小学奥数专题之容斥问题
小学奥数专题之容斥问题
1.47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。问：两门都
得100分的有多少人？
3.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问：两个频道都没看过的
有多少人？
4.一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题
有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？
5.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们
游览了长廊。问：既划了船也爬了山的同学有多少？
6.全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。求两样都不会的人数。
10.64个小学生都订了报纸，其中订A报的28人，订B报的41人，订C报的20人，并且同时订A、B报的`10人，同时订A、C报
的12人，同时订B、C报的也是12人。问：三种报都订的有多少人？
11.六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺
的17人。问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多
少人？
12.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8
人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两项的
人数都是17人。问：仅参加跑和投掷两项的有多少人？
13.学校数学竞赛出了A、B、C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。如果三道题都做对的只有一人，那么只做对两道题和只做对一道题
的各有多少人？
14.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳和赵刚共有34本。问：他们三人各有
几本书？
15.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？
16.在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽
水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了
果汁。问：(1)三样都要的有几人？(2)只要一样的有几人？
容斥问题涉及到一个重要的原理一一包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。 这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分 类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nad 例1?一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的 有9人，两种报纸都订阅的有5人。（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？ 例2?一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？ 例3.在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ 例4?艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不 是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？ 练习与思考 1?将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6）,已知重叠的部 分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？ 2 . 二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的 有40人，两种作业都做完的有多少人？ 3.有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？ 4 ?某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3 人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？ 5 ?四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？ 6 ?在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两 题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？ 7 ?一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？ 8 ?某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这 个班共有多少名学生？ 9.在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ 10?科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是 二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？
四年级奥数容斥原理 数学是思维的体操，问题是数学的心脏！四年级(高年级)数学思维训练 第4课包容与排斥——包容与排斥原理 知识点我们以前遇到过这样的问题吗:从左边看，小明排在第8位，从右边看，小明排在第15位，这一排有多少人？这个问题就是小明是否被反复算计了。如果计算结果没有重复且没有遗漏，则需要排除重复计数。这种计数方法是宽容和排斥的原则，也称为重叠问题。要解决这样的问题，我们还可以用韦恩图来分析定量关系小明有1人 8人，15人 。通常，首先计算所有涉及的量，然后排除重叠部分。我们可以计算出不重复和不遗漏的数量:8+15-1=22(人) 经典范例 例1: 4 (2)班有28名中国兴趣小组的参与者，29名数学兴趣小组的参与者，12名两个小组的参与者，这个班有多少人参加过语文或数学兴趣小组？ 先画一个维恩图分析定量关系，然后用包含和排除的方法计算
数学变成了一件非常轻松愉快的事情！你发现了吗？ - 1- 四年级(高年级)数学思维训练 模仿训练 学校文艺组的每个学生至少能弹一架钢琴和手风琴。众所周知，有24个人会弹钢琴，17个人会拉手风琴，8个人会两种乐器。文艺小组有多少人？ 经典示例 示例2:一家餐厅有40道招牌菜，其中妞妞吃了15道，丁丁吃了9道，两个人都吃了4道。有多少招牌菜没有吃过？首先计算他们吃了什么，然后计算他们没吃什么。 模仿练习 在参加采摘活动的46人中，只有18人采摘了樱桃，7人采摘了樱桃和杏子，6人既不摘樱桃也不摘杏子，有多少人采摘了杏子？ 数学会让你成为一个好的发现孩子！ - 2- 数学是思维的体操，问题是数学的心脏！四年级(高年级)数学思维训练 经典例题
五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除 包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-AB A A B B （韦恩图） 例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人） 37 + 42－48=31（人） 答：语文、数学作业都完成的有 31 人。 想一想：下面算式有何道理？ ( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人） ( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人） 【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？ 解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）答：语文数学都优秀的有30人。 ( 2）四年级一班有 54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ 解：根据两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了《数学大世界》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《数学大世界》的有：13+9=22（人） 答：订《数学大世界》的有22人。 ( 3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）， 那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。 练习1、1 四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？ 练习1、2五（1）班有40名学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？ 练习2、1某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 练习2、2一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？ 练习3、1在1-200的全部自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ 练习3、2在1-1000的全部自然数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的数有多少个？ 练习4、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？
