4．1 成比例线段
4．1．2 比例的基本性质
【学习目标】
1、（理解）能熟记比例的基本性质．
2、（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
【学习重点】比例的基本性质及其应用.
【学习过程】
一、知识链接：
1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。
（2）已知2：3＝4：x，则x=。
2、上节课学习了两条线段的比，成比例线段
（1）比例线段及其相关概念
“成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做。
（2）“成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
线段的比是指条线段的比的关系，成比例线段是指条线段之间的关系。
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a:b和b:a相等吗？请举例说明。
成比例线段也有顺序性，如能说成是b、a、c、d成比例吗？请举例说明。
二、预习交流：
（1）比例的基本性质是：。
请写出推理过程：
∵，在两边同乘以bd得， =
∴=
（2）合比性质:如果，那么
请写出推理过程：
∵，在两边同时加上1得， +=+ .
两边分别通分得：
思考：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”．
（3）等比性质：
猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）
等比性质：如果（），那么＝．思考：等比性质中，为什么要这个条件？
三、巩固练习：
1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为
2.5米，那么，该建筑的高是多少米？
2．若则
3．若，则
四、本课小结：
1．比例的基本性质：a:b=c:d；
2. 合比性质：如果，那么；
3. 等比性质：如果（），
初中数学几何最值问题 典型例题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例
二、典型题型
1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若 ∠AOB=45°，OP=PMN的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD是等腰直角三角形． 则CD OC=6． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
专题四线段和的最小值问题 纵观贵阳5年中考，2014年和年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题．设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大． 预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度． ,中考重难点突破) 线段的最小值 【经典导例】 【例】(六盘水中考)(1)观察发现 如图①，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求作的点P，线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．
如图②，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP ＋PE 的值最小，做法如下： 作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求作的点P ，故BP ＋PE 的最小值为________． (2)实践运用 如图③，已知⊙O 的直径CD 为2，︵AC 的度数为60°，点B 是︵AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP ＋AP 的值最小，则BP ＋AP 的最小值为________． (3)拓展延伸 如图④，点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB ，BC 上作出点M ，点N ，使PM ＋PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【解析】(1)利用作法得到CE 的长为BP ＋PE 的最小值；由AB ＝2，点E 是AB 的中点，根据等边三角形的 性质得到CE ⊥AB ，∠BCE ＝21 ∠BCA ＝30°，BE ＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE 的长度．C E 的长为BP ＋PE 的最小值．∵在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，∴CE ⊥AB ，∠BCE ＝21 ∠BCA ＝30°，BE ＝1，∴CE ＝BE ＝.故答案为；(2)过B 点作弦BE ⊥CD ，连接AE 交CD 于P 点，连接OB ，O E ，OA ，PB ，根据垂径定得到CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP ＋AP 的最小值．
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
24.2.1《成比例线段》教学案 一、课时学习目标： 1、了解比例线段的概念。知道与“线段的比”的区别与联系。 2、了解比例的基本性质，会进行简单的变形。 二、课前复习导学： 1、什么是相似图形？ 2、问：这两张图形有什么联系？ 它们是 图形，它们 的形状 ， 不相同，是相似形。 为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。 三、课堂学习研讨 1、由上面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ' '＝________， 这样 B A AB ' '与 C B BC ' '之间有关系_______________． 2、概括：像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如 d c b a =（或a ∶b ＝c ∶ d ），那么，这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 3、问题1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35． 解：（1）∵ =b a ＝ ， =d c ＝ ， ∴b a d c ∴线段a,b,c, d 成比例线段。 （2）∵=b a ＝ ， =d c ＝ ， ∴ b a d c ∴线段a,b,c, d 成比例线段。 图24.2.1
4、练习：判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4． 5、新结论： 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果 d c b a =，那么a d ＝bc ． 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么 d c b a = ． 以上结论称为比例的基本性质． 6、思考：请试着证明这两个结论。这两个命题间有什么关系？ 7、练习：（1）、如果 c b b a =，那么b 叫做a 、 c 的比例中项，也可以写成2b = 。 （2）、已知：线段a 、b 、c 满足关系式c b b a = ，且b ＝4，那么ac ＝______． 8、问题2 证明：（1）如果 d c b a =，那么 d d c b b a +=+； （2） 如果 d c b a =，那么 d c c b a a -= -． 证明（1） （2） 四、课堂达标练习 1、已知 2 3=b a ，那么 b b a += 、 b a a -= 。 2、在比例尺为1：8000的校地图上，矩形运动场的图上尺寸是cm cm 21?，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 。 3、 在比例尺不同的城市两张地图中，量得A 、B 、C 三地的图上距离，第一张地图中量 AB=3.6cm ，AC=3cm ，在第二张地图上量得AB=6cm ，那么第二张地图中量得AC 为多少？ 五、小结与作业： P 51习题24.2第2，3题。 教学反思：
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题： 例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】 A1B C． 55 D． 5 2 例2.在锐角三角形ABC中，BC=2 4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN 的最小值是▲ 。 例3.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm π，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲ cm。
