有外生储蓄率的增长模型

第二讲

有外生储蓄率的增长模型（索洛—斯旺模型）

2.1 基本结构

2.1.1 结构

首先，居民户（或家庭）拥有经济中的所有投入和资产，包括在企业中的所有权，并选择其收入中用于消费和储蓄的比例。每个家庭决定要生多少孩子，是否加入劳动力市场以及工作多少时间。

其次，企业雇用诸于劳动和资本之类的投入，而且利用这些投入来生产卖给家庭或其他企业的产品。企业拥有持续演进的技术，使得它们可以把投入转化为产出。

再次，企业向家庭或其他企业出售产品以及家庭向企业出售投入，这就构成了市场。需求和供给的数量决定了投入与所生产出的产品的相对价格。

为了简化，我们采取一个排除市场和企业的简化框架，可以设想一个类似于鲁滨逊式家庭——既是一个消费单位又是一个生产单位。

2.1.2 假设

第一，假设仅有两种投入，劳动和资本，从而生产函数具有如下形式： ()()(),,Y t F K t L t t ???=???

（1.1） 生产函数对时间t 的依赖反映了技术进步。

第二，假设一个单部门生产技术，其中产出是一种可被消费()C t ，或投资()I t 以创造新的物质资本单位()K t 的同质产品。

第三，假定经济是封闭的，在一个封闭经济中，产出等于收入，投资等与储蓄额。

第四，储蓄率是一不变的外生常数，。

().s s =第五，资本以常率折旧。

0δ>

由此，在一个时点上物质资本存量的净增加等于总投资减去折旧：

(),,K

I K sF K L t K δ=?=? δ （1.2） 第六，劳动力L 由于人口增长而持续变化，其参与率改变，标准工人的工作时间也在转变。但是，为了简化，我们假设人口一不变的、外生的速率增长0L

L n =≥ ，而且每个工人的劳动强度给定。如果我们把0时的人数标准化为1，且把每个人工作强度也标准化为1，那么在t 时的人口和劳动力就等于：

()nt t e L = （1.3）

因此，如果()t L 由（1.3）给定且缺乏技术进步，则（1.2）式就决定了资本和产出的时间路径。

2．2 索洛—斯旺的新古典模型

2．1．1 新古典生产函数

如果忽略技术进步，则生产函数可以写成如下形式：

(,Y F K L =) （1.4）

如果它满足以下三个性质，则称为新古典生产函数。

第一，对所有和0K >0L >，().F 呈现出对每一种投入的正且递减的边际产品：

220,0F F K K

>

>????< （1.5a ） 第二，().F 呈现出不变规模报酬：

()(,,)K L F K L F λλλ=，对所有的。

（1.5b ） 0λ>第三，稻田条件（Inada,1963）:

()()00

lim lim K L K L F F →→==∞

()()0lim lim K L

K L F F →∞→∞== （1.5c ） 不变规模报酬意味着产出可以被写成集约形式：

()y f k = （1.6）

从而可以证明要素投入的边际产品为：

()Y K f k ?=′

()()f k k f k Y L ??????

=??′? （1.7） 稻田条件意味着和()0lim k f k →??????

′=∞()0lim k f k →∞??????′=。 可以证明，如果生产函数是新古典生产函数，每种投入对生产都是不可缺少的。

柯布—道格拉斯生产函数是新古典生产函数的最好例子。

1Y AK L α?=αk (1.8)

y Ak α= (1.9)

2．1．2 资本存量的基本动态方程

索洛—斯旺模型中的基本微分方程：

()()k n k

s f δ?+?=? （1.10） 注：资本存量的持续变化有（1.2）给出，如果两边同时除以，则我们得到： L ()K

L s f k k δ=??

利用 ()/d K L K nk dt k =?≡

图2.1 索洛—斯旺模型

2．1．3 稳态

稳态定义：一种其中各种数量都以不变速率增长的状况。索洛—斯旺模型的稳态为，对应于图2.1中曲线0k

= ()k s f ?和(的交点，相应的稳态值k 为。代数上，满足条件：

)n δ+?k *k *k ()()*k n s f k δ=+?*? （1.11） 既然在稳态中，是不变的，则和也分别固定在k y c ()**f k y =和()()*1*s f k c =??。因此，在新古典模型中，人均数量、c 和在稳态中都

不增加。人均数量固定意味着变量Y 、

C 和y k K 的水平在稳态中以人口增长率的速率增长。

n 以生产函数的移动来表示的技术水平的变化、储蓄率的变化、人口增长率及折旧率的变化都对稳态中的各种人均水平产生影响。但是，值得注意的是：储蓄率、人口增长率及折旧率的改变并不影响人均产出、资本和消费的稳态增长率，它们全都为0。由于这个原因，目前所涉及的索洛—斯旺模型并没有解释长期经济增长的决定。

2．1．4 资本积累的黄金律和动态无效率

对于一个给定的生产函数和n 及δ的给定值，对储蓄率的每个值而言只有唯一一个稳态值。以s *0k >()s *k 来表示这种关系，我们有()*

0dk s ds >。人均消费的稳态水平为c ()()*1s *f k s ????=????

??。由（1.11）式可知()()*k n s f k δ=+?*?k s ，因此我们可以把的表达式写作：

*c ()()()()***c s f k s n δ????=?????

+? （1.12） 由此，可以求出对应于最大人均消费的，即：

*c s ()*0dc s ds

= ()**0dk f k n ds δ????????????????????

?+?=′ 如果我们以gold k 来表示对应于的最大值的值 ，那么决定*c *k gold k 的条件是：

()gold f k n δ=+′ （1.13） 相应的储蓄率可以被表示为gold s ，与之相联系的稳态人均消费水平是。

()()gold gold gold f k n k c δ?=?+式（1.13）中的条件被称作资本积累的黄金律（参见费尔普斯[1966]）。这个名字来源于《圣经》中的行为的黄金律：“己所不欲，勿施与人”。经济学意义上的黄金律结果可以被理解为：“如果我们对每一当前和未来世代的成员提供相同数量的消费——也就是说我们给予未来世代的并不比给予我们自己的要少——则人均消费的最大数量即为gold c 。”

图2.3描述了黄金律的运作。一个问题是一些储蓄率是否优于另一些。虽然目前我们无法确定最佳储蓄率（这需要储蓄率的内生化），但是在目前的框架中我们可以证明一直超过gold s 的储蓄率是无效率的，因为通过降低储蓄率，我们

可以在所有时点上获得更高数量的人均消费。

一个过度储蓄的经济被称为动态无效率的，因为其消费路径在所有时点都位于另一条可行路径之下。

图2.2 资本积累的黄金律

图2.3 黄金律与动态无效率

2．2．5 转移动态

索洛—斯旺模型中的长期增长完全被外生因素所决定。因此，有关长期的主要实质性结论都是消极的，譬如稳态增长独立于储蓄率和生产函数水平。但模型确实也有一些有关转移动态的更为有趣的含义。这一转移显示出一个经济的人均收入是如何收敛于其自身的稳态值和其他经济的人均收入的。

把（1.10）式的两边同除以k 意味着k 的增长率由：

()

()k k k s f k k n δγ≡=??+ （1.14） 给定。注意，在所有时点上，一个变量水平的增长率等于其人均增长率加上n ，例如：

K k n γγ=+

注：()()/k d K L dt K L n K L K L K L K n K

k k K n γγ??==?=≡=? 由于()f k k 对的导数为负（k ()()()2d f k k f k k f k k dk

??????′=?????，方括号中的式子等于劳动的边际产品，它为正。），所以（1.14）式的第一项是一负斜率的曲线。它在时渐进于无穷大，而随着k 趋于无穷大它接近于0（注意到0k =()00lim s f k k k ???=??→。我们应用罗必塔法则并根据稻田条件得到：

()()00lim lim k k s f k k s f k →→?????==??????

