杜甫律诗五首
教学目标：1.基础知识目标：诵读、诗意。
2.思想教育目标：杜甫的思想。
3.能力培养目标：诗歌鉴赏。
教学重点：诗意。
教学难点：诗意的理解。
教学类型：鉴赏。
电教或实物展示手段：
教学过程与步骤：
客至
一、诵读提示
先说读这五首诗的共同要求：
杜甫的律诗章法极其严格，都是以两联为一层，诵读时应根据诗的内容在两层之间作适当的停顿。凡内容明快、跳跃性不大者，停顿宜稍短;内容深沉、跳跃性较大者，停顿宜稍长，以求层次分明，诗意显豁。
再说这首诗：诗的内容浅显易懂，难得的是，诗人一反往常沉郁的心态，显得开阔明朗而又轻松愉快，这是全诗的基调。要读得亲切、平易，切忌夸张，因为诗中的每一句话都是对一位极要好的朋友说的，是友情的表示。但要分清主次：就全诗来说，后一层为主，前一层为欢;就各层来说，最后一句为主，前三句为次。“次”是为“主”蓄势的，突出“蓬门今始为君开”和“隔篱
呼取尽余杯”这两句，才能渲染主客之间喜悦、融洽的气氛。
二、整体感知
唐肃宗上元元年(760)春天，杜甫在友人帮助下，在成都西郊外院花溪畔营造了一所草堂，暂时定居下来，生活上也有人接济他，从“老妻画纸为棋局，稚子敲针作钓钩”(《江村》)可以看出他一家人的日子过得倒也平稳，有了生活的情趣。这首诗是第二年春天写的，同样表现了诗人的这种情怀。
诗题称“客”而不称“宾”，是有用意的。旧时注家以为，称“宾”有“敬之之义”，而称“客”有“亲之之义”，此说有理。证明是，一年前，也就是草堂新落成不久，有两位客人先后来看他：一位是旧相识，偶尔过访;另一位是专程来访的远道客人。诗人为这两位朋友都写了诗，前者以《有客》为题，后者以《宾至》为题;再看诗的内容，也确实有“亲之”和“敬之”之别。而《客至》这首诗题下还有作者自注;“喜崔明府相过”。可见是老朋友之间偶尔过访，从诗中那些话的亲切、随意的程度来看，也确实非老朋友不能。至于崔明府其人，有的注家认为是杜甫的舅氏，大约是因为杜母姓崔的缘故;但“明府”是唐人对县令的称呼，杜甫草堂属犀浦县(治所在成都西北)，说不定就是犀浦县令，这个问题倒无关紧要。
这首诗前一层写诗人在村居寂寞之中忽有朋友来访，表达了喜出望外之情;后一层写诗人仓促中只能以简易的酒菜待客，然欲呼邻翁来陪饮，以尽宾主之欢，表现了诚朴、率真的态度，可见双方友情之深。
三、鉴赏要点
诗中的情致理趣。
“舍南舍北皆春水，但见群鸥日日来。”写的是草堂外的景象：春无到了，春水遍地，溪面初平，鸥鸟飞来，或翔于水面，或集于溪边。这是地道的南国水乡风光。为什么一开篇诗人就写景呢?从“但见”二字我们可以窥知诗人心中的奥秘：原来他太寂寞了，深盼有人来此，可是不见人来，但见群鸥，也就只好日日与鸥鸟为伍了。
“花径不曾缘客扫，蓬门今始为君开。”上句承前，意思是既无人来，也就懒得去扫门前的花径，由它凌乱下去，表现了诗人失望的情绪，只好甘守寂寞了。这其实正是为下旬作铺垫，因为下旬说的就是“客至”，它给我们呈现出一幅动人的画面：诗人已多日不闻敲门声了，颇有冷落之感，这天忽闻有人敲门，急忙跑去，开门一看，惊喜万分，竟然是自己的老朋友来了，顿时觉得眼前一片光明，生气盎然。
“盘飨市远无兼味，樽酒家贫只旧醅。”这不是客套话，句句都是实情。老朋友来得突然，草堂距市镇又远，备办来不及了，只拿家里现成的酒菜来招待，更显出主客之间的深厚友情。这跟《有客》中写的“自锄稀莱甲，小摘为情亲”一样，都是彼此相亲不见外之意。
“肯与邻翁相对饮，隔篱呼取尽余杯。”从“尽余杯”一语可以看出，这时酒宴已到高潮，诗人欲呼邻翁与客人对饮，更增加了欢快的气氛。至此结束全诗，余味无穷——邻翁来了没有呢?这用不着交代，当然是来了。
这首诗以“但见群鸥”起，以呼邻翁“对饮”结，感情发展
的脉络极为分明，十分耐人寻味，可以作为诗人清新明快风格之一例。
旅夜书怀
一、诵读提示
这首诗是感叹身世之作。前一层写旅夜风景，其实是寓情于景，为下文抒怀作铺垫，应当读得缓慢一些，使听者能品出此中情味。后一层直抒胸臆，“名岂”二句中上句为宾，下句为主——诗人后半生飘泊四方，居无定所，正是因“休官”之故，要读出压抑感。这两句可以不按“义群”读，仍读作：“名岂/文章/著，官应/老病/休”。最后两句形象地概括了诗人的后半生生活，要缓缓读出，有自伤飘泊之意。
二、整体感知
杜甫于唐代宗广德二年(764)春携家人自问州折回成都，入严武幕。本来，有这位好友的帮助，他满可以在成都住下去，却不料严武在第二年四月忽然死去。他不得不再次离开成都，乘舟东下，经嘉州(乐山)、戎州(宜宾)、渝州(重庆)、忠州(忠县)，于九月到达云安(今四川云阳)。《旅夜书怀》就是在这次旅行中写的。
这一年杜甫已满53岁，他一直患有肺病和风痹，不时发作。两年前，当安史之乱初平时，他曾有返回长安或洛阳的打算，但因地方军阀乘机作乱及其他原因未能如愿。这回因严武之死，他决心离开四川，转作潇湘之游，其实也是不得已而为之，因此一路上心情十分沉重，不知一生飘泊何时是了。这首诗集中地表现了他这种心情。前一层写一个月夜，小船孤零零地停在长满小草的岸边，诗人从船上向四周望去，原野是那样广阔;再看月光下的
江水，浩浩荡荡，奔流不息，不禁心潮澎湃，想到自己一生的经历。后一层先将自己的文名和它运作了一番比较。然后以“飘飘何所似?大地一沙鸥”给自己的一生做了总结。
这里有必要说明一下：诗人好以鸥鸟自况，但前后含义不同。在“白鸥没浩荡，万里谁能驯”(《奉赠韦在丞文二十二韵》)中，白鸥是青年时期杜甫“英锋俊彩”的象征;但在这首诗里，它已成了飘泊无定的可传物了。
三、鉴赏要点
1.寓情于景
前两联写景，诗眼在“独夜舟”三字上，其余全属烘托。舟泊于岸，所以首句写岸，次句写舟。称“独舟”者，仅此一舟之谓也;“夜”，用于点明泊舟时间。这两句勾画了这样一个境界：河边孤零零地泊着一只小船，桅杆高耸;岸上只见小草，不见人家，简直冷寂得很。第三、四句承“夜”字写诗人所见景色：远处，星空低垂，原野辽阔无边;近处，明朗的月光下，江水汹涌澎湃，奔流不后、。这难免使诗人感到，在这样的境遇中，一叶小舟显得何等孤单、渺小，它的命运简直可以听凭大自然的摆布;而江水的奔流更使他联想到时光的迅速消逝……
这小舟的命运正是诗人命运的写照。诗人这时已到垂暮之年，他的好友李白、房王官郑虔、高适、严武等在近几年里相继去世，使他的孤独感与日俱增。现在，“五载客蜀郡，一年在梓州”(《去蜀》)的生活刚刚结束，而将来的生活如何又难以逆料……
总之，诗人的万千思绪都蕴含在这景物描写之中，由此再发展到下文的直抒胸臆就显得顺理成章了。
2直抒胸臆
