循环小数
五年级数学教案
课题五：循环小数（A）
教学内容
教科书第27～28页的例7～9和“做一做”中的题目，练习七的第1～3题．教学目的
1．使学生初步理解循环小数的概念，会用近似值表示除法中是循环小数的商．
2．使学生知道有限小数和无限小数的区别．
教学过程
一、新课
1．教学例7．
教师出示例7，让学生独立计算，提出下列问题让学生思考：
（1）这道题能不能除尽？
（2）商的小数部分和余数有什么规律和特点？
（3）这样的商如何表示？
当学生发现商的小数部分总是不断地出现3，而且总也除不尽，教师引导学生思考第2个问题，使学生发现：因为余数总是重复出现1，所以商就重复出现3，总也除不尽．教师指出：这样的除法算出的商应该表示为（板书）：
10÷3＝3.33……
2．教学例8．
教师出示例8，要求学生计算到商的第三位小数．
当学生算到商的第三位小数时，让学生停下来，看一看余数是多少？接着再除出两位小数，并提出下列问题供学生思考：
（1）已经算出的商的最后两位小数和余数同它前面的两位小数和余数有什么关系？
（2）如果继续除下去，商会怎样？
（3）这样的商如何表示？
让学生观察和比较计算的过程，引导学生发现余数重复出现3和8，继续除下去商就会重复出现2和7，总也除不尽．教师把商写出来：
58.6÷11＝5.32727……
并说明2和7分别出现两次，如果继续除下去，会不断地重复出现，就可用省略号表示．
教师：例7和例8所得到的商是一种比较特殊的小数．（教师指着黑板上的板书）例7的商从小数部分第一位开始不断重复出现数3，写出3.33……．例8的商从小数部分的第二位开始不断地依次重复出现2和7，写成5.32727……．使大家看到，一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字（指着例7商中的数字3）或者几个数字（指着例8商中的数字2和7）依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数．
教师让学生默读教科书第118页下面循环小数的概念，并让学生思考循环小数的特点是什么？教师引导学生总结出循环小数的特点：
（1）重复出现的数字是接连依次不断的；
（2）小数的位数有无限多；
（3）用省略号来表示无限多的小数位数．
教师出示题目：1.332÷4，这道题的商是不是循环小数？为什么？
（1.332÷4＝0.333，这个商中虽然小数部分有重复出现的数字3，但是小数位数是有限的，所以它不是循环小数．）
教师：循环小数还有比较简便的表示法，板书：
3.33……写成3.
5.32727……写作5.3
其中“”是“33……”的简便表示法，“”是“2727……”的简便表示法．教师：今后做小数除法时，如果遇到除不尽的情况，可以根据要求取商的近似值，也可以用循环小数表示除得的商．在一般情况下，遇到除不尽的情况通常保留一位、两位或三位小数．商是循环小数的也可以根据需要取它的近似值．例如，例8的商，可以保留两位小数，也可以保留三位小数．板书：保留两位小数，商的近似值为5.33
保留三位小数，商的近似值为5.327
3．做第28页例9前“做一做”中的题目．
除了题目中的要求以外，还要将每个循环小数分别取保留两位和三位小数的近似值．做完后，集体订正．
4．教学例9．
教师出示例9，让学生审题后独立计算，集体订正时，让学生说一说循环小数取近似值的方法．
5．做第28页中间“做一做”中的题目．
让学生独立做题．集体订正时，让学生说一说循环小数取近似值的方法．6．教学有限小数和无限小数的概念．
教师让学生做下列题目：
（1）15÷16（2）1.5÷7
对于第（2）题要尽可能地多除几位小数．
做完后，让学生说一说两道题所得的商有什么特点？（第（1）题能除得尽，第（2）题除不尽，商是循环小数．）
教师：从第（1）、（2）题可以看出：两个数相除，如果不能得到整数商，会有两种情况．
第一种情况：除到小数部分的某一位时，不再有余数，商里的小数部分的位数是有限的，也就是被除数能够被除数除尽．例如，第（1）题的商就是属于这种情况．
第二种情况：除到小数部分后，余数重复出现，商也不断重复出现，商里小数部分的位数是无限的．例如，第（2）题的商就是属于这种情况．
小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数．循环小数是无限小数．
7．做第29页最上面的“做一做”中的题目．
教师让学生计算后，判断哪道题的商是有限小数或无限小数．