?′∞。同理得到：()()

0lim lim k k s f k k s f k →∞→∞?????=???????′=） 。 第二项n 则是一条水平线。这条曲线与直线之间的垂直距离等于人均资本的增长率，其交点对应于稳态。由于且δ+0n δ+>()s f k k ?从无穷大单调下降到0，这条曲线和直线交且仅交一次。因此，稳态资本/劳动比率存在且唯一。

*0k >

图2.4 索洛—斯旺模型的动态

通过上述分析，我们知道：对于任何初始值()0k >0，经济都将收敛于其唯一的稳态，即。

*0k >我们还可以研究转移路径中产出的行为，人均产出增长率由：

()()()()y k y y f k k f k k f k f k γγ??????

′′≡=?=?? （1.15） 给定。最右端方括号中的式子通常被称为资本份额，也就是资本的租金收入占总收入中的份额。

而（1.15）式表明和

之间的关系依赖于资本份额的行为。而在柯布

—道格拉斯生产函数中，资本份额是一常数α，从而是的α部分。因此，的行为是对的模仿。

y γk γy γk

γy γk γ更一般地，我们可以把（1.14）式中的代入（1.15）式得到： k γ()()()y s f k n Sh k δγ′=??+? （１.１６）

其中，()()

()Sh k k f k f k ′≡?资本份额。如果我们对微分且移项，则我们得到： k ()()()()()()1y k k f k n f k k S f k f k δγγh k ??′′′?+??????=???????????

由于()0Sh k <1<，等式右边的后一项为负。如果，则等式右边的第一项非正，从而0k

γ≥0y k γ??<。于是在即的区域中，随着人均资本的上升（因而随着上升），必然下降。反之，如果

，则符号不确定。然而，如果经济接近稳态，那么

的数量将很小，从而即使，0k γ≥*k k ≤k y y γ0k γ0

y k γ??<也一定成立。 在假定了一个不变的储蓄率的索洛—斯旺模型中，人均消费水平由()1c s =??y 给定。因此，该模型中的y c γγ=适用于一切试点。消费也呈现出与产出相同的动态。

2．2．6 政策试验

图2.5 储蓄率增加的影响

在索洛—斯旺模型中，这些种类的政策变化也对经济增长率有着暂时的但不久远的影响。

2．2．8 绝对与条件收敛

（1.14）式意味着对的导数为负：

k γk ()()0k s f k f k k k k

γ??′??????=< 其他情况相同，的值越小，的值越大。于是一个重要问题油然而生：这一结果是不是意味着有更低的人均资本的经济趋于在人均项目上更快地增长？换言之，是否存在各经济之间的收敛？

k k γ绝对收敛：如果不以经济的任何其他特征为条件，在人均量上穷国趋于比

富国增长更快的假说，被称为绝对收敛。

图

2.6 无条件收敛图解

图2.7 跨国GDP 趋同：114个国家初始的人均GDP 水平与增长率

图2.8 增长率的条件收敛

条件收敛：通过对国家之间参数（如储蓄率、人口增长率等）的差异进行控制，会使得最初的穷国增长更快。

图2.9 OECD国家之间的GDP趋同：

18个OECD国家初始的人均GDP与长期增长率

图2.10 美国各州之间的趋同

结论：实证研究否认了绝对收敛，但是支持条件收敛。

图2.11 条件趋同

详见：

Baumol,W.J.(1986). “Productivity Growth, Convergence, and Welfare: What the Longrun Data Show,” AER 76, 1072-1085;

De Long, B. (1988). “Productivity Growth, Convergence and Welfare: Comment,” AER 78,1138-1154;

Barro, R.(1991). “Economic Growth in a Cross-Section of Countries,” QJE 106, 407-444.

2.2.9 技术进步

熊彼特、创新与经济发展：

发明的分类：

发明会使得生产者能用此相对少的资本投入或相对少的劳动投入来生产相同数量的产出，这两种情况分别被称作节约资本或节约劳动的技术进步。并没有相对更多地节省任一种投入的发明被称作中性或无偏的。

中性技术进步的定义依赖于资本节约和劳动节约的精确含义。它的三种流行的定义分别出自希克斯（1932）[The Theory of Wages, London, Macmillan ]、哈罗德（1942）[《动态经济学》，商务印书馆]和索洛（1969）[Investment and Technical Change ]。

希克斯称一个技术创新是中性的（希克斯中性），如果对于一个给定的资本/劳动比率其边际产品的比率保持不变，如图2.12上的A 与C 点表示。

用MP K (0)和MP L (0)分别代表技术进步前资本和劳动的边际产量，MP K (1)和MP L (1)分别为技术进步后资本和劳动的边际产量。则有：

（1）如果MP K (1)/MP L (1)= MP K (0)/MP L (0)，则技术进步并不改变国民收入分配的比例，根据定义，该技术为希克斯中性；

（2）如果MP K (1)/MP L (1)> MP K (0)/MP L (0)，则技术进步提高了r/w 比例，即技术进步使国民收入分配有利于资本要素，即相对于资本而言，劳动比以前更加充裕，因而该技术进步被称为节约劳动型的；

（3）如果MP K (1)/MP L (1)

这一性质对应于等产量曲线的重新编号，以至于希克斯中性生产函数可被写作：

()()(,,,Y F K L t T t F K L ==?) （1.17）

其中是一个技术状态指数，且()T t ()0T

t ≥ 。

哈罗德把一个创新定义为中性（哈罗德中性），如果对于一个给定的资本/产出比率相对投入份额K K F L F ??L 保持不变，如图2.12上的A 与D 点表示。

如果资本的边际产量MP K 在技术进步前后保持不变，则称该技术进步为哈罗德中性技术进步；如果MP K 在技术进步之后增加了，则称该技术进步为节约劳动型技术进步；如果MP K 在技术进步之后减少了，则称该技术进步为节约资本型技术进步；

罗宾逊（1938）和宇泽（1961）证明这个定义意味着生产函数具有如下形式： ()(),Y F K L A t =? （1.18）

其中()A t 是一个技术指数，且()0A

t ≥ 。这种形式被称为劳动增进型技术进步，因为它和劳动存量的增加所起作用一样提高了产出。

索洛把一个创新定义为中性（索洛中性），如果对于一个给定的劳动/产出比率相对投入份额L K L F K F ??保持不变，如图 2.12上的A与B点表示。如果MP L 在技术进步前后保持不变，则称该技术进步为索洛中性技术进步。

可以证明这一定义意味着如下的生产函数形式：

()(),Y F K B t L =? （1.19）

其中()B t 是一技术指数，且()0B

t ≥ 。这种形式的生产函数被称为资本增进型，因为技术进步所导致的产量增加与资本存量增加的作用是一样。

图2.12 技术进步的类型

技术创新的路径：

对技术创新路径方面的努力是循着两条线索发展的：一条关注要素的相对稀缺性，另一条关注市场需求。前者是希克斯—速水—拉坦—宾斯旺格（Hicks-Hayami- Ruttan-Binswanger ）假说。它假定，一种要素相对价格的提高，会诱使能节约该要素的技术类型的创新。该假说的核心如下：如果没有市场扭曲，要素相对价格将反映要素相对稀缺性的水平与变化，农民会被诱使去寻找能节约日益稀缺的要素的技术。因此，从社会的角度看，研究机构在决定其技术创新方向时，应该将要素稀缺性考虑进去。速水和拉坦（1985）在《农业发展的国际分析》一书中，利用日本和美国农业技术演进的历史证实了这种理论。第二种方法是施莫克勒—格里克斯(Schmookler-Griliches)假说，它假定在其他情况不变时，对一种商品的新技术的可得性，是对该商品的市场需求的函数。发明一种新技术的相对利益，取决于适于该技术的商品的价格与市场规模。因此，最优化要求一个科研机构将资源更多地分配到开发适用于具有较高价格或较大市场的商品的新技术。

技术进步为劳动增进型的必要性：才能实现稳态增长。

有劳动增进型技术进步的索洛—斯旺模型：

我们现在假定生产函数中包括了劳动增进型技术进步，如同（1.18）式一样，而且技术项()A t 以不变的速率x 增长。资本存量变化的条件为：

(),K s F K L A t K δ??=?????

