2016-2018年高考数学全国各地
数列真题汇编
1.(2018全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则=5a ( )
A .12-
B .10-
C .10
D .12
答案:B 解答:
1111113243
3(3)24996732022
a d a d a d a d a d a d ??+
?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-,∴51424(3)10a a d =+=+?-=-.
2.(2018北京理)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________.
【答案】63n a n =-
【解析】13a =Q ,33436d d ∴+++=,6d ∴=,()36163n a n n ∴=+-=-.
3.(2017全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4
D .8
【答案】C
【解析】设公差为d ,45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,61165
6615482
S a d a d ?=+
=+=,联立11
2724
,61548a d a d +=??
+=?解得4d =,故选C. 秒杀解析:因为166346()
3()482
a a S a a +==+=,即3416a a +=,则4534()()24168a a a a +-+=-=,
即5328a a d -==,解得4d =,故选C.
4.(2017全国新课标Ⅱ理)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A .1盏
B .3盏
C .5盏
D .9盏
【答案】B
5.(2017全国新课标Ⅲ理)等差数列{}n
a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a ,
6a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为( )
A .24-
B .3-
C .3
D .8
【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列,且236,,a a a 成等比数列,设公差为d .
则2326a a a =?,即()()()2
11125a d a d a d +=++
又∵11a =,代入上式可得220d d += 又∵0d ≠,则2d =-
∴()61656
5
61622422
S a d ??=+=?+?-=-,故选A.
6.(2017全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4
D .8
【答案】C
【解析】设公差为d ,45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,61165
6615482
S a d a d ?=+=+=,联立112724
,61548
a d a d +=??
+=?解得4d =,故选C.
秒杀解析:因为166346()
3()482
a a S a a +==+=,即3416a a +=,则4534()()24168a a a a +-+=-=,
即5328a a d -==,解得4d =,故选C.
7.(2015福建文)若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点,且,,2a b - 这三个
数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于________.
【答案】9
8.(2017全国新课标Ⅲ理)等差数列{}n
a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a ,
6a 成等比数列,则{}n
a 前6项的和为( )
A .24-
B .3-
C .3
D .8
【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列,且236,,a a a 成等比数列,设公差为d .
则2
3
26a a a =?,即()()()2
11125a d a d a d +=++ 又∵11a =,代入上式可得220d d += 又∵0d ≠,则2d =-
∴()616565
61622422
S a d ??=+=?+?-=-,故选A.
9.(2016全国Ⅰ理)已知等差数列
{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = ( )
(A )100 (B )99 (C )98 (D )97 【答案】C
【解析】:由已知,11
93627
,98a d a d +=??
+=?所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C. 考点:等差数列及其运算
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这
些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一
10.(2016四川理)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30)
( A )2018年 (B )2019年 (C )2020年 (D )2021年 【答案】B 【解析】
试题分析:设第n 年的研发投资资金为n a ,1130a =,则1
130 1.12
n n a -=?,由题意,需
1130 1.12200n n a -=?≥,解得5n ≥,故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万,选B.
考点:等比数列的应用.
11.(2018全国新课标Ⅰ理)记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+,则6S =_____________.
答案:63- 解答:依题意,1
121,
21,n n n n S a S a ++=+??
=+?作差得12n n a a +=,所以{}n a 为公比为2的等比数列,又因为
11121a S a ==+,所以11a =-,所以1
2n n a -=-,所以661(12)
6312
S -?-==--.
12.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1,a 4=b 4=8,则2
2
a b =_______.
【答案】1
【解析】试题分析:设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ,3138d
q -+=-= ,求得
2,3q d =-= ,那么
221312
a b -+== . 13.(2017江苏) 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763
44
S S ==,,则8a = . 【答案】32
【解析】当1q =时,显然不符合题意;
当1q ≠时,316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q
?-=?-??-?=?-?,解得1142a q ?=
???=?,则7812324a =?=. 【考点】等比数列通项
14.(2017全国新课标Ⅱ理)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11
n
k k
S ==∑
。 【答案】
21
n
n + 【解析】
试题分析:设等差数列的首项为1a ,公差为d ,
由题意有:1123
43
4102
a d a d +=??
