第一章 基本概念
数环和数域
定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab
都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2 设F 是一个数环。如果 （i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，
a
F b
∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式
一元多项式的定义和运算
定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式
()1 2
012n n a a x a x a x +++
+，
是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i
i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数
为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等
()()f x g x =
定义3 n n a x 叫作多项式2
012n n a a x a x a x +++
+，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作
多项式2
012n n a a x a x a x +++
+，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0
max ,;f x g x f x g x ?
+≤??
()ii ()()()()()()()0
f x
g x f x g x ?
=?+?。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：
()()()()f x g x g x f x +=+； 2） 加法结合律：
()()()()()()()()
f x
g x
h x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：
()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：
()()()()()()()()
f x
g x
h x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：
()()()()
()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
推论2.1.1 ()()0f x g x = 当且仅当()f x 和()g x 中至少有一个是零多项式 推论2.1.2 若()()()()f x g x f x h x =，且()0f x ≠，那么()()g x h x =
多项式的整除性
设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环
定义 令()f x 和()g x 是数域F 上多项式环[]f x 的两个多项式。如果存在[]f x 的多项式
()h x ，使()()()g x f x h x =，我们说，()f x 整除（能除尽）()g x 。
多项式整除的一些基本性质：
1） 如果()()f x g x |，()()g x h x |，那么()()f x h x |
2） 如果()()h x f x |，()()h x g x |，那么()()()()
h x f x g x |±
3） 如果()()h x f x |，那么对于[]f x 中的任意多项式()g x 来说，()()()h x f x g x | 4） 果()(),1,2,3,
,,i h x f x i t |=那么对于[]f x 中任意()1,2,3,
,,i g x i t ,=
()()()()()()()(
)1212i i h x f x g x f x g x f x g x |±±
±
5） 次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任意多项式。
6） 每一个多项式()f x 都能被()cf x 整除，这里c 是F 中任意一个不等于零的数。 7） 如果()()f x g x |，()()g x f x |，那么()()f x cg x =，这里c 是F 中的一个不等于
零的数
设()f x ，()g x 是两个任意的多项式，并且()0g x ≠。那么()f x 可以写成以下形式
()()()()f x g x q x r x =+，这里()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数。
定理2.2.1 设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，并且()0g x ≠。那么在[]f x 中
可以找到多项式()q x 和()r x ，使
（3）
()()()()
f x
g x q x r x =+
这里或者()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数，满足以上条件的多项式
()()q x r x 和只有一对。
设数域F 含有数域F 而()f x 和()g x 是[]f x 的两个多项式，如果在[]f x 里()g x 不能整除()f x ，那么在[]F x 里()g x 也不能整除()f x 。
1） 定义1 假定()h x 是()f x 和()g x 的任一公因式，那么由
2） ()()()()()()()()()()()
32112111,
,
k k k k k k k k k k r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x -------+=+=+=
3） 中的第一个等式，()h x 也一定能整除()1r x 。同理，由第二个等式，()h x 也一定能整
除()2r x 。如此逐步推下去，最后得出()h x 能整除()k r x ，这样，()k r x 的确是()f x 和()g x 的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 4） 定义 2 设以()g x x a =-除()1
110n
n n n f x a x a x
a x a --=++
++时，所得的商()121210
n n n n q x b x b x b x b ----=++
++及余式
()0
r x c =，
比
较
()()()()
f x
g x q x r x =+两端同次幂的系数得1n n b a -=，211n n n b a ab ---=+，…
011b a ab =+，000c a ab =+，这种计算可以排成以下格式
()
12011
2
1
12
3
00
))))n n n
n n n n n n a a a a a a
ab ab ab ab b a b b b c -------++++=∣
5） 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。
6） 多项式的最大公因式
7） 设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环
8） 定义1 令设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，若是[]f x 的一个多项式()h x 同时整除()f x 和()g x ，那么()h x 叫作()f x 与()g x 的一个公因式。
9） 定义2 设()d x 是多项式()f x 与()g x 的一个公因式。若是()d x 能被()f x 与()g x 的每一个公因式整除，那么()d x 叫作()f x 与()g x 的一个最大公因式。
10） 定理2.3.1 []f x 的任意两个多项式()f x 与()g x 一定有最大公因式。除一个零次因
式外，()f x 与()g x 的最大公因式是唯一确定的，这就说，若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，那么数域F 的任何一个不为零的数c 与()d x 的乘积c ()d x 也是
()f x 与()g x 的一个最大公因式；而且当()f x 与()g x 不完全为零时，只有这样的乘
积才是()f x 与()g x 的最大公因式。