如果我们把上面等式两边同除以，则我们可以导出k 随时间变化的一个表达式：

L ()(),k s F k A t n k δ??=??+???

（1.20） 上式与（1.10）式的唯一区别在于人均产出现在要依赖技术水平()A t 。

把（1.20）式两边同时除以k ，以计算出增长率：

()(,k s F k A t k n γ??=??+??)δ （1.21）

与（1.14）一样，等于两项之差。两式唯一的区别是现在对于给定的k ，资本的平均产品k γ(),F k A t ????由于()A t 以速率x 增长而持续增长。反映在图2.8中就

是负斜率的曲线().s F ?持续右移，因此对应于这条曲线与之间交点k 的水平也持续右移。我们现在来计算稳态中的k 的增长率。

n δ+根据定义，稳态增长率是不变的。既然和都是常数，（1.21）式意味

着资本的平均产品*k γ,s n δ(),F k A t ????在稳态中也是不变的。由于规模报酬不变，平均产品的表达式亦等于()1,F A t ????，因而只有当和k ()A t 以同一速度增长，即*k x γ=时，它才能是不变的。

人均产出为：

()(),1,y F k A t k F A t ???==??????

既然和k ()A t 在稳态中以速度x 增长，的稳态增长率就等于y x 。此外由于，c 的稳态增长率也等于()1c s y =??x 。

为了便于分析有技术进步模型的转移动态，我们从在稳态中保持不变的变量角度重写这个系统。

既然和k ()A t 在稳态中以同一速度增长，我们只用考虑其比率()()?k k A t K L A t ?≡=????

。变量()?L A t L ?≡常被称为有效劳动数量——劳动的物质数量乘以其效率L ()A t 。（有效劳动的术语在这里是合适的，因为经济运作的

效果仿佛其劳动投入是一般。）那么变量就是每单位有效劳动的资本数量。 ?L ?k

每单位有效劳动的产出数量()?y

Y L A t ??≡???由下式给定 ()()

??,1?y

F k f k =≡ （1.22） 因此，我们同样可以写出集约型式的生产函数。，则同理我们可以推导出的动态方程：

?k

()(???k s f k x n k γ?=?++)δ （1.23）

除了有“^”号外，（1.23）式与（1.14）式的唯一区别是等式右边的最后一项包

括了参数x 。项现在是对x n δ++??k

K L ≡的有效折旧率。如果储蓄率为0，则部分由于以速度δ的折旧，部分由于以速度K ?L

x n +增长，将下降。 ?k 既然的稳态增长率为0，稳态值满足条件： ?k

*?k ()()*

*??s f k x n k δ?=++? （1.24）

图2.13 有技术进步的索洛—斯旺模型

在有技术进步的索洛—斯旺模型中，稳态时人均变量以外生技术进步率x 增长。而水平变量相应在稳态中以x n +增长，即人口增长率和技术进步增长率之和。

2．3 内生增长模型

2．3．1 AK 模型

内生增长模型的关键性质是资本报酬不再递减。一个不存在报酬递减的最简单的生产函数就是AK 函数：

Y AK = （1.25）

其中，A 是一个反映技术水平的正常数。完全不存在递减报酬似乎是不大真实的，但是如果我们以一种包括人力资本的更广泛意义来理解资本，这种思想就变得更有说服力。

此时，人均产出是，资本的平均和边际产品固定在的水平上。 y Ak =0A >如果我们把()f k A k =代如（1.14）式可得：

()k sA n γδ=?+

这里我们回到零技术进步的情形，因为我们想证明甚至在没有外生技术变迁的情况下，长期中人均增长也能发生。

图2.14 AK 模型

在AK 模型中，人均资本、人均产出和人均消费总以稳态速度

()*k sA n γ=?+δ增长。注意，一个被

AK 技术所描述的经济在没有任何技术进步的情况下也可以呈现正的长期人均增长。进一步来说，()*k sA n γδ=?+中表

示的人均增长率依赖于模型中的行为参数，诸如储蓄率和人口增长率。

与新古典模型不同的是，AK 模型并没有预测出绝对和条件收敛。这是这一模型的失败，因为条件收敛显然是一条经验规律。

2．3．2 具有转移动态的内生增长

如何既保持长期中资本报酬不变的特征，又拥有收敛的可能，这正是琼斯和真野惠里（Jones and Manuelli,1990: “A Convex Model of Equilibrium Growth:

Theory and Policy Implication,” JPE,98,5 PP.1008-1038）

在其文章中所提出的思想。

在一次考察资本的增长率方程(1.14)：

()()k k k s f k k n δγ≡=??+

如果稳态存在，那么根据定义，与之相关的增长率就是不变的。一个正的稳

态值意味着人均资本的增加没有限界。（1.14）式意味着为使为正，资本的平均产品*k γ*k γ*k γ()f k k 随着人均资本趋于无穷大时保留在()n δ+s 上是充分且必要的。换言之，如果平均产品趋近于某个极限，则()()lim k f k k n s δ→∞

>+对于内生稳态增长来说就是充分且必要的。

如果当人均资本趋于无穷大时，人均产出也趋于无穷大，那么根据罗必塔法则可知，人均资本的平均产品和边际产品的极限相同。因此，内生稳态增长的关键条件是()f k ′的界限需充分大于0：

()()()lim lim 0k k f k f k n s δ→∞→∞

′=>+> 这个不等式违反了新古典生产函数的一个标准稻田条件。因此，从经济学意义上讲，违反这一条件意味着资本报酬递减的趋势最终停止。换言之，当人均资本很低时生产函数可以呈现出对人均资本的递减或递增报酬。但是，当人均资本变大后资本的边际产品一定是有下界的。

一个其中生产函数渐进的收敛于AK 形式的最简单例子是：

()1,Y F K L AK BK L αα?==+ （1.26）

我们可以把函数写成人均形式：

()y f k Ak Bk α==+

资本的平均产品由下式给定：

()()1f k k A Bk α??=+

它虽然对人均资本递减，但是随着人均资本趋于无穷大渐进于A。

我们也可以用的通常表达式来分析这个模型的动态：

k γ()()()()()1k s A Bk n s f k k n αδδγ??=+?+=??+ 现在，()s f k k ?曲线不再趋近于0，而是正数量。如果入图（2.10）中所示

sA

(sA n δ>+)，则稳态增长率为正。 *k

γ

图2.15 有转移动态的内生增长

这个模型既产生了内生增长，又如同新古典模型那样预言了条件收敛。

2．3．3 不变替代弹性生产函数

我们现在考虑另外一个例子，即劳动和资本之间有不变替代弹性的生产函数，即CES 生产函数（详见《新帕尔格雷夫经济学大辞典》第一卷，第429页）：

()()()(){}1,11Y F K L A a bK a b L ψψψ??==??+?????? （1.27） 其中，且。注意对所有值生产函数都呈现出不变规模报酬。资本和劳动之间的替代弹性为01,0a b <<<<11ψ<ψ()11ψ?。

随着ψ，生产函数趋近于一个固定比例技术生产函数，即：

→?∞()min ,1Y bK b ??=???L

其中替代弹性为0。

当时，生产函数趋近于科布—道格拉斯生产函数，即：

0ψ→1Y A K L αα?=?