关键是如何理解诗的颈联。诗人将“名”和“官”相对提出是有深意的，因为这两件事关系到诗人一生的命运。诗人由于诗名满天下，尽管后半生颠沛流离，居无定所，但所到之处都受到人们的尊重和关照，这总算给了他一些宽慰。然而诗人的本志是“致君尧舜上，再使风俗淳”，所以，不能得官以实现其本志，是他终生最大的憾事。这样看来，这两句显然有主、宾之分：上句说“名”，只是作为烘托;下句说“官”;才是正意所在。这两句，一句否定，一句肯定，其实意思正好相反，即名因文章著，官非老病休。既然休官原因不是“老病”，那是什么呢?诗人没有说出来，但我们从杜甫为官的经历却不难看出，原因就是他不受皇帝重视，又遭同列排挤。为什么不说呢?那是因为诗人不愿怨君，也不敢怨君。这一点，我们从他三年前在樟州写的“圣朝元弃物，衰病已成翁”(《客亭》)也可以得到证明。总之，诗人是胸存块垒，不吐不快，却又不能直吐出来，只能采用这种含蓄的表达方式。
最后两句的意思很明白：诗人以沙鸥自况，乃自伤飘泊之意。这跟他刚离成都时写的“万事已黄发，残生随白鸥”(《去蜀》)和此后不久写的“关塞极天唯鸟道，江湖满地一渔翁”(《秋兴·其七》)语意相同。
咏怀古迹(其三)
一、诵读提示
这首诗于绵丽之中隐含着诗人的悲愤，不可以艳诗视之，应读得既有韵致，又不流于轻浮。
前一层宜用叙述调读，但其间亦略有变化：“群山”二句点明咏歌的对象，可用诗人指点望中之景的口气读，不快不慢;“一去”二句概括叙述昭君一生，有怜其远嫁之意，速度要慢些，“台”“留”二字可有延长音，以示咏叹。
后一层宜用咏叹调读。“画图”二句属于用事(亦称用典)，借汉元帝后悔之情写昭君之怨，辞艳而情悲，字字皆泪，宜用沉抑、低回之调读;“千载”二句是全诗高潮，点明昭君之“怨”，两句须一气读出。“千载琵琶”四字用平调，“作胡语”三字用升调，至“分明怨恨”升到最高点，然后用降调徐徐读最后王宇，有余音绦绕之感。
二、整体感知
杜甫于唐代宗大历元年(766)自云安(今四川云阳)到达夔州(今四川奉节东)，一住两年。这是他创作中的一个繁荣时期，两年内写出了430多首诗，占全集诗中的七分之二，而且有不少长篇。从总体看，不少论者都认为在思想内容上比过去的作品略见逊色，其实，其中也有不少作品无论在思想性或艺术性上都堪称传世之作，《咏怀古迹》(共五首)即是一例。
《咏怀古迹》是一篇结构严密的组诗，五首各咏一古迹，依次是庚信故宅、宋玉故宅、昭君村、先主庙、武侯庙，都是借古迹抒发诗人的身世之感。关于它的整体结构，明人王嗣奭(Sh了)在《杜臆》中有很好的解释：“怀庚信、宋玉，以斯文为己任也;怀先主、武侯，叹君臣际会之难逢也;中间昭君一章，盖入官见妒，与入朝见妒者，千古有同感焉。”可资参考。
咏昭君这一章内容大意在“诵读提示”中已略及，勿庸赘述。
三、鉴赏要点
1.王昭君形象的塑造
杜甫善于在叙事诗中塑造人物的形象，例如《兵车行》中的行人，《石壕吏》中的老枢，《新婚别》中的新妇，都十分动人，能给读者留下隽永的印象。而律诗主要用于抒情，虽有叙事成分，不过是作为抒情的依托，并不承担塑造人物形象的任务。这首诗却略有不同：它仍然重在抒情，而它的抒情是通过塑造王昭君的动人形象实现的。
诗的开头，以“群山万壑赴荆门”写昭君的出生地，是从侧面烘托昭君的形象。这大概是因为诗人首先想到，一个青年女子远离父母之邦，嫁到殊方异域，并在那里度过自己的一生，确实需要巨大的勇气和毅力，而这雄伟的山川;简直就是她那坚强性格的象征!接着叙述昭君的一生，诗中出现了两个典型的镜头：“一去紫台连朔漠”写昭君由汉宫到匈奴的行程，颇有“关山度若飞”的气概，“一去”二字尤其真切，从正面表现了昭君的坚强性格;“独留青冢向黄昏”写昭君坟上长出青草，它仿佛告诉人们，昭君虽死而故国之思犹在——她依然向往着自己生长的地方，这又进一步丰富了昭君的形象。
但昭君远嫁对她个人来说，毕竟是一种不幸。这种不幸又是怎样造成的呢?“画图省识春风面”一句，就是对这个问题的答复。“画图”，指汉元帝“按图召幸”一事，但诗人用事巧妙，仅以“省议春风面”五字带过，把史家因“为尊者讳”(见“有关资料”)而隐去的事实含蓄地揭露了出来，说明了皇帝的昏庸。接着再说大错已经铸成，即使昭君的魂魄月夜归来也是徒然的了——这一
句除讥讽昏庸的统治者而外，还兼有跟上文“独留”句相照应的作用，形象地表现了昭君的故土之思。
最后两句写千年(实际是800年)以来，人们从琵琶伴奏的《昭君怨》歌词里听到了她的悲怨，也是从侧面烘托昭君的形象——人们既赞扬她美好的品格，又同情她的不幸。
2.诗人的寄托
诗人在此时深深怀念昭君不是偶然的，他的遭遇跟昭君太相似了：昭君入宫见妒，他入朝见妒;昭君“一去紫台连朔漠”，他“飘泊西南天地间”(《咏怀古迹·其一》);昭君思念故土，魂魄月夜归来;他思念长安，“每依北斗望京华”(《秋兴·其二》)。更何况这一年他已有55岁了，“美人迟暮”之感与日俱增，但他不敢怨君，所以借王昭君之事抒写自己的悲愤。
阁夜
一、诵读提示
这首诗系因感伤时事而作，很可能是诗人在彻夜不眠之后写的，结尾还表达了消极的感情。全诗当用低沉的调子来读，速度要慢一些。八个诗句的节奏皆作“XX——XX——X——XX”，为避免单调起见，读时对节拍的长短可适当加以调整，使整齐之中略有变化。又，此诗四联皆对仗，出句与对句之间应有明显的间隔，如一气读出，就听不出对联的意味了。
二整体感知
这首诗是前一首的同期作，从诗的内容可以判定它作于大历元年(766)冬季。当时诗人住在夔州府的西阁，从“瞑色延山径，高斋次水门。薄云岩际宿，孤月浪中翻”(《宿江边阁》)可以看
出，这是一个背山临水的地方，风景优美。这首诗所写的是诗人在一个雪后的不眠之夜里的所闻所感，所以诗题叫做《阁夜》。
这首诗集中地表达了诗人感时伤世的情怀。诗人在蜀至此已有七载。在安史之乱被平定的前一年(762)，诗人曾经历过徐知道的叛变，受尽颠沛流离之苦;如今又碰上崔吁作乱，虽已到夔州，距叛乱中心较远，但战争中种种骇人听闻的消息时时传来，人心总是不安的。似此国无宁日，诗人怎能不忧心如焚呢?所以这首诗的调子格外低沉，简直可以使人触摸到诗人那颗极其凄苦的心。
诗的头联交代时间，稍稍流露出凄苦的心境。“岁暮”，犹言“日月忽其不淹兮”，转眼一年将尽，有韶光易逝之感;又称所在地资州为“天涯”，有自伤飘泊之意。颔联出句承上文“宵”字，写黎明前听到当地驻军的鼓角声，暗示诗人彻夜未眠，可见忧心之重，“鼓角”更兼示战局紧张，故士兵天未明即起进行操练;对句承上文“霁”字写三峡中景象，因雪止天清，故三峡中星影可见。颈联出句写“野哭”而多至“千家”，这是战乱造成的，非杀人如麻，何至“千家”皆哭?反映了人民的深重灾难;对句写“夷歌”，显示了地方风情。尾联写诗人在知交零落、存者音问不通的情况下，聊以公孙述、诸葛亮终归“黄土”自解，更显出内心的凄苦万状。
这首诗历来被认为是杜诗中的典范作品。它不仅章法严密，其起、承、转、合无不自然合理，而且气象雄浑，把天地、古今、人事、物理全都说到了，也鲜明地体现了杜诗的沉郁风格，耐人寻味。
三、鉴赏要点
诗中用事。