11） 从数域F 过度渡到数域F 时，()f x 与()g x 的最大公因式本质上没有改变。 12） 定理 若()d x 是[]f x 的多项式()f x 与()g x 的最大公因式，那么在[]f x 里可以求
得多项式()()u x x 和v ，使以下等式成立： 13） （2）()()()()()f x u x g x x d x +v =。
14） 注意：定理的逆命题不成立。例如，令()(),f x x g x x ==+1，那么以下等式成立：
()()()22221x x x x x x ++=+-+1-1但2221x x +-显然不是()f x 与()g x 的最大
公因。
15） 定义3 如果[]f x 的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这
两个多项式互素。
16） 定理 []f x 的两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是：在[]f x 中可以求得多
项式()()u x x 和v ，使
17） （4） ()()()()1f x u x g x x +v =
18） 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：
19） 若多项式()f x 与()g x 都与多项式()h x 互素，那么乘积()()f x g x 也与()h x 互素。 20） 若多项式()h x 整除多项式()f x 与()g x 的乘积，而()h x 与()f x 互素，那么()h x 一
定整除()g x 。
21） 若多项式()g x 与()h x 都整除多项式()f x ，而()g x 与()h x 互素，那么乘积
()()g x h x 也整除()f x
最大公因式的定义可以推广到()2n n >个多项式的情形： 若是多项式()h x 整除多多项式()()()12,,,n f x f x f x 中的每一个，那么()h x 叫作这n
个多项式的一个公因式。若是()()()12,,
,n f x f x f x 的公因式()d x 能被这n 个多项式的
每一个公因式整除，那么()d x 叫作()()()12,,,n f x f x f x 的一个最大公因式。
若()0d x 是多项式()()()121,,
,n f x f x f x -的一个最大公因式，那么()0d x 是多项式
()n f x 的最大公因式也是多项式()()()121,,
,n f x f x f x -的最大公因式。
若多项式()()()12,,,n f x f x f x 除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多
项式互素。
2.4 多项式的分解
定义1 []f x 的任何一个多项式()f x ，那么F 的任何不为零的元素c 都是()f x 的因式，
另一方面，c 与()f x 的乘积c ()f x 也总是()f x 的因式。我们把()f x 这样的因式
叫作它的平凡因式，
定义2 令()f x 是[]f x 的一个次数大于零的多项式。若是()f x 在[]f x 只有平凡因式，
()f x 说是在数域F 上（或在[]f x 中）不可约。若()f x 除平凡因式外，在[]f x 中
还有其他因式，()f x 就说是在 F 上（或在[]f x 中）可约。
如果[]f x 的一个n （n>0）次多项式能够分解成[]f x 中两个次数小于n 的多项式
()()g x h x 与的乘积：
（1） ()()()f x g x h x =， 那么()f x 在F 上可约。
若是()f x 在[]f x 中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么()f x 在F 上不可约。
不可约多项式的一些重要性质：
1） 如果多项式()p x 不可约，那么F 中任一不为零的元素c 与()p x 的乘积c ()p x 也不可
约。
2） 设()p x 是一个不可约多项式而()f x 是一个任意多项式，那么或者()p x 与()f x 互
素，或者()p x 整除()f x 。
3） 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除，那么至少有一个因式
被 整除。
4） 如果多项式()()()()12,,
,2s f x f x f x s ≥的乘积能被不可约多项式()p x 整除，那么
至少有一个因式被()p x 整除。
定理2.4.1 []f x 的每一个n(n>0)次多项式()f x 都可以分解成[]f x 的不可约多项式的
乘积。
定理2.4.2 令()f x 是[]f x 的一个次数大于零的多项式，并且 ()()()
()()()()1212r s f x p x p x p x q x q x q x ==
此处i c 与()()1,2,
,,1,2,
,j q x i r j s ==都是[]f x 的不可约多项式，
那么r s =，并且适当调换()j q x 的次序后可使()()(),1,2,
,,
j i i q x c x p x i r ==此处()i c x 是F 上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式()f x 分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。
形如
()()
()
()1
2
12k k kt
t f x ap x p x p x =的多项式叫作多项()f x 的典型分解式，每一个
典型分解式都是唯一确定的。
重因式
定义 []f x 的多项式
()0122n n f x a a x a x a x =+++
+
的导数或一阶导数指的是[]f x 的多项式()1122n n f x a a x na x -'=++
+
一阶导数()f x '的导数叫作()f x 的二阶导数，记作()f x ''，()f x ''的导数叫作()f x 的三阶导数，记作()f x '''，等等。()f x 的k 阶导数也记作()
()k f x 。
关于和与积的导数公式仍然成立：
（1） ()()()()f x g x f x g x ''+=+???? （2） ()()()()()()f x g x f x g x g x f x '''=+????
（3） ()()()1
k k f x kf x f x -''??=??
定理2.5.1 设()p x 是多项式()f x 的一个()1k k ≥重因式。那么()p x 是()f x 的导数的一个k-1重因式。
定理2.5.2 多项式()f x 没有重因式的充要条件是()f x 与它的导数()f x '互素。
多项式函数 多项式的根
设给定了1∈R 的一个多项式
()2
012n n f x a a x a x a x =+++
+
和一个数c ∈R,那么在()f x 的表示式里，把x 用c 来代替，就得到R 的一个数
2
012n n a a c a c a c +++
+
这个数叫作当x c =时，()f x 的值，并且用()f c 来表示。对于R 上的每一个数c ，就有 R 中唯一确定的数()f c 与它对应。就得到R 与R 的一个影射。这个影射是由多项式()f x 所确定的，叫作R 上的一个多项式函数。
定理2.6.1 设()[],f x R x c R ∈∈，用x c -除()f x 所得的余式等于当x c =时()f x 的
值()f c
定义 令()f x 是[]R x 的一个多项式而c 是R 中的一个数，若是当x c =时()f x 的值
()0f c =，那么c 叫作()f x 在数环R 中的一个根。
定理2.6.2 数c 是()f x 的根的充要条件是()f x 能被x c -整除。
定理2.6.3 设x c -是[]R x 中一个0n ≥次多项式。那么()f x 在R 中至多有n 个不同的
根。
定理2.6.4 设()()f x g x 与是[]R x 的两个多项式，它们的次数都不大于n 。若是以R 中
n+1个或更多不同的数来代替x 时，每次所得()()f x g x 与的值都相等，那么
()()f x g x =。
定理2.6.5 []R x 的两个多项式()()f x g x 与相等，当且仅当她们所定义的R 上多项式函
数相等。
()()()()
()
()()()()
1
111111111n i i i n i i i i i i n b x a x a x a x a f x a a a a a a a a +-++=-++----=----∑
这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。
复数和实数域上多项式