●二、巩固练习
1．做练习七的第1题．
教师让学生独立计算后，再进行判断．集体订正时，教师要求学生说出怎样根据循环小数的概念来判断哪些商是循环小数．
2．做练习七的第2题．
让学生直接将得数写在题后．做完后，集体订正．
3．做练习七的第3题中第一行3道小题．
让学生独立做题，做完后，集体订正．
●三、布置作业
教师说明这节课的概念多，复习时先要阅读第27和第28页上的内容，然后做练习七第3题中第二行的3道小题．
课题五：循环小数（B）
教学内容
教科书第110～112页例7、例8、例9和相应的“做一做”及练习二十六的第1～3题．
教学目的
1．使学生初步理解循环小数、无限小数、有限小数的意义，能正确地区分有限小数和无限小数．会运用近似值或循环小数表示除不尽的商．
2．培养学生的分类能力、分析能力和归纳概括能力．
教具准备
视频展示台．
教学过程
●一、复习准备
计算下面各题．
3.6÷311÷20.75÷2.510÷0.2
9.3÷0.9316÷321÷125 2.2÷11
●二、导入新课
上面的题，同学们做得又快又对，下面两道题，你也能用竖式又对又快地求出它们的商吗？
10÷3＝58.6÷11＝
学生计算如下图所示：
3.3 3
5.3 2 7
3）1 0 11）5 8.6 9
5 5
1 0 3 6
9
3 3
1 0 3 0
9
2 2
1 8 0
7 7
3
当学生用竖式计算后求不出它们的商时，老师问学生“遇到了什么困难”，学生反映“除不尽”，教师指出：除不尽时，后面的商该怎样写，就是我们这节课要学习的新内容──循环小数．（板书课题）
三、教学新课
1．教学循环小数的意义．
指名一位学生把10÷3的演算过程展示在视频展示台上，提问：从你们刚才计算10÷3的竖式看，每次除得的余数是多少？（都是1）每次除得的商都是几？（都是3）有没有必要再除下去？为什么？
学生讨论后回答：没有必要，因为再除下去余数1要重复出现，这样商“3”也要重复出现，没有穷尽．
教师：这样我们就可以把商写成10÷3＝3.333……（教师板书）你知道后面的省略号表示什么意思？
引导学生说出省略号表示后面的数一直是“3”，没有穷尽．
再把学生刚才演算的58.6÷11的竖式展示在视频展示台上，请学生讨论“这道题如果继续除下去，商会怎样？”学生讨论出“如果继续除下去，商会重复出现27”时，教师问学生“你怎么知道它会重复出现27”．直至学生讨论得出：因为用30除以11时，商2，而商27后又出现30，所以断定又要商2，并且使27重复不断地出现．
教师：这时我们怎样写58.6÷11的商呢？
引导学生写出58.6÷11＝5.3272727……
教师：10÷3和58.6÷11这两个算式的商有什么共同的特点？
引导学生归纳出：这两道算式的商都是从小数的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现．
教师指出：像这样的小数叫做循环小数．同时把循环小数的定义板书在黑板上．并引导学生读两遍后，要求学生用自己的话说一说循环小数的意义，加深学生对循环小数的理解．
教师：3.333……依次不断重复的是哪个数字呢？（3）所以我们把
3.333……用简便方法写作3.；5.3272727……依次不断重复的又是哪些数字呢？（27），仿照3.的写法，你能写出5.3272727……的简便写法吗？
指导学生写出：5.3272727……写作5.3．
教师：请同学们把下面各数中的循环小数用括号括起来，会写简便写法的同学把它写成简便写法．
1.5353……0.19292…… 5.314162……8.4666……
2．教学运用近似值或循环小数表示除不尽的商
在视频展示台上出示例9：一辆汽车的油箱原来有130千克汽油，行驶一段路程以后用去了．大约用去了多少千克汽油？
教师：“用去了”表示什么意思？（把130千克汽油平均分成6份，用去了1份．）怎样求用去的汽油？（130÷6）同学们会算130÷6吗？（会）把它算出来．
学生计算后，教师提问：得数是个什么数？（循环小数）你是怎样表示商的？（可能有的学生用21.666……，有的学生用21.．）汽油用不着那样精确，
题中也只要求我们求出“大约用去的千克数”，所以保留两位小数就行了，怎样保留呢？
引导学生说出：保留两位小数，看小数点后面的第3位，第3位上是6，往前一位进1，所以大约用去了21.67千克．教师板书：130÷6＝
21.666……≈21.67（千克），并告诉学生虚线框里的得数一般情况下可以不写出来．
