初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法（含参考答案）
七下数学与中考试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考．
一、 根据不等式(组)的解集确定字母取值范围
例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l
解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ．
例2、已知不等式组15
3
x a x a <
<<+?的解集为a 解：借助于数轴，如图1，可知： 1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ． 二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围 例3、关于x 的不等式组23(3)1324 x x x x a <-+?? ?+>+??有四个整数解，则a 的取值范围是 ． 分析：由题意，可得原不等式组的解为8 4 - ≤a<52- ． 例4、已知不等式组? ??<+>-b x a x 122的整数解只有5、6。求a 和b 的范围． 解：解不等式组得?? ? ??-<+>212b x a x ，借助于数轴，如图2知： 2+a 只能在4与5之间。 21 -b 只能在6与7之间． ∴4≤2+a<5 6<2 1 -b ≤7 ∴2≤a<3， 13 三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围 例5、已知方程组213(1) 21(2) x y m x y m +=+-----??+=------?满足x+y<0，则( ) 图 1 图2 A ．m>一l B ．m>l C ．m<一1 D ．m<1 分析：本题可先解方程组求出x 、y ，再代入x+y<0，转化为关于m 的不等式求解；也可以整体思考，将两方程相加，求出x+y 与m 的关系，再由x+y<0转化为m 的不等式求解． 解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m ，∴x+y ＝ 223 m +<0．∴m<一l ，故选C ． 例6、(江苏省南通市2007年)已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围． 解：由2a －3x ＋1＝0，可得a=312x -;由3b －2x －16＝0，可得b=216 3 x +. 又a ≤4＜b ， 所以, 312x -≤4＜216 3 x +， 解得:-2＜x ≤3. 四、逆用不等式组解集求解 例7、如果不等式组260 x x m -≥?? ≤? 无解，则m 的取值范围是 ． 分析：由2x 一6≥0得x ≥3，而原不等式组无解，所以3>m ，∴m<3． 解：不等式2x-6≥0的解集为x ≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3． 例8、不等式组? ??>≤ 1有解，则（ ）． A m<2 B m ≥2 C m<1 D 1≤m<2 解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2．故选（A ）． 例9、(2007年泰安市)若关于x 的不等式组3(2)224 x x a x x -- ?+>??， 有解，则实数a 的取值范围是 ． 解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由24a x x +>可得x<1 2 a. 因为不等式组有解,所以1 2 a>2. 所以,4a >. 31 2图 4 图3 例3、 某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆 放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90 盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本 是多少元？ 不等式（组）中待定字母的取值范围 不等式（组）中字母取值范围确定问题，在中考考场中频频登场。这类试题技巧性强，灵活多变，难度较大，常常影响和阻碍学生正常思维的进行，为了更加快捷、准确地解答这类试题，下面简略介绍几种解法，以供参考。 一. 把握整体，轻松求解 例1. （孝感市）已知方程?? ?-=++=+② ①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+，则（ ） A. 1m -> B. 1m > C. 1m -< D. 1m < 解析：本题解法不惟一。可先解x 、y 的方程组，用m 表示x 、y ，再代入0y x <+，转化为关于m 的不等式求解；但若用整体 思想，将两个方程相加，直接得到x+y 与m 的关系式，再由x+y<0转化为m 的不等式，更为简便。 ①+②得m 22)y x (3+=+， 所以03 m 22y x <+= + ，解得1m -< 故本题选C 。 二. 利用已知，直接求解 例2. （成都市）如果关于x 的方程4x m 2x 2x 12 -=-+的解也是不等式组??? ??-≤-->-8 x )3x (22x 2x 1的一个解，求m 的取值范围。 解析：此题是解方程与解不等式的综合应用。 解方程可得2m x --= 因为04x 2 ≠- 所以04)2m (2 ≠--- 所以4m -≠且0m ≠； ① 解不等式组得2x -≤， 又由题意，得22m -≤--，解得0m ≥ ② 综合①、②得m 的取值范围是0m > 例3. 已知关于x 的不等式2x )m 1(>-的解集是m 12 x -< ，则m 的取值范围是（ ） A. 0m > B. 1m > C. 0m < D. 1m < 解析：观察不等式及解集可以发现，不等号的方向发生了改变，于是可知不等式的两边同时除以了同一个负数，即0m 1<-，所以1m >。故本题选B 。 三. 对照解集，比较求解 例4. （东莞市）若不等式组? ? ?+>+<+1m x 1 x 59x 的解集为2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m > 解析：原不等式组可变形为?? ?+>>1 m x 2 x ，因为不等式的解集为2x >，根据“同大取大”法则可知，21m ≤+，解得1m ≤。 故本题选C 。 例5. （威海市）若不等式组? ? ?>+>-01x 0 x a 无解，则a 的取值范围是（ ） A. 1a -≤ B. 1a -≥ C. 1a -< D. 1a -> 解析：原不等式组可变形为? ? ?-><1x a x ，根据“大大小小无解答”法则，结合已知中不等式组无解，所以此不等式组的解集无公共 部分，所以1a -≤。故本题选A 。 四. 灵活转化，逆向求解 例6. （威海市）若不等式组? ? ?>+>-01x 0 x a 无解，则a 的取值范围是（ ） A. 1a -≤ B. 1a -≥ C. 1a -< D. 1a -> 解析：原不等式组可变形为? ? ?-><1x a x ，假设原不等式组有解，则a x 1<<-，所以1a ->，即当1a ->时，原不等式组有解， 逆向思考可得当1a -≤时，原不等式组无解。