1、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅？ 2、有40名运动员，其中25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？ 3、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有多少人？ 4、30名学生中，8人学法语，12人学西班牙语，3人既学法语又学西班牙语，问有多少名学生两种语言都不学？ 5、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ 6、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 7、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？ 思考题： 有30名运动员，其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？
3春精8 容斥问题 姓名：得分： 1、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？ 2、一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？ 3、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？ 4、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对？
5、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 6、在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？ 7、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 8、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 9、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
五年级数学培优：容斥问题 １、甲乙两数的和是125，乙丙两数的和是143，丙丁两数的和是136，求甲、丁两数的和。 ２、将边长分别为3厘米和4厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图），两块正方 形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？ 3 厘 1.5厘米 米 4 厘 米 ３、一个生产车间，上半月完成全月计划的53，下半月完成全月计划的7 4，这个车间本月份完成的任务超过了全月计划的几分之几？ ４、五（7）班有57名学生，订阅《小学生数学报》的有14人，订阅《海安日报·教育专 刊》的有9人，这两种报纸都订的有6人。①订阅两种报纸的总人数是多少？②全班两种报纸都没订的有多少人？ ５、五⑻班学生中，会骑车的有38人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有6人，已 知全班两样都不会的有8人，求全班共多少人？
６、从期末成绩统计表上可以看出：数学成绩在90分以上的有25人，语文成绩在90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，求两科都在90分以上的人数。 ７、A、B两地相距90千米，甲、乙两人驾车从A、B两地同时相向开出。甲每小时行40千米，乙每小时行50千米，相遇后他们继续向前行驶，甲、乙两人分别穿过B、A两地，他们共行3小时后停下来，这时，甲、乙两人相距多少千米？ ８、在300名同学中，能唱歌的有180人，善跳舞的有98人，其中能歌善舞的有50人，那么不能唱歌又不会跳舞的有多少人？ ９、在前1000个自然数中，能被5或13整除的数有多少个？ 10、学校运动会上，参加田赛的有120名男生、80名女生，参加径赛的有120名女生、80 名男生，已知全校共有260名学生参加了运动会，其中有70名男生田赛和径赛都参加了，那么只参加田赛而没有参加径赛的女生有多少人？
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 图示如下: A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。 1．先包含——A＋B 重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A＋B－A∩B 把多加了1次的重叠部分A∩B减去。 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。 用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C 图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。 1．先包含——A＋B＋C A∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。 2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C 重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 例1 容斥原理
奥数中的容斥问题 在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C 类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。 例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。 两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 详细推理如下： 1、等式右边改造= {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C 2、维恩图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C 3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C还缺部分7。 4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分， 减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。 5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5， 则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。 例1.
容斥问题（一） 容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。 这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分 类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。 例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的 有9人，两种报纸都订阅的有5人。（1）订阅报纸的总人数有多少（2）两种报纸都没订阅的有多少人 例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人 例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个 例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅 练习与思考 1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部 分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米 2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人 3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名 4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人 5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加 6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验 7．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人 8．某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生 9．在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个 10．科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件
教案 容斥问题 一本讲学习目标 理解并掌握容斥问题。 二重点难点考点分析 容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 三概念解析 容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。 ？ 四例题讲解 一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个 四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人 ！
某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对 某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人 ` 在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个 光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅 ' 学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人
小学四年级奥数容斥问题 The following text is amended on 12 November 2020.
