课题13.4.1最短路径问题（第二课时）
教学目标
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想
教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
教学难点探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．
配套教学资源微视频课件编撰人谭方宪
教学导学过程增补批注一、复习导入
如果点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点
C 在l 的什么位置时，AC+CB的和最小？在图中标出C点，简单说
明理由。
二、引入新课
1、如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，
桥造在何处可使从A到B的路径A-M-N-B最短？(假定河的两岸是平
行的直线，桥要与河垂直．)
2、你能将将这个问题抽象为数学问题吗？
求的和最小？
3、因为无论在何处造桥，始终是定值，
于是要使路程最短，只要＋最短即可．如何
将＋转化在一条直线上?
提示：如图,平移A到A',使AA'等于河宽MN,连接A'B交河
岸于N.作桥MN,此时路径+ + 最短.
还有其它方法吗?
三、拓展探究
你能用所学的知识证明AM+MN+BN最短吗？
提示：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点
N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到
点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a
于点M，则路径AMNB最短．
请你说说理由
．
四、小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
课堂检测
1如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球？
2.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，求PE+PB的最小值．
4.在平面直角坐标系中，A（2，-5）、B（5，-1）
①在x轴上找一点C，是C点到A、B的距离之和最短，求C点坐
标；
②在x轴上有两点M（a，0）、N（a+2，0），当四边形ABNM
的周长最短时，求a的值．
13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 【类型三】最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． （1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明） （2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出AB的中垂线与EF的交点M即可，交点即为厂址所在位置． （2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案。 解：（1）作出AB的中垂线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； （2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时） 内容分析 1.课标要求 “课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。 2.教材分析 知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。 能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。 思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思 想。在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性， 所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。 3.学情分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线2l的什么位置时，NB AM+ +最小?”需要将其转化为“当 MN 点N在直线2l的什么位置时，NB AM+最小?”。能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。
134将军饮马——最短路径问题教学设计 13.4将军饮马 ——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生研究平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生研究数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既
是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学研究不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下： [教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变成两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，
课题13.4.1最短路径问题（第二课时） 教学目标 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想 教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 教学难点探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理． 配套教学资源微视频课件编撰人谭方宪 教学导学过程增补批注一、复习导入 如果点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点 C 在l 的什么位置时，AC+CB的和最小？在图中标出C点，简单说 明理由。 二、引入新课 1、如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN， 桥造在何处可使从A到B的路径A-M-N-B最短？(假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直．) 2、你能将将这个问题抽象为数学问题吗？ 求的和最小？ 3、因为无论在何处造桥，始终是定值， 于是要使路程最短，只要＋最短即可．如何 将＋转化在一条直线上? 提示：如图,平移A到A',使AA'等于河宽MN,连接A'B交河 岸于N.作桥MN,此时路径+ + 最短. 还有其它方法吗? 三、拓展探究 你能用所学的知识证明AM+MN+BN最短吗？ 提示：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点 N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到 点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a 于点M，则路径AMNB最短． 请你说说理由 ． 四、小结 通过本节课的学习，你有什么收获？
