有理数的乘方及混合运算（提高）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )．
即有：n a a a a n ???=个
.在n
a 中，a 叫做底数， n 叫做指数.
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）
0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1. 计算：
（1）44333--44
；；（-）；（-3） （2）33
2(2)33--3322；（）；（-）；33
《有理数的乘方》典型例题 例1 计算： （1）4)3(-；（2）3)8(-；（3）4)3 1(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值． 解 （1）.81)3()3()3()3()3(4=-?-?-?-=- （2）.512)8()8()8()8(3-=-?-?-=- （3）.81 1)31()31()31()31()31(4=-?-?-?-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3)8(-和4)3 1(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方． 例2 计算： （1）3)7(--；（2）45.0- 分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--； （2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-． 解 （1）3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=- 例3 计算12104)25.0(?-的值． 分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现 48476Λ4484476Λ个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(???=??==-． 这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了． 解 12104)25.0(?- 1210425.0?= 48476Λ444844476Λ个个1210444 25.025.025.0???????= )44( )425.0()425.0()425.0(10????????=444444844444476Λ个
有理数找规律专题 1.观察下面的每列数，按某种规律在横线上适当的数。 (1)-23，-18，-13,______，________； ; (2)2345,,,8163264 --，_______，_________； 2．有一组数：1,2,5,10,17,26,.....，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________. 3．观察下列算式：21=2,22 =4,23 =8,24＝16,25 =32,26=64,27＝128，通过观察，用你所发现的规 律确定22011的个位数字是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4．一根lm 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ） A.31()2m B. 51()2m C. 61()2m D. 12 1()2m 5.下面一组按规律排列的数：1,2,4,8,1 6.......，第2011个数应是（ ） A. 22011 B. 22011-1 C.22010 D ．以上答案不对 6．观察，寻找规律 （1) 0.12＝________，12＝_________，102＝__________，1002＝___________； (2)0.13=_________，13＝_________，103＝__________，1003＝___________； 观察结果，你发现什么了？ 7．观察下列三行数： 第一行：-1,2，-3,4，-5…… 第二行：1,4,9，16,25，…… 第三行：0,3,8,15,24，…… (1)第一行数按什么规律排列？ (2)第二行、第三行分别与第一行数有什么关系？ (3)取每行的第10个数，计算这三个数的和． 变式： 8．有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12,……它的每一项可用式子2n(n 是正整数)表示． 有规律排列的一列数：1，-2,3，-4,5，-6,7，-8...... (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ (2)它的第100个数是多少？ (3)2012是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 9．如果对于任意非零有理数a,b 定义运算如下：a △b=ab ＋1，那么（-5)△（+4)△（-3）的值是多少？
有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解
有理数的乘方及混合运算（提高） 【学习目标】 1．理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】 要点一、有理数的乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂 (power )． 即有：n a a a a n ???=个 .在n a 中，a 叫做底数， n 叫做指数. 要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符 号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数的混合运算】
要点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】 类型一、有理数的乘方 1. 计算： （1）44333--44；；（-）；（-3） （2）33 2(2)33 --3322；（）；（-）；33 【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4＝3×3×3×3＝81； -3 4＝-（3×3×3×3）＝-81； 4(3)(3)(3)(3)(3)81-=-?-?-?-=； 4(3)[(3)(3)(3)(3)]81--=--?-?-?-=- (2)322228333??==； 322228()()()()333327 =??=； 322228()()()()333327 -=-?-?-=-；
有理数乘方练习题 班级： 学号： 姓名： 成绩： 一. 填空题（每空2分，共58分） 1.有理数乘方 180= =25 =-3)2( =31.0 =-4)10( =-2)2.0( =-2)3.0( =-2)2 11( =-3)3 21( =-1)2009( =-8888)1( =-5555)1( 2. 有理数乘方 =-20)1( =-33 =-410 =--3)4( =--2)2( =--2)53( =--4)101( =-3)2 1( 3. 有理数的混合运算 =-+-1110)1()1( =-+-33)2(2 =---33)2(2 =---1110)1()1( =-?-33)21(2 =-?-22)4 1(4 =-÷-)10()10(33 =-÷-)5()5(22 222)4(52-??-= 二. 计算题（每题3分，共42分） 1. 232)31(3)4(-?-- 2. )5()5()2(32-÷--- 3. 4)4(5) 1(3100÷-+?- 4. 82321)10()10(3--÷---
