集合中的数学思想
数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用的意义，是历年高考的重点．其包括:数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．下面通过例题透视集合中的数学思想．
一、数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通，使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象，以期达到化难为易的目的．
【例1】已知}{10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=I 为全集，集合B A ,为I 的子集，且)(B C A I ?=}{
7,4,1，}{3,2)(=?B A C I ，}{10,9,8,6)()(=?B C A C I I ，那么集合A 等于( )
A }{10,9,8,7,6,5,4,1
B }{,7,4,1
C }{,7,5,4,1
D }{,7,5,4,3,2,1
解:由于集合B A ,将全集I 划分为四个子集: )()(B C A C I I ?、)(B C A I ?、B A C I ?)(、B A ?．所以借助于文氏图，可迅速做出判断，如图，易知
I =()()(B C A C I I ?)?()(B C A I ?)?(B A C I ?)()I ?(B A ?)．将已知元素填入相应的集合，易知B A ?∈5．即A ∈5，且B ∈5．故应
二、等价转化思想
等价转化思想就是在解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用．
例2已知集合{}{}01,0652=+==+-=mx x B x x x A ，且A B A =?，则实数m 组成
的集合是_______．
解:{}}{3,20652==+-=x x x A
B 是A 的子集 又
B ∴是A 的真子集 Φ=∴B 或}{2=B 或}{3=B
当Φ=B 时，0=m
当}{2=B 时，012=+m 解得
21-=m 当}{3=B 时，013=+m 解得31
-=m
m ∴的值组成的集合是{}31,21,0--
三、分类讨论思想
分类讨论的思想就是整体问题化为部分问题来解决，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用．
例3设集合{}0232=+-=x x x A ，集合{}0432222=+-+-=p p px x x B ．若B 是A 的子集，求实数p 的取值范围．
解:{}}{2,10232==+-=x x x A
是A 的子集
∴B 可能为Φ、{}1、{}2或{}2,1
方程0432222=+-+-p p px x 中， )4)(2(4---=?p p
⑴若2
p ，则0
⑵若2=p ，原方程为02422=+-x x ，}{
1=∴B 为A 的子集 ⑶若4=p ，原方程为08822=+-x x ，}{2=∴B 为A 的子集
⑷若42<
?，原方程有两个相异实根
由B 是A 的子集得}{
2,1=B ，解得3=p 综上得，当}{),4[3]2,(+∞??-∞∈p 时， B 是A 的子集
四、函数与方程思想
函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求解．
例4设{}01),(2=--=x y y x A ，{}05224),(2=--+=y x x y x B ，=C {}b kx y y x +=),(，
是否存在N b k ∈,，使得Φ=??C B A )(，证明此结论．
解:
Φ=?∴C A 且Φ=?C B
0)1(4)12(2221<---=?∴b k bk
,01442<+-∴bk k 此不等式有解，其充要条件是016162>-b ，即12>b ①
0)25(16)1(422<---=?∴b k
019822<-+-∴b k k 从而208 即5.2 由①②及N b ∈，得2=b 代入由01 得?????<--<+-032018422k k k k 1=∴k 故存在自然数,1=k 2=b ，使得Φ=??C B A )( 集合与简易逻辑 知识点整理 班级： 姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。 2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ； 整数集 ；有理数集 ；实数集 。 3.子集：A B ?? ； 真子集：A B ≠ ?? ； 补（余）集：A C B ? ； 【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ； 并集：A B ?? 。 笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。 性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +< 一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。 一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>?；则p q 是的 条件； 若p q ?；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的 条件。 三年级上册数学广角――集合问题 教学目标： 1、在具体情境中使学生感受集合的思想，感知集合图各部分的意义 ．．．．．．．．．．．。 2、能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，同时使学生在解决问题的过程中进一步体会集合的思想，进而形成策略。 3、渗透多种方法解决重叠问题的意识，培养学生善于观察、勤于思考的学习习惯。 教学重点：让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。 教学难点：对重叠部分的理解。 课前活动：李老师知道咱班同学是最有礼貌的。可李老师还希望咱班的同学是最勇敢的，敢于表达自己的想法，怎么想就怎么说，不用害怕。这节课李老师将是你们最坚强的后盾。你们还怕吗？你们敢表达吗？期待你们精彩的表现。 教学过程： 一、创设探究情境，引领学生初步感知。 师;咱班的同学既是文明、勇敢的,又是聪明、智慧的，所以老师就给 大家带来了一个充满智慧 ．．．．的故事。想听吗？