数列解答策略
命题趋势
数列是新课程的必修内容,从课程定位上说,其考查难度不应该太大,数列试题倾向考查基础是基本方向.从课标区的高考试题看,试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题,一道解答题.由此我们可以预测2012年的高考中,数列试题会以考查基本问题为主,在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等,但难度会得到控制.
备考建议
1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前n 项和公式等
2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量1a 、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算。
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。
4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外 。如n a 与n S 的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳。
5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键。
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果。
7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于 建模及数列的一些相关知识的应用。
解答策略
1.定义:⑴等差数列 *),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=?=-?-++为常数)}{
Bn An s b kn a n n +=?+=?2;
⑵等比数列
N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2
n 1n n ∈≥?=?≠=?++a a a q q a a a n
{ )0k ,1q ,0q (kq k Sn 0,(n ≠≠≠-=?=?的常数)均为不为q c cq a n n ;
2.等差、等比数列性质
等差数列特有性质:①项数为2n 时:S 2n =n(a n +a n+1)=n(a 1+a 2n );nd S =-奇偶S ;
1
n n
a a S +=
偶
奇S ;②项数为2n-1时:S 2n-1=(2n-1)中a ;中偶奇a S =S - ;
1
-n n
S =
偶
奇S ; ③若0)(,,=≠==+n m m n a n m n a m a ,则;若)(,,n m S n S m S n m m n +-===+则; 若0)(,=≠=+n m m n S n m S S ,则。 3.数列通项的求法:
⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP 的定义)
⑷叠乘法(
n n
n c a a =+1
型);⑸构造法(b ka a n n +=+1型);(6)迭代法; ⑺间接法(例如:41141
11=-?=----n n n n n n a a a a a a );⑻作商法(n n c a a a = 21型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注:当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1
1
11或
时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 4.前n 项和的求法:⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前n 项和最值的求法:
⑴???
? ?
????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或 ;⑵利用二次函数的图象与性质。
考点一 等差、等比数列的概念与性质
典型例题
例1:等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列 (1)求{n a }的公比q ;(2)求1a -
3a =3,求n s
【名师点睛】:关于等差、等比数列的问题,首先应抓住a 1,d ,q ,通过列方程组来解.此方法具有极大的普遍性,需用心掌握,但有时运算繁杂,要注意计算的正确性;若能恰当地运用性质,可减少运算量. 例2:已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 6=55, a 2+a 7=16.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式:(Ⅱ)若数列{a n }和数列{b n }满足等式:a n ==)(2...222n 33221为正整数n b
b b b n
+++,求数列{b n }的前n 项和S n
解(1)解:设等差数列{}n a 的公差为d ,则依题设d>0 由a 2+a 7=16.得12716a d +=①由
3655,a a ?=得11(2)(5)55a d a d ++= ②由①得12167a d =-将其代入②得
(163)(163)220d d -+=。
即2
2569220d -=
24,0,2,11(1)221
n d d d a n n ∴=>∴==∴=+-?=-1又代入得a ①
(2)令121121,,2
n
n n n n n n b c a c c c a c c c +-=
=+++=+++ 则有两式相
111111111
,(1)1,2
2,2(2),22222,(1)2(2)
n n n n n n n n n n n a a c a a a c c n n b b a n b n ++++++-==-=∴==≥≥====?∴=?≥?由得即当时,又当n=1时,
于是341
1232222n n n S b b b b +=+++=++++
=2
3
4
1
22222
n ++++++ -4=1222(21)426,2621
n n n n S +++--=-=--即
【名师点睛】:在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 考点二 求数列的通项与求和
例3. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+(I )设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II )求数列{}n a 的通项公式。
【名师点睛】:一般地,含有n S 的递推关系式,一般利用11,
1
,2
n n n S n a S S n -=?
=?-≥?化“和”为“项”。
例4:在数列{n a }中,3
11=
a ,并且对任意2,≥∈*
n N n 都有n n n n a a a a -=?--11成立,令 )(1
*∈=
N n a b n n .(Ⅰ)求数列{n b }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n
a n }的前n 项和n T .