??+=?? ,解得111a d =??=? , 数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+=?+?=
, 裂项有:()1211211k S k k k k ??==- ?++??
,据此: 11111111221......21223111n
k k n S n n n n =??????????=-+-++-=-= ? ? ? ???+++?
?????????∑ 。 15.(2017全国新课标Ⅲ理)设等比数列
{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则4a =________.
【答案】8-
【解析】{}n a Q 为等比数列,设公比为q .121313a a a a +=-??-=-?,即112
11
13a a q a a q +=-???-=-??①②, 显然1q ≠,10a ≠,
②
①
得13q -=,即2q =-,代入①式可得11a =, ()3
341128a a q ∴==?-=-.
16.(2016北京理)已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则6=S _______.. 【答案】6
【解析】试题分析:∵{}n a 是等差数列,∴35420a a a +==,40a =,4136a a d -==-,2d =-, ∴616156615(2)6S a d =+=?+?-=,故填:6. 考点:等差数列基本性质.
【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ,d ,n ,n a ,n S 中,已知其中三个量,可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量,计算时须注意整体代换及方程思想的应用.
17.(2016江苏) 已知{}n a 是等差数列,{S }n 是其前n 项和.若2
1253,S =10a a +=-,则9a 的值是 . 【答案】20.
【解析】由510S =得32a =,因此2
922(2d)33,23620.d d a -+-=-?==+?= 考点:等差数列性质
【名师点睛】本题考查等差数列基本量,对于特殊数列,一般采取待定系数法,即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决,往往要利用等差数列相关性质,如
*1()()
,(1,)22
n m t n n a a n a a S m t n m t n N ++=
=+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n m a a n m d =+-
18.(2016全国Ⅰ理)设等比数列{}n a 满足a 1
+a 3
=10,a 2
+a 4
=5,则a 1a 2
…a n
的最大值为 .
【答案】64 【解析】
试题分析:设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=??+=?得,2
12
1(1)10(1)5a q a q q ?+=??+=??,解得1812
a q =??
?=??.所以2(1)1712(1)22212118()22
n n n n n n n
n a a a a q --++++-==?=L L ,于是当3n =或4时,12n a a a L 取得最大值6264=.
考点:等比数列及其应用
高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.
19. (2016上海文、理)无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*
∈N n ,
{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________.
【答案】4
【解析】试题分析:当1n =时,12a =或13a =;当2n …时,若2n S =,则12n S -=,于是0n a =,若3n S =,
则13n S -=,于是0n a =.从而存在N k *
∈,当n k …时,0k a =.其中数列{}n a :2,1,1,0,0,0,-???满足条
件,所以max 4k =. 考点:数列的求和.
【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手,推断数列的构成特点,解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等. 20. (2016浙江理)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *
,则a 1= ,S 5= . 【答案】1 121
【解析】试题分析:1221124,211,3a a a a a a +==+?==,
再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥?-=?=≥,又213a a =,
所以5
15133(1),S 121.13
n n a a n +-=≥==-
考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的前n 项和.
【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中,一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=,否则很容易出现错误.
21.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1,a 4=b 4=8,则2
2a b =_______.
【答案】1
【解析】试题分析:设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ,3138d
q -+=-= ,求得
2,3q d =-= ,那么
221312
a b -+== . 22.(2017江苏) 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763
44
S S ==
,,则8a = . 【答案】32
【解析】当1q =时,显然不符合题意;
当1q ≠时,316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q
?-=?-??-?=?-?,解得1142a q ?=
???=?,则7812324a =?=. 【考点】等比数列通项
23.(2017全国新课标Ⅱ理)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11
n
k k
S ==∑
。 【答案】
21
n
n + 【解析】
试题分析:设等差数列的首项为1a ,公差为d ,
由题意有:1123
43
4102
a d a d +=??
??+=?? ,解得111a d =??=? , 数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+=?+?=
, 裂项有:()1211211k S k k k k ??==- ?++??
,据此: 11111111221......21223111n
k k n S n n n n =??????????=-+-++-=-= ? ? ? ???+++?
?????????∑ 。 24.(2017全国新课标Ⅲ理)设等比数列
{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则4a =________.
【答案】8-
【解析】{}n a Q 为等比数列,设公比为q .