其中替代弹性为１。

对于，生产函数为线性，即：

1ψ=

关于可持续增长率公式

关于可持续增长率公式 一、关于公式 1、原理公式 可持续增长率公式=销售增长率=股东权益增长率=增加留存收益/期初股东权益 2、期初权益乘数计算: 可持续增长率公式=销售净利率×资产周转率×期初权益乘数×收益留存率 3、期末权益乘数计算: 可持续增长率公式 =增加留存收益/期初股东权益 =(留存收益/期末股东权益)/(期初股东权益/期末股东权益) =(留存收益/期末股东权益)/(( 期末股东权益--留存收益)/期末股东权益) =(留存收益/期末股东权益)/(1-（留存收益/期末股东权益)） ＝销售净利率×资产周转率×期末权益乘数×收益留存率/(1-销售净利率×资产周转率×期末权益乘数×收益留存率) 二、可持续增长率的概念是基于五个基本假设。 五个假设可分为二类：一、财务政策：资本结构不变、股利政策不变、增加债务是唯一的外部筹资来源；二、经营效率：销售净利率不变、资产周转率不变, 五假设若成立则根据公式计算出的销售增长率是可持续增长率， 五假设若有一个不成立则实际销售销售增长率不是可持续增长率， 三、五假设若成立则可持续增长率=股东权益增长率=增加留存收益/期初股东权益 销售增长率=股东权益增长率=资产增长率=负债增长率=净利增长率=留存收益增长率=股利增长率 （假设不存在优先股股利） 反过来销售增长率（不一定是可持续增长率）=股东权益增长率=增加留存收益/期初股东权益成立时 五假设不一定都成立 1、资产周转率，期末权益乘数或资产负债率，收益留存率都不变，销售净利率变化时 资产周转率不变，所以，销售增长率=资产增长率 期末权益乘数或资产负债率不变，所以，资产增长率=负债增长率=权益增长率 收益留存率不变，所以，净利增长率=留存收益增长率 所以销售增长率=资产增长率=负债增长率=权益增长率 净利增长率，留存收益增长率不一定等于销售增长率 由于销售增长率=权益增长率 所以销售增长率可按1、2、3公式计算

可持续增长率计算公式

【问题】可持续增长率=销售增加/基期销售=[留存率×销售净利率×（1+负债/股东权益）]/｛（资产/销售额）-[留存率×销售净利率×（1+负债/股东权益）]｝的推导过程： 【答复】 （1）注意：公式推导过程中的销售额＝本期销售额＝基期销售额＋销售增加额 销售增加＝销售增加额 本期资产总额＝资产 基期销售额＝基期销售 （2）根据：（销售增加/本期销售额）×本期资产总额＝留存率×（净利润/销售额）×（基期销售额＋销售增加额）＋留存率×（净利润/销售额）×（基期销售额＋销售增加额）×（负债/股东权益） 可知：（销售增加/本期销售额）×本期资产总额＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）＋留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（负债/股东权益） ＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（1＋负债/股东权益） 即：销售增加×本期资产总额/本期销售额＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（1＋负债/股东权益） 由于：销售额＝本期销售额＝基期销售额＋销售增加额 销售增加＝销售增加额 本期资产总额＝资产 基期销售额＝基期销售 所以，销售增加×本期资产总额/本期销售额＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（1＋负债/股东权益）可以改写为： 销售增加×资产/销售额＝留存率×销售净利率×（基期销售＋销售增加）×（1＋负债/股东权益） 为了便于看清楚，假设“留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）＝A”，则等式两边同时除以A之后得到： 销售增加×（资产/销售额）/A＝基期销售＋销售增加 等式两边再同时除以“基期销售”得到： （销售增加/基期销售）×（资产/销售额）/A＝1＋销售增加/基期销售 （销售增加/基期销售）×（资产/销售额）/A－（销售增加/基期销售）＝1 （销售增加/基期销售）×[（资产/销售额）/A－1]＝1 （销售增加/基期销售）×[（资产/销售额）－A]/A=1 销售增加/基期销售=A/[（资产/销售额）－A] 代入“留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）＝A”可得： 销售增加/基期销售 ＝[留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）]/{（资产/销售额）－[留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）]} 1.可持续增长率=股东权益增长率 =股东权益本期增加/期初股东权益 =（本期净利×本期收益留存率）/期初股东权益 =期初权益资本净利率×本期收益留存率

增长率g的分析

增长率g的分析 增长率g的分析 在基本财务模型中，增长率g的变化是随着公司的融资政策而变化的。根据EFN与增长的关系图，得出两个简单的确定g的前提条件。 一．内部增长率 1．公式的推导 这个增长率是在没有任何外部融资的情况下公司可能实现的最大增长率。在上图中，两条直线的交点表示了所要求的资产增加额和留存收益增加额相等时的最大增长率，即把所有增加的留存收益率用于投资就能达到一个最大的内部增长率g。这时，

其中，由于内部融资并未依靠外部而增加权益资本和债务资本，留存收益投资后的收益是对应于总资产的，因此，这里的留存收益回报率有ROA 来衡量。上式就变为： 由此，我们得出了内部增长率的公式：g=b*ROA 。这里的数字是来自财务报表的期初数据，若为期末数据，则公式：g=b*ROA/(1-b*ROA)。二者的结果是一样的，b 和ROA 在不同因素影响下的变化趋势也是一样的，因此对分析的结论并无实质性的影响。 2．g 的影响因素分析 在上面的公式中，g 的大小变化取决于两个变量b 和ROA 。 （1）b 是留存收益率，也叫再投资率，是公司自己根据公司的情况确定的。b 的取值越大，说明公司将实现的净利润进行再投资的比例越大，那么，公司由此获得的增长率也会越大；反之，b 越小，说明公司把更多实现的净利润分配给股东，再投资的资金较少，因此公司的增长机会就比较小。 （2）ROA 是净利润与总资产的比例——资产收益率。这一变量可变为： 因此，ROA 的变化取决于净利润、资产这两个因素， 或者说是销售利

润率和总资产周转率这两个比率。显然，如果公司的净利润大幅增加，即使再投资率并不高，其投入再投资项目的资金也是很多的。销售利润率的增加说明公司产品获利高，这会提高公司内部资金的生成能力，由此可以提高公司的内部增长率。同时，总资产周转率的提高使得公司每单位资产能够带来更多的销售额，相对应的，更多的销售额会带来更多的利润，从而也会提高公司的增长率。反之，明年的盈利=今年的盈利+今年的留存收益*留存收益回报率 明年盈利/ 今年盈利=1+今年留存收益/ 今年盈利*留存收益回报率 1+g=1+留存收益比率*留存收益回报率 上述因素的降低会使公司的增长率变小。 二．持续增长率 1．公式的推导 可持续增长率是指不增发新股并保持目前经营效率和财务政策条件下公司销售所能增长的最大比率。其保持目前财务比率(包括资产负债率)的增长率，按现有财务结构增加借款，即按留存收益增长的多少安排借款，目的是维持当前的财务杠杆和风险水平。 持续增长率公式的推到导如下： 这里，用权益资本回报率来估计现有的留存收益的预期回报率。ROE是公司全部权益资本的回报率，也是公司以往所有投资项目回报的总和。那么，公式可以变为： 在另一种推导方法下，我们还是可以得到这个公式：

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指数函数的数据拟合 世界人口预测问题 下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿) 有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。 根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 精品文档，下载后可编辑

精品文档，下载后可编辑 rt e y y 0= 其中t 表示经过的时间， 0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。 表3是1950～1959年我国的人口数据资料： (1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 解：设1951~1959年的人口增长率分别为 于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为 129r ,r ,......,r .155196(1)56300,1951, r +=≈≈≈≈≈≈≈≈≈1 2 34 5 678 9 可得年的人口增长率r 0.0200.同理可得r 0.0210,r 0.0229,r 0.0250,r 0.0197,r 0.0223,r 0.0276,r 0.0222,r 0.0184. 55196,1950~1959y =令则我国在年期间的人口增长模型为