定理2.7.1 （代数基本定理） 任何()0n n >次多项式在复数域中至少有一个根。 定理2.7.2 任何()0n n >次多项式在复数域中有n 个根（按重根重数计算）。
复数域C 上任一()0n n >次多项式可以在[]C x 里分解为一次因式的乘积。负数域上任一 次大于1的多项式都是可约的。
定理2.7.6 若实数多项式()f x 有一个非实的复数根α，那么的共轭数α也是()f x 的根，
并且αα与有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两成对。
定理2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。 定理2.7.5 每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因
式的乘积。
有理数域上多项式
令()f x 是整数环Z 上的一个()0n >次多项式。如果存在()()(),g x h x Z x ∈????，它们
的次数都小于n ，使得()()()f x g x h x =， （1）
那么()()()f x g x h x 、、自然可以看成有理数域Q 上的多项式。等式（1）表明，()f x 在
[]Q x 中是可约的。
定义 若是一个整系数多项式()f x 的系数互素，那么()f x 叫作一个原本多项式。 引理2.8.1 两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。
定理2.8.1 若是一个整系数()0n >次多项式()f x 在有理数域上可约，那么()f x 总可以
分解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。
定理2.8.2 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设 ()2
012n n f x a a x a x a x =+++
+
是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p ，使得 （i ）最高次项系数n a 不能被p 整除； （ii ）其余各项都能被p 整除； （iii ）常数项0a 不能被2
p 整除， 那么多项式()f x 在有理数域上不可约。
有理数域上任意次的不可约多项式都存在。 定理2.8.3 设()101n n n f x a x a x a -=++
+是一个整系数多项式。
若是有理数u
v
是()f x 的一个根，这里u 和v 是互素的整数，那么
（i ）v 整除()f x 的最高次项系数0a ，而u 整除()f x 的常数项n a ； （ii ）()()u f x x q x v ??
=-
???
，这里()q x 是一个整系数多项式。 多元多项式
在这一节里，R 总表示一个数环，且1R ∈ 令123,,,
,n x x x x 是n 个文字，形如1212k k kn n ax x x 的表示式。其中12,,,
n a R k k k ∈是
非负整数，叫作R 上12,,
,n x x x 的一个单项式。数a 叫作这个单项式的系数，如果某一
0i k =，那么ki
i x 可以不写，约定11
11
11
11
1
01
1
1ki ki ki ki i i i i k kn k kn i n n ax x x x x ax x x x -+-+-+-+=。
因此，()m m n <个文字的单项式总可以看成n 个文字的单项式。特别，当
1230n k k k k ===
=时，我们有00
012n ax x x a R =∈。
形式表达式1112
12122212
11
2
21212
,k k k n k k k n
ks ks ksn
n n s n i a x x
x a x x x a x x x a R +++∈，ij k 是
非负整数()1,2,3,
,;1,2,
,i s j n ==，叫作R 上n 个文字123,,,
,n x x x x 的一个多项式，
或简称R 上一个n 元多项式。 我们通常用符号()12,,
,n f x x x ，()12,,,n g x x x 等来表示R 上n 个文字
123,,,,n x x x x 的多项式。
定理2.9.1 数环R 上的两个n 元多项式()12,,,n f x x x 与()12,,,n g x x x 的乘积是首项
等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。
定理2.9.2 数环R 上两个不等于零的n 元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的
和。
定理 2.9.3 设()12,,
,n f x x x 是数环R 上的一个n 元多项式，如果对于任意
()12,,n n c c c R ∈都有()12,,
0n f c c c =，那么()12,,
,0n f x x x =
推论2.9.1 设()12,,,n f x x x 与()12,,
,n g x x x 是数环R 上n 元多项式，如果对于任意()12,,
n
n c c c R ∈都
有
()()
1212,,
,,
n n f c c c g c c c =，
那
么
()()1212,,,,,.n n f x x x g c c c =换句话说，如果由()12,,,n f x x x 与
()12,,
,n g x x x 确定的多项式函数f g 与相等，那么这两个多项式相等。
对称多项式
定义 1 设()12,,
,n f x x x 是数环R 上的一个n 元多项式，如果对于这n 个文字
123,,,
,n x x x x 的指标集{}1,2,
,n 施行任意一个置换后，()
12,,,n f x x x 都不改变，那么就称()12,,
,n f x x x 是R 上一个n 元对称多项式。
定义2 （1）
112112223
12
,n n n n n n n
x x x x x x x x x x x x x σσ---=++
+=，这里k σ表
示 123,,,,n x x x x 中k 个所作的一切可能乘积的和，这样的n 个多项式显然
都是n 元对称多项式。我们称这n 个多项式12,,,n σσσ为n 元对等对称多项
式。
引理2.10.1 设()12
12
1212
,,
,n
n i i i n i i i n
f x x x a x x
x =∑是数环R 上一个n 元对称多项式，以i σ代替i x ，1i n ≤≤，得到关于12,,,n σσσ的一个多项式
()12
121212
,,
,n
n i
i i n i i i n
f a σσσσσσ=∑。如果()12,,,0n f σσσ=，那么一切系数12
0n
i i i a =，即()12,,,0n f x x x =
定理2.10.1 数环R 上一n 元对称多项式()12,,
,n f x x x 都可以表示成初等对称多项式
12,,,n σσσ的系数在R 中的多项式，并且这种表示法是唯一的。
推论 2.10.1 设()f x 是数域F 上的一个一元n 次多项式，它的最高次项系数是1。令
12,,,n σσσ是()f x 是复数域内的全部根（按重根重数计算）。那么12,,
,n σσσ的每一个系数取自F 的对称多项式都是()f x 的系数的多项式
（它的系数在F 内）因而是F 的一个数。
第三章 行列式
排列
定义1 n 个数码1，2，…，n 的一个排列指的是由这n 个数码组成的一个有序组，叫做数码
的排列。
定义2 一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两
个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反序数（逆序数）。
一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇
数个逆序数的排列叫作一个奇排列。
定义3 如果把这个排列里任意两个数码i j 与交换一下，而其余的数码保持不动，那么就得
到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫作一个对换，并且用符号
(),i j 来表示。
定理3.2.1 设12
n i i i 和12n j j j 是n 个数码的任意两个排列，那么 总可以通过一系列对
换由12
n i i i 得出12
n j j j 。
定理3.2.2 每一个对换都改变排列的奇偶性。
定理3.2.3 2n ≥时，n 个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为
2
n !
