习 题
4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。
解：由题3-10的结果
22121111)(l g m l g m m k k +++
=，2
221l g
m k -=，2212l g m k -
=，2
2222l g
m k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M
???
???=m m M 00；??
??
??????-
-
=l mg l
mg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得
0322
=?????
???
?
?--
-
-=mp l mg
l mg l
mg
mp l
mg B 0242
2
2224
2
=+-∴l g m p l g m p m l g p )
22(1-=∴ ，l
g
p )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列
????
?
?
?
???-=l mg mp
l mg adjB 2
分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为
??????-=112)
1(A
??
????+=112)2(A
题4-1图
4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力
2111,k k ，由平衡条件得到，
222111a k b k k +=， a k k 221-=
设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为
??
?
???=???????????
?--++?????????????
?00003122222
2122
1x a k a k a k a k b k x m a m θθ
由频率方程02=-M K p ，得
031
2
22222
212221=----+p m a k a
k a k p a m a k b k
4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和
k 1=k 2=k 时系统的固有频率。
解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，
l l k l l k I 4
34343432
11111θθθ+-=
2
2434343432
2211122l l k l l k l l k I θθθθ--= 整理得到，
016
91692
2112111=-+θθθl k l k I 题4-3图
题4-2图
0)4
169(16922
22112122=++-θθθl k l k l k I
则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，
???????
???+--=221212121
2
4116916
9169169k l k l k l k l k l K ，????
?
?
?????
?+===-222
2222
1
22144491641l k l k l k l k l k adj K K K ? 系统的质量矩阵为?????????
?=????
??=2
22
1
21
4870
310
0l m l m I I M 由频率方程02=-M K p ，并代入已知条件得，
048
7161316
91693
1
1692
2222
222=---
-p ml kl kl kl p ml k l 整理得到032481311222
2
4
=+-m
k m k p p ,求得m k p 6505.01=，m k p 6145.22=。
用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令0,121==θθ，分别由两杆的受力图，列平衡方程为
212
11116
943l k l k k =???
??=；2121169l k k -=
同理，令0,121==θθ得到
2122212
222169416
92l k l k l k l k k +=+???
??=
21211216
9
l k k k -
==
∴ ????
??????+--
=2
221212
12
14116916
9
16
916
9l k l k l k l k l k k
4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R ，绕中心的转动惯量为2mR 2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。
解：如图选x 1，x 2，x 3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1321===x x x ，画出受力图，并施加物体312111,,k k k ，由平衡条件得到，
k k =11， 021=k ，kR k -=31
设0,1312===x x x ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，
12k = 0， k k =22，kR k =32
设0,1213===x x x ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，
kR k -=13，kR k =23，2332kR k =
则刚度矩阵和质量矩阵分别得，
??????????--=2200kR kR kR kR k kR k K ，????
??????=2
2000000
mR m m M 由频率方程02=-M K p ，得
022002
222
2
=-----p mR kR kR
kR
kR mp k kR mp k
展开为0)2()(22222=--R k mp p mp k m ，解出频率为
01=p ，m
k
p =
2，m
k p 23= 由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，
????
??????-------=)()22)(()22)((2222222222222)
1(mp k kR p mR kR mp k R k R k p mR kR mp k adj B 并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为
题4-4图
??
???
???????---=R R 101111111A
4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。令m 1=m 2=m 3=m 及k 1=k 2=k 。试用微
小的角1θ、2θ和3θ为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。
解：如图选321,,θθθ为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵K 。
设0,1321===θθθ，画出受力图，并施加物
体于312111,,k k k ，由平衡条件得到，
mgl kh k +=211， 221kh k -=，031=k
设0,1312===θθθ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，
212kh k -=， mgl kh k +=2222，232kh k -=
设0,1213===θθθ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，
013=k ，223kh k -=，mgl
kh k +=233题4-5图
则刚度矩阵和质量矩阵分别得，
????????
?
?+--+--+=mgl kh kh kh mgl kh kh kh mgl kh 22
2
22
2
2020
K ，????
????
??=2220
000
00ml ml ml M 特征矩阵：
??????????-+---+---+=2222222222222 0 2 0
l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh B
由频率方程02=-M K p ，得=B 0，
00
202
222
2
2
2222
2
22=-+---+---+p ml mgl kh kh kh p ml mgl kh kh kh p ml mgl kh
展开为，
()()()()[]
()()
()(
)()()[]()()()0
3 2 2
22
2
22
22
2
22
22
2222
2222
22
2
22
22
22
2
22
2
22
=-+--+=--+-+-+=-+-----+-+-+l mp mgl kh l mp mgl l mp mgl kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh 0]4)(4))[((4222222222=+-+--h k p ml mgl kh p ml mgl p ml mgl
解出频率为l
g
p =
1，22
2ml kh l g p +
=，2
2
33ml kh l g p +
=。 由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，
????