浅析可持续增长率的概念及其作用(谢凤玲)

浅析可持续增长率的概念及其作用 谢凤玲 （淮北市杜集区统计局，安徽淮北235037） 摘要：本文浅析可持续增长率的概念和影响因子，以及可持续增长率对企业可持续增长的指导作用。 关键词：可持续增长率；概念；作用 一、综述 可持续发展是一种发展目标和战略思想。也就是说企业在一个相当长的时期内，通过持续不断的学习与创新活动等途径，形成良好的增长机制，经济效益稳步增长，运行效率持续提高，经营规模逐年扩大，甚至在同行中的地位保持不变或有所提高。反映企业可持续发展的指标，用可持续增长率来衡量。 二、可持续增长率的概念 1.概念。就企业而言，可持续增长率是指不增发新股并保持目前经营效率和财务政策下，公司销售所能增长的最大化比率。该增长率一般不会消耗企业的财富资源，是一种可持续增长速度。可持续增长一般运用于企业财务预测，反映销售增长与资金增长之间的平衡关系。假设某公司保持目前的资本结构和股利政策，不发新股，以增加债务作为唯一的外部筹资来源；保持当前的销售净利率(可涵盖负债的利息)和资产周转率。这一般都不随时增发新股、改变经营效率和现行的财务政策，符合大多数公司的现实情况。在假设条件下，限制销售增长率就是股东权益所能扩展的速度。 2.计算公式。可持续增长率的计算公式为：可持续增长率(股东权益的增长率)：(期末的股东权益一期初的股东权益)/期初的股东权益= 留存收益/股东权益= 税后利润/销售收入= 销售收入/总资产= 总资产/股东权益= 留存收益/税后利润= 销售净利率×资产周转率×权益乘数×收益留存率= 权益资本净利率(ROE)×收益留存率 三、影响因子 1.财务指标影响。在构成可持续增长率的四项财务指标中，销售净利率和资产周转率的乘积是资产净利率，它体现了企业运用资产获取收益的能力，代表着企业的经营方针；权益乘数代表着企业的财务政策和目前的资本结构；收益留

内生增长理论

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and Howitt于1992年提出了增长过程中的创造性破坏的作用，在他们于1998年出版的《内生增长理论》 一书中，花了大量的篇幅讲述熊彼特方法，并对技术进步的创造性破坏作用进行详尽的分析。Aghion and Howitt在他们所建立的模型中，引入了新技术使原有技术过时的概念，从而使技术进步成为一种具有 创造性的破坏过程。新熊彼特主义的另一个特点与技术进步的微观机制有关。在九十年代关于增长理论的文献中，很多模型[12]发展了市场结构与技术进步的关系（例如Aghion and Howitt（1998））。但是，就 笔者所见，如何建立一个市场结构内生的技术进步模型，仍是值得经济学家努力的[13]。以杨小凯 为代表的分工驱动经济增长思想，由于引入角点解而将分工与增长模型化，逐步得到了主流经济学家的认可。尽管目前来说，基于分工的研究尚未在经济增长的研究中占据主流地位。由Smith第一次系统提出 并强调的分工与经济增长之间的关系[14]，由A.Young(1928)进行了发扬，但其间直至八十年代才重获经 济学家的重视。对于分工的概念及与增长的关系，经济学家的研究是沿着两条思路进行的：第一条思路是基于分工是生产迂回程度的加深，这是从厂商进行最优决策的角度来展开研究，如 A.Young、Romer(1987)、Grossman（1991、1992）等人所作的研究；第二条思路是基于分工是经济中的个 体（agent）最优选择的结果，体现为个体的专业化水平。这条思路的沿这条思路进行研究的有 G.Beker（1992）、杨小凯（1991、1992、1993）等人。沿第一条思路进行的分析，主要问题在于忽略了分 工的生成与演进过程。虽然Romer(1987)以中间产品的品种数作为生产的迂回程度，并假定中间产品的非 完全替代性与非完全互补性（事实上，Romer所运用的模型中的生产函数是一个D—S型的生产函数）， 解出了一个生产迂回程度的一般均衡解。但其分析过程中没有讨论因生产迂回程度增加而带来的交易成本增加问题，其模型对现实的意义并不太大。杨小凯的贡献在于其认识到了Romer模型忽略交易成本的缺陷，将分工与交易成本联系起来，用交易成本来解释分工的演进。然而，从他已发表的论文与专著（如杨小凯（1998，2000，2001））来看，杨小凯体系中的一个重要问题在于演进（evolution）的概念。在杨那 里，分工是一个演进的过程，决定分工演进的是交易成本。但交易成本的定义与测度本身所存在的问题局限了杨的模型的应用，而且，更为致命的是，在杨那里，经济人(AGENT)的理性是有问题的，即在既定 交易成本具有无穷的理性推理能力，但在预见交易成本的演进方面却一无所知[15]。 随着理论的进展，不少经济学家已经意识到，内生增长理论面临着的最大问题就是如何进行实证分析。无论是沿着Romer的独立研究与开发部门研究路线进行的研究，还是沿着Lucas的人力资本溢出研究路 线进行的研究，都面临着如何进行实证分析的问题。 从目前的研究来看，这种实证研究事实上是沿着两条技术路线进行的，一条是进行国别间的研究，寻 找内生增长证据；另一条是沿一国的长时段数据，研究一国的经济增长因素；或者单独讨论某个具体因素，如对外开放、税收、平等、金融进步、长周期、教育支出、创新等，对于经济增长的作用。 沿第一条技术路线进行的研究，大部分实质上是以著名的Barro型回归（Barro-type regressions）进 行的，即以一国的人均收入增长率为因变量，同时以一国的人均收入为自变量，对国民收入增长率是否趋同进行回归检验。如Barro(1995，1996)对92个国家、美国国内各州、日本国内各县的趋同趋势进行了检 验；Kremer（1993）对于全世界有史以来的经济增长过程的研究表明，经济增长与人口规模存正相关关系， 这在经验上支持了内生增长理论；Michael J.Boskin(2001)对战后的经济增长进行了实证研究，他认为技术 进步应同时体现在人力资本和物质资本的调整上，据此，他得出结论，技术进步对GDP增长的贡献率在50%以上，而可见资本为25%以上，而70年代以后增长率的下降则应归因于单纯物质资本调整型技术进步；Greenwood等(1998,NBER，W6647)对二战后美国的经济增长进行了核算，认为美国的增长与技术进步之 间有着很强的关联关系，同时，他们认为，经济增长过程中，人力资本与技术进步及资本改进之间有着强互补性，得到了一些内生增长的证据；Aghion and Howitt(1998)所面临的问题是如何寻找到能代表国家间 差异的数据，如一国与另一国之间所存在的增长率的差异，可能是因为两国间的文化传统与政治经济制度所造成的[16]，同时国与国之间的GDP差距是否如汇率所显示的那么大，是值得探讨的，然而，对于 GDP的调整，虽有PPP之类的方法，但迄今为止尚没有能得到广泛认同的方法。更为重要的是，沿着第一 条技术路线进行的研究，并没有找到很多对内生增长理论进行支持的经验证据，如DeLong and Summers(1991)对美国的经济增长事实的研究表明，设备投资的增长是经济增长的重要因素。 Mankiw,Romer,Weil(1992)所进行的研究（即著名的MRW检验）表明，有着递减报酬和外生技术进步的 Solow-Swan模型，能够对经济增长率进行解释，而且，他们的工作也表明了条件趋同的存在；