5. )21()2()2(4232-?---÷- 6. 322)5 2()54(10-?-÷- 7. []224)3(27 11--?-- 8. 2)5(9559)81(-÷?÷- 9. )31 ()6(2)32 (22-?-÷-- 10. 53143)3161(67÷?-÷ 11. 3 2)32()51()3141(58-÷-÷-? 12. )3.0()9.0()6()2(2233-÷---?--- 13. ?? ? ???-?---+-)3(2)32(243)5( 14. 2232)64()21()2()2(4---?---÷-
有理数的乘方(1) 一．选择题 1、118表示（ ） A 、11个8连乘 B 、11乘以8 C 、8个11连乘 D 、8个别1相加 2、－32的值是（ ） A 、－9 B 、9 C 、－6 D 、6 3、下列各对数中，数值相等的是（ ） A 、 －32 与 －23 B 、－23 与 (－2)3 C 、－32 与 (－3)2 D 、(－3×2)2与－3×22 4、下列说法中正确的是（ ） A 、23表示2×3的积 B 、任何一个有理数的偶次幂是正数 C 、－32 与 (－3)2互为相反数 D 、一个数的平方是94，这个数一定是3 2 5、下列各式运算结果为正数的是（ ） A 、－24×5 B 、(1－2)×5 C 、(1－24)×5 D 、1－(3×5)6 二、填空题 1、(－2)6中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；5 23??? ??-的底数是 ，指数是 ，结果是 ； 2、根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ； 3、平方等于641的数是 ，立方等于64 1的数是 ； 4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ； 5、平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ； 计算题 1、()42-- 2、3 211??? ?? 3、() 20031- 4、()3 3131-?-- 5、()2332-+- 6、()2233-÷-
有理数的乘方(2) 一．选择题 1、如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ） A 、－2 B 、2 C 、4 D 、2或－2 2、一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ） A 、 0 B 、0或1 C 、－1或1 D 、0或1或－1 3、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、 非负数 D 、任何有理数 4、－24×(－22)×(－2) 3=（ ） A 、 29 B 、－29 C 、－224 D 、224 5、两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ） A 、相等 B 、不相等 C 、绝对值相等 D 、没有任何关系 6、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或负数 D 、奇数 7、(－1)2001＋(－1)2002÷1-＋(－1)2003的值等于（ ） A 、0 B 、 1 C 、－1 D 、2 二、填空题 1、=??? ??-343 ，=??? ??-343 ，=-433 ； 2、()372?-，()472?-，()5 72?-的大小关系用“＜”号连接可表示为 ； 3、如果44a a -=，那么a 是 ； 4、()()()()=----20022001433221 ； 5、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ； 6、若032＞b a -，则b 0 计算题 1、()()3322222+-+-- 2、()34255414-÷-?? ? ??-÷ 3、()?? ? ??-÷----721322246 4、()()()33220132-?+-÷---
知识点总结 1.乘方求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即 2.幂乘方的结果叫做幂. 3.读法在中，a叫做底数，n叫指数，读作a的n次幂，也可以读作a的n次方. 4.正数的任何次幂都是正数;负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 5.科学记数法把一个大于10的数记成的形式，其中a 的整数位只有一-位，这种记数的方法，叫做科学记数法。 一、有关定义： 求相同因数的积叫做乘方。乘方运算的结果叫幂。正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2与7叫做底数,2与3叫做指数。 这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫指数。任何数的0次方都是1，例：3o=1（注：0o无意义） 二、运算法则： 1、同底数幂的运算法则： 同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。
推导： 设a m×a n中，m=2，n=4，那么 a2×a4 =（a×a）×(a×a×a×a) =a×a×a×a×a×a =a6 所以代入：a m×a n=a(m+n) 用字母表示为： a m·a n=a(m+n)或a m÷a n=a(m－n)（m、n为正整数） 2、正整数指数幂的法则 a k=a×a×... ×a（k个a），（即k为正整数） 3、0指数幂的法则 a0=1 ，其中a≠0， 推导： a0 =a(1-1) =(a1)÷(a1) =a÷a =1 知识点2： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 a=0，b=0； （4）据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。 知识点3：
9 有理数的乘方 1．乘方的意义 (1)乘方的定义 求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)． 乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数， 指数是相同因数的个数． (2)乘方的意义 a n 表示n 个a 相乘． 即a n ＝n a a a a a ?????1442443个. 如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘． 释疑点 (－a )n 与－a n 的区别 ①(－a )n 表示n 个－a 相乘，底数是－a ，指数是n ，读作：－a 的n 次方；②－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－ 3)×(－3)×(－3)＝－27. －33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27. (3)乘方的书写 ①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写． ②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应 写小一点．如(－1)2不能写成－12，????322不能写成32 2. 【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________． (2)120137111777??- ??? ??????-?-???- ? ? ??????? 14444244443个写成乘方的形式是__________，读作__________．
初一数学上册第一单元有理数知识点归纳 一．有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类:①② (3) 2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是 -a-b;(3) 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2)绝对值可表示为：绝对值的问题经常分类讨论; (3)