课堂检测 1如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球？ 2.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，求PE+PB的最小值． 4.在平面直角坐标系中，A（2，-5）、B（5，-1） ①在x轴上找一点C，是C点到A、B的距离之和最短，求C点坐 标； ②在x轴上有两点M（a，0）、N（a+2，0），当四边形ABNM 的周长最短时，求a的值．
课题学习最短路径问题 【教学目标】 1．了解最短路径问题。掌握解决最短路径问题的方法。 2．通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力。 3．通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心。 【教学重难点】 最短路径的选择。 【课时安排】 2课时。 【第一课时】 【教学过程】 一、情景导入。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。 二、思考探究，获取新知。 问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短 将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。 联想：如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短 两点之间，线段最短。 连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求。
如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况。 作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB。 连接AB′，与直线l相交于点C。则点C即为所求。 学生小组合作交流。 三、巩固练习。 1．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）。 【第二课时】 【教学过程】 一、造桥选址问题。 问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） （1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。 作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求。 （2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AMMNNB最小 将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN。
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题 教学设计
课题 人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒 13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板 课时共（1）课时，第（1）课时执教教师 教材分析 本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 学情分析 最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。 教学目标 知识与技能 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。 3.感悟转化思想。 过程与方法 1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。； 2.渗透数学建模的思想。 情感态度与价 值观 1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学 教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力. 教学 难点 路径最短的证明 教学过程设计设计意图 一、以旧引新，激情引趣 1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短” 为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。 充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短 让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。
最短路径问题 【目标导航】 1.理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”. “饮马问题”，“造桥选址问题”.考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等. 2.解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用. 【合作探究】 探究一：（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． （2）如图2，直线l 是一条河，A 、B 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站M ，向A 、B 两地供水，要使所需管道M A +M B 的长度最短，在图中标出M 点． （3）如图3，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段C D 表示．试问：桥C D 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥C D 的位置．画 出示意图，并用平移的原理说明理由． 变式1．在边长为2㎝的正方形ABC D 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝． 变式2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上 有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为__________ 第2题 第3题 第4题 变式3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为_________ 变式4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是A D 和AB 上的动点，则B M+MN 的最小值是____． 变式5．一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，则PC ＋PD 的最小值________，此时P 点的坐标为________． 探究二：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他 确定这一天的最短路线. A D E P B C 第5题 O x y B D A C P