个。 n 阶行列式
我们用符号()12n j j j τ来表示排列12
n j j j 的逆序数。
定义1 用符号
111212122212
n n n n nn
a a a a a a a a a
表示的n 阶行列式指的是n !项的代数和，这些项是一切可能取自
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a
的不同的行与不同的列上的n 个元素的 乘积。项1212n j j n j a a a 的符号为
()
()
121n j j j τ-，也就是说，当
12n j j j 是偶排列时，这一项的符号为正，当12
n
j j j 是奇排列时，这一项的符号为负。 定义2 n 阶行列式
11
1212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
如果把D 的行变为列，就得到一个新的行列式
112111222212n n n
n
nn
a a a a a a D a a a '=
D '叫作D 的转置行列式。
引理 3.3.1 从n 阶行列式的第
12,,,n i i i 行和12,,,n
j j j 列取出的元素作积
1122n n i j i j i j a a a ，这里12,,
,n i i i 和12,,,n j j j 都是1，2，…，n 这n 个数码
的排列，那么这一项在行列式中的符号是
()
()()12121,,s t
n n s i i i t j j j ττ+-==
命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等。
命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。
推论3.3.1 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。
命题3.3.3 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于以数k 乘以
这个行列式。
推论3.3.2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。 推论3.3.3 如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。
推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 命题 3.3.4 设行列式D 的第i 行的所有元素都可以表示成两项的和：
111211122
1
2
n i i i i in in n n nn
a a a D
b
c b c b c a a a =+++ 那么D 等于两个行列式12D D 与的和，其中1D 的第i 行的元素是
12,,i i in b b b ，2D 的第i 行元素是12,,,i i in c c c ，而12D D 与的其他各行
都和D 的一样。
命题3.3.5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。
子式和代数余子式行列式的依行列展开
定义1 在一个n 阶行列式D 中任意取定k 行和k 列。位于这些行列式的相交处的元素所构
成的k 阶行列式叫作行列式D 的一个k 阶子式。
定义2 ()1n n >阶行列式
11
111
1
j n i ij in n nj
nn
a a a a a a D a a a = 的某一元素ij a 的余子式ij M 指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的1n -阶子式。 定义3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号()
1i j
+-后,叫作元素ij a 的代数余子
式。元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示：()
1i j
ij i j A M ++=-。
定理3.4.1 若在一个n 阶行列式
11
111
1
j n i ij in n nj
nn
a a a a a a D a a a = 中，第i 行（或第j 列）的元素除ij a 都是零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式ij
A 的乘积： ij i j D a A =
定理3.4.2 行列式D 等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和。
换句话说，行列式有依行或依列展开式：
()
11221,2,
,i i i i in in
D a A a A a A i n =++
+=()
11221,2,
,j j j j jn jn
D a A a A a A j n =++
+=
定理3.4.3 行列式
111211
2121
2
jn n i i in
j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a =
的某一行(或列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于
零。换句话说，
()11220i i i i in in a A a A a A i j +++=≠， ()11220s t s t ns nt a A a A a A s t ++
+=≠
3.5 克拉默法则
设给定了一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组
11112211211222221122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=++
+= ()1
利用()1的系数可以构成一个n 阶行列式
111212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
，
这个行列式叫作方程组()1的行列式。
定理3.5.1 （克拉默Cramer ）法则)一个含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组()1当
它的行列式0D ≠时，有且仅有一个解1212,,,n
n D D D x x x D D
D
=
==
，此处的j D 是把行列式的第j 列的元素换以方程组的常数项12,,,n b b b 而得到的n
阶行列式。
第四章 线性方程组
消元法
定义 我们对线性方程组施行这三个初等变换：
(i) 交换两个方程的位置；
(ii) 用一个不等于零的数乘以某个方程； (iii) 用一个数乘以某个方程后加到另一个方程； 叫作线性方程组的初等变换。
定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。 定义1 由st 个数ij c 排成的一个s 行和t 列的表
1112121
22
212n n
n n nn
c c c c c c c c c
叫作一个s 行t 列（或s t ?）矩阵。ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：
（i ）交换矩阵的两行（或列）；
（ii ）用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素；
（iii ）用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。
定理4.1.2 设A 是一个m 行n 列的矩阵：
1112
121
22
212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?
= ?
???
通过行初等变换和第一种列初等变换能把A 化为以下形式：
r
行 1*****01****0
001**00000*000
00
0?? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
?
