五年级奥数循环小数计算学生
版
1.17的“秘密” 10.1428577??=,20.2857147??=,30.4285717??=,…, 60.8571427
??= 2.推导以下算式
⑴10.19=
；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999
=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000
-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110
-== 以0.1234为例,推导1234126110.123499004950
-==． 设0.1234A =,将等式两边都乘以100,得：10012.34A =；
再将原等式两边都乘以10000,得：100001234.34A =,
两式相减得：10000100123412A A -=-,所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论
纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
知识点拨
教学目标
循环小数的计算
分母 n 个9,其中n 等于循环节所含
的数字个数
按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母,其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990
ab =?=； 0.990abc =,……
模块一、循环小数的认识 【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点,能得到的最小的循环小数是_______(注：
公元2007年10月24日北京时间18时05分,我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空,编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998
【例 2】 真分数7
a 化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么a 是多少?
【巩固】 真分数7
a 化成循环小数之后,从小数点后第1位起若干位数字之和是9039,则a 是多少？
【巩固】 真分数7
a 化成循环小数之后,小数点后第2009位数字为7,则a 是多少？
【巩固】 （学而思杯4年级第6题）67÷所得的小数,小数点后的第2009位数字
是 ．
例题精讲
【例 3】写出下面等式右边空白处的数,使等式能够成立：
0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
【例 4】下面有四个算式：
①0.6+0.
.... 1330.733;
=
②0.625=5
8
；
③
5
14
+
3
2
=
35
142
+
+
=
8
16
=
1
2
；
④33
7
×4
1
5
=14
2
5
；
其中正确的算式是（）.
（A）①和②(B) ②和④(C) ②和③(D) ①和④
【例 5】在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大,请写出新的循环小数。
【例 6】将1
2
化成小数等于0.5,是个有限小数；将
1
11
化成小数等于0.090…,简记为0.09,
是纯循环小数；将1
6
化成小数等于0.1666……,简记为0.16,是混循环小数。现在
将2004个分数1
2
,
1
3
,
1
4
,…,
1
2005
化成小数,问：其中纯循环小数有多少个？
模块二、循环小数计算
【例 7】计算：0.30.030.003
--=（结果写成分数形式）【巩固】计算：0．3+0．3=_____(结果写成分数)。
【巩固】请将算式0.10.010.001
++的结果写成最简分数．【例 8】计算: 2.004 2.008
?（结果用最简分数表示）
【例 9】将
425
5.4250.6350.63
999
??
?=?
?
??
的积写成小数形式是____.
【例 10】计算：0.010.120.230.340.780.89
+++++
【巩固】计算（1）0.2910.1920.3750.526
-++（2）0.3300.186
?
【例 11】⑴0.540.36
+=
⑵
19 1.21.24
27
???
?+=
【巩固】⑴计算：0.160.1428570.1250.1
+++
⑵
19
1.2 1.24
27
?+=________．
【巩固】⑴
(11)
0.150.2180.3
111
??
+??
?
??
；⑵()
2.2340.9811
-÷(结果表示成循环小数)
【例 12】0.30.030.0032009
+++=÷（）。
【例 13】计算
2009200911
99900999909901
??
-?
?
??
(结果表示为循环小数)
【例 14】某学生将1.23乘以一个数a时,把1.23误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【例 15】计算：0.1+0.125+0.3+0.16,结果保留三位小数．
【例 16】将循环小数0.027与0.179672相乘,取近似值,要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一位小数是多少?
【例 17】有8个数,0.51,2
3
,
5
9
,0.51,
2413
,
4725
是其中6个,如果按从小到大的顺序排列时,第4
个数是0.51,那么按从大到小排列时,第4个数是哪一个数?
【例 18】2002
2009
和
1
287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
.. 0.081与
..