【名师点睛】:裂项相消法:主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注意一般情况下剩下正负项个数相同. 考点三 数列与不等式、函数等知识的联系
例5: 已知数列{}n a 是等差数列,(
)*
+∈-=N
n a a c n n n 2
12
(1)判断数列{}n
c 是否是等差数列,并说明
理由;(2)如果()
为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当
12=n 时取得最大值。若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由。
解:(1)设{}n a 的公差为d ,则2
2
2
2
1121()()n n n n n n c c a a a a ++++-=---
2221112()()n n n a a d a d +++=---+22d =-∴数列{}n c 是以22d -为公差的等差数列
(2)1325130a a a +++= ,242614313a a a k +++=- ∴两式相减:131313d k =-1d k ∴=-113(131)
1321302
a d -∴+
?=3212a k ∴=-+ 1(1)(1(133))n a a n d kn k ∴=+-=-+-22111()()n n n n n n n c a a a a a a +++∴=-=+-
2226326(21)(1)k n k =-+-+-22(1)25305k n k k =--?+-+
(3)因为当且仅当12n =时n S 最大12130,0c c ∴><有
即22
22
224(1)25305018190
36(1)25305022210k k k k k k k k k k ??--+-+>+->?????--+-+<-+>????
1191921211k k k k k k ><-???<->?>
或或或
【名师点睛】:解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.
例6: 已知数列{}n a 的首项121a a =+(a 是常数,且1a ≠-),2422
1+-+=-n n a a n n (2n ≥),
数列{}n b 的首项1b a =,2
n a b n n +=(2n ≥)。 (1)证明:{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列;
(2)设n S 为数列{}n b 的前n 项和,且{}n S 是等比数列,求实数a 的值;(3)当0>a 时,求数列{}n a 的最小项.(提示:当3≥n 时总有122+>n n
)
当14a =
时,最小项为a 4或18-a ;当11(,)42a ∈时,最小项为a 4;当1
2a =时,最小项为a 4或12+a ;当1
(,)2
a ∈+∞时,最小项为12+a 。
【名师点睛】:、对数列中的含n 的式子,注意可以把式子中的n 换为n 1+或n 1-得到相关的式子,再进行化简变形处理;也可以把n 取自然数中的具体的数1,2,3…等,得到一些等式归纳证明.
例7:已知数列{}n a 中,()112,202,n n a a a n n n N -=--=≥∈.(1)写出23a a 、的值(只写结果)并求出数列{}n a 的通项公式;(2)设12321111
n n n n n
b a a a a +++=+++???+
,若对任意的正整数n ,当[]1,1m ∈-时,不等式21
26
n t mt b -+
>恒成立,求实数t 的取值范围。
当()1,0x f x '≥>时恒成立∴()f x 在[)1,x ∈+∞上是增函数,
故当1x =时,()()13f x f ==min 即当1n =时,1
(6
n b =
)max 要使对任意的正整数n ,当[]1,1m ∈-时,不等式2126n t mt b -+>恒成立,则须使2max 11
2()66
n t mt b -+>=,即[]220,1,1t mt m ->?∈-对恒成立,
∴ 22
20
,2220t t t t t t ?->><-?
+>?解得,或 ∴ 实数t 的取值范围为()(),22,-∞-?+∞ 另解: 11111111
1223121221231n n b b n n n n n n n n +??-=
--+=+-+ ?++++++++??
22
33340252253n n n n n n ++=
-<++++∴ 数列{}n a 是单调递减数列,∴11
(6
n b b ==)max
【名师点睛】:数列是一种特殊的函数,要注意其特殊性: (1)若用导数研究数列的单调性、最值等.要构造辅助函数,因为导数是对连续函数而定义的.(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别. 例8:设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x 轴的正半轴上,
且都与直线y x =
相切,对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切,以n r 表示n C 的半径,已知{}n r 为递增数列.(Ⅰ)证明:{}n r 为等比数列;(Ⅱ)设11r =,求数列{}n
n
r 的前n 项和
.