容斥问题（一） 容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。 这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准： 按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物 的个数=Na+Nb-Nab。 例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。（1）订阅报纸的总人数有多少（2）两种报纸都没订阅的有多少人 例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人 例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个 例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画 共有多少幅 练习与思考 1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6）， 已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米 2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人 3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名 4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人 5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加 6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验 7．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人 8．某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生 9．在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个
7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）.题库教师版page 1 of 81. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： A B A B A B (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思． )则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计 算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A 类元素的个数B 类元素个数C 类元素个数既是A 类又是B 类的元素个数既是B 类又是C 类的元素个数既是A 类又是C 类的元素个数同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）知识要点 教学目标 1．先包含——A B 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B 把多加了1次的重叠部分 A B 减去．
五年级奥数第33讲包含与排除（容斥原理）一、专题简析： 集合是指具有某种属性的事物的全体,它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合,每一个学生都是这个集合的元素,数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起,再“排除”A、B两集合的公共元素的个数,减去加了两次的元素,即：C=A＋B－AB。在解包含与排除问题时,要善于使用形象的图示帮助理解题意,搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系,用了适当的图形就显得很直观、很清楚,因而容易进行计算。 二、精讲精练 例1五年级96名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？
练习一 1、一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业,有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？ 2、五年级有122人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人,数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？ 例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语,34人懂日语,两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？ 练习二 1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人
爱好体育活动,有850人爱好文娱活动,其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？ 2、某班在一次测验中有26人语文获优,有30人数学获优,其中语文、数学双优的有12人,另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？ 例3：学校开展课外活动,共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动,参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中,象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？ 练习三 1、五年级有250人,其中参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人？
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数， 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个 数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作 “并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的 意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表 示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表 示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两 步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一 切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算 的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数- 既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素 个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二） 1．先包含——A B + 重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I 把多加了1次的重叠部分A B I 减去．
小学奥数专题之容斥问题 小学奥数专题之容斥问题 1.47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。问：两门都 得100分的有多少人？ 3.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问：两个频道都没看过的 有多少人？ 4.一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题 有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？ 5.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们 游览了长廊。问：既划了船也爬了山的同学有多少？ 6.全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。求两样都不会的人数。 10.64个小学生都订了报纸，其中订A报的28人，订B报的41人，订C报的20人，并且同时订A、B报的`10人，同时订A、C报 的12人，同时订B、C报的也是12人。问：三种报都订的有多少人？ 11.六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺 的17人。问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多 少人？ 12.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8 人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两项的 人数都是17人。问：仅参加跑和投掷两项的有多少人？