0.200836相乘,小数点后第2008位是。
【例 19】将循环小数
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.1 7的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19= ；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110 -== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950 -==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分 母，其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =，…… 模块一、循环小数的认识 例题精讲 知识点拨 教学目标 循环小数的计算
循环小数 五年级数学教案 课题五：循环小数（A） 教学内容 教科书第27～28页的例7～9和“做一做”中的题目，练习七的第1～3题．教学目的 1．使学生初步理解循环小数的概念，会用近似值表示除法中是循环小数的商． 2．使学生知道有限小数和无限小数的区别． 教学过程 一、新课 1．教学例7． 教师出示例7，让学生独立计算，提出下列问题让学生思考： （1）这道题能不能除尽？ （2）商的小数部分和余数有什么规律和特点？ （3）这样的商如何表示？ 当学生发现商的小数部分总是不断地出现3，而且总也除不尽，教师引导学生思考第2个问题，使学生发现：因为余数总是重复出现1，所以商就重复出现3，总也除不尽．教师指出：这样的除法算出的商应该表示为（板书）：
10÷3＝3.33…… 2．教学例8． 教师出示例8，要求学生计算到商的第三位小数． 当学生算到商的第三位小数时，让学生停下来，看一看余数是多少？接着再除出两位小数，并提出下列问题供学生思考： （1）已经算出的商的最后两位小数和余数同它前面的两位小数和余数有什么关系？ （2）如果继续除下去，商会怎样？ （3）这样的商如何表示？ 让学生观察和比较计算的过程，引导学生发现余数重复出现3和8，继续除下去商就会重复出现2和7，总也除不尽．教师把商写出来： 58.6÷11＝5.32727…… 并说明2和7分别出现两次，如果继续除下去，会不断地重复出现，就可用省略号表示． 教师：例7和例8所得到的商是一种比较特殊的小数．（教师指着黑板上的板书）例7的商从小数部分第一位开始不断重复出现数3，写出3.33……．例8的商从小数部分的第二位开始不断地依次重复出现2和7，写成5.32727……．使大家看到，一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字（指着例7商中的数字3）或者几个数字（指着例8商中的数字2和7）依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数．
循环小数 例1：变换循环节 在下列循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.452415254 （2）4.7312415823 例2：巧组循环数 如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：5.81487581487，所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是（） 例3：妙猜循环位 算算3÷13的商，猜猜：
（1）小数点后面第2013位上的数字是几？ （2）小数点后2013个数字之和是多少？ 例4：循环数字和 在循环小数0.520483中，最少从小数点右面第几位开始到第几位止的数字之和等于2014？ 练习1：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能大。 （1）0.158425244 （2）0.79137925213
练习2：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.357275239 （2）0.4068058 练习3：在循环小数0.56253128中，小数点右面第100位上的数字是几？ 练习4：在循环小数6.358237419中，小数点右面第2013位上的数字是几？小数点后2013个数字之后是多少？ 练习5：在循环小数0.2076852中，小数点右面第2014位上的数字是几？小数点后2014个数字之后是多少？
练习6：如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：2.59496259496.所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是多少？ 练习7：如图，圆周上的十个数字按顺时针方向可以组成具有两位整数的循环小数，例如：81.92381923，所有这样的循环小数中最小的一个循环小数是多少？ 练习8：从小数0.49340184205最后一位开始划去任意个数字（注意：不能跳着划，也就是不出出现0.98这样的小数），构造一个循环节至少有两位数字的循环小数，例如0.4934018，请找出这样的小数中最
第8讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化酌方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数酌形式判断相应酌小数类型；注意利用圄期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43) 1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1 .0)1( 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7 .0 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1( ++++++ .32.021.0)5(;312.021.01 .0)4( +++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0 ++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1( ÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03 .0 ÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？
8．将算式12 111 110 19 1+ + + 的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将3 2.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应该是多少？ 10．真分数7 a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该 是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72, 944 , 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.13846536.6,3071.3,3351.0,84 .0 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小 数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12 , 3714 , 35 3 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1( ++++ .011021.0212.076.0)4(;96.035.021 .0.)3( ++++