故本题选A 。 例7. 不等式组? ? ?<-->-2a x 1 a x 的解集中每一x 值均不在7x 3≤≤范围内，求a 的取值范围。 解析：先化简不等式组得? ? ?+<->2a x 1 a x ，由题意知原不等式组有解集，即2a x 1a +<<-有解，又由题意逆向思考知原不等式 的解集落在x<3和x>7的范围内，从而有32a ≤+或71a ≥-，所以解得1a ≤或8a ≥。 五. 巧借数轴，分析求解 例8. （山东省）已知关于x 的不等式组? ? ?->-≥-1x 230 a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是_____________。 解析：由原不等式组可得? ? ?<≥2x a x ，因为它有解，所以解集是2x a <≤，此解集中的5个整数解依次为1、0、1-、2-、3-，故它的解集在数轴上表示出来如图1所示，于是可知a 的取值范围为3a 4-≤<-。 图1 例9. 若关于x 的不等式组? ? ?<>-+>-2x 5a x 0 x a 3有解，则a 的取值范围是____________。 解析：由原不等式组可得? ? ?-> 3x ，因为不等式组有解，所以它们的解集有公共部分。在数轴上，表示数3a 的点应该在表示 数a 5-的点右边，但不能重合，如图2所示，于是可得a 5a 3->，解得4 5 a > 。故本题填45。 图2 例10.如果不等式组2 223 x a x b ?+???- 【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，?再利用解集的等价性求出a 、b 的值，进而得到另一不等式的解集． 【答案】解：由22x a +≥得42x a ≥-；由23x b -<得32b x +< 故3422b a x +-≤<，而01x <≤ 故4－2a=0，32 b +=1 故a=2, b=﹣1 故a+b=1 例11.如果一元一次不等式组3 x x a >??>? 的解集为3x >．则a 的取值范围是(C ) A ．3a > B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．3a < . 例12.若不等式组0, 122x a x x +?? ->-? ≥有解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．1a -≥ C ．1a ≤ D ．1a < 【解析】本题考查一元一次不等式组的有关知识，由不等式组0122x a x x +?? ->-?≥得1x a x -?? ≥，因为该不等式组有解，所以1a >-，故 选A. . 例13.关于x 的不等式组1 2x m x m >->+??? 的解集是1x >-，则m = -3 ． . 例14.已知关于x 的不等式组0521 x a x -?? ->?≥， 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ____ (32a -<-≤) 例15．（黄石市）若不等式组530, 0x x m -?? -? ≥≥有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A.m ≤ 5 3 B.m ＜ 53 C.m ＞ 53 D.m ≥ 53 分析 已知不等式组有解，于是，我们就先确定不等式组的解集，再利用解集的意义即可确定实数m 的取值范围. 解 解不等式组530,0x x m -??-?≥≥，得, . x x m ? ≤???≥?53 因为原不等式组有实数解，所以根据不等式解集的意义，其解集可以写成m ≤x ≤ 5 3 ， 即m ≤ 5 3 .故应选A . 说明 本题在确定实数m 的取值范围时，必须抓住原不等式组有实数解这一关键条件 例16.若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x ＞1，则k 的范围是 。 分析：这是一个含参数的关于x 的不等式的解集已知的问题。解决这一问题的关键是观察不等式中不等号的方向与其解集中不等号的方向是否一致，若不一致，则说明未知数的系数为负；若一致，则说明未知数的系数为正。从而把问题转化为关于参数的不等式，解这个不等式式得到参数的解。本问题中中因为不等式的不等号方向和其解集的不等号方向不一致，从而断定2k+1<0，所以k<12 -。 例17、如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x< 10 7 ，求关于x 的不等式ax>b 的解集。 分析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107，观察到不等号的方向已作了改变，故可知(2a －b)<0，且51027 b a a b -=-，解此方程可求出a ，b 的关系。 解：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x< 10 7 ，可知： 2a －b<0，且 51027b a a b -=-，得b=3 5 a 。 结合2a －b<0，b=3 5a ，可知b<0，a<0。 则ax>b 的解集为x<3 5 。 例18、已知不等式4x －a ≤0，只有四个正整数解1，2，3，4，那么正数a 的取值范围是什么？ 分析：可先由不等式解集探求字母的取值范围，可采用类比的方法。 解：由4x －a ≤0得x ≤ 4 a 。 因为x ≤4时的正整数解为1，2，3，4； x ≤4.1时的正整数解为1，2，3，4； … x ≤5时的正整数解为1，2，3，4，5。 所以4≤ 4 a <5，则16≤a<20。 其实，本题利用数形结合的方法来解更直观易懂。根据题意画出直观图示如下： 因为不等式只有四个正整数解1，2，3，4，设若4a 在4的左侧，则不等式的正整数解只能是1，2，3，不包含4；若4 a 在5的右侧或与5重合，则不等式的正整数解应当是1，2，3，4，5，与题设不符。所以4 a 可在4和5之间移动，能与4重合，但不能与5重 合。因此有4≤4 a <5，故16≤a<20。 以下是对此专题的一个练习，请认真完成！ 1. 若不等式组 2. 关于x 的不等式组 3215 3 2 2->++<+x x a x x 只有4个整数解，求a 的取值范围 3. 若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4. 已知不等式组21 13x x a -?>???>?的解集为x>2，则（ ） A .2a < B .2a = C .2a > D .2a ≤ 5. 已知方程组2231y x m y x m -=?? +=+? 的解x 、y 满足2x+y ≥0，则m 的取值范围是 ( ) A.m ≥-4/3 B.m ≥4/3 C.m ≥1 D.－4/3≤m ≤1 6.关于x 的不等式组?????x ＋152 ＞x －32x ＋2 3 ＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. －5≤a ≤－143 B. －5≤a ＜－143 C. －5＜a ≤－143 D. －5＜a ＜－14 3 7.(2005·大连)如图，甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） ?? ?>≤ x x 21有解，则m 的取值范围是_____________。 