13.学校数学竞赛出了A、B、C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。如果三道题都做对的只有一人，那么只做对两道题和只做对一道题 的各有多少人？ 14.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳和赵刚共有34本。问：他们三人各有 几本书？ 15.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？ 16.在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。 其中6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽 水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了 果汁。问：(1)三样都要的有几人？(2)只要一样的有几人？
容斥原理 1、五年级（1）班有学生56人，其中45人完成数学作业，42人完成语文作业，这个班两种作业都做完的有多少人？ 2、某校挑选18名学生参加春季运动会，获一等奖的有12人，获二等奖的有11人，两个奖都取得的有9人，这次运动会上两个奖都没取得的有多少人？ 3、在1-100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ 4、某学校组织同学参加足球和乒乓球比赛，参加足球比赛的有20人，参加乒乓球比赛的有18人，同时参加足球和乒乓球比赛的有13人，问参加比赛的共有多少人？ 5、某班有46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有5人，问两样都不会的有几人？ 6、某班共有45人，其中有35人会用电脑打字，这个班有男生23人，女生中有6人不会用电脑打字，那么男生中有多少人会用电脑打字？ 7、五（1）班有40名学生，参加围棋班的有15人，参加电脑班的有11人，参加美术班的有13人，同时参加围棋和电脑班的有4人，同时参加围棋和美术班的有5人，同时参加美术和电脑班的有5人呢，班上有3人三个班都参加了，问班级中没有参加兴趣班的有多少人？ 8、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线，将木棍10等分，第二种刻度线将木棍12等分，第三种刻度线将木棍15等分。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 创新题 1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？ 2、在1-100的所有自然数中，既非3的倍数也不是4或5的倍数的数有多少个？ 3、80个外语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既懂英语又懂日语的的老师，问只懂英语的老师有多少人？ 4、五年级某班学生进行百米跑、跳远、投掷3个项目的测试，跳远达到优秀的有28人，投掷达到优秀的有26人，百米跑达到优秀的有24人，百米跑和跳远都达优的有12人，跳远和投掷达优的有9人，百米跑和投掷都达优的有14人，3项都达优的有5人，这个班有多少位同学？
小五班容斥问题讲义 容斥原理1.二量重叠问题：总和=A+B-AB 容斥原理2.三量重叠问题：总和=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 例题1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有（）人。 练习1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为（）人。 练习2.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有（）人。 练习3.民兵进行训练，每横排人数一样多，每竖行人数也一样多，李军站的位置从前面数是第4人，从后面数是第6人，从左面数是第3人，从右面数是第2人，一共有多少人参加训练? 练习4.王红从前面数是第6人，郝文排在最后，和王红间隔3个人，王红和黄克在同一横排上，王红从左数是第2个人，黄克从右数是第1人，他们间隔5人。三二班同学一共有多少人? 练习5.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们游览了长廊。问：既划了船也爬了山的同学有多少？ 例题2.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有（）人,最多有（）人。 例题3.在1至100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有（）个。 练习1.在1至10000中不能被5或7整除的数共有（）个。 练习2.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有（）个。 练习3.在1到10000这10000个自然数中，即不能被8整除也不能被125整除的数有多少个？
第4讲 包含与排除——容斥原理 知识要点 以前我们是不是遇到过这样问题：从左边数，小明排在第8个，从右边起小明排在第15个，这一排一共有多少个人这道题是不是小明被重复计算啦，如果要使得计算的结果既不重复，又无遗漏，就需要把重复的计数排除出去，这样的计数方法就是容斥原理，也称之为重叠问题。 解决这类问题，我们还可以借助韦恩图来分析数量关系。 小明 1人 8人 15人 一般先把包含的所有数量都计算出来，再把重叠的部分排除出去，就可以计算出不重复、不遗漏的数量了：8+15-1=22（人） 精典例题 例1:四（2）班参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加了，这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组 模仿练习 学校文艺组的每位同学至少会演奏钢琴和手风琴中的一种乐器，已知会演奏钢琴的有24人，会演奏手风琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，那么文艺组一共有多少人 精典例题 例2: 某餐馆有40道招牌菜，牛牛吃过其中的15道，丁丁吃过其中的9道，且有4道菜是两人都吃过的，那么有多少道招牌菜两人都没有吃过 模仿练习 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的人有7人，既没有采樱桃又没有采杏的有6人，只采了杏的有多少人 先画韦恩图分析数量关系，再利用包含与排除的方法来计算。 先算他们吃过的菜，再算没有吃过的。
精典例题 例3:在1到100这100个自然数中，5和6的倍数一共有多少个 模仿练习 在1到100这100个自然数中，不能被5和8整除的数一共有多少个 精典例题 例4: 50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左往右按1、2、3……一次报数，然后让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转。现在还面向老师的同学有多少名 模仿练习 一根长60里面的木棍，每5厘米用红点标记，每6厘米用蓝点标记，延标记的地方把木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段 精典例题 例5：光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个小组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的人数有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，三种都参加了的有5人，问：参加棋类比赛的共有多少人 模仿练习 三位经理投资了若干只股票，张经理买了66只，王经理买了40只，李经理买了23只，张经理和王经理都买了有17只，王经理和李经理都买了的有13只，李经理和张经理都买了的有9只，三人都买了的有6只，请问这三位经理一共买了多少只不同的股票 先弄清楚有多少同学转了，有多少个同学没转，再思考哪些同学转了两次，因为没转 的和转了两次的同学都是面向老师的。 先找5的倍数有多少个6的倍数有多少个再利用包含与排除的方法解决。 这是属于三个数量的容斥问题，先计算参加三类棋人数的总和，在把重复计算了两次 的人数减去，但要思考：其中重复计算了3次5人，有没有被减掉减了几次
7-7-1.容斥原理之重叠问题（一） 教学目标 1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B = (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C -- 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+ ．
包含与排除（容斥原理） 1，五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？ 2，一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？ 3，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？
4，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？ 5，某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？ 6，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
7，某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？ 8，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组共有多少人？ 9，学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
10，五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人？ 11，五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人。两科都在90分以下的有多少人？ 12，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少人？