练习题： 1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC= 23 BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是【 】 A 、6 (4)π+㎝ B 、5cm C 、㎝ D 、7cm 3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 _ ▲ ． 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题： 例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 ▲ ．
神木县第五中学导学案 年级九班级学科数学课题平行线分线段成比例第课时 编制人审核人使用时间第周 星期 使用者 课堂流程具体内容 学习目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习 惯。 学法指导 温故知新（1）什么是成比例线段？ （2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？ 学生回答，3 分钟 操作一、自主探究 先阅读教材P82－83页的内容，然后解答下列问题： 1．平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也． 2．平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段． 3．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的成比例． 二、合作探究 探究活动一：见教材P82页的内容． 归纳结论：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 问题：1.如何理解“对应线段”？ 2．平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 3．“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 探究活动二：见教材P83“做一做”的内容． 归纳结论：推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
流程 探究活动三：实践提高 例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC, （1）.如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？ （2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？ 例2、已知：如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝6，DE＝3，求EF的长。 课堂检测1、如图，已知l1∥l2∥l3，如果AB∶BC＝2∶3，DE＝4，则EF的长是多少？ 2如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC, （1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？（2）.如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm ，那么EC的长是多少？ 教后反思 A B C E F A B C D E
初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： m m B m A B m n m n n m n n n m
（ 4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线 m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短. 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1、点与圆在直线两侧： m n m n m n m m
2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧： 作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ． 2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4 ,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图3，在锐角三角形ABC 中 ， AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。 m m Q Q
新北师大版九年级数学上册 4.1.1成比例线段（1）导学案 【教学目标】 知识与技能：知道线段比的概念.会计算两条线段的比. 过程与方法 通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。 情感、态度与价值观 在获得知识的过程中培养学习的自信心． 【教学重难点】 教学重点：成比例线段、比例的性质 教学难点：会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 【导学过程】 【创设情景，引入新课】 、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。 【自主探究】 (1) 自主学习完成课本60--62页试一试与概括：填写下列空格： （1）、“比例线段”的概念： 。 已知四条线段a 、b 、c 、d,如果d c b a =（或a:b=c: d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的 ， （2）“比例线段”和“线段的比”的区别 “比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 结论： （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b 和b:a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性，如 d c b a =叫做线段a 、b 、c 、d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 【课堂探究】 例1如图一块矩形的绸布长AB=am ，宽AD=1m ，按照图中所示的方式将它剪裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同。即 那么 a 的值应当是多少？ 判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35． AB AD AD AE =
18.1比例线段 预习案 一、预习目标及范围 1、知道比例线段的概念，比例的基本性质，能进行证明和运用. 2、预习课本2-4页内容，找出比例线段的概念以及基本性质。 二、预习要点（这就知识点以填空的形式出现） 1、在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做，简称。 2、特别的，若，则称b为a、c的。 3、比例的基本性质：_________________________________________________。 三、预习检测 1、2和8两数的比例中项是______。 2、如果，那么 . 探究案 一、合作探究 1、实践 图18-1是两幅大小不同的北京市地图，在大地图上有A，B，C三个地点，在小地图中相对应的三个地点分别记作A’，B’，C’。 (1)请你用刻度尺量出图中的A与B、A’与B’之间的距离，B与C、B’ 与C’之间的距离，并把它们填在下面的横线处： AB= cm，A’B’= cm； BC= cm，B’C’= cm. (2)算一算,的值，你能发现它们在数量上有什么关系吗？
小结： 例1、线段m=1cm，n=2cm，p=3cm，q=6cm.请判断这四条线段成比例吗？并说明理由。 解： 练一练： （1）判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段： （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； （2）a＝2，b＝，d= （2）已知教室黑板的长 a = 3.2 m，宽b = 120 cm ，求a：b. 2、如果a，b,c,d四个数成比例，即，那么ad=bc吗？反过来，如果ad=bc，那么a，b，c，d 四个数成比例吗？与同伴交流？ 小结：比例的基本性质： 例2、已知：如图，△ABC中,D, E分别是AB,AC上的点,且,由此还可以得出哪些比例式?并对其中一个比例式简述成立的理由. 解：
线段最值问题 1、“对称+点点最值”如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是OC的中点，点M在BC边上，且BM=6，P为对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为 2、“对称+点点最值”如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、 F、 G、H分别在矩形ABCD 的边AD、AB、BC、CD上。若AF=2，DH=5，E、G分别为AD、BC上的动点， 求四边形EFGH周长的最小值 3、“双对称 +点点最值”如图，在边长为6的菱形 ABCD中， AC是其对角线，∠B=60°，点P在 CD上，CP=2，点M在AD上，点N在AC上，则△PMN周长的最小值为 4、“双对称+点点最值”如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，且OP=10，点M，N分别为OA，OB上的动点求△PMN周长的最小值 5、“平移+点点最值”如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E、F是对角线AC上的两点，且EF=1，点E在点F的左侧，求DE+BF的最小值。
