中考函数专题复习
例1. 已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O 为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。
例2. 小明用的练习本可以在甲商店买，也可以在乙店买，已知两店的标价都是每本1元，但甲店的优惠条件是：购买10本以上从第11本开始按标价的70%卖，乙店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖。
（1）小明买练习本若干本（多于10）设购买x本，在甲店买付款数为y1元，在乙店买付款数为y2元，请分别写出在两家店购练习本的付款数与练习本数之间的函数关系式；
（2）小明买20本到哪个商店购买更合算
（3）小明现有24元钱，最多可买多少本
例3. 李先生参加了新月电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为万元，交了首付之后每月付款y元，x个月结清余款。y与x的函数关系如图所示，试根据图象所提供的信息回答下列问题：
（1）确定y与x的函数关系式，并求出首付款的数目
（2）李先生若用4个月结清余款，每月应付多少元
（3）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款
例4. 已知抛物线中，当时，随的增大而增大，求
y k x x y x k
k
=+<
-
()10
27
例5.
部分，如果这个同学出手处A的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B
6. 某商品平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降阶1元，每天可多销售10件。
（1）若每件降价x元，可获的总利润为y元，写出x与y之间的关系式。
（2）每件降价多少元时，每天利润最大最大利润为多少
基础题
1．抛物线y ＝－x 2
＋2的顶点坐标是________，对称轴是________，开口向________． 2．抛物线y ＝2(x －3)2
＋5，当x ＜________时，y 的值随x 值的增大而________，当x ＞________时，y 的值随 x 值的增大而________；当x ＝________时，y 取得最________值，最________值＝________．
3．函数362
＋－＝x x y k 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 4．若二次函数2
223m m x mx y －＋－＝的图象经过原点，则m ＝_________．． 5．在函数y =
2
1-x 中，自变量x 的取值范围是__________
6．抛物线y ＝3x 2
－6x ＋5化成顶点式是______________，当x _____时，y 随x 的增大而减少；当x _____时，y 随x 的增大而增大．
7．函数y=
1
-x x
中，自变量x 的取值范围是 ( ) (A) x≥o (B) x>0且x≠l (C) x>O (D)x≥o 且x≠1
8．下列四个函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ）．
9．若M （21-
，y 1）、N （4
1
-，y 2）、P （21，y 3）三点都在函数y=x k （k < 0）的图
像上，则y 1 、y 2 、y 3 的大小关系为 （ ） >y 3 >y 1 >y 1 >y 3 >y 1 >y 2 >y 2 >y 1
10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的是（ ）．
11.已知抛物线中，当时，随的增大而增大，求y k x
x y x k k =+<-()1027
的值。
能力提升题
1．如图，△OPQ 是边长为2
是 .
2. 一元二次方程(2)0x x -=根的情况是 A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3. 如图,在平面直角坐标系中,A 、B 均在边长为1的正方形网格格点上.
(1)求线段AB 所在直线的函数解析式,并写出当02y ≤≤时,自变量x 的取值范围；
(2)将线段AB 绕点B 逆时针旋转90o ,得到线段BC ,请在答题卡 指定位置画出线段BC .若直线BC 的函数解析式为y kx b =+, 则y 随x 的增大而 (填“增大”或“减小”).
4. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半
轴和x 轴的正半轴上，抛物线y =ax 2
+bx +c 经过点A 、B 和
D 2
(4,)3
-.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点B 运动，同
时点Q 由点B 出发沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S =PQ 2
(cm 2
)
试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；
函数与几何综合专题 解答题 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交 于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
4．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值； （Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说 明理由． 6．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q． （1）试确定三角板ABC的面积； （2）求平移前AB边所在直线的解析式； （3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，
初三数学函数专项练习题及答案 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．函数y ＝x ＋2中，自变量x 的取值范围是 (A ) A ．x ≥－2 B ．x <－2 C ．x ≥0 D ．x ≠－2 2．已知函数y ＝?????2x ＋1（x≥0）， 4x （x ＜0）， 当x ＝2时，函数值y 为(A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点A (2，y 1)，B (4，y 2)都在反比例函数y ＝k x (k <0)的图象上，则y 1，y 2的大小关系为(B ) A ．y 1>y 2 B ．y 1 函数专题 一、单选题（共10题；共20分） 1.把抛物线y＝2(x﹣3)2+k向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k的值是( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 2.对于二次函数y=?3(x+1)2-2的图象与性质，下列说法正确的是（） A. 对称轴是直线x=1，最小值是-2 B. 对称轴是直线x=1，最大值是-2 C. 对称轴是直线x=?1，最小值是-2 D. 对称轴是直线x=?1，最大值是-2 3.抛物线y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标为（） A. （2，﹣7） B. （2，7） C. （﹣2，﹣7） D. （﹣2，7） 4.抛物线的顶点坐标是（） A. （-1，2） B. （-1，-2） C. （1，-2） D. （1，2） 5.在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（） A. （1，3） B. （1，﹣3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3） 6.抛物线y=x2+6x+m与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣1，0），那么另一个交点的坐标为（） A. （1，0） B. （﹣5，0） C. （﹣2，0） D. （﹣4，0） 7.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则抛物线y=x2+mx与x轴的交点坐标为（） A. （0，0） B. （0，6） C. （0，0）和（0，6） D. （0，0）和（6，0） 8.李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（） A. =20 B. n（ n ﹣1）=20 C. =20 D. n（n+1）=20 9.已知函数(a＜0），当自变量x＞m时，y＜b-a；当自变量x＜n时，y＜b-a；则下列m，n 关系正确的是（） A. m-n=1 B. m-n=2 C. m+n=1 D. m+n=2 10.（2015?安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c 的图象可能是（） A. B. C. D. 二、填空题（共5题；共5分）11.抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝l，则b的值为________ 12.（2014?抚顺）将抛物线y=（x﹣3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式 为 ________． 13.已知二次函数（m为常数）的图象经过原点,则m=________ ． 14.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2＋1(a<0)的图象上，若x1>x2>0，则y1________y2.(填“>”“<”或“＝”) 15.（2017?鄂州）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是________． 三、计算题（共3题；共20分） 16.求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值． 17.分别写出下列二次函数的对称轴和顶点坐标． （1）； （2）． 18.我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 四、解答题（共6题；共40分） 19.如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围． 20.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x=﹣1． （1）求m，n的值； （2）x取什么值时，y随x的增大而减小？ 中考三角函数的应用专题训练 1、如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号） 2、丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度（精确到个位，≈1.7）． 3、为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC 与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2． （1）求车架档AD的长； （2）求车座点E到车架档AB的距离． （结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321） 4、生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC． （结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，s in50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64） A B C P P' 37°53° 湖面5、如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A 、B 两地修建一段地铁，点B 在点A 的正东方向，由于A 、B 之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C 在点A 的北偏东45°方向上，在点B 的北偏西60°方向上，BC=400m ，请你求出这段地铁AB 的长度．（结果精确到1m ，参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，） 6、如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C 点，乙船正好到达甲船正西方向的B 点，求乙船的速度 ． 7．某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A 处，看湖面上空一热气球P 的仰角为37°，看P 在湖中的倒影P ’的俯角为53°，（P ’为P 关于湖面的对称点），请你计算出这个热气球P 距湖面的高度PC 约为多少米？ 