论文：动态可持续增长率管理模型的思考

动态可持续增长率管理模型的思考 【摘要】本文希望通过探求可持续增长率与其根本动因的函数模型，建立可持续增长率动态管理机制，服务于管理决策。 【关键词】可持续增长率动态管理信息技术 一、问题的提出： 可持续增长率的计算的意义在于为企业的健康发展提供有效的财务支持，从而让企业在扩张中可持续的发展下去，不会因为过度增长而使资金链断裂从而导致企业破产。但是现实中企业并没有按照可持续增长率进行增长，原因是多方面的。传统上可持续增长率的计算往往依赖于期末各种指标计算的结果，这给可需增长率的管理带来不便；同时上一年度的可持续增长率可能并不适应下一年度企业的环境，从可持续增长率计算公式可以看出，只要影响企业经营效率的因素或企业做出财务政策的变更，都可能导致可持续增长率的改变；此外如果企业缺乏对可持续增长率的管理机制或虽建立了相关管理机制但此机制并未得到有效运行，也可能导致可持续增长率的改变。可持续增长率的改变则意味着企业可持续成长能力的改变，管理层应当对其充分关注，特别是对影响可持续增长率的根本动因进行分析。本文希望通过探求可持续增长率与其根本动因的函数模型，结合现代信息技术建立可持续增长率动态管理机制，服务于管理决策。 二、企业扩张与资金供给关系的思考

在企业的生产循环里面，企业依次经过采购活动、生产活动、销售活动和分配活动形成了相应的经营性流动资产和经营性流动负债以及资金的流入与流出（如图1）。从某一时点来看，企业的资金的占用及其内部机构、资金的流出量、资金的流入量之间存在着比例关系，如果企业的生产经营活动是稳定的，那么从一定时期来看这些比例将保持不变。 从动态的角度来看，在经营期内的某一扩张中，其内部所能支持的扩张规模= 期初备用资金 + 经营期内的资金流入量 - 经营期内的资金流出量 - 下一期生产准备资金，如果扩张规模超过其内部所能支持的扩张规模，则意味着超额部分将依赖于资本市场，此时资本市场的供给状况将对企业扩张产生重大影响。 因此在企业的扩张过程中，如果企业不顾客观存在的比例关系和资本市场的资金供给情况，在好的情况下可能造成资产的闲置，在差的情况下可能造成资金链断裂从而导致企业破产。由此看来，企业应当树立可持续增长观念，按照可持续增长率进行增长，在此基础上对可持续增长率进行动态管理。 三、动态可持续增长率观念的提出 持续经营假设让企业在可预见的未来能够经营下去，会计分期假设让每一个年度末都有一个与期初权益相比较的权益变动值，这意味着从企业建立到可预见的未来，只要人为划定一个经营期，在这个经营期内存在影响因素的量变，那么在这个人为划定的经营期末便会存在一个可持续增长率的改变，而无论这个经营期有多长或多短（如图2）。这看上去似乎可持续增长率与经营期存在着函数关系，其实

几类不同增长的函数模型

几类不同增长的函数模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 2．若()0,1x ∈，则下列结论正确的是( ) A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 3．四人赛跑，假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =，()22f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A ．()12f x x = B ．()22f x x = C ．()32log f x x = D ．()42x f x = 4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%，若按此规律，设2016 年的森林面积为m ，从2016年起，经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A ． 1.0520mx y = B ．0.05120x y m ??=- ??? C ．()2015%x y m =+ D ．()15%x y m ??=+?? 5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x ，y 之间的函数关系为( ) A ．1000.9576x y = B.1000.9576 x y = C ．0.9576100x y ??= ??? D ．10010.042x y =- 6．下列函数中在某个区间()0,x +∞内随x 增大而增大速度最快的是（ ） A.100ln y x = B.100y x = C.1e 100 x y = D.1002x y =? 7．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

第02讲-杜邦分析管理用财务报表分析体系、销售百分比法、内含增长率的测算、可持续增长率的计算及应用

【考点二】杜邦分析体系 杜邦体系的核心公式 权益净利率=资产净利率×权益乘数 资产净利率=营业净利率×资产周转率 权益净利率=营业净利率×资产周转率×权益乘数 反映的 内容 利用的指标可采用的模式解释 经营战略总资产净利 率（营业净 利率、总资 产周转次 数） （1）“高盈利、 低周转” （2）“低盈利、 高周转” 【提示】反向 搭配 采取“高盈利、低周转”还是“低盈利、高周 转”的方针，是企业根据外部环境和自身资源 做出的战略选择。正因为如此，仅从营业净利 率的高低并不能看出业绩好坏，把它与总资产 周转率联系起来可以考察企业经营战略。真正 重要的，是两者共同作用而得到的总资产利润 率。 财务政策权益乘数 （财务杠 杆） （1）低经营风 险、高财务杠 杆 （2）高经营风 险、低财务杠 杆 【提示】反向 搭配 在资产利润率不变的情况下，提高财务杠杆可 以提高权益净利率，但同时也会增加财务风险。 如何配置财务杠杆是企业最重要的财务政策。 资产利润率与财务杠杆，共同决定了企业的权 益净利率。企业必须使其经营战略和财务政策 相匹配。 分析方法：因素分析法。 设权益净利率F=营业净利率a×资产周转率b×权益乘数c 基数（过去、预算、同行业）：F0=a0×b0×c0

实际数：F1=a1×b1×c1 实际与基数的差异：F1-F0 计算步骤 【考点三】管理用财务报表分析体系 1.管理用资产负债表 区分经营资产和金融资产、经营负债和金融负债，所有者权益不变。 【提示】经营性资产和负债，是指在销售商品或提供劳务的过程中涉及的资产和负债。 金融性资产和负债，是指在筹资过程中或利用经营活动多余资金进行投资的过程中涉及的资产和负债。

可持续增长率计算公式(终审稿)

可持续增长率计算公式文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

【问题】可持续增长率=销售增加/基期销售=[留存率×销售净利率×（1+负债/股东权益）]/｛（资产/销售额）-[留存率×销售净利率×（1+负债/股东权益）]｝的推导过程： 【答复】 （1）注意：公式推导过程中的销售额＝本期销售额＝基期销售额＋销售增加额 销售增加＝销售增加额 本期资产总额＝资产 基期销售额＝基期销售 （2）根据：（销售增加/本期销售额）×本期资产总额＝留存率×（净利润/销售额）×（基期销售额＋销售增加额）＋留存率×（净利润/销售额）×（基期销售额＋销售增加额）×（负债/股东权益） 可知：（销售增加/本期销售额）×本期资产总额＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）＋留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（负债/股东权益） ＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（1＋负债/股东权益） 即：销售增加×本期资产总额/本期销售额＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（1＋负债/股东权益） 由于：销售额＝本期销售额＝基期销售额＋销售增加额 销售增加＝销售增加额 本期资产总额＝资产

基期销售额＝基期销售 所以，销售增加×本期资产总额/本期销售额＝留存率×销售净利率×（基期销售额＋销售增加额）×（1＋负债/股东权益）可以改写为： 销售增加×资产/销售额＝留存率×销售净利率×（基期销售＋销售增加）×（1＋负债/股东权益） 为了便于看清楚，假设“留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）＝A”，则等式两边同时除以A之后得到： 销售增加×（资产/销售额）/A＝基期销售＋销售增加 等式两边再同时除以“基期销售”得到： （销售增加/基期销售）×（资产/销售额）/A＝1＋销售增加/基期销售（销售增加/基期销售）×（资产/销售额）/A－（销售增加/基期销售）＝1 （销售增加/基期销售）×[（资产/销售额）/A－1]＝1 （销售增加/基期销售）×[（资产/销售额）－A]/A=1 销售增加/基期销售=A/[（资产/销售额）－A] 代入“留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）＝A”可得： 销售增加/基期销售 ＝[留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）]/{（资产/销售额）－[留存率×销售净利率×（1＋负债/股东权益）]} 1.可持续增长率=股东权益增长率 =股东权益本期增加/期初股东权益