诗中用事共三处：①“五更”句用祢衡事。《后汉书·祢衡传》：“(曹操)闻衡善击鼓，召为鼓史，因大会宾客，阅试音节。……次至衡，衡方为《渔阳》参挝(canzhua)，煤楼(di令则占，小步)而前，容态有异，声节悲壮，听者莫不慷慨。”②“三峡”句用汉武帝问星象事。《汉书·天文志》云：“元光(武帝年号)中，天星尽摇，上以问候星者，对日;‘星播者，民劳也。’后伐四夷，百姓劳于兵革。”③“卧龙”句用诸葛亮、公孙述事。《三国志·诸葛亮传》云：“徐庶见先主，先主器之，谓先主日：‘诸葛孔明者，卧龙也，将军岂愿见之乎?”’左思《蜀都赋》云：“至乎临谷为塞，因山为障;峻呢(ju，戴上的石山)膝培长城，豁险吞若巨防。一人守隘，万夫莫向;公孙跃马而称帝，刘宗(刘备)下辇而自王。”
诗人用事之妙在于，事与诗中意境合为一体，而使人不觉得这是用事。例如黎明前的鼓声带着山谷中的回音，从寒气中传来，确实能给人以悲壮的感觉;在奔腾的江水里，星河的倒影必然是摇曳不定，这样的意象在吟诵几遍之后都不难在读者的头脑中生成。有了这样的意象，再去弄清事典的出处，对诗句的理解就加深了，例如从“五更”句可以体会到诗人的慷慨之情，从“三峡”句可以认识到“百姓劳于兵革”使诗人深以为优——再从章法来看，这样写还兼有为下面“野哭”一句张本的作用。至于诗人以诸葛亮、公孙述自解，跟诗境的关系尤为密切，因为武侯庙、白帝庙都在州城附近，诗人都去看过。前人云：“作诗用事，要如释语，水中着盐，饮水乃知盐味。”这首诗中的用事正是如此。
登岳阳楼
一、诵读提示
这首诗所包含的内容极为丰富，感慨也极深沉，要读得缓慢些。首联从“昔闻”到“今上”长达数十年，已包含着人世沧桑的感慨，读得快了则意味不同，可能正如仇注所云“喜初登也”。颔联写岳阳楼景色，读时须有纵目远眺之意，“日夜浮”三字尤应慢读——似乎说“多少个日日夜夜就这样过去了”。这是为下文蓄势。下面两联说感慨，要用深沉的语调读：颈联说个人，有无限辛酸，调子低些为好;尾联说国家，有满腔悲愤，调子稍稍上升——这是全诗高潮所在。
二、整体感知
大历三年(768)冬，杜甫从公安(今湖北公安)到达岳阳。从“岸风翻夕浪，舟雪洒寒灯”(《泊岳阳城下》)看，到达之时正是深冬。杜甫曾两次登岳阳楼，这首诗所记当是第一次，时间大约是到达岳阳之初;另一次是跟岳州太守一同去的，也写了诗，诗题是《陪裴使君登岳阳楼》，从诗中“春泥百草生”句看，时间是第二年春天，因系应酬之作，不如这一首有名。
全诗分两层：
前一层先叙登楼，后写洞庭湖景观，一起一承，章法分明。起句以“昔闻”与“今上”对应，看似平常，却颇有深意在。“昔”，当指诗人的青年时代，又值“开元盛世”，到处都是歌舞升平的景象，诗人既闻洞庭之名，必有向往之意，可惜未能一游;如今呢，祖国山河残破，疮疾满目，而诗人也到了暮年，且历尽人生坎坷，却有幸登楼，怎能不百感交集呢?但诗人只叙事，不说情，把情留给读者自己去品味。接着就给读者勾勒出一幅气象万千的画面：
“吴楚东南拆，乾坤日夜浮。”这是诗人心中的画面，仅凭肉眼是看不到的，它使人联想到曹操咏海的名句：“日月之行，若出其中;星汉灿烂，若出其里。”(《观沧海》)自然，诗人此刻的心情跟曹操有所不同。
后一层先说个人景况，后说国事艰难，使人担忧，一转一合，显而易见。“亲朋”两句中，要害是“孤舟”一词。诗人自离茨州之日起，全家人都生活在船上，实际上已无家可归，所以由写景转人抒情先说个人景况;再说，从洞庭水转换到“孤舟”，脉络也十分清晰。至于说亲朋“无一字”，显然是无所依托之意。这又加重了诗人自伤飘泊的感情。但诗人不会停留在个人痛苦上，他总是以国事为念，因此，当他站在岳阳楼上“凭轩”远眺时，就联想到当时吐善犯边的情况，不禁潸然泪下了。这个抒情结尾将诗的思想内容提到了一个新的高度，而“凭轩”二字又巧妙地照应了第二句，以此结束全诗恰到好处。
这首诗可以说是咏岳阳楼的绝唱。唐庚《子西文录》云：“尝过岳阳楼，观子美诗，不过四十字耳，其气象闳放，涵蓄深远，殆与洞庭争雄，所谓富哉言乎者。太白、退之辈，率为大篇(注)，极其笔力，终不逮也。杜诗更小而大，余诗更大而小。”这决非过誉。
注：这里指的是李白的《秋登巴陵望洞庭》(共100字)和韩愈的《岳阳楼别窦司直》(共460字)。
三、鉴赏要点
雄浑阔大的意境。
还是在杜甫的年轻时代，孟浩然就以歌咏洞庭的名句“气吞
云梦泽，波撼岳阳城”(见“有关资料”)而蜚声诗坛，但杜甫后来居上，此诗颔联“吴楚东南拆，乾坤日夜浮”比孟句又高出一筹。《金玉诗话》云：“洞庭无下壮观，自首骚人墨客，斗丽搜奇者尤众。……然莫若气蒸云梦泽，波撼岳阳城’。则洞庭空旷无际，雄壮如在目前。至读子美诗，则又不然。‘吴楚东南拆，乾坤日夜浮’，不知少陵胸中，吞几云梦也。”“吞几云梦”是一种形象的说法，意思是杜诗的境界比孟诗要宽广得多，孟诗中的视野仅及于长江北岸的云梦泽，而杜诗则扩大到了吴楚两地，甚至把整个宇宙都包容了进去，这样的境界如果不是胸中大有丘壑，是写不出来的。
杜甫这两句诗不仅好在有开阔的视野，而且气象雄浑，内涵丰富，远非他人所能及。这要归功于“诉”“浮”两个字炼得好。试想，广嘉数千里的吴、楚两地就因为有了这两个湖，一下子断裂为二，这气势何等磅密!而日、月、星辰仿佛都飘浮在这湖水上面，缓缓行进，这景象又何等宏丽!庄子说过：“水之积也不厚，则其负大舟也无力。”(《庄子·逍遥游》)洞庭湖能负载比月、星辰，则湖水之丰厚简直到了惊人的程度!前人评这两句诗说：“虽不到洞庭者读之，可使脑次豁达。”这话有理。诗人把洞庭湖的景象写得如此宏伟壮丽，的确包含着一个重要的意念，就是：称赞人的精神美，认为人要有开阔的胸襟，无论在什么时候都不能忘记天下大事。从这一点来看，诗人的这一番描写正是为结尾张本，全诗的境界是统一的。
《新唐书》本传说杜甫“好论天下事”，似有贬意，但在我们看来，这恰恰是杜甫优于其他诗人之处：之所以“好论”，是因为
他胸中时时以“天下事”为念，这首诗写诗人在生活凄苦万状的情况下登楼观景，心中所想的仍是国运的艰难，甚至为之流涕，就是一个有力的证明。
一这几首诗都不难成诵，最好在自读之初一边看注释一边练习背诵;待到成诵后再进行鉴赏分析。所设计的三个小题，都是为了一个目的：帮助学生迅速成诵。题中所涉及的知识有押韵、对仗和章法，这些过去都学过，不必再讲。这道练习无须一次完成，读一首完成一首，如《旅夜书怀》：押韵属正格;首联也是对仗;前一层写旅夜风景，后一层抒发自伤飘泊之情。
附录一、杜甫年谱(据朱鹤龄所编，有删节)
唐睿宗先天元年(712)甫生。
唐玄宗开元十九年(731)公年二十，游吴越。
开元二十三年(735)公自吴越归，赴京兆贡举，不第。
开元二十五年(737)公游齐赵。
开元二十九年(741)公年三十，在东都(洛阳)。
天宝五载(746)公归长安。
天宝十载(751)公年四十，在长安，进《三大礼赋》。玄宗奇之，命待制集贤院。
天宝十四载(755)授河西尉，不拜，改右卫率府胄曹参军。十一月，往奉先。
肃宗至德元载(756)五月，自奉先往白水依舅氏崔少府。六月，又自白水往鹿州。
闻肃宗即位，自鹿赢服奔行在，遂陷贼中。
至德二载(757)四月，脱贼，谒上凤翔，拜左拾遗。疏救房殖，