请把目光投向大屏幕。 【大屏幕：理发师的困惑】 师讲解：有一天，理发师正在 ．．”一声响， ．．给客人理发，就听门“吱扭 “叔叔，我和爸爸要剃头”理发师正忙着头也没抬说：“好的，两． 位．请坐，稍等 ．．片刻。【左手伸出两根手指】”这时门又“吱扭”一声响：“师傅，给我和我父亲剃个头吧”理发师心里真高兴，又来两位，【右手伸出两根手指】今天生意可真火！可是当他忙完抬头一看，他感觉很纳闷？明明进来4个人，怎么就只坐着3人呢？ 师：聪明的孩子们，你们知道是怎么回事吗？ 生：（在这个故事中有一个人既是爸爸又是儿子）？？？ 师：你的表达真精彩【播放大屏幕】这个故事中隐含 ．．着一个深奥的数学问题——集合，【贴集合图】这节课我们就一起来研究跟重复有关的集合问题。【板书：集合】 二、创设实践情境，引起学生认知冲突。 1、师：刚才老师路过学校大队部，看到这样一则通知。【出示大屏幕】 师：自己读读通知吧。 生：自由读 师：你读明白什么了？ 在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法 集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918），其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图，现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何，都可以画成同一样式），又称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。 布鲁纳曾说，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯。 集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等，作为数学思想方法的一种，在教学中是具有很大的指导意义的。那么，在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢? 一、集合概念在小学数学教学中的应用 集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。 在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。 在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。 在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。 二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用 1、子集思想在小学数学教学中的应用 教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。如北师大版二 一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一 在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。例如： 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b） (2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b 二、数形结合的思想 “数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。实中数学教材中下列内容体现了这种思想。 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。 6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。 三、转化思想 在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想： 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。 2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。 3、“圆”这一章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 四、分类思想 集合的分类，有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。 五、特殊与一般化思想 集合运算中蕴涵的数学思想方法 江苏省姜堰中学 张圣官 （225500） 2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中，特别提到“强调本质，注意适度形式化”，其中写道“要使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法”。在数学教育的各个环节中渗透数学思想方法，不仅具有提高教学效果的近期功效，而且具有优化学生的认知结构、进而全面提高学生数学素质的远期功效，这已经成了大家的共识。然而，对数学材料本身所蕴涵的数学思想方法进行挖掘和提炼，并在数学解题中加以运用和完善，这一方面还需要我们进行探索与研究。本文拟就集合的交、并、补集运算中所蕴涵的数学思想方法作一点说明。 1.交集思想方法 假设有两个集合A 和B ，A={x|x 具有性质P 1}，B={x|x 具有性质P 2}，则A ∩ B ={x|x 具有性质P 1和P 2}。在研究同时具有性质P 1和P 2的对象时可以考虑运用交集思想方法。从哲学意义上讲，A 和B 反映的是个性，A ∩ B 反映的是共性，而A ∩ B ?A 和A ∩ B ?B 则表明共性存在于个性之中这一基本原理。 例1设A={（x ，y ）|x=m,y=3m+1,m ∈N + },B={（x ，y ）|x=n,y=a(n 2-n+1),n ∈N + }，问 是否存在非零整数a 使得A ∩ B ≠Φ？证明你的结论。 分析：集合A 、B 可化简为A={（x ，y ）|y=3x+1,x ∈N +}，B={（x ，y ）|y=a(x 2-x+1),x ∈N + }。 本题是探索性问题，先假设a 存在，然后开始研究。 简解：要使A ∩ B ≠Φ，即A 、B 有共同的元素，只要方程组?? ?+-=+=)1(132x x a y x y 至少有一组正整数解，也即是方程ax 2-（a+3）x+a-1=0至少有一个正整数解。 ∵a ≠0且a ∈Z ， 由⊿≥0，得3a 2-10a-9≦0，∴313253132 5+-≤≤a ， ∴a=1，2，3，4 。 经检验，a=1，4符合题意；a=2，3不符合。 ∴存在a=1或4 ，使得A ∩ B ≠Φ 。 评注：本题如果将A 、B 视为点集，那么问题就化归为求直线与抛物线的交点中是否存在整点的问题令人望而生畏。以上解法利用交集思想方法，从共性入手，从而由A 、B 的共性使问题获得了优解。 例2已知n 是同时满足以下两个条件的最小正整数：①是15的倍数；②各个数位上的数字都是0或8 。试求n 。 解：设A={15的倍数}，B={各个数位上数字都是0或8的正整数}，则所求的n 即为 A ∩B 中的最小元素。 ∵A={3的倍数}∩{5的倍数}={数字和是3的倍数的整数}∩{个位数是0或5的整数}， ∴A ∩B={个位数字是0，其余各个数位上是0或8，且8的个数是3的倍数的正整数}。 由n 是A ∩B 中最小的数即知，n=8880 。 2.并集思想方法 有些数学问题牵涉若干个体，如果用孤立静止的观点来考虑问题，则或过于繁冗或难以奏效。如果在挖掘各个个体间隐含的某种关系的基础上将各个个体合并（取并集）为一个有机整体进行处理，则往往会出奇制胜，这就是并集思想方法。从哲学意义上讲，这种合并可 数学广角集合练习题 一、填空。 1、明明排队去做操，从前数起明明排第9，从后数起明明排第4，这排小朋友一共有（）人。 2、王刚爱吃的水果有：苹果、梨、枣、香蕉、葡萄。李磊爱吃的水果有：桃、苹果、草莓、枣、石榴。他们都爱吃的水果有（）种。 3、三（1）班参加歌唱兴趣小组的有12人。参加舞蹈兴趣小组有18人，两个小组都参加的有8人，只参加一个兴趣小组的有（）人。 4、三（3）班有45人，每人至少订一种刊物，订《漫画大王》的有37人，订《红树林》的有29人，两种刊物都订的有（）人。 5、看右图回答问题。 喜欢篮球喜欢足球 16人8人15人 （1）一共调查了（）人。 （2）喜欢篮球的有（）人，只喜欢足球的有（）人，两种球都喜欢的有（）人。 二、选择。 三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得100分的学生的学号是6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7，9，16，27，36，40，48，51，53。 1．第一次得100分的有( )人。 A.5 B.7 C.9 D.3 2．第二次得100分的有( )人。 A.5 B.7 C.9 D.3 3．两次都得100分的有( )人。 A.3 B.5 C.7 D.9 4．只在第一次得100分的有( )人。 A.2 B.3 C.4 D.6 5．只得过一次100分的有（）人。 A.15 B.13 C.10 D.9 三、解答。 1、请把小动物们的序号填在合适的位置。 （1）把参加美术和科技小组的学生名单填在相应的圈内。 参加美术小组科技小组 （2）参加美术小组的有（）人，只参加科技小组的有（）人，两种都参加的有（）人。 （3）三（6）班学生参加美术和科技小组的学生一共有（）人。 四、解决问题。 1、学校组织看文艺表演，东东的座位从左数是第7个，从右数是第10个，这一行有多少个座位？ 2、三（1）班有50人，其中25人喜欢吃苹果，22人喜欢吃橘子，13人既喜欢吃苹果又喜 初中数学中的主要数学思想方法 初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等． (1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容 易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、 陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题． 初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形 的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用 的最为广泛． (2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究 是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”， 以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形” 两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用． 譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的 应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度． (3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的 种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、 小学数学思想方法的梳理（集合思想） 课程教材研究所王永春 十二、集合思想 1. 集合的概念。 把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。 集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。此外，有时也可以用封闭的曲线（文恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。 一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。数集之间可以建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应，如五(1)班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也可以建立一一对应。 2. 集合思想的重要意义。 集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都可以从集合的角度来描述。有时用集合语言来表述有关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合沟通了代数(数)和几何之间的关系，如y = kx ，既是正比例函数，又可以表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y = kx 的有序实数对所组成的点的集合。