的图像，再向 平移 个单位长度得到. ⑶函数 的对称轴是 ，在对称轴的左侧，即x 时， y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 . ⑷函数 顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 . 二、探究归纳： 1.二次函数()k h x a y ++=2 的图像是一条 ，它对称轴是 ； 顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最值是 . 2.当0>k 时，()k h x a y ++=2 的图像可以看成是()2 h x a y +=的图像向 平移 个单位得到；当0 §1.4.2 正弦函数、余弦函数的 周期性 1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期 . 一、课前准备 （预习教材P 34~ P 36，找出疑惑之处） 自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性. 二、新课导学 ※ 探索新知 问题1：观察下列图表从中发现什么规律？是否具有周期性？ 问题1：.如何给周期函数下定义？ 问题2：判断下列问题： （1）对于函数y=sinx x ∈R 有4sin )24sin( πππ=+成立，能说2 π是正弦函数y=sinx 的周期？ （2）2 )(x x f =是周期函数吗？为什么？ （3）若T 为)(x f 的周期，则对于非零整数)(,Z k kT k ∈也是 )(x f 的周期吗？ 问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？ 问题4：最小正周期的含义；求,sin )(x x f =x x f cos )(=的最小正周期？ ※ 典型例题 例1: 求下列函数的周期： （1）x x f 2cos )(=； （2）)62sin( 2)(π-=x x g 变式训练:1. ⑴求)2cos()(x x f -= ⑵)62sin(2)(π-- =x x g 的周期 2.已知10 cos )(kx x f =，其中0≠k ，当自变量x 在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值. 函数的图象变换 函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。 由函数y = f (x)可得到如下函数的图象 1． 平移： (1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。 (2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。 2． 对称： ? 关于直线对称 (Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。 (2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。 (3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。 (4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。 (5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。 (6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。 (Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x) 右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））； (8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x) 在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。(留正去负，负上翻；) 一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m 2a b x -=对称。 ? 关于点对称 (1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。 (2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。 3． 伸缩 (1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 m 1倍得到。（如果0 中考专项复习三（函数及其图象） 一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，满分40分) 2．若 ab ＞0，bc<0，则直线y=－a b x －c b 不通过（ ）. A ．第一象限 B 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）. A ．－1 B ．1 C ． 2 1 D ．2 4．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）. A ．y=－x －2 B ．y=－x －6 C ．y=－x+10 D ．y=－x －1 5．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y= kb x 的图象大致为（ ） . 6．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 A ．1 B ．3 C ．4 D ．6 7．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）. A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－2 8．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则点(a+b ，ac)在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9．二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②b ＞0； ③c ＞0；④b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是（ ）. A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个 10．如图，正方形OABC ADEF ，的顶点A D C ，，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B E ，在函数 1 (0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是（ ） Ａ． ?? Ｂ． ? ? Ｃ． ?? Ｄ．?? 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知y 与(2x+1)成反比例，且当x=1时,y=2，那么当x=-1时，y=_________. 12．在平面直角坐标系内，从反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是_________. 13．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙： 函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小 .请你根据他们的叙述构造满足上述 x 一次函数的图像 学 科 课题 4.3一次函数的图像（第二课时） 授课教师 教学 目标 了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质；经历对一次函数 图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略；在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想。 重点 初步了解作函数图象的一 般步骤：列表、描点、连线． 德育 目标 通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。 难点 理解一次函数的代数表达 式与图象之间的一一对应 关系． 一、复习回顾 在同一直角坐标系内的作出下列一次函数的图象 2,5,621-==+=x y x y x y ）（ 32 1 ,2,6)2(--=-=+-=x y x y x y （1） （2） 教学过程 课堂笔记 一、合作探究，发现规律 观察上述一次函数在同一直角坐标系内的图象 （1）观察图象，它们分别分布在哪些象限. （2）观察每组三个函数的图象，随着x 值的变化，y 的值在怎样变化？ （3）从以上观察中，你发现了什么规律？ 归纳出一次函数图象的特点： 结论：在一次函数y =kx +b 中 当0>k 时，直线向 倾斜，y 随x 的增大而 ，当b >0时，直线必过 象限； 当b <0时，直线必过 象限； 当0 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 【学习目标】 1、通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法. 2、通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法,体会用“五点法” 作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 【学习重点】正弦函数、余弦函数的图象. 【学习难点】将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 【学习过程】 一、预习提案 1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象。 说明：使用三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范。 3、观察图象（正弦曲线），说明正弦函数图象的特点： ①由于正弦函数y=sinx 中的x 可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧 。 ②正弦函数y=sinx 图象总在直线 和 之间运动。 