(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|·|b|=|a·b|, 5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0. 二．有理数法则及运算规律。 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加，仍得这个数. 2.有理数加法的运算律： (1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b). 4.有理数乘法法则： (1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 5.有理数乘法的运算律： (1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 6.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数， . 7.有理数乘方的法则： (1)正数的任何次幂都是正数; 三．乘方的定义。 (1)求相同因式积的运算，叫做乘方; (2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;
《有理数的乘方》专题培优 （一）知识回顾1、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或负数 D 、奇数 2、(－1)2001＋(－1)2002÷1-＋(－1)2003的值等于（ ） A 、0 B 、 1 C 、－1 D 、2 3、一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ） A 、 0 B 、0或1 C 、－1或1 D 、0或1或－1 4、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、 非负数 D 、任何有理数 5、－24×(－22)×(－2) 3=（ ） A 、 29 B 、－29 C 、－224 D 、224 5、两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ） A 、相等 B 、不相等 C 、绝对值相等 D 、没有任何关系 7、平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是； 8、()372?-，()472?-，()5 72?-的大小关系用“＜”号连接可表示为； 9、如果44a a -=，那么a 是； 10、()()()()12233420132014----=； 11、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是； 12、若032＞b a -，则b 0 13、()34255414-÷-?? ? ??-÷ 14、()?? ? ??-÷----721322246 15、()()()33220132-?+-÷--- 16、()()()33220132-?+-÷--- 17 ()()33 22222+-+-- 18 215[4(10.2)(2)]5---+-?÷- 19 4211(10.5)[2(3)]3 ---??-- 20、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多 21、你吃过“手拉面”吗？如果把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，……如此往复下去，对折10次，会拉出多少根面条？
人教版七年级数学上册课后同步练习有理数的 乘方 基础巩固 1．求25－3× [32＋2×〖－3〗]＋5的值为〖〗． A．21 B．30 C．39 D．71 2．对于〖－2〗4与－24，下面说法正确的是〖〗． A．它们的意义相同B．它们的结果相同 C．它们的意义不同，结果相等D．它们的意义不同，结果不等 3．下列算式正确的是〖〗． A． 2 24 33 ?? -= ? ?? B．23＝2×3＝6 C．－32＝－3×〖－3〗＝9 D．－23＝－8 4．在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的个数是〖〗． A．18 B．19 C．10 D．9 5．若a n＞0，n为奇数，则a〖〗． A．一定是正数B．一定是负数 C．可正可负D．以上都不对 6．1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？ 能力提升 7．－〖－32〗－|－4|的值为〖〗． A．13 B．－13 C．5 D．－5 8．下列式子正确的是〖〗． A．－24＜〖－2〗2＜〖－2〗3B．〖－2〗3＜－24＜〖－2〗2 C．－24＜〖－2〗3＜〖－2〗2D．〖－2〗2＜〖－2〗3＜－24 9．a，b互为相反数，a≠0，n为自然数，则〖〗． A．a n，b n互为相反数B．a2n，b2n互为相反数 C．a2n＋1，b2n＋1互为相反数D．以上都不对 10．若x为有理数，则|x|＋1一定是〖〗． A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．小于1 11．某市约有230万人口，用科学记数法表示这个数为〖〗． A．230×104B．23×105 C．2‘3×105D．2‘3×106 12．为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作 ‘2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330 000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并精确到1 000毫克/千瓦时为__________毫克/千瓦时． 13．计算：－24－1 7 ×[2－〖－2〗4]的结果为__________． 14．计算下列各题： 〖1〗〖－3〗2－〖－2〗3÷ 3 2 3 ?? - ? ?? ； 〖2〗－72＋2×〖－3〗2－〖－6〗÷ 2 1 3 ?? - ? ?? ‘ 15．如果|a＋1|＋〖b－2〗2＝0，求〖a＋b〗39＋a34的值．16．已知|x－1|＋〖y＋3〗2＝0，求〖xy〗2的值． 17．观察下列各式找规律：
有理数的乘方 引入： 棋盘上的数学 古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格。”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！” 设计意图： 通过创设故事和问题情境,吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。 猜想第64格的米粒是多少？ 第1格: 1 第2格: 2 第3格: 4=2×2=22 第4格: 8=2 ×2 ×2=23 第5格: 16= 2 ×2 ×2 ×2=24 63个2 第64格=2×2×······×2=263 【知识点二】乘方的意义 乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方 a·a·…·a=a n
a n 读作a 的n 次幂（或a 的n 次方）。 其中a 是底数，n 是指数。 【例1】 把下列各数写成乘方的形式 （1） （-6）×（-6） ×（-6） （2） 32323232??? （3） －2×2×2×2 变式训练 读出下列个数，并指出其中的底数和指数 1) 在（－9）7中,底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ； 2) 在83中，底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ； 3) 在 中，底数是 ，指数是 ，读作 ； 4) 在－24中，底数是 ，指数是 ； 5）在 5 中,底数是 ,指数是 。 【知识点三】 有理数乘方的运算法则： 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 【例2】 443?? ? ??