上怒，招三司推问。
宰相张镐救之，获免。八月，墨制放还郴州省家。十月，上还西京(长安)，公扈从。
乾元元年(758)任左拾遗。六月，出为华州司功。冬晚，离官，间至东都。
乾元二年(759)春，自东都回华州。七月，弃它西去，度陇，客秦州。十月，往同谷。十二月，人蜀，至成都。
上元元年(760)公在成都，卜居浣花溪。
代宗宝应元年(762)公居成都草堂。七月，送严武还朝。未见，西川兵马使徐知道反，因人梓州。冬，复归成都，迎家至梓。十二月，往射洪南之通泉，皆梓属邑。
广德元年(763)公在详州。是岁，召补京兆功曹，不赴。
广德二年(764)严武再镇蜀，春晚，遂归成都草堂。六月，武表为节度参谋、检校工部员外郎，赐绯鱼袋。
永泰元年(765)正月，辞幕府归草堂。四月，严武卒。五月，离蜀南下，自戎州至渝州。六月至忠州。秋，至云安，居之。
列方程解应用题相遇问题题型四 1、两地铁路线长840千米，甲、乙两列火 车同时从两地相对开出，甲车每时行驶 120千米，乙车每时行驶90千米，经过 几小时两车相遇？ 2、一列快车和一列慢车同时从相距600千 米的两地相向而行，经过5小时相遇， 已知快车每小时行67.5千米，慢车每小 时行多少千米？ 3、两辆汽车从相距400千米的两地同时相 对开出，3小时后还相距10千米，已知 一辆汽车每小时行驶55千米，求另一辆 汽车的速度。 4、AB两地相距400千米。一列客车与一 列货车同时从AB两地出发，相向而行， 2.5小时后两车还距50千米，客车每小 时走80千米，货车每小时走多少千米？ 5、小明和小东同时从相距270米的两地出 发，相对而行，小明每分钟行50米，小 东每分钟行40米，两人几分钟相遇？ 6、两地相距5600米，两车同时出发相向而 行，摩托车每分钟行600米，自行车每 分钟行驶200米。几分钟相遇？7、甲乙两地相距600千米，两车从两地同 时出发相向而行，快车每分钟行6千米，6分钟相遇，慢车每分钟行多少米？ 8、甲乙两城相距2278.5千米。两车同时出 发相向而行，快车每小时行81千米，慢 车每小时66千米，几小时相遇？ 9、甲乙两车从相距270千米的两城同时出 发相向而行，4小时相遇，快车是慢车 的速度的1.5倍，求快车慢车的速度？ 10、两地相距988千米，两车从两地同 时出发相向而行，5.2小时相遇，甲车每 小时行93千米，乙车每小时行多少千 米？ 11、AB两地相距300千米，两车封鳖 从两地同时出发，相向而行。各自到达 目的地后，又立即返回，即过8小时后 他们第二次相遇，已知甲车每小时行45 千米，乙车行多少千米？ 12、甲乙两地相距700千米，甲乙两车 分别从两地同时出发，相向而行，甲车 每小时行85千米，乙车每小时行65千 米，两车几小时相遇？
小学列方程解应用题 1、甲有书的本数是乙有书的本数的3倍，甲、乙两人平均每人有82本书，求甲、乙两人 各有书多少本。 解：设乙有书x本，则甲有书3x本 X+3X=82×2 2、一只两层书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书搬60本到下层，那么两层的书一样多，求上、下层原来各有书多少本． 解：设下层有书X本，则上层有书3X本 3X-60=X+60 3、有甲、乙两缸金鱼，甲缸的金鱼条数是乙缸的一半，如从乙缸里取出9条金鱼放人甲缸，这样两缸鱼的条数相等，求甲缸原有金鱼多少条． 解：设乙缸有X条，则甲缸有1/2X条 X-9=1/2X+9 4、汽车从甲地到乙地，去时每小时行60千米，比计划时间早到1小时；返回时，每小时行40千米，比计划时间迟到1小时．求甲乙两地的距离． 解：设计划时间为X小时 60×（X-1）=40×（X+1） 5、新河口小学的同学去种向日葵，五年级种的棵数比四年级种的3倍少10棵，五年级比四年级多种62棵，两个年级各种多少棵? 解：设四年级种树X棵，则五年级种（3X-10）棵 （3X-10）-X=62 6、熊猫电视机厂生产一批电视机，如果每天生产40台，要比原计划多生产6天，如果每天生产60台，可以比原计划提前4天完成，求原计划生产时间和这批电视机的总台数．
解：设原计划生产时间为X天 40×（X+6）=60×（X-4） 7、甲仓存粮32吨，乙仓存粮57吨，以后甲仓每天存人4吨，乙仓每天存人9吨．几天后，乙仓存粮是甲仓的2倍? 解：设X天后，乙仓存粮是甲仓的2倍 （32+4X）×2=57+9X 8、一把直尺和一把小刀共1．9元，4把直尺和6把小刀共9元，每把直尺和每把小刀各多少元? 解：设直尺每把x元，小刀每把就是(1．9—x)元 4X+6×(1．9—X)=9 9、甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后，甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍，原来每个粮仓各存粮多少吨? 解：设原来每个粮仓各存粮X吨 X-130=（X-230）×3 10、师徒俩要加工同样多的零件，师傅每小时加工50个，比徒弟每小时多加工10个．工作中师傅停工5小时，因此徒弟比师傅提前1小时完成任务．求两人各加工多少个零件． 解：设两人各加工X个零件 X／（50-40）=X／50+5-1 11、买2．5千克苹果和2千克橘子共用去13．6元，已知每千克苹果比每千克橘子贵2．2元，这两种水果的单价各是每千克多少元? 解：设橘子每千克X元，则苹果每千克（X+2.2）元 2.5×(X+2.2)+2X=1 3.6
列方程解应用题专题 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值。列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。而找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握这两点就能正确地列出方程。列方程解应用题的一般步骤是： （1）.审：审请题意，弄清题目中的数量关系； （2）.设：用字母表示题目中的一个未知数； （3）.找：找出题目中的等量关系； （4）.列：根据所设未知数和找出的等量关系列方程； （5）.解：解方程，求未知数；（ 6）.答：检验所求解，写出答案。 实际问题中，设未知数的方法可能不唯一，要寻找最简捷的设法；解题时，检验过程不可少，但可不写在书面上。用列方程解应用题的几个注意事项： （1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理. （2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等. ) （3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义.