进而化为以下形式：
1,112,12,11
00001000001000000000
0r n r n r r rn c c c c c c +++?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
这里0,,,*r r m r n ≥≤≤表示矩阵的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必
相同。
矩阵的秩 线性方程组可解的判别法
定义1 在一个s 行t 列的矩阵中，任意取k 行k 列(),k s k t ≤≤。位于这些行列式的交点
处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k 阶子式。
定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于
领的子式，就认为这个矩阵的秩是；零。
定理4.2.1 初等变换不改变矩镇的秩。
定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组()1有解的充要条件是：它的系数矩
阵和增广矩阵有相同的秩。
定理4.2.3 设线性方程组()1的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r ，那么r 等于方程组所
含有未知量的个数n 时，方程组有唯一解；当r n <时，方程组有无穷多个解。
线性方程组的公解
定理4.3.1 设方程组()1有解，它的系数矩阵A 和增广矩阵A 共同秩是0r ≠。那么可以
在()1的m 个方程中选出r 个方程，使得剩下的m r -个方程中的每一个都是这r 个方程的结果，因而解方程组()1可以归结为解这r 个方程所组成的线性方程组。
定义3 若是一个线性方程组的常数项等于零，那么这个方程组叫作一个齐次线性方程组。 定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未
知量的个数n 。
推论4.3.1 含有n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组
的系数行列式等于零。
4.3.2 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m 小于未知量的个数n ，那么这个方程组
一定有非零解。
结式和判别式
定理4.4.1 如果多项式
()()1010m m m f x a x a x a m -=+++>，
()()1010n n n g x b x b x b n -=+++> 有公共根，或者000a b ==，那么它们的结式等于零。
定理4.4.2 设
()()1010m m m f x a x a x a m -=+++> ()()1010n n n g x b x b x b n -=++
+>
是复数域C 上多项式。(),R f g 是它们的结式。
（i ）如果00a ≠，而12,,
,m C ααα∈是()f x 的全部根，那么
()()()()012,;n m R f g a g g g ααα= ()1
（ii ）
如果00b ≠，而12,,
,n C βββ∈是()g x 的全部根，那么
()()()()()012,1nm
m n R f g b f f f βββ=-。 ()2
定理4.4.3 如果多项式()()f x g x 与的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于
零，或者这两个多项式有公共根。
第五章 矩阵
矩阵的运算
定义 令F 是一个数域。用F 的元素ij a 作成的一个m 行n 列的矩阵
1112
12122212n n m m mn a a a a a a D a a a ??
? ?
= ?
???
叫作一个F 上的矩阵。A 也简记作()
ij a ，为了指明A 的行数和列数，有时也把它记
作mn A a mn 或。
定义1 数域F 上的一个m n ?矩阵ij A a =的乘积aA 指的是m n ?矩阵()
ij aa 。求数与矩阵 的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。
定义2 两个m n ?矩阵ij A a =，ij B b =的和A+B 指的是m n ?矩阵()
ij ij a b +。求两个矩 阵的和的运算叫作矩阵的加法。
注意：我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要的特例是 数列的运算
我们把由F 的n 个数所组成的数列12,,
,n a a a 叫作F 上的一个n 元数列。这样的一个n 元
素列可以理解为一个一行n 列矩阵()12,,
,n a a a ，也可以理解为一个n 行一列矩阵12n a a
a ?? ? ? ? ???
，
这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得到F 的数与n 元数列的乘法以及两个n 元数列的加法：()()1212,,
,,,
,n n a a a a aa aa aa =，
()()()
12121212,,,,,
,,,
,,,
,n n n n a a a b b b a a a b b b +=+
由定义1和定义2，得出以下运算规律：
A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);
0+A=A; A+(-)A=0 a(A+B)= aA+Bb ； (a+b)A= aA+Ab; A(Ba)=(ab)A;
这里A ，B ，和C 表示任意m n ?矩阵，而a 和b 表示F 中的任意数。 利用负矩阵我们定义矩阵的减法：
A-B=A+（-B ）， 于是有 A B C A C B +=?=-。
定义3 数域F 上m n ?的矩阵()
ij A a =与n p ?矩阵()ij B b =的乘积AB 指的是这样的一个
m n ?矩阵，这个矩阵的第i 行和第列()1,2,
,,1,2,
,i m j p ==的元素ij c 等于A
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
1、整数 整数（Integer ）：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n 、… (n 为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 一个给定的整数n 可以是负数（n ∈Z-），非负数（n ∈Z*），零（n=0）或正数（n ∈Z+）． 如何分类 我们以0为界限，将整数分为三大类 a 、正整数，即大于0的整数如，1，2，3，…，n ，… b 、0 既不是正整数，也不是负整数，他是介于正整数和负整数的数 c 、负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3，…，-n ，… 2、分数 把整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把1平均分成分母份，表示这样的分子份。 分子在上分母在下，（如这样表示b a ）也可以把它当做除法来看，用分子除以分母，相反除法也可以改为用分数表示。 百分数与分数的区别 （1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。 （2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。 （3）任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。 （4）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中的不到整数结果时使用。 3、正数与负数 正数：大于0的数叫正数。如1、15、3000、 负数：比零小（<0 )的数。用负号（即相当于减号）“－”标记。如-2、-5.33、-45、-0.6等。 任何正数前加上负号都等于负数. 负数比零，正数小 在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的负数，所有的负数都比自然数小。 七年级上1.1 4、有理数 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数n m （m 、n 都是整数，且n≠0）的形式。 无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number ，而rational 通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio ，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很