教师：这样保留近似值同学们会做吗？（会）请同学们计算下面各题，除不尽的像老师这样先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似值．28÷18 2.29÷11.1153÷7.2
3．教学有限小数和无限小数
先计算15÷16和1.5÷7，再对照所做的题回想一下，我们在计算两个数相除的除法时，如果得不到整数商，会遇到哪两种情况？
计算后引导学生讨论出：
（1）除到小数的某一位时就除尽了，不再有余数，这时小数部分的位数有多有少，但是是有限的，都能把它写完，如15÷16＝0.9375；
（2）除到小数部分后，余数重复出现，商也不断地重复出现，这时商的小数部分的位数无限多，是无法写完这些小数的，只能用省略号或其他的简写方法表示，如1.5÷7＝0.2142857142857……，或1.5÷7＝0.24285．
教师：我们把小数的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数．（板书有限小数和无限小数的概念）循环小数是哪
一类小数呢？（无限小数）为什么呢？（因为循环小数的小数位数是无限的）请同学们把下面的小数分个类：（视频展示台上出示）
4.3535…… 1.2525
5.1923923…… 3.141592……
0.3152 4.85454……0.92714714…… 4.2 4.22……
其他学生在下面分类，找一个学生在视频展示台上分，分完后请学生观察并回答下面的问题：
（1）非循环小数中除了不带省略号的小数外，还有哪个带省略号的小数，这个带省略号的小数与循环小数有什么区别？
（2）在无限小数中，除了循环小数外，还有一个什么小数？这个小数是循环小数吗？这个小数是无限小数吗？（是无限不循环的小数）所以这个小数叫做无限不循环小数．
请学生完成第111页例9前面的“做一做”．
●四、课堂小结
┌有限小数
和学生共同小结所学知小数—│┌循环小数
识，边归纳边作如右图的板└无限小数—│
书：└无限不循环小数
●五、课堂作业
1．学生独立完成练习七的第1题，完成后要求学生说说是怎样根据循环小数的概念来判断哪些商是循环小数的．
2．口算练习七的第2题，填完得数后集体订正．
3．完成练习七的第3题．
板书设计：
例7 10÷3＝3.333…… ┌有限小数
小数—│┌循环小数
例8 58.6÷11＝5.3272727…… └无限小数—│
└无限不循环小数
一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数
小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数．小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数．
例9 一辆汽车的油箱里原有130千克汽油，行驶一段路程以后用去了．大约用去多少千克汽油？
┌┈┈┈┈┈┐
130÷6┊＝21.666…┊≈21.67（千克）
└┈┈┈┈┈┘
答：大约用去21.67千克汽油．
教学设计说明
本课涉及的概念较多，又比较抽象，是教学的难点．设计教学过程时注意从学生的实际出发，通过计算10÷3和58.6÷11所得的商3.333……和
5.3272727……获得具体例证，然后通过辨别、提炼，发现这些商的共同特征，帮助学生理解循环小数的意义．在学生初步理解其意义的基础上，还设计了判断是不是循环小数和用循环小数表示商等运用概念的学生活动，强化学生对概念的理解．这样深刻揭示概念的本质属性，使学生牢固地把握好这个概念，在此基础上不断地进行知识扩展和联结，从而在学生头脑中形成相对完善的数学知识结构．为了沟通知识的内在联系，还通过例9的学习说明循环小数也可以根据需要取它的近似值，而且取近似值的方法和前面学习的方法基本相同．还通过有限小数和无限小数的学习进一步扩大小数概念的外延，并通过这个环节对学生所学的知识进行整理归纳．整个教学过程都采用了讨论式的学习方法，通过讨论让学生自己去理解和归纳概念，使学生的主体作用得到了充分的发挥．由于教材把循环节、循环小数的简便写法、纯循环小数和混循环小数等内容列入选学内容，所以教学设计中对循环小数的简便写法没有作一般要求，学生写成0.333……或
0.3·都给予肯定，这样也可以抽出较多的时间来完成对循环小数意义的理解．但是如果学生有这方面的学习基础，在循环小数的第二课时的教学中应该把上述选学内容加进去，以提高学生对循环小数的掌握水平．