课题： 13.4课题学习最短路径问题 教学内容最短路径问题 教学目标知识与技能： 通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短. 过程与方法： 让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法. 情感、态度与价值观： 在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系. 教学重点应用所学知识解决最短路径问题. 教学难点选择合理的方法解决问题. 教学方法合作交流，讲练结合. 教学准备多媒体课件，三角板. 教学过程设计设计意图 教学过程一、复习引入 (1)两点所连的线中,最短. (2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中, 最短. 我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径 问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所 学知识选择最短路径.(揭示课题) 二、新知探究 问题1 首先我们来研究河边饮马问题. (河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条 笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮 马,可使所走的路径最短? 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l 上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短? 连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最 短”,可知这个交点即为所求. 【思考】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又 应该如何解决? 复习旧知，为 新课学习提供 理论依据.
讨论交流. (1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关? (2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上? 分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演. 幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称) 如果在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C'.怎样证明AC+CB 课题学习最短路径问题导学案 【学习目标】能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。【学习重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 【学习难点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 【课前准备】三角板、直尺、圆规、铅笔、橡皮擦等 【学习过程】 一、自主学习 1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 2、三角形的三边关系：三角形的两边之和________第三边；两边之差________第三边。 3、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。 4、如图，点A、B关于直线l对称，则PA=_______ 二、合作探究 问题1 如图，点A、B分别在直线l 的两侧，如何在直线l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离之和最小？ .A l .B 问题2将军饮马 有一个将军，凯旋归来。他的马非常任性，非要从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮水，然后到军营B 地．将军到河边什么地方饮马可使他所走的路线最短？ 小组成员讨论完成以下问题： （1）这是一个实际问题，你能将它抽象为数学问题吗？ 答：将A、B两地抽象为两个_____，将河l抽象为一条______,题目要求在直线l上找到一个点C，使线段_____和线段_____的和最小。 （2）问题2和问题1有什么异同？ 答：相同点：都是要在一条直线上找______点，使它到已知两点的距离之和最________。 不同点：问题1的两点在直线的______侧； 问题2的两点在直线的______侧。 （3）你能利用轴对称的知识将问题2转化为问题1吗？试一试，怎么做？ （4）你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 三、例题精讲 例1、如图：在正方形ABCD中，点M是AB的中点，在AC上找一点N，使 MN+NB最小。 最短路径问题教案 最短路径问题是图论中的一个重要问题，它涉及到在一个给定图中找到两个节点之间最短的路径的长度。最常见的应用场景是在网络中找到两个节点间的最短路径，在计算机科学中，最短路径问题也常被应用于路由算法和图像处理等领域。 一、教学目标： 1. 理解最短路径问题的基本概念和应用场景。 2. 掌握最短路径算法的基本原理和实现方法。 3. 能够用编程语言实现最短路径算法的代码。 4. 能够解决实际问题中的最短路径问题。 二、教学重点： 1. 最短路径问题的基本概念和应用场景。 2. 最短路径算法的基本原理和实现方法。 三、教学难点： 1. 最短路径算法的实现方法。 2. 如何解决实际问题中的最短路径问题。 四、教学过程： 1. 导入：通过实际例子引入最短路径问题，如旅行商问题、网络路由等。 2. 概念讲解：讲解最短路径问题的基本概念，包括图、节点、边、路径等相关概念。 3. 最短路径算法：讲解最短路径算法的基本原理和实现方法，包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。 