用集合图描述概念的分类及概念之间的关系，往往层次分明、直观清晰，如四边形的分类可以用文恩图表示。 3．集合思想的具体应用。 集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解，再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集，再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理；实际上就是把代表两数的实物分别看作集合Ａ、Ｂ，通过把Ａ的所有元素与Ｂ的部分元素建立一一对应，然后转化为求Ｂ与其子集（与Ａ等基）的差集的基数。此外，在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为Ａ；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为Ｂ、Ｃ、Ｄ，这三个集合就是集合Ａ的三个互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。4．集合思想的教学。 集合思想在小学数学中广泛渗透，在教学中应注意以下几个问题。 第一，应正确理解有关概念。我们知道，两个数之间可以比较大小，但是两个集合之间无法直接比较大小，也就是说一般不说两个集合谁大谁小。如有两个集合A、B，当且仅当它们有完全相同的元素时，称A、B 《数学广角——集合》教学设计 教学内容：人教版教材三年级上册第九单元《数学广角——集合》 教学目标： 1. 让学生经历维恩图的产生过程，能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。 2. 培养学生善于观察、善于思考的学习习惯。使学生感受到数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题，体验解决问题策略的多样性。 3.在探究生活中的重叠问题过程中，体验到数学与生活的联系，感悟到数学价值的。 教学重点：经历维恩图的产生过程，能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。 教学难点：难点：体会集合的数学思想。 教具准备：课件。 教学过程： 一、激兴导入 1．谈话导入 2．出示信息。 出示教科书第104页例1统计表。让学生说一说从中获得了哪些信息。3．提出问题，激发“冲突”。 参加这两项比赛的共有多少人？ 二、探索交流 1．独立思考表达方式，经历知识形成过程。 师:大家对这个问题产生了不同的意见。你能不能借助图、表或其他方式,让其他人清楚地看出结果呢? 2．小组交流，初步感知集合概念。 请同学以小组为单位，想办法将名单整理地更清楚。先请同学读清楚合作要求，小组合作开始。教师巡视，有层次地挑选3-4份作品，选好发言代表。3．对比分析，介绍维恩图 （1）小组汇报整理的方法，互相评价。 （2）教师引导，发现用维恩图的方法更清楚、直观。 师:我们把参加跳绳比赛的学生看作一个整体，叫做一个集合；把参加踢毽比赛的学生看作一个整体，也是一个集合。(板书课题:集合。)在数学上我们常用这样的方法，直观地把集合中的具体事物表示出来。 PPT介绍维恩图。 4.列式解答，加深对集合运算的认识。 请同学们对照维恩图求出一共有多少个同学参加比赛，并征集多种算法。（1）尝试独立解决。 （2）汇报交流，体会解决问题的多种方法。 9+8-3=14 9+（8-3）=14 8+（9-3）=14 6+3+5=14 通过算式指出各部分含义。 谁来说一说9+8-3=14这一算式表达的含义。 教师边规范语言，板书：只只既又 三、梳理巩固 刚刚我们通过小组合作，发现用维恩图清楚的表示出参加各种比赛的人数，ppt 演示维恩图的形成过程。 四、课堂作业 1.重叠现象怎样求和： 有4人喜欢画画，5人喜欢唱歌，喜欢画画和唱歌的同学可能一共有多少人？ 教师：你能确定吗？有多少种可能？请同位合作在1号作业纸上，画出维恩图，列式解决问题。能想出几种就写几种。 学生边交流，教师边在黑板上补充完整： 一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关 小学数学中常见的数学思想方法有哪些？ 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化 及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 一、集合与常用逻辑用语 一、选择题 1．（重庆理2）“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】A 2．（天津理2）设则“且”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 3．（浙江理7）若为实数，则“”是的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 4．（四川理5）函数，在点处有定义是在点 处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】B 【解析】连续必定有定义，有定义不一定连续。 5．（陕西理1）设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是 A ．若，则∣∣∣∣ B ．若，则∣∣∣∣ C ．若∣∣∣∣，则 D ．若∣∣=∣∣，则= - 【答案】D 6．（陕西理7）设集合M={y|y=x —x|,x ∈R},N={x||x — ,i 为虚数单位，x ∈R}, 则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1] C ．[0,1） D ．[0,1] 【答案】C 7．（山东理1）设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ．[1,2） B ．[1,2] C ．（ 2,3] D ．[2,3] 【答案】A 8．（山东理5）对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】B 9．