【名师点睛】:一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,主要用错位相减法求数列的和. 例9:甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%,20%的某种溶液500ml , 同时..从甲、乙两个容器中各.取出100ml 溶液,将其倒入对方的容器搅匀,这称为一次调和. 记110%a =,120%b =,经1(2)n n -≥次调 和后甲、乙两个容器的溶液浓度为n a ,n b (I )试用1n a -,1n b -表示n a ,n b ; (II )求证:数列{n a -n b }是等比数列,数列{n a +n b }是常数列;(III )求出数列{n a },{n b }的通项公式.
解:(1)11114001004150055n n n n n a b a a b ----+=
=+
111140010041
50055n n n n n b a b b a ----+==+
(2)两式相减 113
()5
n n n n a b a b ---=- 110a b -≠ 所以等比
两式相加11n n n n a b a b --+=+=…….=1130%a b += 所以常数列;
(3)1310%()5n n n a b --=- 1133
5%()15%,5%()15%55
n n n n a b --=-+=+
【名师点睛】:数列在日常经济生活中广为应用,如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等,都是与等比数列有关.另外,有些实际问题,可转化为数列问题,注意是求项还是求和,是解方程还是不等式问题. 突破训练
1、已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8= -10(I )求数列{a n }的通项公式;(II )求数列12n n a -??
?
???
的前n 项和.
所以12n n n S -=
.综上,数列12n n a -??????
的前n 项和为1
2n n n S -=. 2、已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项;(Ⅱ)求数列{2an
}的前n 项和S n .
解(Ⅰ)由题设知公差d ≠0, 由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列得121d +=1812d
d
++, 解得d =1,d =0(舍去), 故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知2m
a =2n
,由等比数列前n 项和公式得S m =2+22
+23
+ (2)
=2(12)12
n --=2n+1
-2.
3、设数列{}n a 满足10a =且
111
1.11n n
a a +-=--
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设1, 1.n
n n k n k b b S ==
=∑ 记S 证明:
4、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、
5、13后成为等比数列{}n b 中的
245b b b 、、(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:数列5
{}4
n S +是等比数列.
本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识,同时考查基本运算能力. 解析:(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d ,a, a+d. 依题意,得a-d+a+a+d =15,解得a=5. 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7-d ,10,18+d.依题意,有(7-d )(18+d )=100,解得d=2或d=-13(舍去). 故{}n b 的第3项为5,公比为2.由3122b b =?,即1252b =?,解得15.4
b =
所以{}n b 是以
54为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为135
2524
n n n b --=?=?. (2)数列{}n b 的前n 项和25
(12)
5452,124n n n S --=
=?--即2552.4
n n S ++=? 所以1112
5
55524, 2.542524
n n n n
S S S -+-+
?+===?+因此5{}4n S +是以52为首项,公比为2的等比数列. 5、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令
2
11
n n b a =
-(n N +
∈),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
6、设M 为部分正整数组成的集合,数列}{n a 的首项11=a ,前n 项和为n S ,已知对任意整数k 属于M ,当n>k 时,)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立。(1)设M={1},22=a ,求5a 的值;(2)设M={3,4},求数列}{n a 的通项公式。
7、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M 的价值为上年初的75%.(I )求第n 年初M 的价值n a 的表达式;(II )设12,n
n a a a A n
+++=
若n A 大于80万元,则M 继续使用,否则
须在第n 年初对M 更新,证明:须在第9年初对M 更新.
解析:(I )当6n ≤时,数列{}n a 是首项为120,公差为10-的等差数列.12010(1)13010;n a n n =--=- 当6n ≥时,数列{}n a 是以6a 为首项,公比为
34为等比数列,又670a =,所以6
370();4
n n a -=? 因此,第n 年初,M 的价值n a 的表达式为6
12010(1)13010,6370(),74
n n n n n n a a n ---=-≤??