121313a a a a +=-??-=-?,即112
1113a a q a a q +=-???-=-??①②, 显然1q ≠,10a ≠, ②①
得13q -=,即2q =-,代入①式可得11a =,
()3
341128a a q ∴==?-=-.
25. (2016北京文)已知}{n a 是等差数列,}{n b 是等差数列,且32=b ,93=b ,11b a =,414b a =.
(1)求}{n a 的通项公式;
(2)设n n n b a c +=,求数列}{n c 的前n 项和.
【答案】(1)21n a n =-(1n =,2,3,???);(2)2
31
2
-+n n
(II )由(I )知,21n a n =-,1
3n n b -=.
因此1
213n n n n c a b n -=+=-+.
从而数列
{}n c 的前n 项和
()11321133n n S n -=++???+-+++???+
()12113213n n n +--=+-
2
31
2
n n -=+.
考点:等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式,考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一;2.数列的综合问题涉及到的数学思想:函数与方程思想(如:求最值或基本量)、转化与化归思想(如:求和或应用)、特殊到一般思想(如:求通项公式)、分类讨论思想(如:等比数列求和,1=q 或1≠q )等. 26. (2016全国Ⅰ文)已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111
==
3
n n n n b b a b b nb +++=1,,,. (I )求
{}n a 的通项公式;
(II )求{}n b 的前n 项和. 【答案】(I )31n a n =-(II )
131
.223
n --?
(II )由(I )和11n n n n a b b nb +++= ,得13n n b b +=
,因此{}n b 是首项为1,公比为1
3
的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ,则
11
1()313.122313n
n n S --==-?-
27.(2016全国Ⅱ文)等差数列{n a }中,34574,6a a a a +=+=. (Ⅰ)求{n a }的通项公式;
(Ⅱ) 设[]n n b a =,求数列{}n b 的前10项和,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】(Ⅰ)23
5
n n a +=
;(Ⅱ)24. 试题解析:(Ⅰ)设数列
{}n a 的公差为d ,由题意有11254,53a d a d -=-=,解得121,5
a d ==
, 所以
{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=
. (Ⅱ)由(Ⅰ)知235n n b +??
=????
, 当n =1,2,3时,23
12,15
n n b +≤
<=; 当n =4,5时,23
23,25
n n b +≤
<=; 当n =6,7,8时,23
34,35
n n b +≤
<=;
当n =9,10时,23
45,45
n n b +≤<=, 所以数列
{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=.
考点:等差数列的性质 ,数列的求和. 【名师点睛】求解本题会出现以下错误:①对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错;
28. (2016全国Ⅱ理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且17=128.a S =,记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超
过x 的最大整数,如
[][]0.9=0lg99=1,.
(Ⅰ)求111101b b b ,,; (Ⅱ)求数列
{}n b 的前1 000项和.
【答案】(Ⅰ)10b =,111b =, 1012b =;(Ⅱ)1893. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先用等差数列的求和公式求公差d ,从而求得通项n a ,再根据已知条件[]x 表示不超过x 的
最大整数,求111101b b b ,,;(Ⅱ)对n 分类讨论,再用分段函数表示n b ,再求数列{}n b 的前1 000项和.
试题解析:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,据已知有72128d +=,解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =
111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======
考点:等差数列的的性质,前n 项和公式,对数的运算.
【名师点睛】解答新颖性的数学题,一是通过转化,化“新”为“旧”;二是通过深入分析,多方联想,以“旧”攻“新”;三是创造性地运用数学思想方法,以“新”制“新”,应特别关注创新题型的切入点和生长点. 29.(2016全国Ⅲ文)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =,2
11(21)20n n n n a a a a ++---=.
(I )求23,a a ;
(II )求{}n a 的通项公式.
【答案】(Ⅰ)
4
1
,
2
1
3
2
=
=a
a;(Ⅱ)
1
2
1
-
=
n
n
a.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)将
1
1
a=代入递推公式求得
2
a,将
2
a的值代入递推公式可求得
3
a;(Ⅱ)将已知的递推公式进行因式分解,然后由定义可判断数列{}n a为等比数列,由此可求得数列{}n a的通项公式.