??????-+--+-+=42222242222222)
1()())(2(h k p ml mgl kh kh h k p ml mgl kh p ml mgl kh adj B 并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为
??
??
?
?????--=111201111A
4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ ，本身质量不计，以微小的平动x 1、x 2和x 3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设m 1=m 2=m 3=m 。
解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法
求柔度矩阵。
首先，仅在质量1m 处施加竖直单位力
F=1，其余各质量块处不受力，则1m 产生的静
挠度是11δ；2m 处产生的静挠度是21δ；3m 处产生的静挠度是31δ。则由材料力学知识，得到
EJ l 7689311=δ，EJ l 76811321=δ，EJ
l 76873
31=δ
同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为
????
?
??
???=911711161171197683
EJ l ? 得到系统的位移方程为
??????????????????????????
????-??????????=
??
?
??
?????32
133********
91171116117119768x x x
m m m
EJ l x x x 由系统的特征矩阵I M L 21
p
-
=?，得频率方程0=L ，即 0
91171116117119=---λ
αα
α
αλααααλα题4-6图
其中231
,768p
EJ ml ==λα，展开频率方程为
0)1432)(2(22=+--ααλλαλ
解出αλαλαλ444.0,2,556.31321===。
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列???
?
?
?????-------=)16(7121)9(1177121)9)(16(222λαααλααααλαλαL adj ，分别代入特征
值，得到主振型为??
??
??????--=000.1000.1000.1414.1000.0414.1000.1000
.1000.1A 。
4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m 1=m 2=m 3=m 4=m 和k 1=k 2=k 3=k ，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
??
???????
???------=k k
k k k k k k k k 0
200200K ，?????
?
??????=m m m m 000000000000M 由频率方程02=-M K p ，得
00
2002002
2
2
2
=----------mp k k
k mp k k
k mp k k
k mp k
因此可得到频率方程 ()2
6
4
43222361040p p m
kp m k p m k m -+-=
解出
210 p =,()
2
2 22
k p m =-， 232k p m =， 2
4(22)k p m
=+题4-7图
解出频率为01=p ，m k
p )
22(2-=，m k p 23=。m
k p )22(4+= 由特征矩阵M K B 2p -=,22
2200200200k p m k k k p m k B k k p m k k k p m ??
--??---??=??---??--?? 特征矩阵的伴随矩阵的第一列，
??????
?
???????----------=3
223
22222222)
1()
())(2()()2())(2(k mp k k k mp k mp k k mp k k mp k k mp k mp k adj B 322426332242
3223653k k p m kp m p m k k p m kp m k k p m k ??
-+- ?-+ ? ?- ? ??? 将10p = 代入，即得 33(1)
33k k
k k ?? ? ?= ? ? ?
??
A
归一化 得(1)1111?? ?
?= ? ???A
将
(222k p m
=
代入，得(
33(2)
33 1 (1 k k k k ??- ?- ?= ? ?- ? ???
A 归一化
得(2) 1 1(1 1-??
? ?= ?-- ? ???A 将
232k p m
=
代入，得 (3)
k k k k ?? ?- ?= ?- ???A 归一化 得(3)
111 1?? ?- ?= ?- ???
A
将4p =
(
(4)
1 (1 k k k k -?? ?+ ?= ?-+ ? ?
??
A 归一化
得(4)
1 1 (1 1-?? ?
+ ?= ?-+ ?
???A
得系统的主振型矩阵为
????
?
????
???----+----=11112111212112111111
A 各阶主振型如下图所示：
4-8 题4-8图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设m 1=m 2=m 3=m ，
h 1=h 2=h 3=h ，EJ 1=3EJ ，EJ 2=2EJ ，EJ 3=EJ 。用微小的水平平动x 1、x 2和x 3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等
效刚度为312l
EJ
k =，由此可将题4-11图等效为(a)图，其中
3111122h EJ k ?
=，322
2122h EJ k ?=，3
3
33122h EJ k ?= 广义坐标如图（a ）示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。
即，对图（a ）中的1m 施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为1
1
k ，第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为，
1111k =
δ，1211k =δ，1
311
k =
δ题4-8图
同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为????
???
???=11525522221443
EJ h ? 系统的质量矩阵为??
??
?
?????=m m m 000000M 得到系统的位移方程为
????
??????????????????????
????-??????????=
??