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化 因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13， 117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。
循环小数与分数拆分 考试要求 （1）掌握循环小数化分数的基本方法与规律； （2）在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。 知识框架 【基本概念】 纯小数——整数部分是零的小数。 循环小数——从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。 循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。 混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。 纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。 【基本方法】 （1）纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。 （2）混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 重难点 重点：循环小数化分数的基本方法与规律； 难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。 例题精讲
一、分数拆分 【例1】 110=()()11--()1=()()() 111++ 【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． ()()()()()()111111110=--=++ 【例2】 如果 1112009A B =-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？ 【巩固】若 1112004a b =+，其中a 、b 都是四位数，且a小学奥数：循环小数计算.专项练习及答案解析
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.17的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19=&；1240.129933==&&；123410.123999333==&&；12340.12349999 =&&； ⑵121110.129090-==&；12312370.123900300-==&；123412311110.123490009000 -==&； ⑶ 1234126110.123499004950-==&&；123411370.123499901110 -==&& 以0.1234&&为例，推导1234126110.123499004950 -==&&． 设0.1234 A =&&，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =&&； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34 A =&&， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950 A -==． 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所 含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母， 其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =，…… 例题精讲 知识点拨 教学目标 循环小数的计算
课题：第三单元：小数除法—循环小数 雷霆五年级教学内容：教材P33～34例7、例8及练习八第4、5、6、7、9题。 教学目标： 知识与技能：理解“有限小数”和“无限小数”的意义。 过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。 情感、态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高其观察、分析、比较、判断、抽象的概括能力。 教学重点：通过笔算发现循环小数的规律，掌握循环小数的意义。 教学难点：能正确判断循环节数字，学会用简便记法表示循环小数。 教学方法：计算、观察、分析、比较、讨论。 教学准备：多媒体。 教学过程 一、创设情境 1．开课前教师先了解今天班上有没有过生日，如果没有就私下找位同学配合，为这位同学送祝福，齐唱生日歌，由此提出问题： 问：生日歌有几句歌词？为什么一句歌词可以唱这么久？（一句，因为它不断地重复。）问：生活中像歌词这样的重复现象还有哪些？（出示图片：四季，白昼，日历） 这种“依次不断重复”的情况我们可以称它为“循环”。（板书：循环） 2．初步感知循环小数。 出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。学生列式：400÷75。 让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现。 通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”；商的小数部分连续地重复出现“3”。 3．引出课题。像这样继续除下去，能除完吗？（可能永远也除不完。） 揭题：那怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点？这节课我们来研究这个问题，也是我们要认识的“新朋友”——循环小数。
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案） 一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导= =1234-126110.123499004950。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950 。
2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 三、小试牛刀 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。 【例3】(0.15+0.218)?0.3? 11111；(结果表示成循环小数)
