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学业分层测评(四) 单位圆与三角函数线
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.在直线y ＝x 上
D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上
【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上.故选B. 【答案】 B
2.(2016·石家庄高一检测)如果3π
4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )
A.cos θ＜tan θ＜sin θ
B.sin θ＜cos θ＜tan θ
C.tan θ＜sin θ＜cos θ
D.cos θ＜sin θ＜tan θ
【解析】 由于3π
4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容
易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选
A.
【答案】 A
3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.? ????π4，π2∪? ????π，5π4
B.? ??
?
?π4，π
C.?
??
??π4，5π4 D.?
????π4，π∪? ??
??5π4，3π2
【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.
2
【答案】 C
4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝2
3，则这个三角形是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】 当0＜α≤π
2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin
α＋cos α＝2
3
，∴α必为钝角.
【答案】 D
5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin π6＝sin 7π6；②cos ? ????－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选
B.
【答案】 B 二、填空题
6.(2016·西安高一检测)已知θ∈? ??
??π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正
切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.
【解析】 作图如下：
3
因为θ∈? ????π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 【答案】 AT >MP >OM
7.(2016·济南高一检测)函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.
【导学号：72010011】
【解析】 要使函数有意义， 有1－2sin x ≥0，得sin x ≤1
2
，
如图，确定正弦值为1
2
的角的终边OP 与OP ′，
其对应的一个角分别为136π，5
6
π
所求函数定义域为??????2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 【答案】 ?
?????2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________. 【解析】 因为5π
6
＜3＜π，作出单位圆如图所示
.
设MP →，OM →
的数量分别为a ，b ， 所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，
4
所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.
故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 【答案】 第四象限 三、解答题
9.画出7π
6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.
【解】
如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线.sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－3
2，
tan 7π6＝3
3
.
10.求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ? ?
?
??
sin x －
22的定义域. 【解】 由题意，自变量x 应满足不等式组
?
????
1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即???
??
cos x ≤1
2，sin x >2
2
，
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴?
?????
???
?x ???
2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z
. [能力提升]
1.已知sin α＞sin β，那么下列结论成立的是( ) A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β
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【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤π
2，cos α＜cos β，故A 错；
第二象限，则π2≤α＜β≤π，tan α＜tan β，故B 错；第三象限，则π≤α＜β≤3π
2，
cos α＜cos β，故C 错；第四象限，则3π
2≤β＜α≤2π，tan α>tan β，(均假定0≤α，
β≤2π)，故D 正确.
【答案】 D
2.满足sin ?
????x －π4≥1
2的x 的集合是( )
A.??????
????x ???
2k π＋5π12≤x ≤2k π＋
13π
12，k ∈Z B.??????????x ??? 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π
12，k ∈Z
C.??????
????x ???
2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π
6，k ∈Z D.??????
???
?x ?
??
2k π≤x ≤2k π＋π
6，k ∈Z
【解析】 由sin ?
????x －π4≥12，
得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π
12≤x ≤2k π＋13π
12
，k ∈Z .
【答案】 A
3.(2016·东莞高一检测)若θ∈?
??
?
?3π4，π，则下列各式错误的是________.
①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0. 【解析】 若θ∈? ??
?
?3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以
sin θ＋cos θ＜0.
【答案】 ④
4.(2016·德州高一检测)已知α∈? ????0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.
【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥
Oy ，M ，N 分别为垂足.
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∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.
∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝1
2
sin α，
S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12
cos α， S 扇形OAB ＝14
π×12＝π4
，
又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，
∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π
2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2
.
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