4. 实例演示： （1）演示迪杰斯特拉算法的实现过程，并给出具体的图示例。 （2）演示弗洛伊德算法的实现过程，并给出具体的图示例。 5. 练习： （1）以小组为单位，每个小组选择一个最短路径问题，分 析问题，设计算法，编写代码求解。 （2）小组展示解题过程和结果。 6. 总结：总结最短路径问题的概念、算法和应用场景，并提出建议和思考。 五、教学手段： 1. PPT讲解：用PPT讲解最短路径问题的基本概念、算法原 理和实现方法，并配以图示例进行讲解。 2. 实例演示：通过具体的图示例演示最短路径算法的实现过程，帮助学生理解算法的具体步骤和操作。 3. 问题解答：在讲解过程中，及时解答学生提出的问题，帮助学生理解和消除疑惑。 4. 小组练习：通过小组合作的方式，让学生在实际问题中应用最短路径算法，锻炼解决问题的能力和编程实践能力。 六、思考题： 造桥选址问题 ——最短路径问题第二课时设计案例 南宁市新民中学甘晓云 一、内容与内容解析 （一）内容 本题选自人教版八年级上册第13章《轴对称》13.4课题学习第86页问题2. 利用平移研究某些最短路径问题. （二）内容解析 本课题学习是利用图形变换来研究某些实际问题中的最短路径问题.问题2以造桥选址这样一个实际问题为载体展开研究，让学生经历将实际问题抽象成数学的线段和最小问题,再利用平移变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．所以，基于以上分析，确定本节课的重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 二、目标与目标解析 （一）目标 能利用平移解决某些最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归的思想. （二）目标解析 本节课所要达成的目标，一是能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线’,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；二是能利用平移将和最小问题转化为“两点之间，线段最段”问题；三是能通过逻辑推理证明所求距离最短；四是在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟数学转化思想. 三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 解答在两条直线异侧两点的最短路径问题时，如何利用图形变化将其转化为“在一条直线异侧两点与直线上点的线段和最小问题”，为什么需要这样转化、怎样通过图形变化实现转化的，一些学生在理解和操作上存在困难。 在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，因为之前很少遇到，不过有了问题1 7 专题学习：最短路径问题 一、教学目标： 知识与技能： 理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 过程与方法： 能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题。 情感态度与价值观： 通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 二、教学重、难点 教学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称解决生活中路径最短的问题，确 定出最短路径的方法。 教学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。 三、学法指导 自主探索，合作交流。 四、教学过程 （一）、创设情景，引入新知。 同学们：我们已经学习过“两点之间的所有连线中，线段最短。”和“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”等问题，我们称他们为最短路径问题。 （二）、自主学习，探究新知。 1如图所示，从A地到c地有四条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是 什么? 2、两点在一条直线异侧: 活动1:已知：如图，A B在直线I的两侧，在I上求一点P,使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。 A C B •B 思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA+PB最短呢？ 3、两点在一条直线同侧 活动2:如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边I饮马，然后到B地，牧马人到河 边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ (1) 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ (2) 这是一个实际问题，你打算首先做什么? 将A, B两地抽象为两个点，将河I抽象为一条直线. 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ (1 )从A地出发，到河边I饮马，然后到B地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A, B连接起来的两条线段的长度之 和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和； (3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线I上的点•设C为直线 上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在I的什么位置时，AC与CB的和最小 最短路径问题说课稿 最短路径问题说课稿 作为一位兢兢业业的人民教师，时常需要用到说课稿，借助说课稿可以有效提升自己的能力。那么说课稿应该怎么写才合适呢？以下是为大家提供的最短路径问题说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。 一、教材分析 1、特点与地位： 重点中的重点。本课是教材求两结点之间的最短路径问题是图最常见的应用的之一，在运输、通讯网络等方面具有一定的实用意义。 2、重点与难点： 结合学生现有抽象思维能力水平，已掌握基本概念等学情，以及求解最短路径问题的自身特点，确立本课的重点和难点如下： （1）重点：如何将现实问题抽象成求解最短路径问题，以及该问题的解决方案。 （2）难点：求解最短路径算法的程序实现。 3、安排： 最短路径问题包含两种情况：一种是求从某个源点到其他各结点的最短路径，另一种是求每一对结点之间的最短路径。根据教学大纲安排，重点讲解第一种情况问题的解决。安排一个课时讲授。教材直接分析算法，考虑实际应用需要，补充旅游景点线路选择的实例，实例中问题解决与算法分析相结合，逐步推动教学过程。 