?
??
?????32133210
00000
1152552222144x x x m m m
EJ h x x x 由系统的特征矩阵I M L 2
1
p -
=?，得频率方程0=L ，即 01152552222=---λ
αα
α
αλααααλα
其中231
,144p
EJ mh ==λα，展开频率方程为
03654183223=-+-αλααλλ
解出αλαλαλ954.0,62.2,43.14321===。 解出固有频率为31979
.9mh EJ p =3207.55mh EJ p =3
3
151mh EJ
p = 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列???
?
?
?????-------=)5(210)11(210251)11)(5(222λαααλααααλαλαL adj ，分别代入特征
值，得到主振型为??
??
??????--=1220.0037.1929.3645.0377.1295.2000.1000
.1000.1A 。 主质量振型为??
??
??????==m m m
T P 4303.10009243.30006508.21MA A M 正则振型的第i 列为i i
i N M A A 1=
,由此得到正则振型振型为
????
??????---=1017.05278.08432.05390.06848.04927.08361.05049.02149.01m N A 柔度矩阵还可以这样解出：
12310F F F ===，时：
3111124h EJ δ=
，3112124h EJ δ=，3
1131
24h EJ δ= 2131,0F F F ===时：
331222122424h h EJ EJ δ=+，33
122312
2424h h EJ EJ δ=+
31210F F ===，F 时：
3131124h EJ δ=，331232122424h h EJ EJ δ=+，233
31233123
242424h h h EJ EJ EJ δ=++ 31131
1311242424h EJ h EJ h EJ ??
?
??=?????? 311331212
33
12
122424242424h EJ h h EJ EJ h h EJ EJ ++ 3
11331212233312123242424242424h EJ h h EJ EJ h h h EJ EJ EJ ????+????++??
4-9 在题4-9图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m 1=m 2=m 3=m ，
k 1=k 2=k 3=k 4=k 5=k 6=k ，试求系统的固有频率及振型矩阵。
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
??????????=m m m 000000M ，????
?
??
???------=k k
k
k k k k k k
333K 由频率方程02=-M K p ，得
题4-9图
03332
2
2
=---------mp k k
k
k mp k k k k mp k
解出频率为
m k p =
1，m k p 22=，m
k p 23= 由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，
????
?
?????-+-+--=)3()3()3(2222222)
1(mp k k k mp k k k k mp k adj B 将m
k
p =
1代入得系统的第一阶主振型为 ()T
111)1(=A
)2(A 满足如下关系：
0)()()1(=2M A A T ，0)()2(2
2=-A M K p
展开以上二式得，0)2(3)2(2
)2(1=++A A A 。取0)
2(2=A ，1)2(1-=A ，可得到1)2(3=A 。即有 ()T
101)2(-=A
)3(A 满足如下关系：
0)()3()1(=M A A T ，0)()3()2(=M A A T 0)()3(2
3
=-A M K p 展开以上二式得，0)3(3)3(2
)3(1=++A A A ，0)
3(3)3(1=+-A A ，联立得)3(3)3(1A A =。取1)3(1=A ，1)3(3=A ，可得到2)
3(2-=A 。即得
()T
121)3(-=A
主振型矩阵为
??
??
?
?????--=111201111A
4-10 试计算题4-5的系统对初始条件[]T 000αθ=和[]T 0000=θ 的响应。
解：在习题4-5中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
??
???
?????--=111201111A ，????
?????
?=2220
00000
ml ml ml M 主质量振型为
??
??
??????==6000200032ml T P MA A M 正则振型的第i 列为)()
(1i i
i N M A A =
,由此得到正则振型振型为
???
?
?
???
?
?--=132202
132
612ml N A 初始条件为
0)0(θθM A T N N =?
???
?
?????-=
20262
αml ，0)0(θθ M A T N N == 0 正则坐标的响应为t p l m N 11cos 3αθ=
，02=N θ，t p l m N 33cos 3
2αθ-= 由+=1)1(N N
θθA +2)2(N N θA 3)
3(N N θA ，展开得到 t p t p 31321cos 1213cos 1113????
?
?????--+???
???????=??????????ααθθθ
其中l
g
p =
1，22
2ml kh l g p +=，2
2
33ml
kh l g p +=。
4-11 试计算题4-7的系统对初始条件[]T 00000=x 和 []T 000v v x
= 的响应。
题4-5图
题4-7图
解：在习题4-7中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
()
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2341
1
1 1
1 11 111
(1(11
1 1
1p A A A A A --??
??
-??==??----+??
????
?????????
???----+----=11112111212112111111A ，????
?
?