第二章数学教学的测量与评价 一、目的 （1）鉴定和诊断数学教学的效果 （2）调节学生的学习与教师的教学 （3）督促和激励师生继续努力 二：一般程序 （1）测量与评价数学教学的准备阶段 ①数学教学评价的指标体系 （数学教学是一个复杂的活动，所以常用一个指标体系来评价它） ②数学教学评价指标体系的建立 各评价指标的目的性，要求指标体系中的各指标能够作为标准的尺度，如评价学生的数学学习时，评价指标体系要能反映数学教学目标的要求。 各指标之间的独立性，要求尽可能得保持指标体系中诸指标的独立性，减少指标间的彼此相关或部分包含关系 整个指标体系的完备性，要求整个指标体系对于评价标准来说，具有全面评价的意义 可测性，说明诸指标是可以直接测量的 确定指标体系的权值也是建立指标体系的一项重要工作 ③测量数学教学的方法（测验法、观察法、谈话法（又称访谈法）、问卷法等） （2）数学教学测量和评价实施阶段 分两步：预测与正式施测 （3）整理与分析测量的结果 （4）对数学教学进行评价 ①形成性评价与终结性评价 ②绝对评价与相对评价 ③教师对学生的评价与学生的自我评价 ④成长记录袋评价（档案袋评价） 三、关于数学测验的基本理论 （1）什么是数学测验 三个特征：一个测验是一个行为样本； 这个样本是在标准化条件下获得的； 在记分或从行为样本中获得数量化信息方面有已有的规则 ①行为样本 ②标准化 ③效度（描述数学测验有效性的指标，说明该测验的准确性程度） ④信度（描述数学测验可靠性的指标，对测量结果一致性程度的估计） ⑤项目分析⑥ （2）编制数学测验的一般过程 ①测验目的的确立和材料的选择 ②选择与编制数学测验题目的原则 （测题的取样应有代表性；难度要有一定的分布范围；文字简练，不重不漏； 各测题要尽量彼此独立；答案的正确性是没有争议的；知识的记忆、原理 的应用要有恰当的比例；形式应根据测验的目的、材料的性质、学生的年 级而确定；测题的数目至少要比最后所需的数目多一倍，以备日后删除淘 汰，也可编制备份，交替使用） ③常用的数学测验题型（选择题、填空题、计算题、证明题、综合题）
优化设计的概念和原理 优化设计的概念和原则 概念 1前言 对于任何设计者来说，其目的都是为了制定最优的设计方案，使所设计的产品或工程设施具有最佳的性能和最低的材料消耗和制造成本，以获得最佳的经济效益和社会效益。因此，在实际设计中，科技人员往往会先提出几种不同的方案，并通过比较分析来选择最佳方案。然而，在现实中，由于资金限制，选定的候选方案的数量往往非常有限。因此，迫切需要一种科学有效的数学方法，于是“优化设计”理论应运而生。 优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的新技术。这是一种现代设计方法，它根据优化原理和方法将各种因素结合起来，在计算机上以人机合作或“自动探索”的方式进行半自动或自动设计，以选择现有工程条件下的最佳设计方案。其设计原则是优化设计:设计手段是电子计算机和计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。本文将简要介绍优化设计中常用的概念，如设计变量、目标函数、约束条件等。 2设计变量 设计变量是独立参数，必须在设计过程的最终选择中确定它们是选择过程中的变量，但是一旦确定了变量，设计对象就完全确定了。优化设计是研究如何合理优化这些设计变量值的现代设计方法。
机械设计中常用的独立参数包括结构的整体构型尺寸、部件的几何尺寸和材料的机械物理性能等。在这些参数中，根据设计要求可以预先给出的不是设计变量，而是设计常数。最简单的设计变量是元件尺寸，例如杆元件的长度、横截面积、弯曲元件的惯性矩、板元件的厚度等。 3目标函数 目标函数是设计中要达到的目标在优化设计中，所追求的设计目标(最优指标)可以用设计变量的函数来表示。这个过程被称为建立目标函数。一般目标函数表示为 f(x)=f(xl，xZ，？，x) 此功能代表设计的最重要特征，如设计组件的性能、质量或体积以及成本。最常见的情况是使用质量作为一个函数，因为质量的大小是最容易量化的价值度量。尽管费用具有更大的实际重要性，但通常需要有足够的数据来构成费用的目标函数。目标函数是设计变量的标量函数。优化设计的过程就是优化设计变量，使目标函数达到最优值或找到目标函数的最小值(或最大值)的过程。在实际工程设计过程中，经常会遇到多目标函数的某些目标之间存在矛盾，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系目前，对这类多目标函数优化问题的研究还没有单目标函数的研究成熟。有时一个目标函数可以用来表示几个期望目标的加权和，多目标问题可以转化为单目标问题来求解。4约束 设计变量是优化设计中的基本参数。目标函数取决于设计变量。在
第一章 基本概念 1.5 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 （i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠， a F b ∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++L ， 是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。 项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数 为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作 多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。 多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律： ()()()()f x g x g x f x +=+；
编号考点摘录答案要点 1 初中数学课程内容(4) (动手课教学)课程目标、教学内容、教学过程、评价手段 2 确定数学课程内容的主要依据(3) (单元课标知识)数学课程标准、单元目标、具体数学知识点 3 影响初中数学课程的主要因素(4) (心理内涵现状)学科内涵、社会发展现状、学生心理特征 4 初中数学课程性质(3) (吉普车展) 基础性、普及性、发展性 5 “数学课程目标”从根本上明确了哪些问题(3) (是什么，为什么，得什么) 6 初中数学课程的基本理念(5) (双内教学评技术) 课程内涵、内容、教学过程、学习评价、技术与数学课程 7 数学课程核心概念(10) (星空感应符合分算模拟) 8 初中数学课程总体目标(4) 四基 (智能验想)基础知识、基本技能、思想、活动经验 9 初中数学课程学段目标(4) (智能思考问情)（知识技能、数学思考、问题解决、情感态度） 10 总体目标和学段目标的关系(3) (总学四过结)总体学段目标、总目标四方面、过程与结果目标 11 初中数学课程的内容标准(4) (数形统合) (数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践) 12 综合与实践——设置必要性(3) (定义+学生能力+学科联系) 综合与实践——教学特点(5) (综合实践放生自主) 综合、实践、开放、生成、自主性 综合与实践——新课标教学要求(8) (暑假用心刻度河流心域反思问法) 综合与实践——课程目标(3) (合作实施发现问题+报告论文总结+探讨关联应用意识) 综合与实践——课程内容(4) (合作探究抽象问题) 综合与实践——课程本质及要求(2) (解决问题活动+独思自探+合流)(学生积极主动+教师尊重自主) 综合与实践——课程实施要点(3) (综合探索实践) (突出实践、强调综合、以探索为主线) 综合与实践——课程作用主动、个性、学习方式、探究、情感价值、能力、创新、经验 13 初中数学课程教学建议(6) (施主标地基验情态) 14 教学中应当注意的几个关系(4) 预设生成、全体个体、合情演绎、现代技术与手段多样 15 初中数学课程评价要点(6) 见后 16 初中数学课程评价形式(8) (口述成长两课三后) 17 初中数学课程评价实施建议(7) 见后 18 教学原则(4) (抽烟公论)抽象具体、严谨量力、理论实际、巩固发展 19 数学教学过程(5) (北外教学评上985)备课、上课、课外、成绩考核、教学评价 20 五段教学法(5) 引入、讲解、联系、总结、应用 21 数学教学方法定义加后 22 初中数学教学常用的教学方法(5) (自发讲论坛)自学辅助、发现法、讲授法、讨论法、谈话法 23 教学方法如何选择/需要考虑什么(5) (课目+学生+教学内件法) 24 概念间的逻辑关系(2) (相容:全同\交叉\从属；不相容:对立\矛盾) 25 概念下定义的常见方式(4) (公鼠秒揭)公理性、属加种差、描述性、揭示外延 26 概念教学基本要求(3) (内涵表达+运用+关系分类体系) 27 概念教学的一般过程(4) (引确固用) 引入、明确、巩固、运用 28 命题教学的基本要求(3) (理解运用系统) 29 命题教学的一般过程(5) (引证明雇佣) 1.引入 2.证明 3.明确 4.巩固 5.应用 30 命题教学的策略(5) (被提问生过情) 31 应处理好以下几种关系(教学规律)(5) 间直、技能能力、技能与数学观、认知与非认知、教师主导学生主体 32 数学问题的设计原则(3) (可行性原则、渐进性原则、应用性原则) 33 数学学习概述及特点见后 34 影响学生数学学习内因(2) 非认知因素+认知因素 35 影响学生数学学习外因见后