电力行业上市公司可持续增长模型的应用研究

电力行业上市公司可持续增长模型的应用研究财务管理05-2班：明杰指导教师：徐强国 容摘要:可持续增长是公司制企业实现股东财富最大化的长远目标。因此，企业是否实现了可持续增长就成为了企业成长过程中最值得关注的问题。本文通过构架詹姆斯·霍恩的可持续增长模型，计算可持续增长率、分 析可持续增长率与实际增长率的关系，讨论企业是否真正实现了可持续增长。本文选取在证券交易所上市的既 有代表性的11家电力行业上市公司2004-2008年的财务数据进行计算、分析，讨论企业及整个行业是否实 现可持续增长。 关键词：可持续增长模型;总资产周转率;销售净利率;股利分配率;产权比率 1导言 1.1 写作目的 增长是企业本能的需求。企业的增长不仅要求企业能够在激烈的市场竞争中不断提高创新能力, 保持和增强自身的创新优势, 而且也要求财务资源的合理规划与组织, 保证在资金上能 够支持企业的可持续增长能力。企业可持续增长意味着企业的实际增长必须和自身财务资源相协调, 它表达的是一种平衡增长的哲理。增长过快, 会引发财务资源的紧, 进而招致企业的财务危机和破产; 增长过慢, 会使财务资源不能有效利用, 同样会引起企业的生存危机。因此, 保持企业长期持续的竞争优势, 就成了一个值得深入研究的重要课题。[1] 电力行业作为我国社会基础建设中的重点，在整个国民经济中发挥越来越重要的作用，并伴随着现代化工业、农业的发展，以及社会消费需求的整体提高，其在经济发展中的地位也将日益凸显。上市电力公司是电力行业的重中之重，因此，上市电力公司的可持续增长能力应该受到足够的重视，对其进行评价是十分必要的。 1.1.1 传统的发展能力评价指标 分析企业的发展能力，一般都是从企业的经营规模、财务成果增长情况角度进行的，通过对企业价值驱动因素的分析、比较，评估具有较强发展能力的企业。这些指标主要包括：(1)销售增长指标，如销售增长率、三年销售收入平均增长率、利润增长率等；(2)资产规模增长指标，如总资产增长率、固定资产成新率等；(3)资本扩指标，如资本积累率、三年资本平均增长率等；(4)其他指标，如股利增长率、人均创利增长率等。这些指标虽然较全面地反映了企业在

人口指数增长模型

《数学模型》实验报告 实验名称：如何预报人口的增长成绩：___________ 实验日期： 2009 年 4 月 22 日 实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日 一、实验目的 预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。 二、实验内容 根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。 三、实验环境 MATLAB6.5 四、实验步骤 为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt), lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y= rt+a。 根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果 之间的图形，看结果如何。 利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,11,12); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2))

plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,21,22); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106 .5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 五、实验结果 以1790年至1900年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下图为拟合的图象: 以1790年至2000年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2022/10年，x0=6.0450,下图为拟合的图象:

内生增长理论59935

第2章长期增长II:内生增长理论 正如我们在第1章中所指出的,在索洛于1956年发表的经典文章之后,增长经济学经历了将近20年的繁荣,但却在上世纪60年代末沉寂下来。究其原因,大概可以说就是索洛模型的中心结论就是让人失望的:在缺乏连续技术进步的情况下,人均增长将最终停止。但就是,从实践的角度来瞧,这并不就是一个多世纪以来人们所观察到的经验事实。因此,增长经济学需要注入新的理论活力才能有后续的发展。 自上世纪80年代中期以来,关于经济增长的研究进入了又一次的繁荣。在Romer(1986)发表20年后的今天,无论就是经济增长的理论研究还就是经验研究都显著地改善了其在整个经济学中的地位。现在,经济增长既就是整个宏观经济学领域的研究重点,也就是现代宏观经济学教材中不可或缺的组成部分。这与60年代末到80年代中期的状况形成了鲜明的对比,那时候,经济学家们的研究兴趣主要集中于短期的经济波动,无论就是在发表于各种学术期刊的文章中,还就是在各种级别的经济学教材中,关于经济增长的内容扮演的都只就是次要的角色。 Romer(1986)与Lucas(1988)就是今天我们称之为内生增长理论或新增长理论这一领域的两篇经典文章,尽管她们强调的重点有所不同,分别就是知识资本与人力资本。在她们的模型中,资本这一生产要素被赋予了新的解释,从而克服掉了资本边际报酬递减这一导致了索洛模型的中心结论的关键性假定,进而长期的人均经济增长可以内生地实现。但就是,这一类型的内生增长模型并不需要真正的内生技术进步,经济的长期正增长来源于知识在生产者之间的扩散或者人力资本所带来的外部效应或替代效应。 众所周知,知识的一个重要特征就是非竞争性。因此,要想实现知识的连续进步的话,就必须赋予知识的发明者一定的垄断权利作为激励,即其在知识的使用方面应当具有一定的排她性,这就要求研究增长的经济学家们突破传统的完全竞争框架来为知识或技术进步在生产中的作用建模,真正地将知识的这种特征引入增长理论的研究始于Romer(1987,1990)以及Aghion and Howitt(1992),这就就是今天我们所说的内生技术进步模型。她们在各自的增长模型中都不约而同地引入了不完全竞争框架,从而有垄断利润作为R&D活动的激励,这就为技术进步的内生化提供了一个合理的解释。 此外,内生增长理论还包括试图将索洛模型中的另一外生变量——人口增长率——内生化的研究工作,其中关键的想法就是将生育选择分析整合进增长理论的框架,或者构造一些涉及到迁移或劳动/闲暇选择的模型,这方面的开创性文献包括Braun(1993)以及Becker与Barro(1988,1989)等。 第一节生产性要素的非递减报酬

变化条件下的收入增长率的计算及分析(1)

变化条件下的收入增长率的计算及分析可持续增长率，是指不增发新股并保持目前经营效率和财务政策条件下企业销售所能增长的最大比率。当企业经营效率（资产周转率和销售净利率）和财务政策（资产负债率和收益留存率）保持不变，并且不打算或不愿意发售新股；此时销售的实际增长率等于可持续增长率。 一、可持续增长率计算： ①根据期初股东权益计算可持续增长率 可持续增长率=股东权益增长率 =期初权益资本净利率×本期收益留存率 ＝销售净利率×总资产周转率×权益乘数×收益留存率 ②根据期末股东权益计算可持续增长率 可持续增长率= 当然，我们知道了可持续增长率和上述四个指标（销售净利率、总资产周转率、权益乘数、收益留存率）中的三个，另外一个也就可以求解了。 二、变化条件下的收入增长率的计算分析 可持续增长率不意味着企业的增长不可以高于或低于可持续增长率。关键在于管理人员必须预计并且加以解决在公司超过可持续增长率之上的则增长所导致的财务问题。超过部分的资金只能有两个解决办法：提高经营效率，或者改变财务政策。提高经营效率并非总是可行的，改变财务政策是有风险和极限的，因此超常增长只能是短期的.若想实际增长率高于可持续增长率，可单独采取某项措施其他指标不变，提高销售净利率，实现实际增长率。其他指标不变，提高资产周转率，实现实际增长率。 其他指标不变，提高留存收益率，或降低股利支付率，实现实际增长率。其他指标不变，提高权益乘数，实现实际增长率。其他指标不变，从外部股权融资来实现实际增长率。 （1）在保持基期的经营效率和资产负债率不变，并且不从外部进行股权融资的前提下，可以根据公式①，计算股利支付率，即留存收益率。 （2）在保持基期的总资产周转率和财务政策不变，并且不从外部进行股权融资的前提下，可以根据公式②，计算销售净利率。 （3）在涉及计算资产负债率、总资产周转率发生变化或涉及进行外部股权融资的情况下，不能根据公式①、②在已知收入增长率的情况下，计算这三个量。当上述三个量有一个发生变化时，其他影响收入增长率的指标均未发生变化时，可以如下计算： ①计算总资产周转率时，首先，预期收入＝基期收入（1+实际增长率），预期资产＝权益乘数×年末权益 年末权益＝基期权益+新增权益，新增权益＝预期收入×销售净利率×留存收益率，其次：预期收入/预期资产 求得总资产周率例：如表所示，单位万元 年度 1995 1996 1997 收入 1000 1100 1650 税后利润 50 55 82.5 股利 20 22 33