试题解析:(Ⅰ)由题意得
4
1
,
2
1
3
2
=
=a
a. .........5分
考点:1、数列的递推公式;2、等比数列的通项公式.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法:(1)定义法,即证明1
n
n
a
q
a
+=(常数);(2)中项法,即证明
2
12
n n n
a a a
++
=.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形,转化为等比数列或等差数列来求解.
30(2016全国Ⅲ理)已知数列}
{
n
a的前n项和
n
n
a
Sλ
+
=1,其中0
λ≠.
(I)证明}
{
n
a是等比数列,并求其通项公式;
(II)若
32
31
5
=
S,求λ.
【答案】(Ⅰ)
1
)
1
(
1
1-
-
-
=n
n
a
λ
λ
λ;(Ⅱ)1
λ=-.
由
1
≠
a
,
≠
λ得0
≠
n
a
,所以
1
1
-
=
+
λ
λ
n
n
a
a
.
因此
}
{
n
a
是首项为
λ
-
1
1
,公比为1
-
λ
λ
的等比数列,于是
1
)
1
(
1
1-
-
-
=n
n
a
λ
λ
λ.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
n n
S)
1
(
1
-
-
=
λ
λ
,由32
31
5
=
S
得32
31
)
1
(
15=
-
-
λ
λ
,即
=
-
5
)
1
(
λ
λ
32
1
,
解得1
λ=-.
考点:1、数列通项n
a
与前n项和为n
S
关系;2、等比数列的定义与通项及前n项和为n
S
.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法:(1)定义法,即证明
1
n
n
a
q
a
+=
(常数);(2)中项法,即证明2
12
n n n
a a a
++
=
.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形,转化为等比数列或等差数列来求解.
31.(2016山东文)已知数列{}n a的前n项和238
n
S n n
=+,{}n b是等差数列,且1
n n n
a b b
+
=+.
(I)求数列{}n b的通项公式;
(II)令
1
(1)
(2)
n
n
n n
n
a
c
b
+
+
=
+
.求数列{}n c的前n项和n T.
【答案】(Ⅰ)1
3+
=n
b
n
;(Ⅱ)2
2
3+
?
=n
n
n
T
试题解析:(Ⅰ)由题意当2
≥
n时,5
6
1
+
=
-
=
-
n
S
S
a
n
n
n
,当1
=
n时,11
1
1
=
=S
a;所以5
6+
=n
a
n
;
设数列的公差为d,由
?
?
?
+
=
+
=
3
2
2
2
1
1
b
b
a
b
b
a
,即
?
?
?
+
=
+
=
d
b
d
b
3
2
17
2
11
1
1,解之得3
,4
1
=
=d
b,所以1
3+
=n
b
n
。(Ⅱ)由(Ⅰ)知1
1
2
)1
(3
)3
3(
)6
6(
=
-
?
+
=
+
+
=n
n
n
n
n
n
n
c,又
n
n
c
c
c
c
T+???+
+
+
=
3
2
1
,即
]
2)1
(
2
4
2
3
2
2[31
4
3
2+
+
+???+
?
+
?
+
?
=n
n
n
T
,所以]
2)1
(
2
4
2
3
2
2[3
22
5
4
3+
+
+???+
?
+
?
+
?
=n
n
n
T,以上两式两边相减得
2
2
2
1
4
3
22
3
]
2)1
(
1
2
)1
2(4
4[3
]
2)1
(
2
2
2
2
2[3+
+
+
+?
-
=
+
-
-
-
+
=
+
-
+???+
+
+
?
=
-n
n
n
n
n
n
n
n
n
T。
所以2
2
3+
?
=n
n
n
T
考点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列、等比数列的求和;3.“错位相减法”.
32.(2016山东理)已知数列{}n a的前n项和S n=3n2+8n,{}n b是等差数列,且1.
n n n
a b b
+
=+
(Ⅰ)求数列{}n b的通项公式;
(Ⅱ)令1
(1).(2)n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .
【答案】(Ⅰ)13+=n b n ;(Ⅱ)223+?=n n n T . 【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解;(Ⅱ)根据(Ⅰ)知数列{}n
c 的通项公式,
再用错位相减法求其前n 项和. 试题解析:(Ⅰ)由题意知当2≥n 时,561+=-=-n S S a n n n ,
当1=n 时,1111
==S a ,所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ,
由???+=+=322
211b b a b b a ,即???+=+=d b d b 321721111,可解得3,41==d b ,
所以13+=n b n .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知11
(66)3(1)2(33)
n n n n
n c n n +++==+?+, 又n n c c c c T +???+++=321,
得2
3
4
1
3[223242(1)2
]n n T n +=??+?+?+???++?,
345223[223242(1)2]n n T n +=??+?+?+???++?,
两式作差,得
234123[22222(1)2]
n n n T n ++-=??+++???+-+?
22
4(21)
3[4(1)2]
21
32n n n n n ++-=?+-+?-=-? 所以223+?=n n n T
考点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列、等比数列的求和;3.“错位相减法”.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高.解答本题,布列方程组,确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
32.(2016浙江文)设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4,1n a +=2n S +1,*
N n ∈. (I )求通项公式n a ; (II )求数列{
2n a n --}的前n 项和.
【答案】(I )1*
3,n n a n N -=∈;(II )2*
2,13
511,
2,2
n n n T n n n n N =?
?=?--+≥∈?
?.
考点:等差、等比数列的基础知识.
【方法点睛】数列求和的常用方法:(1)错位相减法:形如数列
{}n n a b 的求和,其中{}n a 是等差数列,{}
n b 是等比数列;(2)裂项法:形如数列()()1f n g n ??????????或()()f n g n ???±??的求和,其中()f n ,()g n 是关
于n 的一次函数;(3)分组法:数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分.
33.(2017北京文)已知等差数列
{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1
=b 1
=1,a 2
+a 4
=10,b 2b 4
=a 5
.
(Ⅰ)求
{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求和:13521n b b b b -++++K .
【答案】(Ⅰ)21n a n =- ;(Ⅱ)31
2
n -.
34(2017全国新课标Ⅰ文)记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2
=2,S 3
=?6.
(1)求
{}n a 的通项公式;
(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.
【解析】(1)设{}n a 的公比为q .由题设可得12
1
(1)2,
(1) 6.a q a q q +=??++=-?解得2q =-,12a =-. 故{}n a 的通项公式为(2)n
n a =-.
(2)由(1)可得1
1(1)22()133
1n n n n a q S q +-==--+-. 由于321
2142222()2[()]23133
13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-, 故1n S +,n S ,2n S +成等差数列.
35(2017全国新课标Ⅱ文)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,
11221,1,2a b a b =-=+=.
(1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S .
36(2017全国新课标Ⅲ文)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K .
(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列
21n a n ??
??+??
的前n 项和.
案】(1)1
22-=n a n ;(2)122+n n
【答
【解析】试题分析:(1)先由题意得2≥n 时,)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n Λ,再作差得1
22
-=
n a n ,
验证1=n 时也满足(2)由于
1
21
121)12)(12(212+-
-=+-=+n n n n n a n ,所以利用裂项相消法求和.
37.(2017山东文)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.
(I)求数列{a n }通项公式;
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??
????
的前n 项和n T .
【答案】(I)2n
n a =;(II) 25
52
n n
n T +=-
试题解析:(I)设数列{}n a 的公比为q ,由题意知, 2
2
111(1)6,a q a q a q +==.
又0n
a >,
解得1,22a q ==, 所以2n
n a =.
两式相减得2111311121222222n n n n T -++??=++++- ???L 所以25
52n n
n T +=-.
38.(2017天津文)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*
()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.
(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列2{}n n a b 的前n 项和*
()n ∈N
.
【答案】(Ⅰ)32n
a n =-.2n n
b =.(Ⅱ)2(34)216n n T n +=-+.
试题解析:(Ⅰ)解:设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=,得
21()12b q q +=,而12b =,所以260q q +-=.又因为0q >,解得2q =.所以,2n n b =.
由3
412b a a =-,可得138d a -=①.由11411S b =,可得1516a d +=②,联立①②,解得11,3a d ==,由此可得32n a n =-.
所以,{}n a 的通项公式为32n
a n =-,{}n
b 的通项公式为2n n b =.