（4）不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称. （5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真. 例1 列方程，并求出方程的解。 （1）减去一个数，所得差与加上的和相等，求这个数。解：设这个数为x.则依题意有 －x=+ 检验：把X= 代入原方程，左边= ，与右边相等。所以X= 是方程的解。 （2）某数的比它的倍少11，求某数。解：设某数为X。依题意，有：例2 商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双元，布鞋每双元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问：胶鞋有多少双 分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。 设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为元，布鞋销售收入为（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。 ] 解：设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。 （46-x）=10，， =， x=21。答：胶鞋有21双。 例2袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球个数是红球的4/5，蓝球的个数是红球的2/3，黄球个数的3/4比蓝球少2个。袋中共有多少个球 分析：因为题目条件下中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，
一、列方程解应用题 和倍问题 例1 图书馆买回来60本文艺书和科普书，其中文艺书的本数是科普书的3倍，文艺书有多少本？ 例2 一个果园有荔枝、龙眼和芒果这三种果树108棵，其中荔枝的棵树是龙眼的3倍，芒果的棵树是龙眼的2倍，这三种果树各有多少棵？ 例3一个水池装有甲、乙两排水管，甲管每小时的排水量是乙管的3倍。水池里有16吨水，打开两管5小时能把水排完，甲管每小时排水量多少吨？ 例4 某粮店全天卖出大米、面粉和玉米面11520千克，卖出大米的千克数是面粉的6倍，面粉的千克数是玉米免的5倍，卖出的大米比玉米面多多少千克？ 较复杂的和倍问题 例1甲粮仓有510吨大米，乙粮仓有1170吨大米，每天从乙粮仓调30吨大米到甲粮仓，多少天以后甲粮仓大米的吨数是乙粮仓的6倍？ 例2 图书馆买回来故事书、科普书和连环画236本，如果故事书增加10本，就是科普书本数的2倍，科普书减少12本，就是连环画本数的一半，买回来的故事书有多少本？ 例3 甲数与乙数的和是30，甲数的8倍与乙数的3倍的和是160.甲数、乙数各是多少？
例4 甲站和乙站相距299千米，一辆大客车从甲站开往乙站，1.5小时后一辆小轿车从乙站开往甲站，行驶速度是客车的3倍，小轿车行驶2.5小时遇见大客车，小轿车每小时行多少千米？ 差倍问题 一个问题的已知条件是有关数量的差与数量之间的倍的关系，这种问题就是差倍问题。 列方程解差倍问题，可以吧问题中的一个未知数量用x表示，再根据问题中的“差”或“倍”的关系，把其他未知数量用含有x 的式子表示，再找出数量之间的等量关系列方程。在设未知数x时，通常把倍的关系中作为1的数量设为x较好。 例1一张办公桌的价钱是一把椅子的4倍，办公桌的定价比椅子贵138元，一张办公桌的价钱是多少钱？ 例2 一个书柜下层放的书的本数是上层的3倍，如果从下层取43本数放到上层，两层的书的本数相同，这个书柜一共方有多少本书？ 例3 水果店购进的一批西瓜，分三天售完，其中第一天售出的千克数是第二天的2倍，第二天售出的千克数是第三天的1.5倍，第三天售出的比第一天少88千克，这批西瓜共有多少千克？ 例4 有对黑棋子和白棋子，其中黑棋子的个数是白棋子的3倍，每次取走相同的个数的黑棋子和白棋子，取了若干次后，白棋子还剩8个，黑棋子还剩94个，原来这堆棋子中多少个黑棋子? 较复杂的差倍问题 例1 有两根同样长的绳子，第一根绳子剪去10米，第二根绳子剪去28米，第一根绳子剩下的长度是第二根的4倍。原来两根绳子一共有多少米？
七、列方程解应用题（小学四年级） 1、共有14２8个网球，每５个装一筒,装完后还剩３个，一共装了多少筒？ 2、故宫的面积是7２万平方米,比天安门广场面积的2倍少1６万平方米。天安门广场的面积多少万平方米? 3、宁夏的同心县是一个“干渴”的地区,年平均蒸发量是２32５ｍｍ,比年平均降水量的8倍还多１０9ｍm，同心县的年平均降水量多少毫米？ 4、猎豹是世界上跑得最快的动物,能达到每小时1１0km，比大象的2倍还多３0ｋm。大象最快能达到每小时多少千米? 5、世界上最大的洲是亚洲,面积是4400万平方千米，比大洋洲面积的4倍还多81２万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米？ 6、一座居民大楼高２9.2米,一楼准备开商店,层高4米，上面9层是住宅。住宅每层高多少米？ ７、太阳系的九大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是3６5天,比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多1３天,水星绕太阳一周是多少天? 8、地球的表面积为５.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.４倍。地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？ 9、红红课间捡了6个易拉罐,９个饮料瓶,回收站每个饮料瓶比易拉罐便宜，她一共卖了２.7元。易拉罐和饮料瓶回收单价各多少钱？
１０、四个相邻自然数的和是３9８,其中最小的一个自然是多少？ 1１、鸡和兔的数量相同,两种动物的腿加起来共有48条。鸡和兔各有多少只？ １２、妈妈今年的年龄儿子的３倍，妈妈比儿子大24岁。儿子和妈妈今年分别是多少岁? １３、我买了两套丛书，单价分别是：《科学家》2.５元/本，《发明家》3元/本,两套丛书的本数相同，共花了22元。每套丛书多少本？ １4、一幅油画的宽是长的50%,小明做一个画框用了1.８m木条。这幅画的长、宽、面积分别是多少? １5、小红家到小明家距离是560米,小明和小红在校门口分手，7分钟后他们同时到家,小明平均每分钟走45m，小红平均每分钟走多少米？ 1６、小明的玻璃球是小刚的4/7，小刚给小明9颗,他俩就一样多了。他们两个人分别有多少颗玻璃球? 1７、一个数的３倍加上这个数的2倍等于1.5,求这个数。 18、明明对爷爷说：“您现在比我大６0岁,再过10年，您的岁数就是我的３倍了。”你知道明明现在多大吗? １9、甲、乙两地的公路长28５千米，客、货两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行,经过３小时两车相遇。已知客车每小时行45千米，货车每小时行多少千米？ ２0、张老师第一次到体育用品商店买了2４套运动服，第二次又买了同样的运动服30
列方程解下列应用题。 1、小红身高152厘米，比小明矮5厘米。小明身高多少厘米？ 2、某水库的水位达14.14米，超过警戒水位0.64米。这个水库的警戒水位是多少米？ 3、学校食堂运来60袋大米，比运来的面粉多15袋。运来面粉多少袋？ 4、一只大象的体重是6吨，正好是一头牛的15倍。一头牛的体重是多少吨？
5、军军跑步后每分钟心跳130下，比跑步前多55下。跑步前每分钟心跳多少下？ 6、张庄今年植树节栽杨树420棵，比栽柏树少330棵，栽柏树多少棵？ 7、今天卖出《小数报》86份，比昨天多18份，昨天卖出多少份？ 8、汽车每小时行80千米，比火车每小时少行30千米。火车每小时行多少千米？ 9、爷爷今年65岁，是小明年龄的5倍，小明今年多少岁？
二、列方程解应用题。 1、学校买来20米长的布，准备做16件儿童表演服。每件儿童表演服用布多少米？ 2、王老师买奖品，其中有42棵练习本，是日记本的3倍。日记本有多少本？ 3、一分钟过去了，地球上大约又增加了300个婴儿，全球平均每秒有大约多少个婴儿出生？ 4、五（6）中队用水桶在一个滴水的龙头下接水，3小时一共接了1.8千克。这个水龙头每分钟浪费多少克水？
5、一瓶雪碧，平均分给5个小朋友，每人正好分得400毫升。这瓶雪碧一共有多少毫升？ 6、小军家去年的总收入是10.8万元，比今年少2.4万元，今年收入多少？ 7、地球上海洋的面积有3.6亿平方千米，大约是陆地面积的1.5倍。陆地面积大约是多少亿平方千米？ 8、一块小麦地占地600平方米，已知长是30米，求宽是多少米？
9、红山动物园有102只天鹅。其中白天鹅有68只，其余都是黑天鹅。黑天鹅有多少只？
列方程解应用题训练 1.某商店出售甲、乙两种成衣，其中甲种成衣卖价120元盈利20% ，乙种成衣卖价也是 120元但亏损20% ，问该商店在本次销售中实际上是盈还是亏，盈或亏多少钱 2．甲、乙两人分别在相距50km的地方同向出发，乙在甲的前面，甲每小时走16km，乙每小时走18km，如果乙先走1小时，问甲走多少时间后，两个人相距70km 3．某中学组织七年级学生春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用同样数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满。已知租用45座的客车每日租金为每辆车250元，60座的车每日租金每辆300元，问租用哪种客车更合算租几辆车 4．某商店的冰箱先按原价提高40% ，然后在广告中写上大酬宾八折优惠，结果每台冰箱反而多赚了270元，试问冰箱的原标价是多少元现售价是多少元 5．某种商品的进价为100元，若要使利润率达20% ，则该商品的销售价格应为多少元此时每件商品可获利润多少元 6．某商品的进价是1000元，标价为1500元，商店要求以利润率不低于5% 的售价打折出售，售票员最低可以打几折出售此商品 7．某车间有60名工人，生产某种由一个螺栓与两个螺母为一套的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，问应分配多少人生产螺母，多少人生产螺栓，才能使每天生产出的螺栓与螺母恰好配套 8．A、B两地相距60km，甲乙两人分别从A、B两地骑车出发，相向而行，甲比乙迟出发20min,每小时比乙多行3km ,在甲出发后1h40min ,两人相遇，问甲乙两人每小时各行多少km 9.要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时，完成了任务 已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件 10．一件工作，甲单独完成需小时, 乙单独完成需5小时，先由甲、乙两人合做1小时，再由乙单独完成剩余任务，共需多少小时完成任务