五年级奥数循环小数计算学生 版 1.17的“秘密” 10.1428577??=,20.2857147??=,30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19= ；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999 =； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000 -==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110 -== 以0.1234为例,推导1234126110.123499004950 -==． 设0.1234A =,将等式两边都乘以100,得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000,得：100001234.34A =, 两式相减得：10000100123412A A -=-,所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 知识点拨 教学目标 循环小数的计算
分母 n 个9,其中n 等于循环节所含 的数字个数 按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母,其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =,…… 模块一、循环小数的认识 【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点,能得到的最小的循环小数是_______(注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分,我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空,编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998 【例 2】 真分数7 a 化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么a 是多少? 【巩固】 真分数7 a 化成循环小数之后,从小数点后第1位起若干位数字之和是9039,则a 是多少？ 【巩固】 真分数7 a 化成循环小数之后,小数点后第2009位数字为7,则a 是多少？ 【巩固】 （学而思杯4年级第6题）67÷所得的小数,小数点后的第2009位数字 是 ． 例题精讲
一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19 a 。 = =1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950 。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。 循环小数互化与错位相减技巧
2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。
人教版小学数学五年级上册循环小数练习卷（带解析） 1．5.67373…是（），循环节是（）；用简便记法写作（），读作（）。2．在，0.43，，，中， （1）无限小数有（）。 （2）有限小数有（）。 3．在8.5、9.6444、0.607、66.6、4.777…、1.453…这六个数中，循环小数有（），有限小数有（），无限小数有（）。 4．3.50202…是（）小数，用简便写法记作（），保留两位小数约是（）。 5．6÷11的商用循环小数简便记法表示是（），保留三位小数是（）。6．5÷12的商的简便计法是（），它是一个（）小数。 7．在小数0.256，，3.1415926...中，其中（）是有限小数，（） 是无限小数，（）是循环小数。 8．7÷12的商的简便计法是（），它是一个（）小数。 9．在、0.67、这三个数中，最大的是（），最小的是（）。 10．4÷11的商用循环小数的简便方法表示是（），精确到0.01是（）。11．2.58686.......用简便记法记作（），保留三位小数是（）。 12．在小数0.278，，3.1896357…中，其中（）是有限小数，（）是无限 小数，（）是循环小数。 13．在8.5，9.8444，0.309，77.7，5.33...，2694694 ...。这6个数中，循环小数（），有限小数是（）。 14．在，，，中，最大的数是（），最小的数是（）。 15．3÷11的商用循环小数的简便方法表示是（），精确到0.01是（）。16．2÷11的商用循环小数记作（），精确到0.01是（）。 17．2÷9的商用循环小数简记作（），保留两位小数是（）。 19．5÷11的商是（）小数，写作（），循环节是（），结果保留三位小数约是（）。 20．6÷11的商用循环小数表示时写作（），结果保留三位小数约是（）。21．3÷9的商用循环小数简记作（），保留两位小数是（）。 22．4÷9的商用循环小数表示时写作（），保留两位小数是（）。 23．9÷11的商是（）小数，保留一位小数，近似值是（）。 24．0.01356356......的循环节是（），可以简写成（），保留三位小数约是（）。 25．0.123123......的循环节是（），可以简写成（），保留三位小数约是（）。 26．把2÷3的商用循环小数表示是（），它的循环节是（）。 27．把5÷3的商用循环小数表示是（），它的循环节是（）。
循环小数补充练习题 姓名班级 1、填空。 (1)在 3.82，5.6，0.35，0.002，2.75，3.2727…中，是有限小数的是 （），是循环小数的数（）。（2）一个三位小数精确到0.01是2.70，这个小数最大是( )，最小是（）。一个两位小数精确到0.1是6.0这个数最大是（），最小是（）。 2、写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数） 0.3333…≈ 13.67373…≈8.534534…≈ 4.888…≈ 3、判断（对的在括号内画“√”错的画“×”） （1）1.4545…（保留一位小数）≈1.4（） （2）2.453453…的循环节是453。（） （3）循环小数都是无限小数。（） （4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。（） 4、计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商。 13÷11= 57÷32= 11.625÷9.3= 6.64÷3.3= 73÷ 3= 5÷ 8= 0.4÷9= 30.1÷33=
5、用简便记法表示下列循环小数 3.2525… = 17.0651651…= 1.066… = 0.333…= 6、解决问题。 （1）学校为开展足球比赛，第一次买37个足球，比第二次多买9个，两次一共花1852.5元。 平均每个足球多少元？ （2）有一批货物，计划每小时运22.5吨，7小时可以运完。实际5.5小时就完成了任务，实际每小时能多运多少吨？（得数保留两位小数） （3）敬老院有老奶奶10人，平均年龄80.5岁；有老爷爷12人，平均年龄73.5岁。敬老院老人的平均年龄是多少岁？（得数保留一位小数） 老师寄语：我自信，我会学，我努力，我最好。希望我们每一位孩子成为最好的自己，加油吧!