乙40kg 甲 A B C D 8. 已知关于x 的不等式组21x x x a >-?? ，，无解，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a ≤- Ｂ．12a -<< Ｃ．a ≥0 Ｄ．2a ≤ 9. 若不等式组12x x m -?? >? ， ≤有解，则m 的取值范围是______． 10.已知点()P a b ，在第二象限，向下平移4个单位得到点Q ，点Q 在第三象限，那么b 的取值范围是______． 11.如果关于x 的不等式(1)5a x a -<+和24x <的解集相同，则a 的值为______． 12. 已知关于x 的不等式组0 321x a x -≥??->-? 有五个整数解，这五个整数是____________,a 的取值范围是________________。 13.若3x －5<0，且y=7－6x ，那么y 的范围是什么？ 14．已知关于x 、y 的方程组221 243x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数。 （1）试确定m 的取值范围；（2）化简 312 m m -+- 15.已右关于x ， y 的方程组21 2x y x y m +=?? -=? ，． （1）求这个方程组的解； （2）当m 取何值时，这个方程组的解x 大于1，y 不小于1-． 16.在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数，我们把这样的点称为整点，已知()a b ，是整点，且在第二象限，已知点(2536)P a b --，先向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点Q ，点Q 在第四象限．则这样的整点有几个？ 17.（拓展提高）先阅读理解下面的例题，再完成（1）、（2）两题． 例：解不等式(32)(21)0x x -+>． 解：由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，可得①320210x x ->?? +>?，；或②320210x x - 解不等式组①，得2 3x >，解不等式组②， 得1 2 x <- ． 所以原不等式的解集为23x > ，或12 x <-． （1）求不等式 1 023 x x +<-的解集； （2）通过阅读例题和做（1），你学会了什么知识和方法． 提高训练 (一元一次不等式和一元一次不等式组) 一、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1.用不等式表示：① a 大于0_____________; ② y x +是负数____________; ③ 5与x 的和比x 的3倍小______________________. 2.不等式 13 2 ≤-x 的解集是__________________. 3.用不等号填空：3 _____3;4______4;5______5,b a b a b a b a ---->则. 4.当x _________时，代数代x 32-的值是正数. 5.不等式组???? ?-≥+<312 134x x x x 的解集是__________________. 6.不等式0103≤-x 的正整数解是_______________________. 7.2≥x 的最小值是a ,6-≤x 的最大值是b ,则.___________=+b a 8.生产某种产品，原需a 小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b 小时，则____________< b <_____________. 9.编出解集为2≥x 的一元一次不等式和二元一次不等式组各一个，一元一次不等式为___________________________;二元一次 不等式组为________________________. 10.若不等式组? ??> x 的解集是空集，则a 、b 的大小关系是_______________. 二、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 11.下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A ．012>-x B ．21<- C ．123-≤-y x D ．532>+y 12.不等式54≤-x 的解集是 （ ） A ．45- ≤x B ．45-≥x C ．54-≤x D ．5 4-≥x 13.一元一次不等式组? ??>-<-x x x 3323 12的解集是 （ ） A ．32<< -x B ．23<<-x C ．3- 14.如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ） A ． 121->x B ．32 3 -≥+x C ．11-≥+x D ．42>-x 15.如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.下列两个不等式是同解不等式的是 （ ） A ．484<-x 与12->x B ．93≤x 与3≥x C ．x x 672<-与x 47≤- D ．0321<+- x 与23 1 ->x 16.解下列不等式组，结果正确的是 ( ) A. 不等式组? ??>>37 x x 的解集是3>x B. 不等式组???->-<23x x 的解集是23-<<-x C. 不等式组?? ?-<-<13x x 的解集是1- 4 x x 的解集是24<<-x 17.若 1-=a a ，则a 只能是 （ ） A ．1-≤a B ．0 C ．1-≥a D ．0≤a 18.关于x 的方程632=-x a 的解是非负数，那么a 满足的条件是 ( ) A ．3>a B ．3≤a C ．3 D ．3≥a 三、解一元一次不等式（或不等式组），并把它们的解集在数轴上表示出来（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分） 19.276- 20.?????≤--<+212 3932x x 四、解下列一元一次不等式（或组）（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分） 21. 22. 93621≤-<-x 五、（本大题满分8分） 23. x 为何值时，代数式2)1(3+-x 的值比代数式33 1 -+x 的值大. 六、（本大题满分8分，第1小题3分，第2小题5分） 24．已知关于x 、y 的方程组?? ?=-=+m y x y x 21 2. （1）求这个方程组的解； （2）当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1. ．已知方程组321 21x y m x y m +=+?? +=-? ，m 为何值时，x ＞y ？ ．有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，这个两位数在50和70之间，你能求出这个两位数吗？ ．小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1. 