=?=?≥?? (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式得
当16n ≤≤时,1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-当7n ≥时,
66
6786
333
()570704[1()]780210()444
3780210()
4.n n n n n n S S a a a A n
---=++++=+???-=-?-?= 因为{}n a 是递减数列,所以{}n A 是递减数列,又
8696
8933
780210()780210()4779448280,7680,864996
A A ---?-?==>==<
所以须在第9年初对M 更新.
8、已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且
11a ,21a ,4
1
a 成等比数列(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及n S (Ⅱ)记1231111...n n
A S S S S =
++++,212221111
...n
n B a a a a =
++++,当2n ≥时,试比较n A 与n B 的大小.[ 因为22n n a a =,所以2112221111...n n B a a a a -=++++1
1()12112n
a -=?-21(1)2n
a =- 当2n ≥时,
201221n
n n n n C C C C n =++++>+ 即111112
n n -<-+;
所以当0a >时,n n A B <;当0a <时,n n A B >
9、等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足:()n n
n n a a b ln 1-+=,求数列{}n b 的前n 项和n S
.
当n 为奇数时,设(
)*
12N
k k n ∈-=,
=+++=n n b b b S 21()()122232121ln ln ln ln ln ---++-+-++++k k n a a a a a a a a
()
()()2264212531ln ln 3
1312--+---=k k n a a a a a a a a
()()
325312242032323232ln 32323232ln 13--????????+????????--=k k n
()()
()
(
)
()()()11112
1132ln 133232ln 1332ln 32ln 132
-------?+-=???
? ????+-=?+?--=k n k k k k k n
k k k k k n
()2ln 3ln 113
2+---=k k
;所以(
)
()(
)
?
??∈-=+---∈=+-=*
2*
2122ln 3ln 11323ln 13N k k n k N k k n k S k
k n 10、如图,从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线x
y e =于点1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ,再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列点:1122,;,......;,,n n P Q P Q P Q 记k P 点的坐标为(,0)(1,2,...,)k x k n =.(Ⅰ)试求1x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤( Ⅱ)求
112233...n n PQ P Q PQ P Q ++++
11、首项为正数的数列{}n a 满足2
11(3),.4
n n a a n N ++=
+∈ (I )证明:若1a 为奇数,则对一切2,n n a ≥都是奇数;(II )若对一切n N +∈都有1n n a a +>,求1a 的取值范围.
(方法二)由21213
,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >。
22111133()()
,444
n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=-=
因为2113
0,,4
n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0,因此1n n a a +-与1n n a a --同号。
根据数学归纳法,n N +?∈,1n n a a +-与21a a -同号。 因此,对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。
12、w 已知曲线2
2
:20(1,2,)n C x nx y n -+== .从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ,切点为(,)n n n P x y .(1)求数列{}{}n n x y 与的通项公式;(2)证明
:
13521n n n
x
x x x x y -????<
.
解:(1)设直线n l :)1(+=x k y n ,联立0222=+-y nx x 得0)22()1(2
222=+-++n n n k x n k x k ,则0)1(4)22(2
2
2
2
=+--=?n n n k k n k ,∴1
2+=
n n k n (1
2+-
n n 舍去)
222
2
2
)1(1+=+=n n k k x n n n
,即1+=n n x n ,∴112)1(++=+=n n n x k y n n n
(2)证明:∵1
21
1
11111+=++
+-
=
+-n n n n n
x x n
n
1
21
12125331212432112531+=+-??????<-??????=
???????-n n n n n x x x x n ∴n n
n x x x x x x +-<
???????-1112531由于n
n n
n x x n y x +-=+=11121,可令函数x x x f sin 2)(-=,则
x x f cos 21)('-=,令0)('=x f ,得22cos =
x ,给定区间)4
,0(π,则有0)('
,0(π 恒成立,又4 311210π <≤+< n , 则有1 21 sin 2121+<+n n ,即 n n n n y x x x sin 211<+-. 13、等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.(1)求r 的值; (11)当b=2时,记 22(log 1)()n n b a n N + =+∈ 证明:对任意的n N + ∈ ,不等式 1212111 ·······n n b b b b b b +++> (2)当b=2时,1 1(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则 1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=?? w.w.w..c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式 1212111 35721·······2462n n b b b n b b b n ++++=??> . ① 当1n =时,左边= 32,右边 , 因为3 2 >所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立, 即 1212111 35721·······2462k k b b b k b b b k ++++=??> 成立.则当1n k =+时,左边= 11212111113572123 (246222) k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=????? + 2322k k +>== =+所以当1n k =+时,不等式也成立. w.w.w..c.o.m 由①、②可得不等式恒成立 . 14、已知数列{}n a 与{}n b 满足: 1123(1)0,2 n n n n n n n b a a b a b ++++-++==, * n ∈N ,且122,4a a ==.(Ⅰ) 求345,,a a a 的值;(Ⅱ)设* 2121,n n n c a a n N -+=+∈,证明:{}n c 是等比数列;(Ⅲ)设 * 242,,k k S a a a k N =++???+∈证明:4*17 ()6n k k k S n N a =<∈∑ . 