第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
初等行变换
()1()i j r r ?对调两行，记作。
()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。
()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。
矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质
（1）反身性 A~A
2 A ~B , B ~A;（）对称性若则
3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）
行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。
行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.
标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r
m n
E O
F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。
初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么
(1);r
A B m P PA B ?=存在阶可逆矩阵，使
(2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
初等矩阵的性质
设A 是一个m ×n 矩阵，则
（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；
~;r
A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使
（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；
即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,
,,l l P P P A PP P =使。
（5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ）
初等变换的应用
（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ?????
初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即()
1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ?????
初等列变换. 第二节 矩阵的秩
矩阵的秩 任何矩阵m n A ?，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）
矩阵的秩 在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.
说明
1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };
2. R (A ) = R (A T );
3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;
4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零.
满秩和满秩矩阵 矩阵()ij m n A a ?=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若()R A n =，
称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。
()n A R A n =若阶方阵满秩，即0A ?
≠；1A -?必存在；A ?为非奇异阵； ,~.n n A E A E ?必能化为单位阵即
矩阵秩的求法
定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。 矩阵A m ×n ，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。（证明课本P ？ ）
推论 ()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则（课本P ？ ）
矩阵秩的性质总结
(1)0()min{,}m n R A m n ?≤≤ (2)()()T R A R A = ()()(3)~, A B R A R B =若则
()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则
(5)max{(),()}(,)()()
()(,)() 1.R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有
(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤
(8),()().m n n l A B O R A R B n ??=+≤若则
(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。（课本P71）
第三节 线性方程组的解
线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容
定理2 n 元齐次线性方程组 Ax =0
（1）R(A) = n ?Ax=0 有唯一解，零解
（2）R(A) < n ?Ax=0 有非零解.
定理3 n 元非齐次线性方程组Ax b =
（1） 无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R <
（2） 有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R ==