??????=m m m m 000000000000M 主质量振型为?
???????????-==657.13000
0000.40000414.00000000
.4m T P MA A M 正则振型的第i 列为)()
(1i i
i N M A A =
,由此得到正则振型振型为
???
??
?
??????------=2706.05000.06533.05000.06533.05000.02706.05000.06533.05000.02706.05000.02706.05000.06573.05000.01m N A
正则坐标初始条件为
00.50000.50000.50000.50001
000000.65330.27060.2706
0.6533010000(0)0.50000.50000.50000.50000
010000.27060.65330.65330.2706000100T
N N x A Mx ????????
???????--??
?????
===???????
--?
???????
--???????
?
00.50000.50000.50000.50001
00010.65330.27060.2706
0.6533010000(0)0.50000.50000.50000.50000
010010.27060.65330.6533
0.270600010T
N N v x A Mx m v ????????
????????--?
??
?????===??????
??--?
???????
--????????
0)0(M x A x T N N == 0，0)0(x M A x T N N == ()T
v v
m 00 正则坐标的响应为vt m x N =1，02=N x ，t p p m
v x N 33
3sin =
，04=N x 其中频率为m
k
p 23=
。
第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)
习 题 4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。 解：由题3-10的结果 22121111)(l g m l g m m k k +++ =，2 221l g m k -=，2212l g m k - =，2 2222l g m k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M ??? ???=m m M 00；?? ?? ??????- - =l mg l mg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得 0322 =????? ??? ? ?-- - -=mp l mg l mg l mg mp l mg B 0242 2 2224 2 =+-∴l g m p l g m p m l g p ) 22(1-=∴ ，l g p )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ???? ? ? ?? ??-=l mg mp l mg adjB 2 分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为 ??????-=112) 1(A ?? ????+=112)2(A 题4-1图
4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。 解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力 2111,k k ，由平衡条件得到， 222111a k b k k +=， a k k 221-= 设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为 ?? ? ???=??????????? ?--++????????????? ?00003122222 2122 1x a k a k a k a k b k x m a m θθ 由频率方程02=-M K p ，得 031 2 22222 212221=----+p m a k a k a k p a m a k b k 4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和 k 1=k 2=k 时系统的固有频率。 解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到， l l k l l k I 4 34343432 11111θθθ+-= 2 2434343432 2211122l l k l l k l l k I θθθθ--= 题4-3图 题4-2图
第3次作业题： 1、如图所示起重机小车，其质量为m 1=2220kg,在质心A 处用绳悬挂一重物B ，其质量为m 2=2040kg 。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m 。设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B 以匀速v 0=1m/s 碰上缓冲器后，求小车和重物的运动。 2、两个质量块m 1和m 2用一弹簧k 相连，m 1的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成а角的光滑斜面上，如习题下图所示。若t=0时突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t 两质量块的位置。 答案： α ωsin ]) (cos 2)([21222 221221g m m k t m t m m k m x +-++= αωsin ]) (cos 2)([21222 221222g m m k t m t m m k m x ++++= 3．如图，已知m 2＝2×m 1=m ，k 3=2k 1=2k 2=2k ，x 10=1.2,x 20=10x ＝20x ＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。 答案：利用程序，易得 固有频率： ωn 1=3.162277rad/s ，ωn 2=5 rad/s 主振型： m 1 m 2 k 3 k 2 k 1
系统相应： t x 5cos 8.03.1622777t cos 4.01+= t x 5cos 4.03.1622777t cos 4.02-= 4．已知:?? ? ???=11009][m ,[c ]= ??????--11.01.01,][k =??????--905050110,)}({t f =? ?? ???21,激振力频率 ω=3rad/s,试求系统的稳态响应。 答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。 第四章 多自由度系统振动 §4-1 多自由度系统运动方程的建立 (引言：问题的提出。)工程中的机械振动问题，有一些可以简化成一个或两个自由度系统的振动问题，因此可以用前面几章中介绍的方法进行分析计算。但是也有很多问题不能采用这种过于简化的力学模型来进行分析。一般来说，各种机器及其零部件的质量和刚度都具有分布的性质，因此理论上都是无限多自由度系统，即为弹性体。但由于机器的结构比较复杂，若都按无限多自由度来处理，在数学上有很大的，甚至目前还无法解决的困难。因此，只好将系统的结构用一些离散的结构来理想化。这样就把弹性体变成数目有限个的离散单元组成的有限多自由度系统。 如前所述，振动系统有多少个自由度就有多少个固有频率和主振型，也就有多少阶主振动，因此弹性体就有无穷多阶主振动。但有意