列方程解应用题 1、有一个三位数，其各位数字之和是 16，十位数字是个位数字与百位数字之 和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大 594，求原数？ 2、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字和为 10，如果把十位的数字与 个位上数字对调，新数就比原数少 36，求原来的两位数？ 4、学校组织新年联欢会，用于奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共 232支，价值 100元，其中铅笔的数量是圆珠笔的 4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔 0.9元，每支钢笔2.1元。三种笔各值多少元？ 5、蜘蛛有8只脚，晴蜓有6只脚和2双翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现在 有这三种小虫共16只，共有110条腿，14对翅膀，问每只小虫各有多少只？ 6、有大、中、小卡车共42辆，每次共运货315箱，已知每辆大卡车每次能运 10箱，中卡车每辆每次运8箱，小卡车每辆每次可运5箱，又知中卡车的辆数 和小卡车同样多，求大卡车有多少辆？ 3、一个两位数，个位数是十位上的数的 数对调，那么所得的两位数比原来的大 3倍，若把这个十位上的数与个位上的 54，求原两位数。
7、甲、乙两人分别从AB两地同时出发，如果两人同向而行，经过13分钟，甲赶上乙。如两人相向而行，经过3分钟两人相遇。已知乙每分钟行25千米, 问AB 两地相距多少米？ & 一架飞机飞行于两城之间顺风需要6小时30分，逆风时需要7小时，已知风速是每小时26千米，求两城之间的距离是多少千米？ 9、学校组织暑假旅游，一共用了10辆车，大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐了520人，问大小客车各几辆？ 10、五年一班有52人做手工，男生每人做3件，女生每人做2件，已知男生比女生多做36件，求五年一班男女生各有多少人？
列一元一次方程解应用题50题（有答案） 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案．（假设和答时注意写单位） 知能点1：市场经济、打折销售问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润商品成本价 1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？ 3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（） A.45%×（1+80%）x-x=50 B. 80%×（1+45%）x - x = 50 C. x-80%×（1+45%）x = 50 D.80%×（1-45%）x - x = 50 4．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折． 5．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价． 知能点2：方案选择问题 6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?经粗加工后销售，每吨利润可达
五年级列方程解应用题100题（有答案) 1.育新小学共有108人参加学校科技小组，其中男生人数是女生人数的1.4倍。参加科技小组的男、女生各有多少人？ 2.体育比赛中参加跳绳的人数是踢毽子人数的3倍，已知踢毽子的人数比跳绳的人数少20人，跳绳、踢毽子各有多少人？ 3.某校五年级两个班共植树385棵，5（1）班植树棵树是5（2）班的1.5倍。两班各植树多少棵？ 4.一支钢笔比一支圆珠笔贵6.8元。钢笔的价钱是圆珠笔价钱的4.4倍。钢笔和圆珠笔的价钱各是 多少元？ 5.食堂买来一些黄瓜和西红柿，黄瓜的质量是西红柿的1.2倍，黄瓜比西红柿多 6.4千克。买来西红柿多少千克？ 6.用一根长54厘米的铁丝围成一个长方形，要使长是宽的2倍，围成的长方形的长和宽各是多少？面积是多少？
7.一只麻雀的体重是81克，恰好是蜂鸟的40倍。一只蜂鸟重多少克？ 8.一块长方形菜地的面积是180平方米，它的宽是12米，长是多少米？ 9.食堂有一批大米，每袋25千克，用去6袋以后，还剩50千克，这个食堂原来有大米多少千克？ 第1页共 1 页 10.食堂有200千克大米，每袋25千克，用去一些后，还剩50千克，用去多少袋？ 11.幼儿园大班有10个小朋友，现在有60个苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得2个，小班有多少个小朋友？ 12.小华买了相同数量的2元和8角的邮票，共用去了42元，两种邮票各有多少张？
13.甲、乙两车从相距280千米的两地同时出发，相向而行，经过4小时两车相遇。甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？ 14.商店购进120台数码摄象机，比购进的数码照相机的2倍少40台，数码照相机有多少台？ 15.一根铁丝长54厘米，用它围成一个长方形，使长是宽的2倍，长和宽各是多少厘米？ 16.强强和丽丽共有奶糖40粒，强强比丽丽少6粒，强强有奶糖多少粒？ 17.三年前母亲的岁数是儿子的6倍，今年母亲33岁，儿子今年几岁？ 第2页共 2 页
精锐教育学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：五年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 课程主题：列方程解应用题（一） 授课时间： 学习目标 1、初步掌握列方程解应用题的步骤； 2、在理解题意的基础上正确寻找“和倍”、“差倍”、“和差”应用题的等量关系，初步掌 握列方程解两、三步计算的简单实际问题。 教学内容 1．常用“负数”来表示与正数相反的意义，如温度、海拔中均有负数出现。 2．正数表示比0大的数，而负数表示比0小的数，负得越多数越小。 3．类似于温度计,可以将正负数分布在一条直线上,这种直线叫做数轴。我们把规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。 4.数轴的画法： 1.画直线（一般画成水平的），定原点，标出原点“0”。 2.取原点向右方向为正方向，那么，向左方向为负方向，并标出箭头。 3.选适当的长度作为单位长度，（必须一样长短）并标出……，－3，－2，-3，1，2，3……各点。（所标 的数可以是正数、也可以是分数、小数、） ( 内容回顾 0 1 ； -2 -1 原点 单位长 正方向
{ -3 -2 -1 0 1 2 3 知识精讲 — 【知识梳理】 解决和、差、倍问题的关键是抓住“1倍量”，找到“多倍数”。 如果用方程来解决，那么一般将“1倍量”设为未知数，再根据其他条件列出方程。 【例题精讲】 例1.一个三角形的底边长厘米，面积是厘米。它的高是多少厘米 } 例2.用一根长为28厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长是8厘米，宽是几厘米
2．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放入乙箱中，则两箱中洗衣粉的袋数相等。求原来两箱洗衣粉各有多少袋 ~ 答案：甲箱中有49袋，乙箱中有41袋 3．甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须人乙仓库运出多少吨放入甲仓库 答案：79吨 - 总结回顾
1、解放军某部进行军事训练，要行军502千米，开始每天走60千米，走了3天后，余下的路程每天多走20.5千米，需要几天走完？ 2、甲袋大米重68千克，从甲袋倒出15千克到乙袋后，甲袋还比乙袋重5千克。求乙袋原有大米多少千克？ 3、某钢厂一座炼炉前3天每天炼钢830吨，后5天每天炼钢850吨。求平均每天炼钢多少吨？ 4、摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行了60千米，回来时每小时行30千米。往返全程的平均速度是多少？ 5、某机床厂第一车间的职工，用18台车床2小时生产机器零件720件，20台这样的车床3小时生产机器零件多少件？ 6、用30千克黄豆可做出120千克豆腐，照这样计算，要做600千克豆腐，需要黄豆多少千克？ 7、一列快车和一列普通客车从甲乙两个城市同时相对开出，快车每小时行90千米，普通客车每小时行48千米，经过2.5小时后，两列火车在途中相遇。求甲乙两城市间的铁路长多少千米？
8、两地相距28千米，甲乙两辆汽车同时分别从两地同一方向开车。甲车每小时行25千米，乙车每小时行32千米，甲车在前，乙车在后，几小时以后乙车能追上甲车？ 9、把一张长90厘米，宽20厘米的长方形的纸裁成若干张同样大小的正方形纸，要求正方形的边长最大，而且不浪费纸。可以裁多少张正方形？ 10、园林局为了绿化公路，在一段公路的两边每隔4米栽一棵树，一共栽树74棵，现在要改成每隔6米栽一棵树。那么，不移栽的树有多少棵？ 11、甲有14.8元，乙有15.2元，俩人要合买一个足球，一个足球的价钱是他俩人钱数总和的2倍，一个足球多少元，他们还差多少元？ 12．一台机器3小时耕地15公顷，照这样计算，要耕75公顷地，用5台机器需要多少小时？ 13．商店有14箱鸭蛋，卖出去250千克后，还剩4箱零20千克，每箱鸭蛋有多少千克？ 14．光明小学为山区同学捐书，四年级捐240本，五年级捐的是四年级的2倍，六年级比五年级多捐120本，平均每个年级捐多少本？