15、设实数数列{}n a 的前n 项和n S 满足() * 11n n n S a S n N ++=∈ (Ⅰ)若122,,2a S a -成等比数列,求2S 和 3a (Ⅱ)求证:对3k ≥有1403 n n a a +≤≤≤。 参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A =,B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则 (A) (B ) (C) (D) (7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ =,则cos2α= (A) (B ) (C) (D) (8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2= (A)1 4(B) 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 (9)已知x=lnπ,y=log52, 1 2 z=e,则 (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x (10) 已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c= (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 (11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (A)12种(B)18种(C)24种(D)36种 (12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 二。填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) (13)若x,y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 (14)当函数取得最大值时,x=___________。 (15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。 (16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈ A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121 1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. { 、 ~ 、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像 精品文档第五章:数列历年高考题 一、单项选择题 1、(2003)已知数列{a n }是等差数列,如果a 1 =2,a 4 =-6则前4项的和S 4 是() A -8 B -12 C -2 D 4 2、(2004年)在?ABC中,若∠A、∠B、∠C成等差数列,且BC=2,BA=1,则AC 等于() A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、(2004)在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服,如果每次能洗去污垢的 3 2,则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅,该洗衣机至少要清洗的次数是()A 2 B 3 C 4 D 5 4、(2005年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 12 =10,则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于() A 10 B 20 C 30 D 40 5、(2005年)在等比数列{a n }中,a 2 =2,a 5 =54,则公比q=() A 2 B 3 C 9 D 27 6、(2006年)若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于() A 4 B 6 C 8 D 10 7、(2007)为了治理沙漠,某农场要在沙漠上栽种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每一年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场栽种植被的公顷数是()A 510 B 330 C 186 D 51 8、(2007年)如果a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点 个数是() A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、(2007年)小王同学利用在职业学校学习的知识,设计了一个用计算机进行数字变换的游戏,只要游戏者输入任意三个数a 1 ,a 2 ,a 3 ,计算机就会按照规则:a 1 + 2a 2 - a 3 ,a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数,若游戏者输入三个数后,计算机输出了29,50,55三个数,则输入的三个数依次是() A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、(2008年)在等差数列{a n }中,若a 2 +a 5 =19,则a 7 =20,则该数列的前9项和是() A 26 B 100 C 126 D 155 11、(2009年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 8 =15,则S 8 等于() A 40 B 60 C 80 D 240 12、(2009年)甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a(亿元)和4a(亿元),甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国,假设乙国的年平均增长率为,那么甲国的年平均增长率最少应为() A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、(2009年)如果三个实数a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是() 14、(2010年)已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是() A 4 B 4或-4 C 10 D 5 x 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中,使得()*∈ 2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2, (1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1. 数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现: 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到: 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。 对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说:“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。” 