二、教学目标分析 1、知识目标： 掌握最短路径概念、能够求解最短路径。 2、能力目标： （1）通过将旅游景点线路选择问题抽象成求最短路径问题，培养学生的数据抽象能力。 （2）通过旅游景点线路选择问题的解决，培养学生的独立思考、分析问题、解决问题的能力。 3、素质目标： 培养学生讲究工作方法、与他人合作，提高效率。 三、教法分析 课前充分准备，研读教材，查阅相关资料，制作多媒体课件。教学过程中除了使用传统的“讲授法”以外，主要采用“案例教学法” ，同时辅以多媒体课件，以启发的方式展开教学。由于本节课的内容属于图这一章的难点，考虑学生的接受能力，注意与学生沟通，根据学生的反响控制好教学进度是本节课成功的关键。 四、学法指导 1、课前上次课结课时给学生布置任务，使其有针对性的预习。 2、课中指导学生讨论任务解决方法，引导学生分析本节课知识点。 3、课后给学生布置同类型任务，加强练习。 五、教学过程分析 （一）课前复习（3~5 分钟） 回顾“路径”的概念，为引出“最短路径”做铺垫。 教学方法及考前须知： （1）采用提问方式，注意及时小结，提问的目的是帮助学生回忆概念。 （2）提示学生“温故而知新” ，养成良好的学习习惯。 13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转 《17.1勾股定理的应用——最短路径问题》教学设计教学目标： 【知识与技能】 1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题； 2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题. 【过程与方法】 经历运用勾股定理解决实际为题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 【情感、态度与价值观】 1.培养学生运用所学只是解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识； 2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其它方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，形成积极参与数学活动的意识. 教学重点： 1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题； 2.探索空间与平面图形之间的关系. 教学难点： 熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题，增强学生的数学应用能力。 课前准备： 制作圆柱、正方体、长方体等教具 教学方法： 互动式教学、合作探究学习 教学过程： 一、抛砖引玉 一块长方形草地，在靠近路口的一角被踏出了一条“斜路”，类似的现象在我们校门前也有发生.请问同学们： （1）人们为什么要走“斜路”呢？ （2）经测量，这条“斜路”的一端距离直角顶 点3米，另一端距离直角顶点4米，你能根据之前 所学过的知识告诉我：斜“路”比正路近多少米？ 学生会想立一个牌子，提醒人们，请你帮助填空：少走___米，践踏何忍？ 如果我们每步可以跨0.5米，那么这样可以少走几步？这么几步近路，值得吗？[设计意图]：本题不仅是勾股定理的实际应用题，而且还对学生进行了社会公德教育，体现了数学教学的德育意义. 二、初露锋芒 有一只小昆虫——森迪，来到了高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱体的A 课题 13．4课题学习最短路径问题 课型讲授总课时1课时第1课时授课人 教学 内容 最短路径问题 教学 目标 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短． 教学 重点 应用所学知识解决最短路径问题 教学 难点 应用所学知识解决最短路径问题 教学设计 教学 环节导案学案教师复备栏 导入定向一、创设情境 多媒体展示：如图，一个圆柱 的底面周长为20cm，高AB为4 cm， BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C， 试求出爬行的最短路径． 这是一个立体图形，要求蚂蚁 爬行的最短路径，就是要把圆柱的 侧面展开，利用“两点之间，线段 最短”求出最短路径．那么怎样求 平面图形中的最短路径问题呢？ 二、自主探究 探究一：最短路径问题的概念 1．多媒体出示图①和图②，提出问题： (1)图①中从点A走到点B哪条路最 短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连 线中哪条线最短？ 2．教师总结：“两点之间，线段最 短”“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之 为最短路径问题． 探究二：河边饮马问题 多媒体出示问题1：牧马人从A地出发， 到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧 马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径 最短？ 提出问题： (1)根据问题1的探讨你对这道题有什 么思路和想法？ (2)这个问题有什么不同？ (3)要保证路径AMNB最短，应该怎样 选址？ 学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM ＋MN＋NB最小． 尝试选址作出图形． 多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程． 根据问题1和问题2，你有什么启示？ 三、知识拓展 已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？ [让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较] 四、归纳总结 1．本节课你学到了哪些知识？ 2．怎样解决最短路径问题？ , 最短路径问题教学设计 一、课标分析 2011版数学课程标准指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径..”随着现代信息技术的飞速发展;极大地推进了应用数学与数学应用的发展;使得数学几乎渗透到每一个科学领域及人们生活的方方面面..为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才;数学建模已经在大学教育中逐步开展;国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛;将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面;数学建模难度大、涉及面广;数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程..新课标强调从生产、生活等实际问题出发;引导学生运用数学知识;去解决实际问题;培养应用意识与能力..