6、“平移+对称+点点最值”(1)如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD=60°，点E 、F 是对角线AC 上的两点，且EF=1，点E 在点F 的左侧，求DE+DF 的最小值。 （2）如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值． （3）如图，sinC=3/5，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，BC=5，则△BDE 的周长的最小值为_____. （4）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________． 7、“三对称+点点最值”如图，矩形ABCD 的边AB=3，BC=4，点E 为CD 边上一点，且CE=1，点F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 边上的动点，则四边形EFGH 周长的最小值是多少？ A B C D E F M x
成比例线段（2）学案 【教学目标】 （一）知识目标：了解成比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 （二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。 （三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 【教学重点】让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。 【教学难点】运用比例的基本性质解决有关问题。 【教学过程】（一）温故知新 1.线段AB的长度为4厘米，线段CD的长度为0.6分米，则这两条线段之比
你有什么发现？ （3）已知，a 、b 、c 、d 四个数。 成立吗？为什么？和a ，那么a 如果d d c b b a d d c b b d c b -=-+=+= 探究活动2． （1） 如图，,,,AB BC CD AD HE EF FG HG 的值相等吗？AB BC CD AD HE EF FG HG ++++++的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？ （2）已知，a 、b 、c 、d 、e 、f 六个数。 成立吗？为什么？那么如果b a f d b e c f d b f e d c b =++++≠++==a ),0(a 比例的性质 。那么),0(等比性质：如果。那么,合比性质：如果b a n d b m c a n d b n m d c b a d d c b b a d c b a =++++++≠++===±=±= 注意事项： （1）合比性质有两种形式：如果d c b a = ，那么b b a +＝d d c +；如果d c b a =，那么 d d c b b a -=-，要灵活应用。 （2）等比性质中，分母b+d+……+n ≠0。 （三）知识应用
中考数学压轴题解题策略（8） 线段和差最值的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 图1 图2 图3 例题解析 例?如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△P AC的周长最小，求点P的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此P A＋PC最小，△P AC的周长也最小． 由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)． 图1-2 图1-3
例?如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程． 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ． 在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据 相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43，NH ＝1．所以M (83 , 0)，N (4, 1)． 图2-2 例? 如图3-1，抛物线248293 y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标． 图3-1 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|P A －PB |的最小值与最大值． 由抛物线的解析式可以得到A (0, 2)，B (3, 6)．设P (x , 0)． 绝对值|P A －PB |的最小值当然是0了，此时P A ＝PB ，点P 在AB 的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x 2＋22＝(x －3)2＋62，得416x =．此时P 41(,0)6 ． 在△P AB 中，根据两边之差小于第三边，那么|P A －PB |总是小于AB 了．如图3-3，当点
几何中线段和，差最值问题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） 二、典型题型 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =△PMN 的周长的最小值为 6 ． 2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = 4 7 ． P A +P B 最小， 需转化， 使点在线异侧 B l
3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为5． 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点 P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC 边 上可移动的最大距离为 2 ． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O
众兴中学初三数学导学案 课题图形的相似（一） 教学目的: (1)从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念． (2)了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 重点、难点 1．重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 2．难点：成比例线段概念． 一. 观察图片，体会相似图形 1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么你能对观察到的图片特点进行归纳吗 (课本图( 课本图 2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念． 什么是相似图形 3 、思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗 观察思考，小组讨论回答： 二、成比例线段概念
1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 2、成比例线段： 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如d c b a =（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=bc ． 三、例题讲解 例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的 是（ ） 例2（补充）一张桌面的长a=，宽b=，那么长与宽的比是多少 （1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少 （2）如果a=1250mm ，b=750mm ，那么长与宽的比是多少 小结：上面分别采用m 、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的b a 的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____． 例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:，量得北京到上海的图上距离大约为，求北京到上海的实际距离大约是多少km
1. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）若a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于 点D ，求线段QD 长度的最大值． 2．如图，二次函数y=ax 2-32 x+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛 物线上的一个动点，求△MBC 面积的最大值以及此时点M 的坐标． 3．如图，二次函数y=ax 2 +bx 的图象与一次函数y=x+2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是-1，点B 的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．