2.11 有理数的乘方 1．有理数乘方的概念 (1)乘方的意义： 一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即 ＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫 做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)． (2)乘方的表示方法 (3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面： ①注意乘方的双重含义 乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果． 如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂； ②注意乘方底数的书写格式 乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后 者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作????546，不能记作564 ； ③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写； ④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－ 3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同． ⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成． 如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算????124时，应将它 转化为计算12×12×12×12 的积． 【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？ (1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)； (2)25×25×25×25 ； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．
有理数的乘方及混合运算(提 高) 【学习目标】 1理解有理数乘方的定义; 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算; 3. 进一步掌握有理数的混合运算? 【要点梳理】 要点一、有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕 要点诠释： (1)乘方与幕不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幕是乘方运算的结果. (2 )底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来. (3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51，指数1通常省略不写. 要点二、乘方运算的符号法则 (1) 正数的任何次幕都是正数；(2)负数的奇次幕是负数， 负数的偶次幕是正数； 0的任何正整数次幕都是0; (4)任何一个数的偶次幕都是非负数，即_. 要点诠释： (1) 有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幕的符号，然后再计算幕的 绝对值. (2) 任何数的偶次幕都是非负数. 【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849 有理数的混合运算】 要点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 要点诠释： (1) 有理数运算分三级，并且从高级到低级 进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二 级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； (2) 在含有多 重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的 顺序进行. (3) 在运算过程中注意运算律的运用. 【典型例题】 类型一、有理数的乘方 即有：aga多4§a a n .在a n中，a叫做底数, 指数 (power). (3)
第一章有理数知识点归纳 一、正数和负数 正数和负数的概念 负数：比0小的数；正数：比0大的数。 0既不是正数，也不是负数 ☆注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负. 二、有理数 有理数的概念 （1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） （2）正分数和负分数统称为分数 （3）整数和分数统称有理数 ☆注意：①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线； 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 数轴的三要素都是根据实际需要规定的，同一数轴上的单位长度要统一； （2）数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，正有理数可用原点正方向的点表示，负有理数可用原点负方向的点表示，0用原点表示。 相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；任何一个有理数都有相反数 （2）互为相反数的两数的和为0，即：若a、b互为相反数，则a+b=0；互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 （3）在一个数的前面加上负号“-”，就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。 （4）多重符号的化简 多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。 绝对值 （1）绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，
《有理数的乘方》典型例题 例1 计算： （1）4)3(-；（2）3)8(-；（3）4)3 1(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值． 解 （1）.81)3()3()3()3()3(4=-?-?-?-=- （2）.512)8()8()8()8(3-=-?-?-=- （3）.81 1)31()31()31()31()31(4=-?-?-?-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3)8(-和4)3 1(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方． 例2 计算： （1）3)7(--；（2）45.0- | 分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--； （2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-． 解 （1）3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=- 例3 计算12104)25.0(?-的值． 分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现 个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(???=??==-． 这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了． 解 12104)25.0(?- 1210425.0?= 个个1210444 25.025.025.0???????=
)44( )425.0()425.0()425.0(10????????= 个 16 11110????= 个 | .16= 说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来． 例4 选择题： （1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个． A ．18 B ．19 C ．10 D ．9 （2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个． A ．7 B ．8 C ．10 D ．12 分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负数，所以满足题意的数应在0，1，…，99中寻找．819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========，而100102=（不合题意），所以共计10个数． （2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方是成对的，比如有6443=，就有64)4(3-=-，只有03是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数． 解 （1）选C （2）选A ． 说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂． （2）第（2）问还可以怎样给出呢如果把其中的“D ”改为13个，你又怎样解出呢要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．