8元；若每户 每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是多少？ ．学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住 8人，则空一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少名女生？ B 组（能力层，共20分） 一、填空题：（每小题3分，共12分） 1、2≥x 的最小值是a ,6-≤x 的最大值是b ,则.___________=+b a 2、若不等式组21 23x a x b -?的解集是11x -<<，那么(1)(1)a b +-的值等于 。 3、当x ＝ 时，代数式2)1(3+- x 的值比代数式33 1 -+x 的值大. 4、已知a 、b 为常数，若不等式0ax b +>的解集是1 3 x <，则0bx a -<的解集为 。 二、（本题4分）学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少名女生？ 三、（本题10分）某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套.已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L 型号的童装套数为x (套)，用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y (元). (1)写出y (元)关于x (套)的代数式，并求出x 的取值范围. (2)该厂生产这批童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？ 参考答案 一、1.①0>a ，②0<+y x ，③x x 35<+；2.5≤x ；3.>，<，>；4.3 2 三、19.2>x ；20.32<≤-x 。 四、21.24<<-x ；22.91<≤-x 。 五、23.11 7< x 。 六、24.（1）?????-=+=4121m y m x ，（2）由题意可得不等式组?????-≥->+1 4 1121m m 解得51≤ 七、25.设植物种在海拔为x 米的地方为宜，依题意可得205.01002218 ?? ? 八、26.(1)024524)4(422 <-=??--=-ac b ∴方程没有解； （2）=-ac b 42 0412844)2(14)2(2>-=+-=-??--a a a 解得3 13．m ＞4 14．53，64 15．8立方米 16．5间房，30名女生。 一、填空题： 1、－4 2、－6 3、7 11 x < 4、3x <- 二、5间房，30名女生。 三、(1)y =15x +1500 (17.5≤x ≤20). ∴x 取值18，19，20. (2)由y =15x +1500可知：当x =20时，y 取最大值1800. 因此，当生产L 型号童装20套时，利润最大，最大利润为1800元. 初二下数学练习（二）--一元一次不等式及一元一次不等式组（2） 【典型例题】 例1、若关于x 的不等式组??? ??<++>+0 1456m x x x 的解集为x<4，求m 的取值范围。 变式练习：已知关于x 的不等式组???>--≥-0 1 25a x x 无解，求a 的取值范围； 已知关于x 的不等式组010 x a x ->??->?， 的整数解共有3个，求：a 的取值范 变式练习：（1）若不等式组x-a 0 3-2x>-1≥??? 有5个整数解，则a 的取范围是_______ （2） 若不等式组240, 20x x a ->?? -+ 无解，则a 的取值范围是_______． 例3、已知方程组???-=-+=+17 26 52y x k y x 的解为负数，求k 的取值范围． 例4、某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种荔枝共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种荔枝，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题： （1y ．与．x ．之间．．的函数关系式； （2）如果装运每种荔枝的车辆数都不少于5辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。 例5、已知x ，y ，z 为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y-z=50．求u=5x+4y+2z 的最大值和最小值 【课后练习】 一. 填空题 1. 若 582 11 2 --m x 是关于x 的一元一次不等式,则m =_________. 2. 不等式0126 x -的解集是____________. 3. 当x _______时,代数式4 23x +的值是正数. 4. 当2 a 时,不等式52+x ax 的解集时________. 5. 已知13222 k x k +-是关于x 的一元一次不等式,那么k =_______,不等式的解集是_______. 6. 若不等式组???--3 21 2 b x a x 的解集为11 x -,则()()11-+b a 的值为_________. 7. 小于88的两位正整数,它的个位数字比十位数字大4,这样的两位数有_______个. 8. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每枝钢笔5元,每个笔记本2元,那么小明最多能买________枝钢笔. 二. 选择题 9.下列不等式,是一元一次不等式的是 ( ) A.24)1(2++-y y y B.0122 --x x C. 6 1 3121 + D.2++x y x 10.4与某数的7倍的和不大于6与该数的5倍的差,若设某数为x ,则x 的最大整数解是( ) A.1 B.2 C.-1 D0 11.若代数式72+a 的值不大于3,则a 的取值范围是( ) A.4≤a B.2-≤a C.4≥a D.2-≥a 12.某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于商品积压,商品准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打( )折 A.6 B.7 C.8 D.9 13.若不等式组???a x x 3 的解集是a x ,则a 的取值范围是( ) A.3 a B 3=a . C.3 a D.3≥a 14.不等式()()0352 x x -+的解集是( ) A.253- x x 且 B.253 x x 或- C.325 x - D.2 53 x - 15.若不等式组???b x a x 无解,则不等式组???--b x a x 22 的解集是( ) A.a x b --22 B.22--a x b C.b x a --22 D.无解 16.如果,2323,11--=++=+x x x x 那么x 的取值范围是( ) A.321- ≤≤ -x B.1-≥x C.32-≤x D.13 2 -≤≤-x 三. 解答题 17.解下列不等式组 1)???? ?+---+43233231x x x x x 2)().3212352?? ???-+≤+x x x x 18.