（3） 有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)n R =<（证明课本P71）
基础解系 齐次线性方程组0Ax =的通解具有形式1122x c c ξξ=+(c 1, c 2为任意常数)，称通解式()
112212,x c c c c ξξ=+为任意常数中向量12,ξξ构成该齐次线性方程组的基础解系。 线性方程组的解法
齐次线性方程组：将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n －R (A )，齐次线
性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。
非齐次线性方程组：将增广矩阵B =(A ,b )化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。
非齐次线性方程组解的通解具有形式*1122x c c ξξη=++ (c 1, c 2为任意常数)，不带参数部
分*η是非齐次方程组的一个解；带参数部分1122c c ξξ+的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。
定理
矩阵方程AX ＝B 有解的充分必要条件是R(A)＝R(A,B) 定理 ,()min{(),()}AB C R C R A R B =≤设则
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解；
(C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时，
3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的 通解为 . 9．设，，
，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把 的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）.
（A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件 . 16．设方程组有无穷多个解，则 . 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解
八年级地理上册第三章知识点整理八年级地理教案 第三章中国的自然资源 55、对于可再生资源,如果利用合理,并注意保护和培育,便能实现永续利用,对于非可再生资源,我们应该十分珍惜和节约使用。 56、我国自然资源的特点是总量丰富,人均不足。 57、根据土地的用途及土地利用的状况把土地资源分为耕地、林地、草地、建设用地。 58、我国人均土地资源占有量小,且各类土地资源所占的比例不尽合理,主要是,耕地少、林地多、难利用土地不足,特别是后备土地资源与人与耕地的矛盾尤为突出。 59、我国的耕地和林地主要分布在气候湿润的东部季风区,草地主要分布在年平均降水量不足400毫米的西部内陆地区。 60、土地资源的人为破坏现象有水土流失、土地荒漠化、乱占耕地。 61、土地资源的一项基本国策是十分珍惜和合理利用每一寸土地,切实保护耕地。 62、地球上的水,海洋水占97%,淡水资源占2.5%
63、地球上的淡水资源,绝大多数为两极和高山的冰川,其余大部分为深层地下水。目前人类利用的淡水资源主要是江河湖泊和浅层地下水。 64、我国水资源总量少于巴西、俄罗斯、加拿大、美国和印度尼西亚,,位于世界第6 位,若按人均计算,则仅为世界平均水平的1/4 。 65、从时间分配看,夏季季降水集中,冬春季降水少。有效调控径流和水量的季节变化的措施兴修水库; 66、从空间分布看,我国水资源南丰北缺,特别华北和西北地区缺水最为严重,进一步加剧了北方的缺水状况。解决水资源地区分布不均的有效办法之一是跨流域调水。 67、南水北调工程就是把长江水系水调到缺水严重的华北、西北地区。 68、针对我国水资源严重紧缺的问题,节约用水尤为重要。
2020高考矩阵与变换知识点基础与提高（含答案） 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 212022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力
人教版高中地理必修三全套复习学案+经典试题 第一章：地理环境与区域发展 第一节：地理环境对区域发展的影响 1、区域 概念：区域是地球表面的空间单位，它是人们在地理差异的基础上，按一定的指标和方法划分出来的。区域既是上一级区域的组成部分，又可进一步划分为下一级区域。 区域的特征：层次性；差异性；整体性；可变性 2、长江三角洲和松嫩平原的异同 相同：都是平原地区，并都位于我国的东部季风区 不同：①地理位置差异：长江三角洲在我国东部沿海地区的中部，长江的入海口；松嫩平原在我国东北地区的中部②气候条件差异：长江三角洲在亚热带季风气候区，夏季高温多雨，雨热同期；松嫩平原在温带季风气候区，大陆性稍强，降水较少，温暖季节短，生长期较短，水热条件的组合不如长。③土地条件差异：长江三角洲以水稻土为主，耕地多为水田，较为分散，人均耕地面积低于全国平均水平；松嫩平原黑土分布广泛，耕地多为旱地，集中连片，人均耕地面积高于全国平均水平。④矿产资源条件差异：长江三角洲矿产资源贫乏，松嫩平原有较丰富的石油等矿产。 3、地理环境对农业和商业的影响: 例题：读“长江三角洲与松嫩平原的地理环境差异”图,回答下列问题。 （1）．比较长江三角洲与松嫩平原的地理环境差异及对农业发展的影响。 长江三角洲在良好的水热条件基础上，发展水田耕作业，一年两熟至三熟；松嫩平原受水热条件的限制，发展旱地耕作业，一年一熟。 长江三角洲河湖水面较广，水产业较为发达；松嫩平原西部降水较少，草原分布较