4、观察正弦函数y=sinx, x ∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点： ， ， ， ， 6、①函数?（x+1）的图象相对于函数?（x ）的图象是如何变化的？ ②函数y=sin （x+ 2π）的图象相对于正弦函数y=sinx 的图象是如何变化的？ ③由诱导公式知：sin （x+2π）= ，所以函数y=sin （x+2 π）= ④请画出y=cosx 的图象（余弦曲线） 7、观察余弦函数y=cosx, x ∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点： ， ， ， ， 8、用“五点作图法”画出y=cosx, x ∈[-π,π]的图象。 二、新课讲解 例1、用“五点作图法”作出y=x sin , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x sin 在整个定义域内的图象。 练习：用“五点作图法”作出y=x cos , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x cos 在整个定义域内的图象。 上节课知识检测 一、基本内容 1．利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为： 2、会画基本函数图像（一次(两点想x 取0，，y 取0（或X 取1）)、反比例（三点（x 取1/2、1,2）对称轴、对称中心）、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x 取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x 取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X 值点)、三角(x 取五点；对称轴、对称中心)） 3.掌握画图像的基本方法：（1）描点法（2）图像变换法．平移、伸缩、翻折 （3）讨论分段法 (1)平移变换： y ＝f (x ) ――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位 y ＝f (x －a )； y ＝f (x ) ―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换： y ＝f (x ) 1 011 1ωωωω <<>????????→，伸原的倍 ，短原的 长为来缩为来 y ＝f (ωx )； y ＝f (x ) ――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0 第六章：函数及其图像 知识点： 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征： （1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P （x, y ）在第一象限?x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限?x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限?x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限?x ＞0，y ＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征： 点P （x, y ）在x 轴上?y 为0，x 为任意实数。 点P （x ，y ）在y 轴上?x 为0，y 为任意实数。 3．点P （x, y ）坐标的几何意义： （1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |； （3）点P （x, y ）到原点的距离是22y x + 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --； 二、函数的概念 1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数 《正弦函数的图像》教学案 一、教学目标： 1、知识与技能 (1)进一步熟悉单位圆中的正弦线； (2)理解正弦诱导公式的推导过程； (3)掌握正弦诱导公式的运用； (4)能了解诱导公式之间的关系，能相互推导； (5)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性； (6)能熟练运用正弦函数的性质解题。 2、过程与方法 通过正弦线表示α，－α，π－α，π＋α，2π－α，从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α，－α，π－α，π＋α，2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 三、学法与教学用具 在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。 教学用具:投影机、三角板 第一课时正弦函数诱导公式 一、教学思路 【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα (k ∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 1． 复习：(公式1)sin(360?k +α) = sin α 2． 对于任一0?到360?的角，有四种可能(其中α为不大于90?的非负角) (以下设α为任意角) 3.公式2： 设α的终边与单位圆交于点P(x ，y )，则180?+α终边 与单位圆交于点P’(-x ，-y )，由正弦线可知： sin(180?+α) = -sin α 4．公式3： 如图：在单位圆中作出α与－α角的终边， 同样可得： sin(-α) = -sin α， 5． 公式4：由公式2和公式3可得： sin(180?-α) = sin[180? +(-α)] = -sin(-α) = sin α， 同理可得： sin(180?-α) = sin α， 6．公式5：sin(360?-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 x y o P’(x ,-y ) P M x y o P (x ,y ) P (--y ) [ [[[ ??? ????β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角 ），当为第三象限角）， 当为第二象限角）， 当为第一象限角，当 36027036027018018018090180) 900 函数图像的四种变换 1．平移变换 左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。 （1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 （2）中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换 （1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。 （2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（0 4．翻折变换 （1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。 （2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。 习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像 函数及其图像 知识定位 函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一．另外，函数中尤其以二次函数最为重要，综合性最强，对学生思维要求更高。本文拟对函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考． 知识梳理 知识梳理1：正反比例函数及一次函数 反比例函数和一次函数在竞赛中的考查通常会把函数图像和性质跟整数解问题、图形面积问题、动点构成的等腰三角形、直角三角形相结合，往往综合性较强，难度较大。需要我们对函数图像，常见典型问题进行总结，对它们有比较深的认识，才能游刃有余地解决各类问题。 知识梳理2：二次函数 1、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题 抛物线y=ax 2+bx+c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a>0向上，a<0向下；常数项c 描述抛物线与y 轴的交点(0，c)，c>0时交点处x 轴上方，c<0时交点处x 轴的下方，c=0时时处原点；由对称轴公式x=－ a b 2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b 2－4ac 大于0，等于0或小于0，决定抛物线和x 轴交点的个数，等等． 上面性质反之亦成立．我们还可以通过考察如x=±1时y 的值的情况，来确定a±b+c 等的符号问题． 2、二次函数与整数问题 二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a 、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法． 3、二次函数的最值问题 定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在正弦函数的图像(导学案)
高中函数的图像变换
数学f1初中数学2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 (2)
§3.2 一次函数的图像导学案
函数图像变换与旋转
初中函数图像及性质
5.2 二次函数的图像和性质(3) 导学案
人教版高中数学必修四《1.4.2正弦函数、余弦函数的性质》导学案
函数图像变换(整理)
初中数学函数图像专题
八年级数学上册 4.3 一次函数的图像教 精品导学案2 北师大版
1.4《正弦函数、余弦函数的图象》导学案
函数图像变换及应用
初三总复习函数及其图像知识点
《正弦函数的图像》教学案
函数图像的四种变换形式
初中数学重点梳理：函数及其图像
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