第七章曲线与曲面
1）点在空间作连续变换方向的
运动轨迹
1 曲线概述
1.1 曲线的形成曲线的形成一般有下列三种方式：
2
）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线
3）平面与曲面或两曲面相交的交线
必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。
1.2 曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。
2、按曲线上点的分布可分为两类：
1）平面曲线曲线上所有点都在同一平面上，如二次曲线、渐伸线等；
2）空间曲线曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。
1.3 曲线的投影
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。
按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。
为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来
Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点B和F为对H面重影点
E为一般点
曲线的投影的基本性质
1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影为直线2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性
3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲线
4）曲线切线的投影仍为其投影的切线
§２圆的投影
圆是最简单的平面曲线
根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面投影）：
2.1 圆所在平面为投影面平行面
2.2 圆所在平面为投影面垂直面
2.3 圆所在平面为一般位置平面
2.1 圆所在平面为投影面平行面
当圆所在平面为投
影面平行面时，圆在所
平行的投影面上的投影
反映该圆的实形。在另
一投影面上的投影为直
线，线段的长度等于圆
的直径
2.2 圆所在平面为投影面垂直面
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。
2.3 圆所在平面为一般位置平面
当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投
影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必
须分别求解。
椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影
短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影
方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，确定长、短轴的方向与大小
方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合
如图所示曲面，是
由AA
１沿着曲线
ABC运动且在运动中始终平行于直线MN所形成的
AA
１
称为母线
母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的
母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续两素线
控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成
3.2 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成的曲面将唯一确定。
曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线
当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时，这些母线称为界限素线
曲面的轮廓线对不同投影面各不相同。
如图所示，投射柱面与曲面的切线T称为曲面对H面的轮廓线，ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。
3.3 曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：
按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面；
按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回转面；
按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面；
按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面；
按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，则可分为可展曲面和不可展曲面。
§4直线面
4.1 可展直线面
4.1.1 柱面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。
第七章 曲线与曲面积分 7.2.5第一类曲面积分 7.2.6 第二类曲面积分（导学解答） 一、相关知识 1．物质曲面的质量问题? 答：设∑为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为ρ(x , y , z ), 求其质量，把曲面分成n 个小块: ?S 1, ?S 2 , ? ? ?, ?S n (?S i 也代表曲面的面积);求质量的近似值: i i i i n i S ?=∑),,(1 ζηξρ((ξi , ηi , ζi ) 是?S i 上任意一点); 取极限求精确值: i i i i n i S M ?==→∑),,(lim 1 0ζηξρλ(λ为各小块曲面直径的最 大值). 2.空间曲面在坐标面上的有向投影？ 答：空间面积为S ?的有向平面在坐标面上的投影 将有向平面S ?投影到xoy 坐标面，所得投影记为xy S )(?，投影区域的面积记为()xy σ?；设平面S ?的法向量n 与z 轴正向的夹角为γ，则 ()xy S ?()c o s 0 0c o s 0 () c o s 0 xy xy σγγσγ??>? =≡? ?-?γ（上侧）， 则xy xy S )()(σ?=?；如果 πγπ ≤<2 ，0cos <γ（下侧），则xy xy S )()(σ?-=?；如果 2 π γ= ，0cos =γ，则0cos )(=?=?S S xy γ。 同理可以定义S ?在yoz 、zox 坐标面上的投影为()yz S ?及()zx S ?为： ()cos 0()0 cos 0() cos 0yz yz yz S σαασα??>? ?=≡??-??? ?=≡? ?-?
《机械CAD/CAM》 第七章
自由曲线和自由曲面
机电工程学院CIMS应用研究中心
张宇
Email: zhangyu@https://www.doczj.com/doc/5610631581.html,
曲线和曲面的数学表达
? 曲线和曲面的数学表达方法： ? 显式表达：如 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 ? 隐式表达：如 a1x3+a2x2y+a3xy2+a4y3=0 ? 参数表达：如 P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
P(t) P(u, v)
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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曲线和曲面的数学表达
? 为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？
? 所描述的曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。
? 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的 曲线/曲面扩展到高维空间。
? 采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程 序处理时不会因此而中断计算。
? 规格化的参数变量 t∈[0，1]，使其相应的几何分量是 有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。
? 有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。
? 易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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几个基本术语
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? 点： ? 构造曲线/曲面的最基本的几何元素。 ? 常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。
? 插值： ? 函数逼近的重要方法。 ? 插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
? 逼近： ? 寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。 ? 逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型 值点的最佳逼近。 ? 最小二乘法是最常用的逼近方法。
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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插值与逼近
f(x) 插值点
给定的型值点
g(x) 给定的型值点
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
插值 逼近
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几个基本术语
? 光顺： ? 使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。 ? 相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇 异点、曲率变化较小。 ? 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 ? 零阶连续：边界重合。 ? 一阶连续：一阶导数连续，即切线矢量连续。 ? 二阶连续：二阶导数连续，即曲率连续。
? 拟合： ? 在曲线和曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、 曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点 或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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第7章 曲线曲面分析 本章导读： 完成曲面模型之后，进行曲线曲面的分析，便于查找设计中的矛盾和不符合要求的地方。曲线曲面分析包括曲线连续性和曲率分析、距离、截面曲率、反射、曲率、拐点曲线、高亮、环境和斑马线分析这些命令，本章主要对这些内容进行介绍。
196 7.1 曲线分析 曲线分析包括曲线连续性分析和曲线曲率梳分析，在曲线分析当中要经常用到这两种方法。 7.1.1 曲线连续性分析 单击【形状分析】工具栏上的【连接检查器分析】按钮，系统弹出如图7-1所示的【连接检查器】对话框。单击【元素】选项组中的【源】和【目标】文本框，从绘图区中选择分析元素。从【类型】选项组中选择分析类型，分别是【曲线-曲线连接】、【曲面-曲面连接】、【曲面-曲线连接】、【边界】、【投影】。在【快速】选项卡中设置简单分析条件，分别是G0、G1、G2、G3、【交叠缺陷】，在其后的微调框中输入分析的最小数值。 图7-1 【连接检查器】对话框 单击【显示】选项组中的【有限色标】按钮，系统弹出如图7-2所示的【连接检查器分析】对话框。单击【完整色标】按钮，系统弹出如图7-3所示的【连接检查器分析】对话框。 按下【梳】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-4所示。按下【包络】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-5所示。在【连接】选项组中【最小间隔】和【最大间隔】微调框中输入分析的范围。在【信息】选项组中设置显示内容，分别是【最大值】、【最小值】、【G1模式下的相切】、【G2模式下的凹面】。在【离散化】选项组中设置显示离散程度，分别是【轻度离散化】、【粗糙离散化】、【中度离散化】、【精细离散化】。在【最大偏差】选项组中显示G0、G1、G2、G3模式下的最大偏差值。