广，适宜发展畜牧业。 (2)．地理环境对区域工业发展影响显著： 长江三角洲成为我国最重要的综合性工业基地，其有利的地理环境是：位于我国沿海航线的中枢，长江入海的门户，对内外联系方便；依托当地发达的农业基础发展轻工业，从国内外运入矿产资源发展重工业，成为我国重要的综合性工业基地。 松嫩平原成为我国的重化工业基地，其有利的地理环境是：丰富的石油资源和周围地区的煤、铁等资源。 第二节：地理信息技术在区域地理环境研究中的应用 第二节：地理信息技术在区域地理环境研究中的应用 地理信息技术：概念：获取管理分析应用---空间信息 遥感（RS）、全球定位系统（GPS）、地理信息技术（GIS） 应用：区域地理环境研究、大众化应用 一遥感（RS）-----获取信息 1 概念：人们在航空器或航天器上，利用一定的技术装备，对地表物体进行远距离的感知。 2 工作原理：不同地物或同种地物的不同性状，其反射和辐射的电磁波不同 3 工作过程：目标物辐射和反射电磁波→传感器收集传输→遥感地面系统信息处理信息分析→专业图件统计数字 4 特点和优点：可以首先从面上的区域分析研究入手，然后有重点地选择若干点、线进行野外验证和检查。 范围大、速度快周期短、效率高；受限制少；提高精度和质量、节省人力财力 5 应用：区域地理环境研究---获取信息 二全球定位系统（GPS） 1 概念：在全球范围内实时进行导航、定位的系统。 2 组成：三大部分组成：空间部分—GPS卫星星座（共24颗，其中21颗工作卫星， 3 颗备用卫星）；地面控制部分—地面监控系统；用户设备部分—GPS信号接收机 3 作用和优点：为用户提供---三维坐标、速度、时间 优点---全能性、全球性、全天候、连续性、实时性
3.1自然资源概况 ▲概念：存在与自然界、能为人类提供福利； 1、主要类型：气候资源、水资源、土地资源、生物资源、矿产资源、海洋资源 2、自然资源的特征 （1）自然资源概念不是一成不变。数量巨大，但有限。 3、可再生资源：气候资源，生物资源，水资源，土地资源。应有计划，有限制地加以开发利用。 4、非可再生资源：金属矿产，非金属矿产，煤炭，石油，天然气。应综合利用，注意节约，避免浪费和破坏。 5、新能源：太阳能、风能、生物质能、海洋能、核能、氢能等。特点：污染小、储量大、分布广等。低碳经济是低能耗、低污染、低排放。 6、中国的土地资源 ▲人多地少 1、土地是人类生存最基本的自然资源 2、“人多地少”是我国的基本国情：不及世界的1/3。 一、类型齐全 1、各类土地资源齐全：耕地、林地、草地等（各类土地利用类型比例图） 2、草地面积较广，所占比重大。耕地、林地所占比重相对偏小。 3、中国难以利用的土地比重大，分布在新疆、内蒙古的干旱荒漠，以及青藏高原上的高寒 荒漠等。 二、区域差异明显：空间分布不平衡，土地生产力区域差异明显 1、耕地分布在东部季风区的平原和盆地以及低缓的丘陵地区 2、林地分布在东北、西南（天然林）、和东南山区（人工林和次生林）。 3、草地分布在北部、西部内陆地区。 三、珍惜每一寸土地 1、耕地存在的问题：人均少，后备土地资源不足，工矿与建筑用地占用及乱占耕地，使耕 地面积减少——对策：提高耕地的生产力；适当开垦荒地，提高利用率。 2、林地存在的问题：管理不力，滥伐现象严重—对策：营林、护林、造林、采育结合，永 续利用 3、草地存在的问题：超载，管理不力，造成退化——确定合理的载畜量，划区轮牧，防灾。 4、十分珍惜、合理利用土地和切实保护耕地，是我国的基本国策。 ▲中国的水资源 一、“东多西少，南多北少”，中国水资源地区分布不均的特点。 1、南方约占全国总面积的40%，却占全国总流量80%以上。 2、黄、淮、海流域面积占全国耕地的38%，以上但水资源只占6%。 3、水资源空间分布的五个带：P73；图3-20 我国水资源供需情况对应地区
旋转变换（一）旋转矩阵 1. 简介 计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。 2. 绕原点二维旋转 首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示： 如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是? ) x=rcos?y=rsin? x′=rcos(θ+?)y′=rsin(θ+?) 通过三角函数展开得到 x′=rcosθcos??rsinθsin? y′=rsinθcos?+rcosθsin? 带入x和y表达式得到 x′=xcosθ?ysinθ y′=xsinθ+ycosθ 写成矩阵的形式是： 尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。 3. 绕任意点的二维旋转 绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下： 1. 首先将旋转点移动到原点处 2. 执行如2所描述的绕原点的旋转 3. 再将旋转点移回到原来的位置
也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)） 在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。 对于二维平移，如下图所示，P点经过x和y方向的平移到P’点，可以得到： x′=x+tx y′=y+ty 由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用（x，y，w）的方式（一般w=1），于是可以写成下面矩阵的形式 按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。也就是说平移矩阵是 如果平移值是（-tx，-ty）那么很明显平移矩阵式 我们可以把2中描述的旋转矩阵也扩展到3x3的方式，变为：