注：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈3 4 ; Sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈4 3 中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四） 5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3 中考复习 函数专题 一、填空题 1． 如果正比例函数及反比例函数图象都经过点（-2，4），则正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ． 2. 抛物线5)2(42++-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ． 3．二次函数6332-+=x x y 与x 轴有 个交点，交点坐标是 ． 4．已知m 是整数，且一次函数2)4(+++=m x m y 的图象不过第二象限，则m= . 5．直线y =3 43 2--x 与两坐标轴围成的三角形面积是 . 6．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 . 7. 反比例函数x k y =的图象经过点（2，－1），则k 的值为 ． 8. 双曲线x k y =和一次函数y ＝ax ＋b 的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a ＋2b ＝____________． 9. 已知反比例函数2 k y x -= ，其图象在第一、第三象限内，则k 的值可为 ．（写出满足条件的一个k 的值即可） 10.在电压一定的情况下，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，则I 关于R 的函数表达式为 ． 二、选择题 11. 直线y=kx+1一定经过点（ ） A ．（1，0） B ．（1，k ） C ．（0，k ） D ．（0，1） 12. 如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，若∠ADE=∠C ，且AB=5，AC=4，AD=x ，AE=y ，则y 与x 的关系式是（ ） A ．y=5x B ．y=45 x C ．y=54x D ．y= 920 x 13. y =(x －1)2＋2的对称轴是直线 （ A ．x =－1 B ．x =1 C ．y =－1 D ．y =1 14. 如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B 、C 、E 、F 在同一直线上．现从点C 、E 重合的位置出发，让△ABC 在直线EF 上向右作匀速运动，而△DEF 的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为y ，运动的距离为x ．下面表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ） A B C D y x E D C B A 第12题图 第12题图 第10题图 -X锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1.在AABC中，AB=BC,点O是AC的中点，点P是AC ±的一个动点（点P不与点A, O, C重合）.过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接0E, 0F. （1）如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2,当Z ABC=90o时，请判断线段OE与OF之间的数疑关系和位置关系，并说明理由 （3）若ICF-AEl=2, EF=2√3 当APOF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长? 【答案】（i） OF=OE: （2） OF丄EIG OF=OE,理由见解析；（3） OP的长为〃一血或 2√3 ■ 3 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K,证明AAOE竺^COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE: （2）如图2中，延长EO交CF于K,由已知证明2?ABE竺ABCF, △ AOE里△ COK,继而可证得AEFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF丄EK, OF=OE; （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（2）如图1中，延长EO交CF于K, 图1 ?.? AE丄BE, CF丄BE,?β. AEIl CK, /. Z EAO=Z KCO, ??? OA=OC, Z AOE=Z COK,AOE旻△ COK, .β. OE=OK, T AEFK是直角三角形,AOF= -EK=OE; 2 (2)如图2中，延长EO交CF于K? , /. Z FEK=30o , ZEKF 二60°, 3 1 .?. EK=2FK=4, OF=-EK=2, 2 ???△OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2, 在 Rt? PHF 中，PH=F PF=I, HF=JJ, OH=2 - , OP= 中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A ° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A x (1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°； (3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长. 图1 图2 【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析 （2）证明见解析 （3）=2π 【解析】 试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH （2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明 （3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：（1）BE=FH．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°， ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90° 又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF（SAS） ∴BE=FH (2)∵△ABE≌△EHF ∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH" ∴CH=FH ∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90° （3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形 △AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90° 中考函数专题复习 一. 本周教学内容： 函数专题复习 （一）一次函数 1. 定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。 2. 图象及其性质 （1）形状、直线 （4）当b>0时直线与y轴交于原点上方；当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。 （5）当b=0时，y＝kx（k≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。 （6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。 （二）反比例函数 1. 定义： 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线 （4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。 （三）二次函数 1. 定义：应注意的问题 （1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0） （2）二次项指数一定为2 2. 图象：抛物线 3. 图象的性质：分五种情况可用表格来说明 4. 