公式 1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b ) 2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 4. 等差数列公式 Sn = = a + 1 n = + 1 5. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2– ab + b2 ) 6. 立方差公式: a3– b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 ) 7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n2 8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1) 9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 = 10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)2 11. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1) = 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1 + 2 + 3 + …… + n = n(n+1)(n+2)
与因数相关的知识 1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。 2. 因数和：设 A＝2a×3b×5c 那么因数和＝（20+21+…+2a）×（30+31+…+3b）×（50+51+…+5c）3. 因数积：设A＝2a×3b×5c 那么因数积＝A因数个数/2(完全平方数除外) 4. 因数倒数和：设A＝2a×3b×5c 那么+ + = 循环小数 7：＝0.142857 ＝0.285714 ＝0.428571 ＝0.571428 ＝0.714285 ＝0.857142 13：＝0.076923 ＝0.153846 1 8 4 2 7 5
第3单元小数除法 第8课时循环小数 【教学内容】：教材P33～34例7、例8及练习八第4、5、6、7、9题。 【教学目标】： 知识与技能：理解“有限小数”和“无限小数”的意义。 过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。 情感、态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提 高其观察、分析、比较、判断、抽象和概括的能力。 【教学重、难点】 重点：通过笔算发现循环小数的规律，掌握循环小数的意义。 难点：能正确判断循环节数字，学会用简便记法表示循环小数。 【教学方法】：计算、观察、分析、比较、讨论。 【教学准备】：多媒体。 【教学过程】 一、创设情境 1．理解依次重复出现的意义。故事引入：今天老师给大家讲一个故事，从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事…… 问：学生这个故事能讲完吗？（不能，因为它不断地重复。） 这种“依次不断重复”的情况我们可以称它为“循环”。（板书：循环） 2．初步感知循环小数。 出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。学生列式：400÷75。 让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现。 通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”；商的小数部分连续地重复出现“3”。 3．引出课题。像这样继续除下去，能除完吗？（可能永远也除不完。） 揭题：那怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点？这节课我们来研究这个问题，也是我们要认识的“新朋友”——循环小数。 （板书课题：循环小数） 二、互动新授 1．认识循环小数。 引导学生思考：为什么商的小数部分总是重复出现“3”，它和每次出现的余数有什么关系？（当余数重复出现时，商就要重复出现。） 让学生猜一猜400÷75的商下一位是多少？并计算验证。 引导学生说出：400÷75的商可以用省略号来表示永远除不尽的商。 （板书：400÷75=5.333…） 2．出示第33页例8的两道计算题。让学生自主计算，并说出商的特点。 在第2小题：78.6÷11计算到商的第三位小数时，让学生先停一停，看一
五年级数学循环小数同步练习题 1、填空。 （1）一个小数，从小数部分的某一位起，或依次不断地出现，这样的小数叫做。 （2）在3.82，5.6，0.35，0.002，2.75，3.2727……中，，是有限小数的是（），是循环小数的数（）。 （3）8.375375……可以写作。 2、写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数） 0.3333……≈13.67373……≈ 8.534534……≈ 4.888……≈ 3、判断（对的在括号内画“√”错的画“×”） （1）1.4545……保留一位小数）≈1.4（） （2）2.453453…的循环节是435。（） （3）循环小数都是无限小数。（） （4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。（） 4、计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商 13÷11= 57÷32= 11.625÷9.3= 30.1÷33= 智能升级： 1、你会比较这些小数的大小吗？试试看！（发上来的时候，循环点怎么也弄不上了） 0.66○0.6 8.25○8.25 5.41○5.41 3.888○3.08 7.28○7.28 0.99○0.9999
2、用简便记法表示下列循环小数 3.2525……17.0651651…… 1.066……0.333…… 3、选择题。（把正确的答案的序号填入括号内） （1）2.235235……的循环节是（） ①2.235 ②2.35 ③235 ④235 （2）下面各数中，最大的一个数是（） ①3.81 ②3.81 ③3.81 ④3.8 （3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（）位 ①二位②三位③四位④五位 4、应用题 五年级三个班的同学们参加植树活动，共植树220棵树，一班植的棵数是二班的2倍，二班比三班多值20棵。三个班各植多少棵树？ 智力： 两个数的和是11.63，小强由于粗心，在计算时将一个加数的小数点向左移动了一位，结果和是5.87，原来的两个加数各是多少？