第五章:数列历年高考题一、单项选择题 1、(2003)已知数列{a n }是等差数列,如果a 1 =2,a 4 =-6则前4项的和S 4 是() A -8 B -12 C -2 D 4 2、(2004年)在?ABC中,若∠A、∠B、∠C成等差数列,且BC=2,BA=1,则AC 等于() A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、(2004)在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服,如果每次能洗去污垢的 3 2,则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅,该洗衣机至少要清洗的次数是()A 2 B 3 C 4 D 5 4、(2005年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 12 =10,则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于() A 10 B 20 C 30 D 40 5、(2005年)在等比数列{a n }中,a 2 =2,a 5 =54,则公比q=() A 2 B 3 C 9 D 27 6、(2006年)若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于() A 4 B 6 C 8 D 10 7、(2007)为了治理沙漠,某农场要在沙漠上栽种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每一年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场栽种植被的公顷数是()A 510 B 330 C 186 D 51 8、(2007年)如果a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点 个数是() A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、(2007年)小王同学利用在职业学校学习的知识,设计了一个用计算机进行数字变换的游戏,只要游戏者输入任意三个数a 1 ,a 2 ,a 3 ,计算机就会按照规则:a 1 + 2a 2 - a 3 ,a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数,若游戏者输入三个数后,计算机输出了29,50,55三个数,则输入的三个数依次是() A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、(2008年)在等差数列{a n }中,若a 2 +a 5 =19,则a 7 =20,则该数列的前9项和是() A 26 B 100 C 126 D 155 11、(2009年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 8 =15,则S 8 等于() A 40 B 60 C 80 D 240 12、(2009年)甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a(亿元)和4a(亿元),甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国,假设乙国的年平均增长率为,那么甲国的年平均增长率最少应为() A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、(2009年)如果三个实数a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是() 14、(2010年)已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是() A 4 B 4或-4 C 10 D 5 15、(2010年)已知数列的前n项和S n =n n + 2,则第二项a 2 的值是() A 2 B 4 C 6 D 8 16、(2011年)如果三个正数a,b,c成等比数列,那么lga,lgb,lgc() x 参考公式: 如果事件A 、B 互斥, 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立, 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3. m }, B ={1, m} ,A U B =A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点, 焦距为 4 一条准线为x=-4 , 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 , AB=2, CC 1=22 E 为CC 1的中点, 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 5=5, S 5=15, 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中, AB 边的高为CD , 若 a·b=0, |a|=1, |b|=2, 则 (A) (B ) (C) (D) 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 1. (福建卷)已知等差数列 }{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2. (湖南卷)已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+,则 20a = ( ) A .0 B .3- C .3 D .23 3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列,则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. (山东卷) {}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,如果n a =2005,则序号n 等于( ) (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 8. (湖北卷)设等比数列 }{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 10. (上海)12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ,记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=,!,,3,2,1n i Λ=。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, 12021b b b +++Λ=_______。 11. (天津卷)在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n , 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷:(本题满分18分) 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足()sin n n b a =,集合 {}*|,n S x x b n N ==∈. (1)若120,3 a d π ==,求集合S ; (2)若12 a π = ,求d 使得集合S 恰好有两个元素; (3)若集合S 恰好有三个元素:n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的 值. 二、2019年高考数学浙江卷:(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注: 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. (1)求n 的值; (2)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷:(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ,若无穷数列{}n b 满足:对任意*n N ∈,都有1n n b a -≤,则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列,11n n b a +=+,*n N ∈,判断数列{}n b 是否与{}n a 接近,并说明理由; (2)设数列{}n a 的前四项为:12341,248a a a a ====,,,{}n b 是一个与{}n a 接近的数列,记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===,求M 中元素的个数m ; (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列,若存在数列{}n b 满足:{}n b 与{}n a 接近,且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数,求d 的取值范围. 