应用： （1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它 【例题分析】 例1. 已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。 例2. 小明用的练习本可以在甲商店买，也可以在乙店买，已知两店的标价都是每本1元，但甲店的优惠条件是：购买10本以上从第11本开始按标价的70%卖，乙店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖。 （1）小明买练习本若干本（多于10）设购买x本，在甲店买付款数为y1元，在乙店买付款数为y2元，请分别写出在两家店购练习本的付款数与练习本数之间的函数关系式； （2）小明买20本到哪个商店购买更合算？ （3）小明现有24元钱，最多可买多少本？ 例3. 李先生参加了新月电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y元，x个月结清余款。y与x的函数关系如图所示，试根据图象所提供的信息回答下列问题：（1）确定y与x的函数关系式，并求出首付款的数目 （2）李先生若用4个月结清余款，每月应付多少元？ （3）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？ 例4. 例5. 如果这个同学出手处A的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B的坐标为（6 析式；②你若是体育老师，你能求出这名同学的成绩吗？ 6. 某商品平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降阶1 （1）若每件降价x元，可获的总利润为y元，写出x与y之间的关系式。 （2）每件降价多少元时，每天利润最大？最大利润为多少？ 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 邻边 A C 当 0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2c b a= +；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、反比例函数的概念 : i h l = h l α 中考数学专题练习函数含 答案 The document was prepared on January 2, 2021 《函数》 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．在平面直角坐标系中，点A(－2，3)在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2．线段EF 是由线段PQ 平移得到的，点P （﹣1，4）的对应点为E （4，7），则点Q （﹣3，1）的对应点F 的坐标为( ) A ．（﹣8，﹣2） B ．（﹣2，﹣2） C ．（2，4） D ．（﹣6，﹣1） 3.函数1 x y x = +中的自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．1x ≠- C ．0x > D ．x ≥0且1x ≠- 4. 若点 在函数 的图象上，则 的值是（ ） B.－2 D. －1 5. 对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（ ） A ．函数值随自变量的增大而减小 B ．函数的图象不经过第三象限 C ．函数的图象与x 轴的交点坐标是（0，4） D ．函数的图象向下平移4个单位长度，可以得到2y x =-的图象 6. 对于函数x y 6 = ，下列说法错误的是 （ ） A. 图像分布在一、三象限 B. 图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大 D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小 7. 关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是（ ） A ．顶点坐标为(1，2-) B ．对称轴是直线1x = C ．开口方向向上 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 8. 设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数x k y = 图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是 ． 10.在平面直角坐标系中，与点M （-2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 . 11.一次函数62+=x y 的图象与x 的交点坐标是 . 12．反比函数k y x =的图象经过点（2，－1），则k 的值为 . 13．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 . 14.小明放学后步行回家，如果他离家的路程s (米)与步行时间(t 分钟)的函数图象如图，他步行回家的平均速度是 米/分钟． 15.如图，已知A 点是反比例函数(0)k y k x =≠的图象上一点，AB y ⊥轴于 B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为 . 1 中考函数专题复习 班级： 姓名： 一、一次函数 1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。 2. 图象及其性质 （1）形状、直线 （）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限 200k y x k y x >0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。 （5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。 （6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。 二、反比例函数 1. 定义： 应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y k x k x = -1021 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线 （）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x ==-?? ? ?? （）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小 时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大 300k y x k y x > 中考考前专题复习——三角函数及应用 一、教材分析 1、本节内容属于北师大版九年级数学下册第一章的内容，位于本册书的第19页至21页（包括练习题）。 2、本章“直角三角形的边角关系”属于三角学，主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形以及三角函数法在解相关的综合题中的运用（意识）。解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具．相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和“相似”两章有着密切关系。锐角三角函数是本套教科书中唯一出现过的初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数。锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形分不开.锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是角，函数值是直角三角形中边长的比值。学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观点讨论几何图形问题的方法认识得更深入.。 3、本节内容属于三角学内容的一部分，是在直角三角形三角函数知识教授之后的简单运用。是《数学课程标准》中“图形与几何”领域的“图形变化”中的重要内容。主要研究解利用三角函数解决实际问题.掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 二、学生知识状况分析 学生已经学习了直角三角形中量与量之间的三个关系：边与边的关系（勾股定理）；角与角的关系（直角三角形两锐角互余）；边与角的关系（正弦、余弦、正切）。