（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 x <-1x 2 -1>0,,x y R ∈2x ≥2y ≥2 2 4x y +≥,a b 01m ab ＜＜ 11a b b a ＜或＞ ()f x 0x x =()f x 0x x =,a b a b =-a b a b ≠-a ≠b a b =-a ≠b a ≠b a b ≠-a b a b 2cos 2 sin 1 i 2 60x x +-<(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x θ12:||1[0, )3p a b πθ+>?∈22:||1(,]3p a b π θπ+>?∈13:||1[0,)3p a b πθ->?∈4:||1(,]3p a b π θπ->?∈ 初中数学思想方法的概念、种类 及渗透策略分析 分类讨论思想 一、分类讨论思想的意义 当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并增加条件，“分类讨论”,简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。 分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。 二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。 三、分类讨论思想的分类原则 ： 分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下4大原则: (1)同一性原则 (2)互斥性原则 (3)相称性原则 (4)多层次性原则 四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点 上册：1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面点的坐标5、P 112第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。 五、典型例题 例1.（2011中考 ）解关于x 的不等式组： a(2-x )>3-x )9x a +（ >9a+8 例2已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为__ 或____ 。 练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长. 2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 集合的交并补运算 例1 ：已知集合{0,2}=A ，{21012}=--， ，，，B ，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{21012}--， ，，， 【答案】A 【解析】由题意{0,2}A B =，故选A ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 例2已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{5} C ．{3,5} D ．{}1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =，故选C ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 题型二 集合的交并补与不等式结合 例3：已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则（ ） A ．3{|}2A B x x =< B ．A B =? C ．3 {|}2 A B x x =< D ．A B =R 【答案】A 【解析】∵3{|}2 B x x =<，∴3 {|}2 A B x x =<， 选A ． 【易错点】不等式解错 【思维点拨】掌握常规不等式的解答 例4：设集合2 {|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1] 2 【答案】A 【解析】∵{0,1}M =，{|01}N x x ≤=<，∴M N =[0,1]． 【易错点】方程解错，对数不等式不会解答 【思维点拨】基本函数和方程思想的掌握 题型三 四种命题的基本考查 例5：设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则 0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 【易错点】概念混淆 【思维点拨】加强对四种命题的强化 题型四 充要条件的判断 例6：设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“3 8x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件，故选A ． 【易错点】解不等式 【思维点拨】加强部分不等式的解答 例7：设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 9数学广角——集合 【单元目标】 1.使学生借助直观图，利用集体的思想方法解决简单的实际问题。 2.使学生在解决实际问题的过程中体会集合的思想。 3.培养学生善于观察、善于思考，养成良好的学习习惯。 【重点难点】 运用集合知识进行计算。 【教学指导】 “数学广角”是义务教育课程实验教科书人教版数学三年级上册开始新增设的一个内容，涉及的重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。教材例1编排的意图是借助学生熟悉的题材，通过统计表的方式列出参加跳绳比赛和踢毽比赛的学生名单，和实际参加这两个比赛总人数不相符合引起学生的认知冲突，渗透并初步体会集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。集合是比较系统、抽象的数学思想方法，针对三年级学生的认知水平，在这里只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。教学时老师不要使用集合、集合的元素、基数、交集、并集等数学化的语言进行描述。 【课时安排】 建议分为1课时： 数学广角——集合………………………………………………1课时 数学广角——集合 【教学内容】 集合的应用。 教材104页的内容。 【教学目标】 1.在具体情境中使学生感受集合的思想，感知集合图的产生过程。 2.能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，同时使学生在解决问题的过程中进一步体会集合的思想，进而形成策略。 