【最新】单元《矩阵与变换》专题解析 一、15 1．已知函数cos 2()sin 2m x f x n x = 的图象过点( 12 π 和点2( ,2)3 π -. （1）求函数()f x 的最大值与最小值； （2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)??π<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数 ()y g x =图象的对称中心. 【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【解析】 【分析】 （1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值； （2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在 ()g x 图象上，由此可求得?，结合余弦函数的性质可求得对称中心． 【详解】 （1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =- ，则由条件，得sin cos 66 44sin cos 233m n m n ππππ?-=????-=-?? ， 解得 1.m n = =- 故()2cos22sin(2)6 f x x x x π =+=+ . 故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.- （2）由（1）可知： ()()2sin(22)6 g x f x x π ??=+=++ . 于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件. (0)2sin(2)26g π?∴=+=. 由0?π<<，得.6 π ?= 故()2sin(2)2cos 22 g x x x π =+ =. 由22 x k =+ π π，得().24 k x k Z ππ = +∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【点睛】 本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．
第一章：区域地理环境与人类活动 一、区域的基本含义 1、区域的含义：通常指一定的地域空间，是在地理差异的基础上按照各种标准进行划分的，是农业、工业、交通业等产业点线面相结合的、自然社会的综合体。 2、区域的特点：⑴区域有一定的_____（如国界、气候区等）⑵区域内部表现出____和______，区域之间则有明显的______ ⑶区域有一定的____、____和____ ⑷区域之间是_______的，一个区域的发展会影响到周边和相关的地区。 3、区域的空间结构：是指一个区域内各种要素的_______关系和_______形式，主要由自然和社会两个方面的影响因素。 ◎常见的空间分布形态：城市与工业—__状；交通运输业—___状、___状；农业—___状；城市群和工业区—___状 4、区域的产业结构：至三次产业及内部的比例关系。 产业的分类：第一产业：___业，包括种植业、林业、渔业和牧业；第二产业：___业和_____业；第三产业：除了一、二产业的其他各业 区域产业结构的演进： 一> 三> 二农业文明前期 一> 二> 三农业文明后期 二> 一> 三工业文明前期 二> 三> 一工业文明中期 三> 二> 一工业文明后期 5、区域发展阶段：总体趋势平衡—不平衡—平衡 常用指标：人均___________、人均________、________比值、 综合指标：人文指数即预期_____、_______程度、_______总值. 区域发展阶段：农业阶段；工业阶段；高效益综合发展阶段
二、区域发展差异 1、我国三大经济区域的划分 东部地区包括北京、天津、河北、辽宁、上海、江苏、浙江、福建、山东、广东、广西、海南12个省、自治区、直辖市；面积为129.4万平方公里，占我国全部国土面积的13.5% 。 中部地区包括山西、内蒙古、吉林、黑龙江、安徽、江西、河南、湖北、湖南9个省、自治区；面积为281.8万平方公里，占我国全部国土面积的29.3% 。 西部地区包括重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、宁夏、青海、新疆10个省、自治区；面积为541.4万平方公里，占国土面积的56.4% 2、经济地带的发展优势、问题和发展方向 东部：⑴优势：主要农业基地（黄淮平原、珠三角、长三角，水产丰富）；主要工业基地（辽中南、沪宁杭、京津唐、珠三角）；交通便利；国际化程度高；对外贸易发达；高科技文化水品（45%的大学、60%的科学家、工程师） ⑵问题：能源原料不足；北方水资源短缺；环境污染严重；长江下游防洪问题严重 ⑶发展方向：发挥沿海优势，成为对外贸易、金融、海洋开发基地，增强竞争力；发展第三产业和集约农业；发挥技术优势，开拓高新技术产业，优化经济结构 中西部：⑴优势：能源矿产丰富，煤、石油等储量居全国首位；农业较发达，天然林场牧场；有色金属工业、重工业发达；对外贸易优势（国境线长） ⑵问题：运输能力不足，煤炭外运压力大；生态问题突出，水土流失、过度放牧、乱砍乱伐、洪涝、土地沙漠化…… ⑶发展方向：发挥资源优势，形成能源原料生产基地；改善生态，退耕还林还草保护草原；加强水利、电力交通等基础设施建设，发展边境贸易和旅游；发展农业基础，建设商品粮基地，发展林业等
初中地理复习人教版教材 七年级上册 与同学们谈地理 １、人类的活动离不开地理 ⑴地理与日常生活：地理与日常生活密切相关，我们可以了解天气,广泛了解世界各地的基本情况和风土人情等。 ⑵地理与生产建设：我们生产活动不能随心所欲,它要受到地理环境的影响和制约。 ⑶学会收集地理信息：①查阅地理书籍②咨询有关人士③上网查阅资料等。 2、学习地理,为了更好地生活 ①尊重自然规律,做大自然的朋友;②因地制宜，扬长避短;③综合地分析问题；④具备可持续发展的观念。 第一章地球和地图 一、地球和地球仪 1、认识地球的形状和大小(P3中的图1.２） ⑴形状:地球是一个两极稍扁赤道略鼓的不规则球体。 ⑵大小:表面积＝5.１亿平方公里；平均半径＝63７１千米;赤道周长=４万千米 ⑶能证明地球是球体的事实:麦哲伦环球航行的成功;地球的卫星照片;月食照片，是地球影子遮挡了照射的阳光。 ⑷麦哲伦环球航行路线：西班牙→大西洋→麦哲伦海峡→太平洋→菲律宾群岛→印度洋→好望角→大西洋→西班牙。 2、地球的模型——地球仪 ⑴含义：仿照地球的形状,按照一定的比例进行缩小的模型。 ⑵意义:可以方便我们知道地球的面貌，了解地球表面各种地理事物的分布。 3、纬线和经线（P５中的图1.7) ⑴纬线:与地轴垂直并且环绕地球一周的圆圈。 ⑵经线:连接南北两极并且与纬线垂直相交的半圆。 ⑶地轴：假想的地球自转轴。 ⑷两极：地轴与地球表面的交点。 ⑸经、纬线的特点： ⑹特殊的经、纬线 ①特殊纬线 赤道——是最长的纬线,既是纬度的起始点,以北为北纬用字母N表示;赤道以南为南纬用字母S表示,也是南北半球的划分界线。 ３0°纬线——是低纬度与中纬度的分界线