4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式。S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
For personal use only in study and research; not for commercial use 线段差的最大值与线段和的最小值问题 有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。 作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。 一两条线段差的最大值： （1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB （2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：1、作B关于直线L的对称点B。 B
2、连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB、PB。︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB （三角形任意两边之差小于第三边） 二、两条线段和的最小值问题： （1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。 （三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB （2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。 （两点之间线段最短） 三、中考考点： 08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。 提示：EF长不变。即求F N＋NM＋MF的最小值。利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
线段和（差）的最值问题 此类问题特点：1.两个定点，一个定点； 2. 线段 和最小值，线段差最大值 一、线段和最小值问题 若在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接A 、B 两点交直线m 于一点P ，该点P 即为所求点。（PA+PB=AB ） （2）同侧型：定点A 、B 在动点P 所在直线m 同侧：（方法：一找二作三连）： 一找：找定点A 、B ，动点P 及动点所在的直线m ；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P ，该点P 即为所求。（ PA+PB=PA’+PB=A’B ） Image Image 二、线段差最大值问题 若在一条直线m 上，求一点P ，使得最大 （1）同侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接 A 、 B 两点交直线 m 于一点P ，该点P 即为所求点。() （2）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：任选
一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。() 线段和最小值练习题 1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值为． 2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为 __________． 图1 图2 图3 图4 4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为． 5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是 7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC
（1）计算 1 2 与 1 2 的值，你有什么发现？ 23.1.2 平行线分线段成比例 一、教学目标 1．知识目标： ①了解平行线分线段成比例定理 ②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题 2．能力目标： ①掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾复习；第二环节：引入新课；第三环节： 做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。 1：复习提问 （1）什么叫比例线段？ 答：四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b =c ：d ，那么这四条线段 a 、b 、c 、d 叫做成 比例的线段，简称比例线段. （2）比例的基本性质？ 答：如果 a ：b =c ：d ，那么 ad =bc. 如果 ad =bc ，那么 a ：b =c ：d . 如果 a ：b =c ：d ，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d. 2：引入新课 做一做 AA BB A A B B 2 3 2 3 （ 2 ） 将 l 向 下 平 移 到 如 图 3-7 的 位 置 ， 直 线 m,n 与 l 的 交 点 分 别 为 A , B 2 2 1 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将 l 平移到其它位置呢？ 2 （3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 2
3：分组讨论，得出结论 平行线分线段成比例定理： 两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 4：想一想 （一）如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
例谈求初中数学中线段最值的方法 几何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下面结合一些实例谈谈解决此类问题的方法. 一、轨迹法 对于线段最小值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是一条直线，可以用“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或一段圆弧)，可以用“圆最值模型”解决. 圆最值模型如图1, P 是⊙O 外的一点，直线PO 分别交⊙O 于点,A B ，则PA 是点P 到⊙O 上的点的最短距离, PB 是点P 到⊙O 上的点的最长距离. 证明 如图1，在⊙O 是任取一点C (不为,A B )，连结,PC OC . ,P O P C O C P O P A O A P A O C <+=+=+Q , P A P C ∴<, 即PA 是点P 到⊙?O 上的点的最短距离. 如图2，在⊙O 是任取一点D (不为,A B ) ,连接,PD OD . ,PO OD PD PB PO OB PO OD +>=+=+Q , PB PD ∴>, 即PB 是点P 到⊙O 上的点的最长距离. 例1 .如图3，已知平行四边形OABC 的顶点,A C 分别在直线1x =和4x =上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为 .
解析 如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平行四边形OABC ，所以OA 和BC 平行且相等，可得AOE ?和CBF ?全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最小，最小值为5. 例2 .如图4,Rt ABC ?中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ?内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为( ) (A) 32 (B) 2 (c) 解析 根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=?，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图 4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最小. 13,52 OP AB OC = ==Q ， 所以CP 的最小值为532OC OP -=-=, 选B. 二、构造法 对于线段最大值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找一个定点，当这三点共线时，线段最大. 例3 如图5，平面直角坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第一象限角平分线上滑动，点C 在第一象限，求OC 的最大值.