有理数的乘方练习题 课堂学习检测 一、选择题 1．－12的计算结果是( )． (A)1 (B)－11 (C)－1 (D)－2 2．－0.22的计算结果是( )． (A)－0.04 (B)0.04 (C)0.4 (D)－0.4 3．312-的计算结果是( )． (A)91 (B)31 - (C)91 - (D)3 1 4．下列各式中，计算结果得0的是( )． (A)22＋(－2)2 (B)－22－22 (C)2221)21 (-- (D)2 221)21 (+- 5．下列各数互为相反数的是( )． (A)32与－23 (B)32与(－3)2 (C)32与－32 (D)－32与－(－3)2 二、填空题 6．对于(－2)6，6是______的指数，底数是______，(－2)6＝______.对－26，6是____的指数，底数是____，－26＝______． 7．计算：(1)34＝______； (2)－34＝______； (3)(－3)4＝______；(4)－(－3)4＝______； =32)5(3______； =3)32)(6( ______； =-3)32)(7(______；=--3)2()8(3______； 8．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______． 三、计算题 9．6×(－2)2÷(－23) 10．22223 2)32(2)2(-+--
11．(3×2)2＋(－2)3×5－(－0.28)÷(－2)2 12．)2 131()1()3(3322-?---÷- 13．|32|)2.0(1)1.0(1323--+--- 14．2 34)2 1(211])43()21[(1-+--+ 综合、运用、诊断 一、选择题 15．下列说法中，正确的个数为( )． ①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m )2； ③对于任何有理数m 、n (m ≠n )，都有(m －n )2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m )3． (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 16．下列说法中，正确的是( )． (A)一个数的平方一定大于这个数 (B)一个数的平方一定是正数 (C)一个数的平方一定小于这个数 (D)一个数的平方不可能是负数 二、填空题 17．设n 为自然数，则： (1)(－1)2n －1＝______；(2)(－1)2n ＝______；(3)(－1)n ＋1＝______． 18．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______．
有理数的乘方 基础知识，基本技能 1．乘方的意义 (1)乘方的定义 求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)． 乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是 相同因数，指数是相同因数的个数． (2)乘方的意义 a n 表示n 个a 相乘． 即a n ＝n a a a a a ?????1442443个. 如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘． 释疑点 (－a )n 与－a n 的区别 ①(－a )n 表示n 个－a 相乘，底数是－a ，指数是n ，读作：－a 的n 次方；②－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27. －33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27. (3)乘方的书写 ①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写． ②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指 数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，? ?? ??322不能写成322. 【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________． (2)120137111777??- ??? ??????-?-???- ? ? ??????? 14444244443个写成乘方的形式是__________，读作__________． 解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数 的个数；(2)把n 个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中? ?? ??－17是底数，相同因数的个数2 013写成指数． 答案：(1)10个－1.2相乘 －1.2 10 (2)? ????－17 2 013 负17的2 013次幂? ?? ??或负17的2 013次方 2．乘方运算的符号法则
第一章 有理数 一、 知识框架图 知识点详列： 1、正数和负数：数0既不是正数也不是负数。 正数和负数是表示两种具有相反意义的量。 2、 有理数分类 （1）按定义分类： （2）按性质符号分类： ?????????????????负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ???? ???????????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 它满足以下要求： （1） 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2） 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3） 选取适当的长度为单位长度。
4、相反数：绝对值相等，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数仍是0. 5、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|。 由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 6、有理数比较大小 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的四则运算 （1）有理数的加法 加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. ③一个数同0相加，仍得这个数。 运算律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c） (2)有理数的减法 可转化为加法进行，减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 正-正=正+负；正-负=正+正； 负-正=负+负；负-负=负+正。 （4）有理数的乘法 乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘，都得0. ③乘积是1的两个数互为倒数。 ④几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积为负。 运算律： 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=ab+ac (5)有理数的除法
有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高） 【学习目标】 1．理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】 要点一、有理数的乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：n a a a a n ???=个 .在n a 中，a 叫做底数， n 叫做指数． 要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51 ，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2 a ≥0． 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 要点四、科学记数法 把一个大于10的数表示成10n a ?的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210?. 要点诠释： （1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3 310-?； （2）把一个数写成10n a ?形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.
有理数的乘方及混合运算（提高） 【学习目标】 1．理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】 要点一、有理数的乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )． 即有：n a a a a n ???=个 .在n a 中，a 叫做底数， n 叫做指数. 要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3） 0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】 类型一、有理数的乘方 1. 计算： （1）44333--44 ；；（-）；（-3） （2）33 2(2)33--3322；（）；（-）；33