3.渗透多种方法解决重叠问题的意识，培养学生善于观察、勤于思考的学习习惯。 【教学难点】 1.让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。 2.对重叠部分的理解。 【教学准备】 课件。 【情境导入】 复习上节课学习的内容。 什么是集合？集合在生活中的哪些地方常见？本节课我们就来学习集合。 关于初中数学思想方法的思考 数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和注重思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的 相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。 3、重视课堂教学实践，在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法。 数学知识发生的过程也是其思想方法产生的过程。在此过程中，要向学生提供丰富的、典型的以及正确的直观背景材料，创设使认知主体与客体之间激发作用的环境和条件，通过对知识发生过程 的展示，使学生的思维和经验全部投人到接受问题、分析问题和感悟思想方法的挑战之中，从而主动构建科学的认知结构，将数学思想方法与数学知识融汇成一体，最终形成独立探索分析、解决问题的能力。 概念既是思维的基础，又是思维的结果。恰当地展示其形成的过程，拉长被压缩了的“知识链”，是对数学抽象与数学模型方法进行点悟的极好素材和契机。在概念的引进过程中，应注意：①解释概念产生的背景，让学生了解定义的合理性和必要性；②揭示概念的形成 过程，让学生综合概念定义的本质属性；③巩固和加深概念理解，让学生在变式和比较中活化思维。 在规律（定理、公式、法则等）的揭示过程中，教师应注重数学思想方法，培养学生的探索性思维能力，并引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早地给结论，讲清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是如何思考的，使学生领悟蕴含其中的思想方法。 数学问题的化解是数学教学的核心，其最终目的要学会运用数学知识和思想方法分析和解决实 《成人高等学校招生考试（数学理科）》教案 【组织教学】 1. 起立，师生互相问好 2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题 【导入新课】 本课我们来学习集合和简易逻辑。集合是现代的数学的重要概念，,运用集合可以方便又准确地描述和解决某些数学问题。简易逻辑是分析、判断命题正确与否的基础，学习和掌握简易逻辑能够提高分析和判断能力。通过本课的学习，同学们要加深掌握集合的定义及其表示方法,掌握空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，记牢各种集合符号及其意义，并能用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系；能够运用简易逻辑学的知识分析和判断简易逻辑问题。 【讲授新课】 第一章 集合和简易逻辑 §1.1 集合 一、集合的概念 1．集合 具有某种属性的事物的全体称为集合。集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，如}{ 5,6,7,8 A =。 2.元素 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，也叫“元”。元素常用小写字母a 、b 、c 等表示。集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。元素具有无序性、互异性、确定性。 3.元素与集合的关系 个体与整体的关系。如果a 是集合A 的元素，记作a A ∈，读作a 属于A ；如果a 不是集合A 的元素，记作a A ?（或a A ∈），读作a 不属于A 。 4. 有限集、无限集、单元素集、空集 （1）有限集 含有有限个元素的集合，如}{ 1,2,3A =。 （2）无限集 含有无限个限个元素的集合，如}{ A x x =-∞<<+∞。 （3）单元素集 只有一个元素的集合，如}{ 1A =。 （4）空集 不含任何元素的集合，空集用?(不是希腊字母的φ)表示。空集不是无；它是内部没有元素的集合。若将集合想象成一个袋子和它里面的事物，则空集就是里面没装事物的空袋子。空集?是任何集合的子集. 5．数集 元素为数的集合叫做数集，常用的数集有： （1）实数集 全体实数组成的集合，常用符号R 表示。 （2）有理数集 全体有理数组成的集合，常用符号Q 表示。 （3）整数集 全体整数组成的集合，常用符号Z 表示。 1非负整数集—自然数集,用N 表示。 根据国家标准，现在自然数集包括元素0（以前不包括元素0）； 2正整数集,用N +或N *表示。正整数集不包括元素0。 二、集合的表示法 1．列举法 列举法是把集合的元素一一写在大括号里的表示法，如 }{1,2,3A =。红色、白色、蓝色和绿色的集合可写成}{D =红色,白色,蓝色,绿色 2．描述法 把集合中的元素的公共特性写在大括号里的表示法，如 “所有等腰直角三角形”组成的集合可写成}{ A =等腰直角三角形； 方程2 60x x +-=的根组成的集合A 可写成} { 2 60B x x x =+-=； 大于零的前三个自然数的集合可写成}{C =大于零的三个自然数。 3．图解法 在不严格的意义下，为直观起见，有时也用图来表示集合，如右图：集合与简易逻辑知识点整理
三年级上册数学广角――集合问题
在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法
初中数学思想方法主要有哪些
集合运算中蕴涵的数学思想方法
数学广角集合练习题
初中数学中的主要数学思想方法
小学数学思想方法的梳理集合思想
三年级上册数学广角集合问题
初中数学思想方法大全
小学数学中常见的数学思想方法有哪些.
2012年高考真题汇编理科数学解析版集合与简易逻辑
初中数学思想方法汇总
2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练(有解析答案)
9 数学广角——集合
关于初中数学思想方法的思考
成人高考数学教案_第1讲__集合和简易逻辑
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