当m 在什么范围内取值时,关于x 的方程()()x m x m --=-+4122有: (1) 正数解; （2）不大于2的解. 19.如果关于x 的不等式06 +--x k 正整数解为1,2,3,正整数k 应取怎样的值? 20.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆.其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是0.3元. (1) 若设一般车停放的辆数为x ,总保管费的收入为 y 元,试写出y 与x 的关系式;（5分） (2) 若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆数不少于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围. （5分） 21、将若干只鸡放入若干个笼里，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，那么至少有多少个笼，多少只鸡？ 【能力训练】 1、关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ． 2、已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且2 2 5a b +=， 则a b +=____________． 3、如图，直线 y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 4、如果不等式组2 223 x a x b ?+???- 5、已知关于x 的不等式组0521 x a x -?? ->?≥， 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 6、已知关于x 的不等式（3a －2）x ＋2＜3的解集是x ＞－ 4 1 ，则a ＝______． 7、若a ＜0，则不等式??? ? ?? ?<<3 2 a x a x 的解集是_______． 8、如果一元一次不等式组3 x x a >?? >?的解集为3x >．则a 的取值范围是( ) A ．3a > B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．3a < 9、若不等式组0, 122x a x x +?? ->-? ≥有解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．1a -≥ C ．1a ≤ D ．1a < 10、如果a ＜0，ab ＜0，则|b －a ＋4|－|a －b －6|化简的结果为…………………………（ ） （A ）2 （B ）－10 （C ）－2 （D ）2b －2a －2 11、解关于x 的不等式组()0 2114x k x k ->??? +>-?? 12、对于x ≥1的一切实数，不等式()1 2 x a -≥a 都成立，试求a 的取值范围. 13.(2009年牡丹江市)某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产 A 、 B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出 后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： （1）冰箱厂有哪几种生产方案？ （2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴， 那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？ （3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中 体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种． 14、（2009泰安）某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件。 （1） 求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？ （2） 若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪 念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？ 答案： 一． 填空题 1. m ＝1 2.21 x 3.21- x 4.25-a x 5.2,2 1--= x k 6.2 7.5 8.13 二． 选择题 9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A 三． 解答题 17.1）41 x 2）31 x ≤- 18.1）43 m 2）4 1-≥m 19.21≤k 20.1） x y 2.01750-= 2）13301225≤≤ y 21.设该宾馆有x 间宿舍；126.9 x 则x 取10或11. 精选 不等式的字母取值范围的确定方法 . 4.如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A.a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 5.不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是 6.已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解是－5，求a 的取值范围． 7.已知不等式13 a x ->的每一个解都是x ＜3的解，求a 的取值范围。 8.如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 9.已知a 、b 为常数,若ax+b>0的解集为x<13 ,则bx －a<0的解集为（ ） A 、x>－3 B 、x<－3 C 、x>3 D 、x<3 10.已知关于x 的不等式x-2a ＞4的解是正数，则a 的范围是 ； 已知关于x 的不等式x-a ＜3的解是负数，则a 的范围是 . 11.如果关于x 的不等式(1)5a x a -<+和24x <的解集相同，则a 的值为______．若不等 式 132 x a x a --->的解集与x ＜6的解集相同，则a 的取值范围_____． 12.若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x ＞1，则k 的范围是 。 13.已知不等式4x －a ≤0，只有四个正整数解，那么正数a 的取值范围是 14.若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a ﹣1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1＜a ≤7 B ．a ≤7 C ．a ＜1或a ≥7 D ．a=7 15.已知关于x 的不等式2x －a ＞3的解是正数，求a 的取值范围 16.若不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是 。 