高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1 2020.03 1,圆22 1x y +=在矩阵10102?????? ? ?对应的变换作用下的结果为 ． 2,当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设： （1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%； （2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍； （3）第n 年时，兔子数量n R 用表示，狐狸数量用n F 表示； （4）初始时刻（即第0年），兔子数量有1000=R 只，狐狸数量有300=F 只。 请用所学知识解决如下问题： （1）列出兔子与狐狸的生态模型； （2）求出n R 、n F 关于n 的关系式； （3）讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。 3,在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命 中才能引爆成功，每次射击命中率都是3 2 .，每次命中与否互相独立. (1) 求油罐被引爆的概率. (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望 4,在空间四边形ABCD 中， AC 和BD 为对角线，G 为ABC ?的重心，E 是BD
上一点，3BE ED =，以{ },,AB AC AD u u u r u u u r u u u r 为基底，则GE =u u u r ___ 5,设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的 伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22 149x y +=在1M -的作用下的新曲线的 方程． 6,已知变换A ：平面上的点P （2，－1）、Q （－1，2）分别变换成点P 1（3，－4）、 Q 1（0，5） （1）求变换矩阵A ； （2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，说明理由． 7,两个人射击，甲射击一次中靶概率是21，乙射击一次中靶概率是31 ， （Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？ （Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ （Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？ 8,如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值以及BA 1与面C 1EF 所成的角的大小．
【高中数学】数学《矩阵与变换》高考知识点 一、15 1．已知矩阵2101M ?? =? ??? （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α??=? ?-?? r ，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α?? =???? u u r （2）91????-?? 【解析】 【分析】 (1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出 方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r 可得333 12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即 可. 【详解】 （1）矩阵M 的特征多项式为2 1 ()0 1 f λλλ--= -(2)(1)λλ=--， 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0 000x y x y --=?? +=? . 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α?-? =? ??? ； 当2λ=时，由二元一次方程00 00 x y x y -=?? +=?. 得0y =，令1x =， 所以特征值2λ=对应的特征向量为210α?? =???? u u r ； （2）1221ααα??==+??-??u u r u u r r Q ， 333 12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210????=+????-????91??=??-?? . 【点睛】 本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
地理必修三知识点总结 第一章 1.区域的特征（边界、异同、特色、联系） 1）区域具有一定的界线（有虚有实）； 2）区域内部表现出明显的相似性和连续性，区域之间则具有显着的差异性； 3）区域具有一定的优势、特色和功能； 4）区域之间是相互联系的，一个区域的发展变化会影响到周边和相关的地区。 2.区域空间结构 1）概念：一个地区各种区域要素的相对位置关系和空间分布形式。 2）形成：是区域自然、人文因素长期作用和相互影响的结果。 3）影响因素：自然地理条件、社会经济活动、人口状况、城市化水平、区域开放程度和对外联系等。 4）乡村地域和城市地域 ①区别：地域范围大小，乡村大于城市； 产业活动，乡村以农业生产活动为主，城市非农业生产活动为主； ②联系：乡村地域是城镇地域发展的依托,城镇会对乡村产生广泛的持续的带动作用。5）地域空间分布形式：农业通常表现为面状；交通运输线路表现为线状和网络状；城市和工业表现为点状；城市群和工业区表现为岛状。 3.区域产业结构 1）概念：三次产业及其内部的比例关系。 2）影响因素：自然地理条件、经济发展水平、资源配置状况、劳动力素质等。 3）产业的划分：①第一产业：农业（种植业、林业、牧业、渔业） ②第二产业：工业和建筑业 ③第三产业：除第一、二产业以外的其他各业 4.产业结构的差异 1）表现：产值比重、就业比重、内部构成等。 2）传统的农业区域或发展水平较低的区域，第一产业所占的比重较大； 工业区域或加速推进工业化的区域，第二产业所占的比重较大； 发展水平较高的区域，第二产业和第三产业所占的比重较大。 3）第一产业比重大：城市化水平低，经济发展水平低； 第二产业比重大：工业化程度高； 第三产业比重大：经济发展水平高。