基本概念 第一章数和数的运算一概念（一）整数 1整数的意义：自然数和0都是整数。2自然数： 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除 整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
初中数学的基本概念 数学 SHU XUE 第一章有理数 一．基本概念 １．大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数；0既不是正数也不是负数． 注（１）正负数通常用来表示一对具有相反意义的量．（２）不一定是负数． （３）负数＜０＜正数．（要会比较两个数的大小） ２有理数＂或有理数 注：了解几个概念，＂正整数＂、＂负整数＂、＂非正整数＂、＂非负整数＂． ３．数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．（判断是不是数轴的依据） ４．（１）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （２）倒数：乘积为１的两个数叫做互为倒数． （３）绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．
注：① 互为相反数的两数之和为０；互为倒数的两数之积为１． ② ０的相反数是０；０的绝对值是０；０没有倒数． ③ 出现＂平方＂、＂绝对值＂、＂距离＂等关键字的题目，一般有两个答案． 例如：平方为９的数有±３；绝对值为３的数有±３；距离原点３个单位长度的点表示的数是±３． 注：要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反数、倒数（０除外）和绝对值． 相反数 绝对值 倒数 正数 负数
正数 正数 负数 正数 正数 负数 ０ ０ ０ 不存在 ５．科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式，就
叫做科学记数法． 注：是整数位只有一位的数，是正整数． ６（１）近似数：它是相对于精确数来说的． （２）有效数字：从一个数的左边第一个非０数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 二．有理数的运算法则 １．加法法则： （１）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （３）０加任何数都得任何数． ２．减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数．即 注：加上一个数等于减去这个数的相反数．例如． ３．乘法法则： （１）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （２）０乘任何数都得０． ４．除法法则：
高等代数习题 第一章基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？ 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii) (iv) 7．证明下列等式： (i)
(ii) (iii) §1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射？ 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且a 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 b a b a+ → |) , ( §1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 这里 ， 是个元素中取个的组合数. 初中数学基本知识点总结（精简版） 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n． ⑥a－n＝1 n a ，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9， (－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 24 b b ac -±- ，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数 高等数学 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．． 。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1 所示，AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F 1 最优化设计的基本概念 最优化就是追求最好结果或最优目标，从所有可能方案中选择的最合理的一种方案。在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，应用最优化技术，可以帮助我们选择出最优方案或作出最优决策。目前，最优化方法在工程技术、自动控制、系统工程、经济计划．企业管理等各方面都获得了广泛应用。 最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目标。搜寻最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优化设计理论。 最优化设计方法是现代设计方法的一种。微积分中遇到的函数极值问题是最简单的最优化问题。 I.1函数的极值 最简单的最优化设计问题，就是微积分中的求函数极值问题。它是应用数学的一个分支，已渗透到科学、技术、工程、经济各领域。 例1.1边长为a的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1所示，在四个角处剪去相等的正方形，如何剪法使水槽容积虽大？ 解：设剪去的正方形边长为x，与此相应的水槽容积为 解出两个驻点x=a/2和x=a/6 第一个驻点没有实际意义。现在判别第二个驻点是否为极大点。因为 V"(X=a/6)=-4a<0 说明x=a/6的驻点是极大点。 结论是，每个角剪去边长为a／6的正方形可使所制成的水槽容积最大。一般记为Max V（x）。 例1.2图1.2所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。顶点承受的荷载为2P，支座间距为2L，圆管壁厚为6。设密度为P，弹性模量为E，屈服极限为(T。问如何设计圆管平均直径d 和支架高度H，使支架的重量最轻？ 解：以圆管平均直径d和支架高度H为两个未知变量。支架总重量的数学表达式为 W(H.d)= 2B pbd 最轻支架重量w，一般记为mix W。 式(1.2)中变量d和H还必须满足以下条件： 图1.1正方形钢板图I 2两杆支架 (1)圆管的压应力小于或等于压杆稳定临界应力Φcr。由材料力学可知，压杆稳定的临界应力为 由此得稳定约束条件 (2)圆管压应力小于或等于材料的屈服极限Φy，由此得强度约束条件 1、系统分析法： １〉系统：由相互联系的若干部分构成的具有一定功能的整体。 系统的基本特征：①系统由若干部分组成，每一部分具有其特定的功能； ②系统中的各个要素之间相互制约、联系和作用； ③系统是具有一定功能的整体，系统的总功能不等于各个部分功能的简单迭加，系统的整体功能＞各部分的功能之和；④系统存在于一定的环境(environment)之中，系统与环境之间存在相互作用，系统与环境的划分是相对的，对于一个系统来说是环境，而对于另一个系统而言可能是其中的一部分。 