五年级下册：列方程解应用100题 （附答案) 1.育新小学共有108人参加学校科技小组，其中男生人数是女生人数的1.4倍。参加科技小组的男、女生各有多少人？ 2.体育比赛中参加跳绳的人数是踢毽子人数的3倍，已知踢毽子的人数比跳绳的人数少20人，跳绳、踢毽子各有多少人？ 3.某校五年级两个班共植树385棵，5（1）班植树棵树是5（2）班的1.5倍。两班各植树多少棵？
4.一支钢笔比一支圆珠笔贵6.8元。钢笔的价钱是圆珠笔价钱的4.4倍。钢笔和圆珠笔的价钱各是多少元？ 5.食堂买来一些黄瓜和西红柿，黄瓜的质量是西红柿的1.2倍，黄瓜比西红柿多 6.4千克。买来西红柿多少千克？ 6.用一根长54厘米的铁丝围成一个长方形，要使长是宽的2倍，围成的长方形的长和宽各是多少？面积是多少？
7.一只麻雀的体重是81克，恰好是蜂鸟的40倍。一只蜂鸟重多少克？ 8.一块长方形菜地的面积是180平方米，它的宽是12米，长是多少米？ 9.食堂有一批大米，每袋25千克，用去6袋以后，还剩50千克，这个食堂原来有大米多少千克？
第 1 页共 1 页 10.食堂有200千克大米，每袋25千克，用去一些后，还剩50千克，用去多少袋？ 11.幼儿园大班有10个小朋友，现在有60个苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得2个，小班有多少个小朋友？ 12.小华买了相同数量的2元和8角的邮票，共用去了42元，两种邮票各有多少张？
13.甲、乙两车从相距280千米的两地同时出发，相向而行，经过4小时两车相遇。甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？ 14.商店购进120台数码摄象机，比购进的数码照相机的2倍少40台，数码照相机有多少台？ 15.一根铁丝长54厘米，用它围成一个长方形，使长是宽的2倍，长和宽各是多少厘米？
方程的意义和列方程解应用题 １、用字母表示运算定律和有关图形的面积公式。 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 减法的特性：a-b-c=a-(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b×a×c 正方形周长：c=4a 正方形面积：s=a×a 长方形的周长：C＝（a+b）×2 长方形面积：s=a×b 此外，还可以拓展到以前曾经学过的路程＝速度×时间总价＝单价×数量…… 2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。例如：a×5＝5·a＝5a 数字一般都写在字母的前面。 3、区别a的平方和2乘a的区别。方程（方程的意义） 了解方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。 1、掌握方程与等式的关系：方程是等式但等式不一定是方程．或者说方程属于等式，等式包含方程．并能用图形表示． 2、根据情境图找出等量关系，会列方程。天平游戏一（解简易方程未知数是加数或被减数） 1、等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立。 3、能根据等式的这个性质求出方程中的未知数。 4、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3、学会检验方程的解是否正确。天平游戏二（解简易方程未知数是因数或被除数） 5、等式两边都乘或除以同一个数（零除外），等式仍然成立。 6、能根据一定的情境，列方程解决问题。 猜数游戏（解简易方程） 1、会利用等式的性质解ax±b=c类型的方程。并能够把方程的解带回方程中进行检验。 2、会用方程解答简单的应用题。 邮票的张数（列方程解应用题） １、学会解形如cx±ax=b这样的方程，能够运用方程解应用题。２、使学生掌握应将一倍数设为未知数． 7、方程 一本练习本的价格是0.6元，买x本应付（）元。 一本练习本的价格是a元，买b本应付（）元。 仓库里有大米2400袋，运走了a袋，又运来b袋，现在仓库里有大米（）袋。 1千克苹果的价钱是每千克b元，那么10元钱可买（）千克苹果。 四一班有男生a人，女生比男生少b 人，四一班共有（）人。 妈妈今年a 岁，小华的年龄比妈妈小26岁，小华今年（）岁。 笑笑5天共读书x页，平均每天读（）页。 用字母表示公式：长方形的周长（），正方形面积（） 加法交换律（），乘法分配律（），乘法结合律（）18减去c的6倍用字母表示是（） 4.2加上a，再除以0.8用字母表示是（） 连续的3个自然数，如果第二个数用x表示，那么第一个数应表示为（），第三个数应表示为（）。 列方程并解答： 一个数减8.6与4的积，差是15.7，求这个数。 x除以3.1与1.8的和，商是2.1。求这个数 13.9除69.5的商再加上x，和是5.6。求 x。30比一个数的5倍少20，这个数是几？
2.6列方程解应用题3（相遇问题）综合问题解决单 快行距＋慢行距＝原距 路程=速度时间 1. 乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里， 一列快车从乙站开出，每小时行140公里。慢车先开出1小时， 快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇? 2. AB两站间的路程为420 km，一列慢车从A站出发，每小时行驶60 km，一列快车从B站出发，每小时行驶80km，两车同时开出相向 而行，出发后多少小时相遇? 3. AB两站间的路程为448 km，一列慢车从A站出发，每小时行驶60 km，一列快车从B站出发，每小时行驶80km，两车相向而行，慢 车先开28 min，快车开出后多少小时两车相遇? 班级 姓名 第 组
4. 甲乙两车从相距264千米的A、B两地同时出发相向而行，甲速是 乙速的1.2倍，4小时相遇，求乙速？ 5. 甲乙两站相距600千米，慢车每小时行40千米，快车每小时行60 千米，若慢车先行50分钟，快车再开出，又行一段时间后遇到 慢车，求快车开出多少小时两车相遇？ 6. 甲乙两人同时同地同向而行，甲的速度是4千米/小时，乙的速 度比甲慢，半小时后，甲调头往回走，再走10分钟与乙相遇， 求乙的速度。 备用 7. AB两地相距75千米，一辆汽车以50千米/时的速度从A地出发， 另一辆汽车以40千米/时速度从B地出发，两车同时出发，相向
而行，经过几小时两车相距30千米？ 8. 乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步 行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地 后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。 9. 乙两个车站相距650千米，吉普车从甲站以52千米/时速度开 出，小轿车从乙站以78千米/时速度开出，若两车同时开出，多少小时两车还相距130千米？ 10. 乙两个车站相距650千米，吉普车从甲站以52千米/时速度开 出，小轿车从乙站以78千米/时速度开出，若两车同时开出，多少小时两车相距130千米？
列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题：距离=速度·时间时间距离速度= 速度距离时间=；（2）工程问题：工作量=工效·工时工时工作量工效= 工效工作量工时=；（3）比率问题：部分=全体·比率全体部分比率= 比率部分全体=；（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题：售价=定价·折·101 ，利润=售价-成本，%100×?=成本成本售价利润率；（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=31πR2h 方程和方程组（一）基本概念方程：含有未知数的等式. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值. 根据方程的解的定义，要判断一个数是不是方程的解，可将这个数分别代入方程左右两边进行计算，如果左右两边相等，那么这个数就是方程的解.（如果要求把检验的过程写出来，同学们应注意格式）解方程：求方程的解的过程. 一元一次方程：含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的方程. 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的次数都是1的整式方程. 二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起构成的方程组. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值. （二）基本方法方程的两种基本变形：⑴方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变. ⑵方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变. 解一元一次方程的一般步骤和方法及注意事项：变形名称具体做法注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1.不要漏乘2.分子不是一个整体，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号不要漏乘括号里的项不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）移项要变号不要丢项合并同类项把方程化成ax＝b（a≠0）形式字母及字母的指数不变系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解不要把分子、分母搞颠到解二元一次方程组： ⑴解二元一次方程组的基本思想是：消元⑵解二元一次方程组消元时，常用的两种方法是：代入消元法和加减消元法. 即：二元一次方程组一元一次方程代入消元法的思路是：选择一个系数简单的方程变形，用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个方程通过消去一个未知数，从而进行求解. 