可持续增长率模型在财务中的比较与应用

美国财务专家罗伯特·希金斯（Robert·C·Higgins）在1977年提出可持续增长模型，将可持续增长问题从定性分析引入定量分析。然而，针对这一模型，许多专家学者均持否定态度，认为模型的假设条件过于苛刻，不符合企业的实际经营状况。因此，许多学者尝试改变其假设或放宽其基本条件使之更符合企业的实际情况。其中，最典型的应属1988年由詹姆斯·范霍恩(James·C·Van Horne)提出的可持续增长静态及动态模型。此后，尽管许多专家学者尝试修正模型，但并没有任何一个修正模型得到一致肯定。因为修正后的模型虽然更符合实际经营情况，却违背希金斯提出的可持续增长率模型的预测性模型的本质。因此，这些模型的实际应用并不很多。仅有波士顿集团等少数企业使用。企业可持续增长评价的重要意义无需讳言，如何更为真实地、有效地进行评价是企业管理领域面临的挑战。有鉴于此，本文将就希金斯可持续增长率模型、范霍恩静态及动态模型进行比较分析，同时运用天士力集团的案例分析说明其实用价值。 一、可持续增长率模型的简介 作为最早将可持续增长研究引入定量分析的学者，希金斯将可持续增长率定义为“在保持现有财务比率的条件下，企业无需增发新股所能达到的销售增长率”。为了将问题简化，希金斯将可持续增长率的研究限定在以下几个假设之下：(1)企业将以市场允许的速度发展；（2）管理者不愿意或不允许筹集新的权益资本；（3）企业将维持既定的资本结构和股利政策。 基于以上前提，希金斯认为，企业的销售增长源于其自身的资产增长，但在不增加权益资本的情况下，企业资产增长只能依靠、增加留存收益或负债。也就是说，为了满足其销售增长，应该增加以下两部：（1）留存收益：RPS；（2）负债：RPS(T-1)。根据定义，所需增加的资产ΔS/A为以上两部分之和，即ΔS/A=RPST，因此可持续增长率ΔS/S=RPAT，即SGR(Sustainable Growth Rate)=RPAT 其中，R代表留存收益率，P代表销售净利率，A代表目标资本结构，T代表权益乘数，ΔS为新增销售收入，S为上一年度销售收入。 希金斯的可持续增长率从会计恒等式出发，揭示了可持续增长的本质是所有者权益的增长。同时，在明确不增发新股这一前提下，可持续增长率即为企业发展速度的上限。 鉴于希金斯可持续增长率模型应用简单，并且易于找出影响和制约企业发展的因素，所以这一模型被广泛接受并被波士顿咨询公司(Boston Consulting Group)推广使用。但是由于其模型的假设条件严格，不符合企业的实际情况，所以对于这一模型理论界存在较多争议。1988年，在希金斯模型的基础上，詹姆斯·范霍恩通过对可持续增长率的进一步研究，进一步放开了可持续增长率的条件，将可持续增长率模型分为静态及动态两种情况，使之更符合企业实际的经营环境。 根据范霍恩的研究，可持续增长率应定义为根据事先制定的经营和债务比率以及股利政策下，企业所能达到的最大年销售增长率。在静态模型下，范霍恩做出与希金斯类似的假设，包括(1)公司在未来与过去保持资产负债表和经营效果比率精确相似；（2）公司不进行外部股权筹资；（3）资本增长仅依靠留存收益；（4）折旧费用足够提供营运资产价值；（5）目标净利润中包含新增利息费用。模型的表述如下：此处的股东权益为企业目标股东权益。 虽然表述方式不一致，但是希金斯模型与范霍恩静态模型的本质是相同的，即资产的增加只能依靠负债和股东权益的增加，销售的最大增长率即为可持续增长率，而区别在于希金斯选取了股东权益年初数计算可持续增长率，而范霍恩则选取股东权益的目标值来计算。但是，这两种模型都存在缺陷，因为其假设条件过于苛刻。因此范霍恩进一步放开假设，允许公司增发新股，并引入基期股东权益E qo，新筹集权益资本E qn以及全年预计支付股利D，即范霍恩动态可持续增长模型。模型仍基于会计恒等式：资产=负债+股东权益，即： 将等式整理可以得到： 一、案例分析 天士力集团成立于1994年，作为天津市现代中药的领军品牌，天士力集团在将现代中药做大做强的基础上不断拓展业务范围，取得了良好的销售业绩。作为国内推行可持续增长较为成功的企业，本文整理归纳出2006年至2010年财务报表数据，分别利用希金斯可持续增长率模型，范霍恩静态及动态模型加以计算，再对结果进行分析。 表1天士力集团财务数据2006-2010 财会探析 可持续增长率模型在财务中的比较分析与应用 ■吕鸥高建来天津科技大学经济与管理学院 [摘要]可持续增长率模型是一个极富争议的模型，很多学者持否定的态度，认为其假设条件过于苛刻，缺乏实际作用。本文将针对基于会计口径的三种代表性可持续增长模型，即希金斯可持续增长模型，范霍恩静态模型及范霍恩动态模型，进行比较，同时以案例说明可持续增长率模型的实际应用价值。 [关键词]可持续增长静态模型动态模型 20062007200820092010 总资产3,259,813,319.583,904,334,166.123,448,124,882.534,025,330,514.765,452,698,947.48 股东权益1,434,675,445.631,818,287,791.252,092,904,038.392,171,097,498.013,424,939,579.76 营业收入2,414,345,404.642,794,905,779.383,434,215,527.413,992,645,337.104,651,591,064.18 净利润205,500,128.86162,794,112.27250,376,300.39323,640,018.65459,429,289.75 分配股利85,500,000.00146,400,000.00195,200,000.00195,200,000.00309,852,796.20 144 《商场现代化》2012年10月（下旬刊）总第699期

Logistic人口阻滞增长模型

Logistic 人口阻滞增长模型 一、模型的准备 阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即 增长率0)(=m x r ，代入（2）式得m x r s =，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -=???????????? ?（3） 将（3）代入方程（1）得： ?????=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m ???? ??? ???（4） 解方程（4）可得： rt m m e x x x t x --+= )1(1)(0 （5） 二、模型的建立 我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1

1、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab 编程得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）： 由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线： t e t x 0336.0.0)12 .609871.180(19871 .180)(--+= （6） 根据曲线（6）我们可以对2010年（56=t ）、2020年（66=t ）、及2033年（79=t ） 进行预测得（单位：千万）： 结果分析：从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布， 程序： 结果： 2、 将1963年看成初始时刻即0=t ，以2005年为32=t 作为终时刻。运用Matlab 编程得到相关的参数0.0484 ,151.4513 ==r x m ，可以算出可决系数9994.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线： t e t x 0484.0)11 .694513.151(14513 .151)(--+= （7） 根据曲线（7）我们可以对2010年（47=t ）、2020年（57=t ）、及2033年（70=t ） 进行预测得（单位：千万）： 结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。 程序： 结果： 3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab 编程得到相关的参数0.0477 ,153.5351 ==r x m ，可以算出可决系数9987.02=R 得到中国各年份人 口变化趋势的第三条拟合曲线：