湘教版七年级地理上册第三章知识点总结 第三章 世界的居民 第一节 世界的人口 1. 世界人口的增长特点——1800年以前增长十分缓慢，1800年以后快速增长。到20XX 年10月底，世界人口总数已突破70亿。 2.人口的自然增长主要由出生率和死亡率决定的 人口密度（人/千米2），反映人口地理分布的疏密程度 3. 一般来说，经济发展水平高的国家，人口的自然增长较慢；经济发展水平低国家，人口的自然增长较快。 4. 世界人口最稠密地区主要分布在亚洲东部和南部、欧洲西部、北美洲和南美洲的东部。原因是这些地区处在中低纬度地区、气候温和多雨的平原和盆地，或是临海地带。稀疏区——干旱的沙漠、寒冷的极地、空气稀薄的高山高原、湿热的原始热带雨林。 5. 人口增长过快、过慢都会带来严重的问题： 人口增长过快造成资源紧缺，环境破坏，还带来了就业、居住、教育、医疗等难以解决的问题； 人口增长过慢造成了劳动力短缺、人口老龄化等问题。 人口的增长应与资源、环境相协调，与社会经济发展相适应。 6、世界上人口最多的国家——中国 （世界人口前五位——中国、印度、美国、印度尼西亚、巴西） 9、问题：大量人口从农村迁往城市，对城市和农村有哪些影响？ 自然增长率=出生人口数－死亡人口数总人口数 ×100%=出生率－死亡率人口密度＝某区域的人口数（人） 该区域的面积（平方千米）
（1）、对城市 a、好处——为城市建设提供大量的廉价劳动力，推动城市的商业活动及城市的发展建设 b、坏处——城市人口过多，会给城市造成巨大的压力，如住房紧张、交通拥挤、治安问题、教育问题、医疗不足、就业困难、供水不足等。 （2）、对农村 a、好处——使农村的富余劳动力得到充分利用，为农民带来收入 b、坏处——农村劳动力减少，许多农田荒废，农业发展受阻，留守儿童与留守老人问题严重 第二节世界的人种 1、人种是根据人类体质方面的特征所划分的人群 2、世界三大人种——白种人、黄种人、黑种人 3、划分依据——肤色、眼色、毛发、头型、脸型等 4、各人种之间的特征与区别 5、人种的分布：
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案1 教学目标 1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、 切变变换的矩阵表示及其几何意义 2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵 3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系 教学重难点 了解并掌握几种特殊的矩阵变换，可以简单的运用。 教学过程 1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义 （１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：?? ? ???y x →??????''y x =??????++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：??? ???y x →??????''y x =??? ? ??d c b a ?? ????y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ） 由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形. 在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换． （２）由矩阵M=?? ? ???1001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩 阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己. （３）由矩阵M=??????100k 或M=?? ? ???k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变 换，这时称矩阵M=???? ??100k 或M=?? ????k 001伸压变换矩阵．
第一节地理环境对区域发展的影响 区域：区域是地球表面的空间单位，它是人们在地理差异的基础上，按一定的指标和方法划分出来的。 区域具有一定的区位特征，以及一定的面积、形状和边界。 区域内部的特定性质相对一致。 区域既是上一级区域的组成部分，又可进一步划分为下一级区域。 区域特征：层次性；差异性；整体性；可变性 区域不同发展阶段地理环境的影响——以长江中下游平原为例 区域地理环境对人类活动的影响不是固定不变的，而是随着社会、经济、技术等因素的改变而改变。 开发早期：人们利用和改造自然的能力低下，稠密的水系成为人们交通的阻隔，黏重的土壤使人们开垦困难。受地理环境的限制，耕作农业发展缓慢。 农业社会：①船作为交通工具被广泛使用，长稠密的水系为扩大交通联系提供了天然水道。 ②随着农业生产工具的改进和生产技术的改良，长江三角洲多水而质地黏 重的土壤不再成为耕作业的限制条件，农业生产得到较快的发展。 ③随着我国历史上人口从北方至南方几次大规模的迁移，长江三角洲人口 越来越稠密。(人口迁移) ④优越的气候条件还使得长江三角洲成为我国主要的桑蚕和棉花生产基 地。 现代社会：①工商业的发展使长人口、城市密集，耕地面积减小。 ②耕地被分割得很破碎，不利于机械化的推广，粮食商品率低。 ③今天长江三角洲作为全国“粮仓”的地位已逐渐让位于东北平原和华北 平原，在全国棉花生产中的地位也比不上新疆南部和华北平原。 北方民居正南正北的方位观比南方强； 北方民居的墙体严实厚重，南方民居的墙体轻薄； 从北到南，民居的屋顶坡度逐渐增大，房檐逐渐加宽，房屋进深和高度逐渐加大。 如果不考虑地价、建筑材料等因素，建同等面积的住房，北方的建筑成本比南方高；建同样高度的多幢楼房，北方楼房的南北间距比南方大。比较长江三角洲和松嫩平原的异同