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在； 精品文档 精品文档 求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253-??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 17、若不等式组3>?? ≥?x x a 的解集为3>x ，则a 的取值范围是_______ 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253 -??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 17、若不等式组3>??≥?x x a 的解集为3>x ，则a 的取值范围是_______ 18、已知a ，b 是实数，若不等式（2a ﹣b ）x+3a ﹣4b ＜0的解是 ，则不等式（a ﹣4b ）x+2a ﹣3b ＞0的解是 _________ ． 专题 三角形中的最值与取值范围问题 三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。 类型一：已知一角+对边 例题1：在?ABC 中，A=60°， （1）ABC ?面积的最大值； （2）b c +的取值范围； （3）2b c +的最大值； （4）BC 边上高的最大值。 类型二：已知一角+边的等量关系 例题2：在?ABC 中，A=60°，1b c +=，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）a 的取值范围； （3）周长的取值范围。 类型三：已知一角+面积 例题3：在?ABC 中，A=60°，ABC S ?= （1）b c +的最小值； （2）a 的最小值。 （3）周长的最小值。 （4） 112b c +的最小值。 类型四：已知角的等量关系 例题4：在?ABC 中，A=2B ，则c b 的取值范围为 变式：在锐角?ABC 中，A=2B ，则c b 的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值 例题5：在?ABC 中，已知1,2AB BC ==，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）角C 的取值范围。 类型六：已知一边+另两边的等量关系 例题6：在?ABC 中，已知6,10BC AB AC =+ =，求ABC S ?的最大值。 变式：在?ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ?的最大值。 类型七：三边的等量关系 例题7：在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若2222a b c +=，求cos C 的最小值。 求参数取值范围一般方法 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0, 2 1］都成立，则a 的最小值是＿＿ 2.设124()lg ,3 x x a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。 3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例1、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 例2：若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 的取值范围． 变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 的值． 1.已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ，求x 的取值范围． 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间． 含参不等式与参变量的取值范围 一、选择题 1. 已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是 A. a >-1 B. a=1 C. a ≥1 D. a ≤1 2. 设)(1 x f -是函数1)((2 1)(>-= -a a a x f x x 的反函数，则使1)(1 >-x f 成立的x 的取值范围是 ) ,.[) ,21.() 21,.() ,21.(222+∞---∞+∞-a D a a a C a a B a a A 3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y),若不等式（x –a ）○×(x + a)<1对任意实数x 成立 2 1 23.2 3 21.20.11.<<- <<- <<<<-a D a C a B a A 的取值范围是 恒成立，则时，不等式（当的取值范围是，则实数的解集为若不等式的取值范围是 都有意义，则对已知函数的取值范围是 值，则）上有最大 ，在（存在，且，若，其中已知的取值范围是 数有且仅有三个解，则实若设的取值范围是 有解，则实数若不等式可以是的取值范围的充分条件，则是若集合a x x x D C B A a R x a x a D C B A a x x x x f b D b C b B b A b x f x f b a x a x b x x b ax x f D C B A a x x f x x f x a x f m D m C m B m A m m x x b D b C b B b A b B A a a b x x B x x x A a a a x x log )1)2,1(.10)2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(4)2(2)2(.9)21,161.()21,321.[]21,641.[)21,1281.[)2 1 ,0()log (log )(.81 0.1.12 1 .1.11)()(lim 0,0)1,0(] 0,1()(.7] 1,.(),1.[)2,.(]2,1.[)()0)(1() 0(3)(.62 .2 .1 .1 .|3||5|.521.13.20.02."""1"},|||{},01 1 |{.422220<-∈-∞+∞--∞--<-+-∈+-=≤<≥≤<>->>??? ??∈---∈+=-∞+∞-∞=? ??>-≤-=≥>≥><-+-<≤--<<-≤<<≤-≠=<-=<+-=→- φ 不等式（组）中参数范围的求法 一. 利用不等式的性质求解 例1 已知关于x 的不等式5)1(>-x a 的解集为a x -<15，则a 的取值范围为（ ） （A ）0>a （B ） 1>a （C ） 0a 故选（B ） 例2 如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x< 107，求关于x 的不等式ax>b 的解集。 解析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107 ，可知： 2a －b<0，且 51027b a a b -=-，得b=35 a 。 