第二章循环小数与分数 知识要点 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 (1)1 2 ＝0.5， 3 25 (＝ 2 3 5 )＝0.12， 17 40 (＝ 3 17 25 ? )＝0.425； (2)1 3 ＝0.3， 5 7 ＝0.714285， 13 33 ＝0.39； (3)5 6 (＝ 5 23 ? )＝0.83， 67 175 (＝ 2 67 57 ? )＝0.38285714，101 360 (＝ 3 101 259 ?? )＝0.2805。 结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有 限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。如17 40 ，因为40＝23×5，含 有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。 (2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 (3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的 个数相同。如 67 175 ，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有 两位。 于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论： 1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； 2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； 3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 典例巧解 例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 5 324 21 31 250 23 78 100 117 3 850 点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
小学奥数教案---循环小数 一本讲学习目标 1、掌握循环小数化分数的法则，还要掌握该法则的推导方法——错位相减法； 2、会进行分数与循环小数的互化； 3、掌握分数与循环小数的混合计算 二概念解析 循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。 一、把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 二、分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 三例题讲解
纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 例把纯循环小数化分数： 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。 混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。 例把混循环小数化分数。 （2）先看小数部分0.353
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。 例1 计算下面各题： 解：先把循环小数化成分数后再计算。 例2 在计算一个正数乘以3.57的运算时，某同学误将3.57错写作3.57，结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是______． 解：设这个正数为x ，依题意，得 3.57 3.57 1.4x -=． 因为575523.57339090 -=+=， 所以上述方程可化为525733 1.490100 x x -=． 解得180x =． 所以正确的乘积结果应为 3223.5718018064490 ?=?=． 例3 计算下面各题。
小学数学人教版五年级上册3.4循环小数B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 小朋友们，经过一段时间的学习，你们一定进步不少吧，今天就让我们来检验一下！ 一、填空题 (共4题；共7分) 1. （2分）在横线上填上“>”“<”或“=”。 ________ 2.071 1.3333________ 0.75÷0.9________0.75 2.5×100________2.5÷0.01 2. （1分）在，，， 3.125四个数中，最小的是________，最大的是________。 3. （2分） (2019五下·镇康月考) 一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做________． 4. （2分） (2019五上·衡水期末) 还可以写作________，它的循环节是________． 二、判断题 (共4题；共8分) 5. （2分） (2019五上·衡水期末) 除法中除不尽时商一定是循环小数． 6. （2分）0.020020002…是一个循环小数。 7. （2分）判断对错． 0.535353是循环小数． 8. （2分）2.453453……的循环节是435 三、选择题 (共1题；共2分) 9. （2分）(2019·安顺) 下列各数是循环小数的是（） A . 0.151515
B . 0.1515…… C . 511512 四、计算题 (共1题；共20分) 10. （20分） (2019五上·云浮期中) 用竖式计算。 ①0.72×5 = ②2.4×0.8 = ③0.56×0.04 = ④19.4÷12≈（得数保留两位小数） ⑤400÷75 =（用循环小数表示结果） 五、解答题 (共2题；共10分) 11. （5分）下面哪些小数是循环小数？给它们画上圈。 12. （5分）写出下面的循环小数． （1） 8.777…写作： （2） 7.08989…写作：
小数除法—循环小数第 8 课时 教学内容：教材P33～34例7、例8及练习八第4、5、6、7、9题。 教学目标： 知识与技能：理解“有限小数”和“无限小数”的意义。 过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。 情感、态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高其观察、分析、比较、判断、抽象的概括能力。 教学重点：通过笔算发现循环小数的规律，掌握循环小数的意义。 教学难点：能正确判断循环节数字，学会用简便记法表示循环小数。 教学方法：计算、观察、分析、比较、讨论。 教学准备：多媒体。 教学过程 一、创设情境 1．理解依次重复出现的意义。故事引入：今天老师给大家讲一个故事，从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事…… 问：学生这个故事能讲完吗？（不能，因为它不断地重复。） 这种“依次不断重复”的情况我们可以称它为“循环”。（板书：循环） 2．初步感知循环小数。 出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。学生列式：400÷75。 让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现。 通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”；商的小数部分连续地重复出现“3”。 3．引出课题。像这样继续除下去，能除完吗？（可能永远也除不完。） 揭题：那怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点？这节课我们来研究这个问题，也是我们要认识的“新朋友”——循环小数。 （板书课题：循环小数） 二、互动新授