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵 教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法． （3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质． 教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→． 定义2 等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? (2) 对称性：n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即 是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.
第三章知识点总结 1.自然资源的定义：在自然界中，对人类有利用价值的阳光、土地、森林、矿产、水和水能，都是自然资源。 2.自然资源的分类 可再生资源：在较短时间内，可以再生，可以更新，或者可以循环使用的土地、水、水能、森林、太阳能、潮汐能、动物 非（不）可再生资源：在较短时间内不可再生、不可更新、不能循环使用的， 用一点就少一点石油、煤、天然气、金属矿产 3.可再生资源并非“取之不尽，用之不竭”的 虽然可再生资源在较短时间内可以再生、更新或循环使用，但是我们还是应该注意合理利用，注意保护和培育，这样才能在一定意义上说“取之不尽，用之不竭”，如果利用不合理，不注意保护和培育，开发速度大于其再生速度，一味的浪费，那么就会使可再生资源失去其可再生性，变成为非可再生资源，用一点就少一点，总有一天会枯竭，逐渐“取之用尽”。 4.我国自然资源特点：总量丰富，人均不足。 5.“地大物博”中的“物博”的含义：总量大，种类多。 6.导致我国自然资源形势1.人口因素（随着人口的增长，我国自然资源的人均占有量势必还会减少）2.人为因素（人为的利用不当，浪费，不注意保护，管理不善）逐渐恶化的因素3.社会经济的发展（社会经济的发展，人们生活水平的提高，对自然资源的需求越来越大） 7.解决这种趋势的措施：1.控制人口数量，提高人口素质；2.加强保护、节约意识；3.节约资源，开发新能源。 对资源的循环使用有效的提高了资源的利用效率；不购买一次性消费品，拒绝贺卡都从源头和去路上保护了环境，既节约了资源，又减少了垃圾。 9.农业用地：耕地---东部季风区---平原、低缓丘陵 林地---东部季风区---山地（东北林区，西南林区东南林区） 草地---西北内陆非季风区---高原、山地 非农业用地：建设用地 东部季风区，气候相同，气候湿润，在平原地区适宜发展种植业（耕地），在山地地区适宜发展林业（林地），这说明地形对土地类型分布的影响；林地和草地的主要地形都有山地，那么为什么会有林地和草地之分，原因是草地在西北内陆，气候不受季风影响，是大陆性气候，而林地是在东部季风区，这说明在地形相同的时候，气候也影响土地类型的分布。
几类特殊线性变换及其二阶矩阵 【教学目标】 1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。 2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。 3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。 难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是： 在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+??'=+? ③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。 ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。 (,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。 像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ?? ???称为二阶矩阵。数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素 元素全为0的二阶矩阵0000?? ???称为零矩阵，简记为0。
矩阵1001?? ??? 称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。 解析：教师板书。 （3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-??'=+?，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-?? ??? 。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。 解析：教师板书。 （4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是： 一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。 学生板书，教师纠正解答。 （5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是： 在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。 （1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。 （2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A ' 教师请同学上讲台解答，并纠正总结。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