因此;数学建模是初中数学的重要任务之一;它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段..但从教学的反馈信息看;初中学生的数学建模能力普遍很弱;这与课堂教学中忽视对学生数学建模能力的培养不无关系..要想提高学生的建模能力;我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有的知识出发;从社会热点问题出发;让学生直接接触数学建模;培养学生抽象能力以及运用数学知识能力..现实生活中问题是很复杂的;有些问题表面看来毫无相同之处;但抽象为数学模型;本质都是相同的;这些问题都可以用类似的方法解决..本节课的教学中注重模型归类;多题一模;训练学生归纳能力;培养学生数学建模能力.. 二、教材分析 本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”和轴对称的性质、勾股定理的基础上;引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题..它既是轴对称、勾股定理知识运用的延续;又能培养学生自主探究;学会思考;在知识与能力转化上起到桥梁作用．对于本节课的内容;青岛版教材没有独立编排;只是随着学生数学学习的不断推进;逐步添加了部分题目来逐步渗透;这也使大部分学生忽视了这一知识点..设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题;让学生直面数学模型;体会数学的本质;有利于学生系统的学习知识.. 学习目标： 1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”;从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型;体会轴对称的“桥梁”作用.. 2.能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决;感悟转化思想. 3、通过训练;提高综合运用知识的能力.. 13.4课题学习最短路径问题说课稿 各位评委老师大家好！ 我今天说课的课题是人民教育出版社八年级上册第13章第4节：课题学习最短路径问题。 一.教材分析 最短路径问题是我们现实生活中常常遇到的问题，本节课通过一个实际问题的引入，让学生把实际问题抽象成数学问题，并建立数学模型，学会用数学的眼光观察现实世界，初步了解利用图形变换的方法，体会用数学思维思考现实世界。 从本章节的内容来看，本节课是在学习了轴对称之后，进一步的对“两点之间，线段最短”以及“三边关系”的应用。它是13章轴对称知识的运用和拓展。从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一。本章节的教学内容是实现中考最短路径综合问题解决的基础，因此有着非常重要的作用。 所以本节课的重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。 学情分析 作为八年级的学生，已经学习了轴对称相关的简单知识，掌握了两点之间线段最短的相关理论，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，思维活跃，敢于尝试 IS此之外，他们很少涉及到最值问题，在解决这方面的经验不足。尤其是将在“同侧”转化到“异侧”的过程中。为什么需要这样转化？一些学生存在理解和操作上的困难。 因此，本节课的难点是：思考用什么样的方法将最短路径问题转换为“两点之间，线段最短”的问题。以及如何证明此路径最短。 Ξ.教学目标 基于以上分析，我确定我的教学目标是： 1.通过轴对称变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决 最值问题中的作用，渗透转化思想。 2.通过实际问题的提出，学生能抽象为数学问题，并建立数学模型， 利用所学过的知识完成严谨的推理过程，然后再以此为据解决实际问题。体会数学在实际生活中的价值。 四，教法学法分析 教学活动中，教师应把学生看做一个能动的个体，让他们自己感受获得知识的过程，丰富数学活动经验，因此我选择用三种方法来展开教学 1∙启发式教学。通过搭建台阶，让学生先探究“异侧”容易解决的问题，然 课题学习最短路径问题 【教课目的】 1．亲历最短路径问题的研究过程，体验剖析概括得出最短路径问题的解决方法，进一步发展学生的研究、沟通能力。 2．娴熟运用轴对称、平移等变化解决最短路径问题。 【教课重难点】 要点：理解最短路径问题。 难点：运用轴对称、平移等变化解决最短路径问题。 【教课过程】 一、直接引入 师：今日这节课我们主要学习最短路径问题，这节课的主要内容有最短路径问题，怎样运用所学知识选择最短路径，而且我们要掌握这些知识的详细应用，能娴熟解决有关问题。 二、讲解新课 （1）教师指引学生在预习的基础上认识最短路径问题内容，形成初步感知。 （2）第一，我们先来学习最短路径问题，它的详细内容是： “两点的全部连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂直线最短”等的问题，我们称为最短路径问题。 在解决最短路径问题时，我们往常利用轴对称、平移等变化把已知问题转变为简单解决的问题，进而作出最短路径的选择。 它是怎样在题目中应用的呢？我们经过一道例题来详细说明。 例：如图，牧马人从A地出发，到一条笔挺的河畔l饮马，而后到B地。牧马人到河畔的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 假如把河畔近似地看出一条直线，C为直线l上的一个动点，那么上边的问题就能够转变为：当C在直线l上的什么地点时，AC与CB的和最小。 如图，作B对于l的对称点B，利用轴对称的性质，能够获得CBCB。在连结A,B两点 的线中，线段AB最短。所以，线段AB与直线l的交点C的地点即为所求。 依据例题的解题方法，让学生自己着手练习。 练习： 如图，A，B在直线L的双侧，在L上求一点P，使得PA PB最小。 解：连结AB，线段AB与直线L的交点P，就是所求。（依据：两点之间线段最短） 三、讲堂总结 1．这节课我们主要讲了 （1）“两点的全部连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂直线最短”等的问题，我们称为最短路径问题。 在解决最短路径问题时，我们往常利用轴对称、平移等变化把已知问题转变为简单解决的初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十三章 轴对称1 课题学习 最短路径问题 导学案
最短路径问题教案
造桥选址问题案例设计甘晓云
最短路径问题教学案例
最短路径问题说课稿
13.4将军饮马-最短路径问题教学设计
人教版八年级数学下册 17.1勾股定理的应用——最短路径问题 教学设计
最短路径导学案
最短路径问题教学设计
最短路径问题 说课稿
课题学习最短路径问题教案(教学设计)
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