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域(最值) 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性 题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性(区间)的判断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范 围 题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性 问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调,求 参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数 零点个数问题 题型3-9 不等式恒成立与存在性问题 题型3-10 利用导数证明不等式 题型3-11 导数在实际问题中的应用 第三节定积分和微积分基本定理 题型3-12 定积分的计算 题型3-13 求曲边梯形的面积 第四章三角函数 第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和 诱导公式 题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别 题型4-2 α 2 是第几象限角 题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算 题型4-4 三角函数定义 题型4-5 三角函数线及其应用 题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论 中出现的角是相同的 题型4-8 诱导求值与变形 第二节三角函数的图象与性质 题型4-9 已知解析式确定函数性质 题型4-10 根据条件确定解析式 题型4-11 三角函数图象变换 第三节三角恒等变换 题型4-12 两角和与差公式的证明 题型4-13 化简求值 第四节解三角形 题型4-14 正弦定理的应用 题型4-15 余弦定理的应用 题型4-16 判断三角形的形状 题型4-17 正余弦定理与向量的综合 题型4-18 解三角形的实际应用 第五章平面向量 第一节向量的线性运算 题型5-1 平面向量的基本概念 题型5-2 共线向量基本定理及应用 题型5-3 平面向量的线性运算 题型5-4 平面向量基本定理及应用 题型5-5 向量与三角形的四心 题型5-6 利用向量法解平面几何问题 第二节向量的坐标运算与数量积 题型5-7 向量的坐标运算 题型5-8 向量平行(共线)、垂直充要条件的坐 标表示 题型5-9 平面向量的数量积 题型5-10 平面向量的应用 第六章数列 第一节等差数列与等比数列 题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求 解 题型6-2 等差、等比数列的求和 题型6-3 等差、等比数列的性质应用 题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列 题型6-5 等差数列与等比数列的综合 第二节数列的通项公式与求和 题型6-6 数列的通项公式的求解 题型6-7 数列的求和 第三节数列的综合 题型6-8 数列与函数的综合 题型6-9 数列与不等式综合 第七章不等式 第一节不等式的概念和性质 题型7-1 不等式的性质 题型7-2 比较数(式)的大小与比较法证明不 等式 第二节均值不等式和不等式的应用 题型7-3 均值不等式及其应用 题型7-4 利用均值不等式求函数最值 题型7-5 利用均值不等式证明不等式 题型7-6 不等式的证明 第三节不等式的解法 题型7-7 有理不等式的解法 题型7-8 绝对值不等式的解法 第四节二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题 题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域 题型7-10 平面区域的面积 题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围 题型7-12 简单线性规划问题的实际运用 第五节不等式综合 题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值 范围 -年高考文科数学真题汇编:数列高考题老师版 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 学科教师辅导教案 学员姓名 年 级 高三 辅导科目 数 学 授课老师 课时数 2h 第 次课 授课日期及时段 2018年 月 日 : — : 1.(2013安徽文)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =( ) (A )6- (B )4- (C )2- (D )2 【答案】A 2.(2012福建理)等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】B 3.(2014福建理)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C 4.(2017·全国Ⅰ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8 【解析】设{a n }的公差为d ,由????? a 4+a 5=24, S 6=48,得? ? ??? (a 1+3d )+(a 1+4d )=24, 6a 1+6×5 2 d =48,解得d =4.故选C. 5.(2012辽宁文)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B 6.(2014新标2文) 等差数列{}n a 的公差是2,若248,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( ) A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1) 2 n n - 【答案】A 7.(2012安徽文)公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =( ) ()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 8 【答案】A 历年高考试题集锦——数列 2012高考真题分类汇编:数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中,12=a ,54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ,54=a ,所以64251=+=+a a a a ,所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和,则下列命题错误的是 A.若d <0,则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项,则d <0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列,则对任意*N n ∈,均有0>n S D. 若对任意*N n ∈,均有0>n S ,则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n }是递增数列,但是S n >0不成立.故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列,所以87465-==a a a a ,又274=+a a ,所以2474-==a a ,或4274=-=a a ,.若2474-==a a ,,解得18101=-=a a ,,7101-=+a a ;若4274=-=a a ,,解得18110=-=a a ,,仍有7101-=+a a ,综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =,n n a a a S +++= 21,在 题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件 题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像 题型43、利用导数求函数的单调区间 题型44、含参函数的单调性(区间) 题型45、已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围题型46、函数的极值与最值的求解 题型47、方程解(函数零点)的个数问题 题型48、不等式恒成立与存在性问题历年高考数学真题(全国卷整理版)43964
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