结合2a －b<0，b=35 a ，可知b<0，a<0。 则ax> b 的解集为x<35。 评注：这道题的内涵极为丰富，它牵涉到不等式的基本性质，不等式的解的意义，不等式的求解，它将式的的恒等变形、不等式、方程融合在一起，以不等式为背景，形成了一道精巧的小综合题。 例3若满足不等式513)2(3≤---≤a x a 的x 必满足53≤≤x ，则a 的取值范围是 （ ） （A ）2>a （B ） 2a 时， 2 63243-+≤≤-+a a x a a 由题意，得52 632433≤-+≤≤-+≤a a x a a 解之，得8≥a 当2=a 时，不等式无解 当2 不等式中字母的取值范围 习题 一，根据不等式的解集确定字母取值范围 例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1．的解集为x<1，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ． 练习一：根据性质： 1、已知a ，b 是常数，不等式ax+b ＞0, 当 时，不等式的解集是x ＞a b - ； 当 时，不等式的解集是x ＜a b -。 2、若ax ＜a-1的解集是x ＜a a 1-，则a 3、若（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 4、若（m-1）x ＞m-1的解集是x ＜1，则m 5、若关于x 的不等式x-m ≥-1的解集如图所示，则m 。 练习二：综合拓展： 1、已知三角形的三边长分别为6，x-2，4，则x 的取值范围是 分析： 2、若()04232 =--+-a x y y ，且x 为负数，则a 分析： 练：若()0332=++++m y x x ，且y 为负数，则m 3、如果x x +=+11，2323--=+x x ，则x 的取值范围是 分析： 练：如果1212-=-x x ，x x 3553-=-，则x 的取值范围是 练习三：与方程（组）的解有关： 1、已知y=2x-3，要是y ≥x ，求x 的取值范围 2、若关于x 的方程3x+3k=2的解是正数，则k 练：①当k 取何值时，关于x 的方程1)(3k 2-2 1+-=k x x 的解是负数 ②关于x 的方程3x+2n=2的解是非负数，则n ③当k 为何值时，关于x 的方程3x=5-4k 的解小于-3 二，根据不等式组的解集确定字母取值范围 例2、不等式组???>≤ 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 更多精品文档 初一数学不等式习题 一、填空:（每小题2分，共32分） 1.若a<0,下列式子不成立的是 ( ) A.-a+2<3-a B.a+2 不等式字母范围的确定练习一 1．写出不等式组的解集 （1）???≥>22x x （2）???<<22x x （3）???≥≤22x x （4）???≤>2 2x x 变式1：若a<2, 请确定下列不等式组的解集 （1）???≥>a x x 2 （2）???<a x x 2 变式2：（1）若不等式组???≥>a x x 2的解集是2>x ，则a 的取值范围为 (2)若不等式组???≥≤a x x 2的解集 时2≤≤x a ，则a 的取值范围为 （3）若不等式组?? ?≥≤a x x 2无解，则a 的取值范围为 2.若不等式组???≤>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式1：若不等式组? ??<>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式2：关于x 的不等式组010x a x ->?? ->?，只有3个整数解，则a 的取值范围是 ； 3.若不等式组12x x m <≤??>?有解，则m 的取值范围是（ ）．A ．m<2 B ．m≥2 C ．m<1 D ．1≤m<2 4. 不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是 5、已知a b <<0，那么下列不等式组中有解的是 （ ）A ．???<>b x a x B ．???-<->b x a x C ．???-<>b x a x D ．???>-a x x 1无解，则a 的取值范围是（ ）A .a ≤1 B .a ≥1 C . a <1 D .a ＞1 7、已知关于x 的不等式组? ??--0x 230a x ＞＞的整数解共有5个，求a 的取值范围。 8. 已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解是－5，求a 的取值范围． 9. 已知不等式13 a x ->的每一个解都是x ＜3的解，求a 的取值范围。 不等式(组)的字母取值范围的确定方法 一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围 例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ． 例2、已知不等式组15 3x a x a <+??有四个整数解，则a 的取值范围是 ． 分析：由题意，可得原不等式组的解为8 初中数学求一类参数取值范围的三种方法学法指导 贾海英 求一次不等式或不等式组中参数的取值范围，近年来在各地中考试卷中都有出现。从卷面上看，同学们丢分现象较严重下面举例介绍三种方法，供大家学习时参考。 一、利用不等式的性质求解 例1. 已知关于x 的不等式5x )a 1(>-的解集为a 15x -<，则a 的取值范围是（ ） A. 0a > B. 1a > C. 0a < D. 1a < 解：对照已知解集，发现不等式的两边同除以a 1-以后，不等号的方向改变了，由此可知0a 1<-，即1a >，故选B 。 例2. 若满足不等式51a 3x )2a (3≤---≤的x 必满足5x 3≤≤，则a 的取值范围是（ ） A. 2a > B. a a < C. 8a ≥ D. 8a ≤ 解：原不等式可化为???+≤-+≥-6a 3x )2a (4a 3x )2a ( 当2a >时， 2 a 6a 3x 2a 4a 3-+≤≤-+ 由题意，得52 a 6a 32a 4a 33≤-+≤-+≤ 解之，得8a ≥ 当2a =时，不等式组无解 当2a <时，2 a 4a 3x 2a 6a 3-+≤≤-+ 由题意，得52 a 4a 32a 6a 33≤-+≤-+≤ 此不等式无解 综上所述，8a ≥，故选C 。 二、根据解集的特性求解 例3. 若关于x 的不等式0a x 2≤-的正整数解是1、2、3，则a 的取值范围是（ ） A. 6a ≥ B. 6a ≤ C. 8a 6<≤ D. 8a 6≤< 解：3是满足此不等式的最大正整数，将x=3代入0a x 2≤-，得6a ≥ 4不是此不等式的解，将4x =代入后不成立，即0/a 42≤-?，故8\a ≥，即8a <。 综上所述，8a 6<≤，故选C 。 例4. 已知不等式组?????<-+≤+3x 2a x )2x (3a 5x 2有解，且每一个解x 均不在4x 1≤≤-范围内，则a 的取值范围是（ ） A. 3a 2<< B. 2a 3 1 a >-≤或 不等式中的取值范围求法 不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。 