系统分析法包括以下内容： ① 确定所研究系统的范围及其所处的环境 ② 确定系统的组成部分、结构、功能、目的、各部分的功能和内部规律③ 明确系统各个部分之间的联系，及整个系统与环境之间的联系。④ 在上述分析的基础上，确定问题的决策变量及评价方案优劣的指标(即目标函数)。决策变量就是决定方案优劣的变量。 ２〉数学模型：用字母、数字、各种符号、图象、逻辑框图描述实际系统的特征和内在联系的模型称为数学模型。 数学模型由四个要素组成： ①常数(constant)：在所研究的问题中保持相对固定或变化不大的量。 ②参数(parameter)：由具体系统的内、外部条件确定的量。③变量(variable)：指在模型中待确定的量，在最优化中叫决策变量。④ 函数关系(functional relationship)：描述模型中常数、参数和变量之间相互关系的方程式或不等式。在最优化问题的数学模型中，最优准则(目标函数)和约束条件都是用函数关系描述的。 2、最优化问题的分类 1〉按最优化问题的最优解是一组数还是函数分为静态和动态最优化问题。 静态最优化问题：最优解为空间一个点。 动态最优化问题：最优解为一曲线或函数（约束条件包含微分方程）。动态最优化问题求解时，常把问题分解成若干个相互关联的连续阶段或若干个子系统处理。 2〉按最优准则的数目分为单目标和多目标最优化问题。 3〉根据问题本身提供信息的准确程度分为确定性和非确定性最优化（随机性）问题。 4〉从工程应用的角度又可分为最优设计和最优运行问题。 5〉根据有无约束可分为有约束和无约束最优化问题。 6〉按照决策变量是连续的还是离散的，最优化问题可分为连续型和离散型最优化问题。 7〉按照约束条件和目标函数是线性的还是非线性的分为线性最优化问题和非线性最优化问题。 8〉按决策过程的结构分为单阶段和多阶段决策问题： 9〉网络优化问题： 3、油气储运中的最优化问题类型 ①成品油最优调和方案的制定（线性规划） ②商品油库的最优进货计划的制定 ③商品油库最优规划与最优布局问题 ④长输管道的最优设计 ⑤长输管道的优化运行 ⑥输油管道最佳月输油计划确定 ⑦矿场油气集输系统的最优化问题 ⑧全国油气产品的合理分配与运输 4、线性规划 线性规划问题是一类特殊的数学规划问题，其目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性等式或不等式。线性规划问题的一般形式为： ∑==n j j j x c S 1 max (min) 简写为： ?????=≥=≥∑=n j x m i b x a t s j i j ij ~1 0~1 ..n 1 j 标准形式： ∑==n j j j x c S 1 max 第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。 初中数学课本基本概念整理 七上 有理数：整数和分数的统称。 数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 绝对值：一般地，数轴上表示午数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是。倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 乘方：求n个相同因数的积的运算。 幂：乘方的结果。 科学计数法：把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数） 单项式：数或字母的积的式子以及单独的一个字母或一个数。 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的和。 多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项。 多项式的次数：多项式里，次数最高项的的次数，叫做这个多项式的次数。 整式：样单项式与多项式的统称。 同类项：所含字母相同，并且相同字幕的指数也相同的项叫做同类项。 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前个同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 方程：含有未知数的等式。 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一，等号两边都是整式。等式的性质1：等式两边加（减）同一个数，（或式子结果仍相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等。 七下： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短 直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离。 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 第一章 基本概念 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 （i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠， a F b ∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2 012n n a a x a x a x +++ +， 是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。 项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数 为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2 012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作 多项式2 012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。 初中数学课本基本概念整理 七年级上 有理数：整数和分数的统称。 数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是。 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 乘方：求n个相同因数的积的运算。 幂：乘方的结果。 科学计数法：把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数） 单项式：数或字母的积的式子以及单独的一个字母或一个数。 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的和。 多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项。 多项式的次数：多项式里，次数最高项的的次数，叫做这个多项式的次数。 整式：单项式与多项式的统称。 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。合并同类项后，所得项的系数是合并前个同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 方程：含有未知数的等式。 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一，等号两边都是整式。等式的性质1：等式两边加（减）同一个数，（或式子结果仍相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等。 七年级下 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离。 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 判断一件事情的语句，叫命题，命题由题设和结论组成 如果题设成立那么结论一定成立，叫真命题 如果题设成立结论不一定成立，叫假命题 正确性得到推理证实的真命题叫定理 推理一个命题的正确性叫证明 0的算数平方根是0初中数学基本知识点总结(精简版)
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