加减消元法的思路是：使两个方程中对应的同类项系数变成相等或（互为相反数），然后把两个方程相减或（相加），通过消去一个未知数，从而进行求解. （三）方程和方程组的应用 1.方程和方程组的应用主要体现在两个方面：⑴解决一些纯数学的简单问题. ⑵解决实际问题（即列方程或方程组解应用题）.其一般步骤主要是：⑴理解题意（审题）⑵把问题转化为方程或方程组（即建立方程或方程组的数学模型）⑶解方程或方程组⑷检验并作答即：问题方程（组）解答 2.解决实际问题的分析和抽象通常包括：⑴设元（用字母表示适当的未知数）⑵找出问题所给出的数量的相等关系⑶分析题意中的数量关系，列出相等关系需要的代数式. 上述过程，应当注意的是：设元有直接设元和简接设元，恰当的设元，会给建立方程（组）带来方便。分析相等关系以及数量关系时，可借助一些方法比如“列表法”、“图示法”等帮助分析。另外在实际解决问题时，上面三项的顺序也并非固定的。 3.解实际问题的常见题型及数量关系： ⑴行程问题：路程＝速度×时间 ⑵工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间⑶浓度问题：溶质＝溶液×浓度⑷利率问题：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数⑸利润问题：利润＝成本×利润率，利润＝售价－成本⑹价格问题：总价＝单价×数量⑺水流问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问
1、共有1428个网球，每5个装一筒，装完后还剩3个，一共装了多少筒? 2、故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积多少万平方米? 3、宁夏的同心县是一个“干渴”的地区，年平均蒸发量是2325mm，比年平均降水量的8倍还多109mm，同心县的年平均降水量多少毫米? 4、猎豹是世界上跑得最快的动物，能达到每小时110km，比大象的2倍还多30km。大象最快能达到每小时多少千米? 5、世界上最大的洲是亚洲，面积是4400万平方千米，比大洋洲面积的4倍还多812万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米? 6、大楼高29.2米，一楼准备开商店，层高4米，上面9层是住宅。住宅每层高多少米? 7、太阳系的九大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天，水星绕太阳一周是多少天? 8、地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米? 9、6个易拉缺罐，9个饮料瓶，每个的价钱都一样，一共是1.5元。每个多少钱? 10、两个相邻自然数的和是97，这两个自然分别是多少? 11、鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条。鸡和兔各有多少只? 12、妈妈今年的年龄儿子的3倍，妈妈比儿子大24岁。儿子和妈妈今年分别是多少岁? 13、我买了两套丛书，单价分别是：<<科学家>>2.5元/本，<<发明家>>3元/本，两套丛书的本数相同，共花了22元。每套丛书多少本? 14、一幅油画的长是宽的2倍，我做画框用了1.8m木条。这幅画的长、宽、面积分别是多少? 15、小红家到小明家距离是560米，小明和小红在校门口分手，7分钟后他们同时到家，小明平均每分钟走45m，小红平均每分钟走多少米? 16、小明的玻璃球是小刚的2倍，小明给小刚3颗，他俩就一样多了。他们两个人分别有多少颗玻璃球? 17、一个数的3倍加上这个数的2倍等于1.5，求这个数。 18、一个数乘0.75等于6个2.4相加的和，这个数是多少?
列方程解应用题（3） 例题、小明的玻璃球是小刚的2倍，小明给小刚3颗，他俩就一样多了。他两各有多少颗玻璃球？ 练习1、书架上层有98本书，下层有40本书，要使上层的书比下层多18本，那么就要从上层拿多少本书到下层？ 练习2、小刚和小明一共有50本书，小刚的书给小明5本，他们俩的书就一样多，原来他俩各有几本书？ 简易方程综合练习1 一、填空. 1、平行四边形底长a米,高是底的1.8倍,面积是() 2、货车每小时行S千米,客车每小时行m千米,客车3小时后和货车5小时一共行驶了()千米. 3、食堂买来200千克煤,已烧了a天,还剩b千克,平均每天烧了()千克 4、每个足球x元,买4个足球,付出200元,应找回()元. 5、三个连续自然数,已知中间一个数是m,那么前一个数是(),后一个数是(),三数之和是() 6、当x＝5时,x2＝(),2x＋8＝() 二、判断 (1)、方程一定是等式,等式不一定是方程.( ) (2)、小明今年a岁,哥哥比他大b岁,c年后,哥哥比他大b＋c岁.( ) (3)、3x＋4x＝7x, 3a＋4b＝7ab ( ) 三、选择 （1）47除一个数所得的商是6余5,求这个数的方程是() ①、6x＋5＝47 ②②、6x-5＝47 ③③、47÷6－5＝x （2）甲数是a,是乙数的3倍,乙数是() ①、3a ②②、a÷3 ③③、2a （3）一个正方形边长是8米,若边长增加2米,面积增加() ①、4平方米②②、16平方米③③、36平方米④④、100平方米 四、解答题 1、解方程 5.5x＋ 6.7＝ 7.8 28-x＋3.6＝20 3.5x－0.8x＝11.34
四年级下册列方程解应用题练习 1.甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 2.晓钢和小华骑自行车同时从相距90千米的甲乙两地相向而行，3小时相遇，晓钢的速度是小华的2倍，求他们的速度各是多少？ 3.甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？ 4.甲、乙、丙三个工人共加工了126个零件，已知甲加工的个数是丙的2倍，乙比丙多加工了6个，求甲、乙、丙各加工了多少个零件？ 5.甲仓所存大米是乙仓的3倍，从甲仓运走8500千克，从乙仓运走500千克，两仓所剩的大米千克数相等。问两仓原来各存大米多少千克？ 6.有两桶重量相等的油，甲桶取出12千克，乙桶加入14千克，这时乙桶油的重量是甲桶油
重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？ 7.弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？ 8.甲、乙两人共加工零件1000个，甲加工零件的数量比乙加工的3倍还多20个。甲、乙两人各加工零件多少个? 9.某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？ 10.鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 11.鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只? 12.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？
课后作业: 1.中关村一小三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是 三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模? 2.小强和小明共有28本练习本，小强的练习本比小明的2倍少2本．小强和小明各有几 本练习本? 3.小白兔和小灰兔共有50个萝卜，小灰兔的萝卜比小白兔的2倍多2个．小白兔和小灰 兔各有多少个萝卜? 4.甲乙丙三个数的和是360，已知甲是乙的3倍，乙是丙的2倍，求甲乙丙三个数各是多 少? 5.李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有 多少只吗? 6.学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱， 学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 7.鸡兔同笼，上有35头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？
七年级一元一次方程解应用题2017.12.16 数学是一门具有广泛应用性的科学, 我国著名数学家华罗庚先生曾说过: “宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”. 数学应用题的类型很多, 比较简单的是方程应用题, 又以一元一次方程应用题最为基础 , 方程应用题种类繁多, 以行程问题最为有趣而又多变. 行程问题的三要素是: 距离 (s) 、速度 (v) 、时间 (t),?行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题; 按运动路线可分为直线形问题、环形问题等. 熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧. 例题求解 【例 1】某人乘船由 A 地顺流而下到 B 地 , 然后又逆流而上到 C 地, 共乘船 4 小时 , 已知船在静水中的速度为每小时7.5 千米 , 水流速度为每小时 2.5 千米 , 若 A、 C 两地的距离为 10 千米 , 则 A、 B 两地的距离为 _____千米 . 思路点拨等量关系明显 , 关键是考虑 C 地所处的位置 . 解 :20 或20 提示 :C 可在 AB之间或 AB之外 D 3甲 A 【例 2】如图 , 某人沿着边长为90 米的正方形 , 按 A→ B→ C →D→ A??方向 ,? 甲以 A 以 64 米/ 分的速度 , 乙从 B以 72 米/ 分的 速度行走 , 当乙第一次追上甲时在正方形的 (? ). A.AB 边上 B.DA边上B C C.BC边上 D.CD边上 乙 思路点拨本例是一个特殊的环形的追及问题, 注意甲实际在乙的前面 3× 90=270( 米 ) 处 . 解:选B提示 : 乙第一次追上甲用了270 分钟 ,72 × 270 =7× 360+2 6 ×90 777 【例 3】父亲和儿子在100 米的跑道上进行赛跑, 已知儿子跑 5 步的时间父亲能跑 6