并能够利用这三个关系，在直角三角形中进行一些简单计算，而且能根据生活中的一些情景，用所学知识解决一些简单的实际问题。在整个学习过程中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。并对用数学有相当的兴趣和积极性.不过学生探究和解决问题的能力毕竟有限，尚待加强.本节课主要是在学生原有认知能力的基础上，进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题的过程，建立相应的数学模型，以提高应用数学知识解决实际问题的能力。 三、教学目标 1、从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想. 2、进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法）. 3、力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸。 4、发展学生的数学应用意识和解决问题的能力。 5、能将实际问题抽象成数学问题（数学符号或图像）。 6、让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。 中考数学专题训练函数基础训练题(1) 1.函数y= x - 3 1 的自变量x的取值范围是；函数y=1 + x的自变量x的取值范 围是；抛物线y x =-+ 312 2 ()的顶点坐标是____________； 2.抛物线y＝3x2-1的顶点坐标为对称轴是； 3.设有反比例函数y k x = +1 ，(,) x y 11 、(,) x y 22 为其图象上的两点，若x x 12 <<时， y y 12 >，则k的取值范围是___________； 4.如果函数x x x f- + =15 ) (，那么= ) 12 (f________. 5.已知实数m满足m2－m－2=0，当m=_______，函数y=x m+（m+1）x+m+1的图象与x 轴无交点。 6.函数 3 1 - - = x x y的定义域是___________.若直线y=2x+b过点（2，1），则b= ； 7.如果反比例函数的图象经过点)3 ,2(- A，那么这个函数的解析式为___________. 8.已知m为方程x2＋x-6＝0的根，那么对于一次函数y＝mx＋m：①图象一定经过一、 二、三象限；②图象一定经过二、三、四象限；③图象一定经过二、三象限；④图象一 定经过点（－l，0）；⑤y一定随着x的增大而增大；⑤y一定随着x的增大而减小。以 上六个判断中，正确结论的序号是（多填、少填均不得分） 9.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4； 乙：与X轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与Y轴交点的纵坐标也都是整数，且以 这三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析 式：； 10.已知二次函数()0 2 1 ≠ + + =a c bx ax y与一次函 ()0 2 ≠ + =k m kx y的图象相交于点A（-2，4），B（8，2） （如图所示），则能使 1 y＞ 2 y成立的x的取值范围 是. 11.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 12.二次函数y=x2－2x+3的最小值为（）A、4 B、2 C、1 D、－1 13.有意义，则x的取值范围是( ) （A）x≤3 （B）x≠3 （C）x＞3 （D）x≥3 14.二次函数y＝x2＋10x－5的最小值为( ) （A）－35 （B）－30（C）－5 （D）20 15.已知甲，乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg) 之间的函数解析式分别为y=k1x＋a1和y＝k2x＋a2, 图 象如右，设所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1 , 乙弹簧长为y2则y1与y2的大小关系为( ) （A）y l＞y2（B）y1＝y2（C）y1＜y2(D)不能确定 16.函数y= 4 1 - x 中自变量x的取值范围是（） A．x4 - ≤ B. 4 - ≥ X C. x>-4 D. 4 - ≠ x 17.点P（－1，3）关于y轴对称的点是（） A. (－1，－3) B. （1，－3） C. （1，3） D. （－3，1） 18.函数y＝ 2 1 － x 中，自变量x的取值范围是（） A. x＞2 B. x＜2 C. x≠2 D. x≠－2 19.抛物线y＝x2－2x－1的顶点坐标是（） A.（1，－1） B.（－1，2） C.（－1，－2） D.（1，－2） 20.抛物线6 3 2- - =x x y的对称轴是直线（） 2 3 ) (= x A 2 3 ) (- = x B3 ) (= x C3 ) (- = x D 21.给出下列函数：(1)y=2x; (2)y=-2x+1; (3)y= x 2 (x>0) (4)y=x2(x<-1)其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A、（1）、（2）. B、（1）、（3）. C、(2)、(4). D 、（2）、（3）、（4） 22.如图，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图 象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快 者的速度比慢者的速度每秒快（） 23.A 2.5米Ｂ２米Ｃ１.5米 D 1米 24.当K＜0时，反比例函数y＝ x k 和一次函数y＝kx＋2的图象在致是图中的（） 中考数学 函数综合题 专题 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4=的图像交于A 、B 点A 的横坐标为1，又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点(,3-C （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 解：（1）由点A 在反比例函数图像上，则414==y ，—（1分） 又点()4,1A 与()0,3-C 在一次函数图像上， 则???+-=+=b k b k 304，—（2分）解得? ??==31b k . （1分） ∴一次函数解析式为3+=x y .——（1分） （2）由?????=+=x y x y 43,———（2 分） 消元得0432 =-+x x ,—（1分） 解得1,421=-=x x （舍去）,——（1分） ∴点B 的坐标是()1,4--.——（1分） 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是4.5 ，求这个一次函数的解析式。 解：（1）∵一次函数y=（1-2x ）m+x+3 即y=（1-2m ）x+m+3 图像不经过第四象限 且函数值y 随自变量x 的减小而减小 ∴ 1-2m>0 ， m+3≥0, (2分） ∴ ………（2分） 根据题意，得：函数图像与y 轴的交点为（0，m+3）， 与x 轴的交点为 …（1分） 则 ………（1分） 解得m=0 或 m=-24（舍） …（1分） ∴一次函数解析式为：y=x+3……（1分） 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2），点B 、C 在x 轴上，BC =8， AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 3．解：（1）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ．……1′ ∵点A 的坐标为（2，2）， ∴点E 的坐标为（2，0）．…1′ ∵AB=AC ，BC =8， ∴BE=CE ， ………1′ 点B 的坐标为（-2，0），……1′ 点C 的坐标为（6，0）．…1′ 设直线AC 的解析式为：y kx b =+（0k ≠）， 将点A 、C 的坐标代入解析式， 得到： 132y x =-+．…1′ ∴点D 的坐标为（0，3）． ……1′ （1） 设二次函数解析式为：2y ax bx c =++（0a ≠）， ∵ 图象经过B 、D 、A 三点， ∴4230,423 2.a b a b -+=??++=?…2′ 解得：1,21.2a b ?=-????=? ?……1′ ∴此二次函数解析式为：211322y x x =-++……1′ 顶点坐标为（12，138）． …………1′ 213<≤-m ??? ??-+0,123m m ()293m 213m 21=+?-+?m中考函数专题
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