1、 不等式的性质法 利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。 例1：已知 f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。 解：由(1)(2)4f a c f a c =-??=-? 解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ?=-????=-?? ∴=-= ?--≤≤∴-≤?≤-≤≤-∴≤-?≤∴-+≤?-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()3983253 112583832403 41153531203 8353832531403203 1320ΘΘ，， ，即 评：解此类题常见的错误是：依题意得 -≤-≤--≤-≤41 11452a c a c （）（） 用（1）（2）进行加减消元，得 03173≤≤≤≤a c ，（） 由f a c f ()()397327=--≤≤得 其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。 2、 转换主元法 确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。 例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2) 根据题意有：?????<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：?????<->+0 1-2x 2x 03-2x 2x 22 解得2 31x 271+<<+- 所以x 的取值范围为 3、化归二次函数法 根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。 不等式(组)的字母取值范围的确定方法 近年来各地中考、竞赛试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考． 一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围 例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ． 例2、已知不等式组153 x a x a <+??有四个整数解，则a 的取值范围是 ． 分析：由题意，可得原不等式组的解为8 基本不等式与最值 ——不等式补充材料 ２０１5.４.２5 一． 基本不等式及其变形和推论 1. (,0,)2 a b a b a b +≤>=当且仅当时取"=" 2. 变形：,0,)a b a b a b +≥>=当且仅当时取"=" 3. 2a b +≤≤(,0,)a b a b >=当且仅当时取"=" ②22 2()22 a b a b ab ++≤≤(,,)a b R a b ∈=当且仅当时取"=" 二． 核心原理 和定积最（值），积定和最（值）， 三． 经典例题 类型1：无条件求最值 例1 设01,x <<求(1)y x x =-的最大值。（答案： 14） 变式1-1：设30,2x <<求(32)y x x =-的最大值。（答案：98 ） 变式1-2：当01x ≤≤，求函数y =的最大值。（答案： 12） 例2 设0,x >求1y x x =+的最小值。（答案：2） 变式2-1：设0,x ≠求1y x x =+的取值范围。（答案：(][),22,-∞-?+∞） 变式2-2：求函数1(2)2 y x x x =+>-的最小值。（答案：4） 变式2-3：求函数22914y x x =++的最小值。（答案：114 ） 变式2-4：设1,x >-求函数(2)(5)1 x x y x ++=+的最小值。（答案：9） 例3 设,0x y >，求： ①1 1()()x y x y ++的最小值；（答案：4） ②12()()x y x y ++ 的最小值；（答案：3+ 例4 正数,a b 满足3ab a b =++，求： ① ab 的最小值；（答案：9） ② a b +的最小值（答案：６）. 例５0a b >>，求： ①216() a b a b +-的最小值；（答案：１６） ②2 16()b a b a -? 的最大值（答案：４）。 类型２：有条件求最值 例１设,0x y >，41x y +=， ① 求xy 的最大值；（答案：116 ） 变式：求lg lg x y +的最大值（答案：lg 4-）。 ② 求 11x y +的最小值。（答案：９） 例２ 设lg lg 2x y +=， ① 求x y +的最小值；（答案：２０） ② 求11x y +的最小值；（答案：15 ） ③ 求lg lg x y ?的最大值。（答案：１） 例３设,0x y >，且411x y +=， ① 求xy 的最小值；（答案：１６） 变式：求lg lg x y +的最小值；（答案：lg16） 不等式中最值问题全梳理 教师专用（2020.8.23） 题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题 例题1 若方程 ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22 12x x +的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ． ) +∞ C ． ()2,+∞ D ．()0,1 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为 ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-= 故可得()120In x x =，解得211x x = ，则22 12x x + =212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2 2291 sin cos αα +的最小值为（ ） A ．2 B ．16 C ．8 D ．12 【分析】利用22sin cos 1αα+=将 22 91sin cos αα +变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵2 2 sin cos 1αα+=，∴()22 2222 9191sin cos sin cos sin cos αααααα ??+=++ ??? 2222 sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，2 1cos 4α=时“=”成立，故22 91 sin cos αα +的最小值为16. 【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最 值，属于基础题. 例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n －4＝0(m >0，n >0)上，则 m ＋n 的最小值为________． 【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1 n ＝4，最终版不等式的字母取值范围的确定方法.doc
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