39.(2017天津理)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *
∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大
于0,2
312b b +=,3412b a a =-,11411S b =.
(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *
∈N .
【答案】 (1)32n
a n =-.2n n
b =.(2)1328
433
n n n T +-=
?+. 【解析】
试题分析:根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ,写出等差数列和等比孰劣的通项公式,利用错位相减法求出数列的和,要求计算要准确.
(II )解:设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T , 由262n
a n =-,12124n n
b --=?,有221(31)4n n n a b n -=-?,
故2
3
245484(31)4n
n T n =?+?+?++-?L ,
23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=?+?+?++-?+-?L ,
上述两式相减,得2
3
1
324343434(31)4
n
n n T n +-=?+?+?++?--?L
1
112(14)4(31)414
(32)48.
n n n n n ++?-=---?-=--?- 得1328433
n n n T +-=?+.
所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为1328
433
n n +-?+.
40.(2018北京文)设{}n a 是等差数列,且1ln 2a =,235ln 2a a +=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a +++L .
1.【答案】(1)ln2n ;(2)122n +-.
【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,235ln 2a a +=Q ,1235ln 2a d ∴+=, 又1ln2a =,ln 2d ∴=,()11ln 2n a a n d n ∴=+-=. (2)由(1)知ln 2n a n =,ln 2ln 2e e e 2n
n a n n ===Q ,
{}
e n a ∴是以2为首项,2为公比的等比数列,
2
12ln 2ln 2ln 221e e e e e e =222=22n
n a a a n n +∴+++=++++++-L L L , 121e e e =22n a a a n +∴+++-L .
41.(2018天津文)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *
);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和
为T n (n ∈N *
).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (Ⅰ)求S n 和T n ;
(Ⅱ)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.
5.【答案】(1)()12
n n n S +=,21n
n T =-;(2)4.
【解析】(1)设等比数列{}n b 的公比为q ,由11b =,322b b =+,可得2
20q q --=.
因为0q >,可得2q =,故1
2n n b -=.所以,122112
n n n T -==--.
设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+,可得134a d +=.由5462b a a =+,
可得131316a d +=,从而11a =,1d =,故n a n =,所以,()12
n n n S +=.
(2)由(1),有(
)
(
)131
12212222
2
212
n
n
n n T T T n n n +?-+++=+++--=---L L =
,由
()124n n n n S T T T a b ++++=+L 可得
()
1112222n n n n n n ++++--=+,
整理得2340n n --=,解得1n =-(舍),或4n =.所以n 的值为4.
42.(2018天津理)设{}n a 是等比数列,公比大于0,其前n 项和为()n S n *
∈N ,
{}n b 是等差数列. 已知11a =,322a a =+,435a b b =+,5462a b b =+.
(I )求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(II )设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *
∈N ,求n T ;
【答案】(1)12n n a -=,n b n =;(2)①1
22n n T n +=--;②证明见解析.
【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q .由11a =,322a a =+,
可得220q q --=因为0q >,可得2q =,故1
2n n a -=,
设等差数列{}n b 的公差为d ,由435a b b =+,可得134b d +=,
由5462a b b =+,可得131316b d +=,从而11b =,1d =,故n b n =, 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,数列{}n b 的通项公式为n b n =.
(2)①由(1),有122112
n
n n S -==--,
故()(
)1
1
1
2122
12
2
212
n
n
n
k
k
n n k k T n n n +==?-=
-=
-=
-=---∑∑,
43.(2018全国新课标Ⅰ文)已知数列
{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设
n
n a b n =
.
(1)求123b b b ,
,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{}n a 的通项公式. 7.答案:
(1)1231,2,4b b b === (2)见解答 (3)1
2
n n a n -=?
解答:依题意,21224a a =??=,321
(23)122
a a =??=,∴1111a
b ==,2222a b ==,3343a b ==.
(1)∵12(1)n n na n a +=+,∴121n n
a a n n
+=+,即12n n b b +=,所以{}n b 为等比数列. (2)∵1112n n n n
a b b q n
--===
,∴12n n a n -=?. 44.(2018全国新课标Ⅱ文、理) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式;
(2)求n S ,并求n S 的最小值.
【答案】(1)29n a n =-;(2)
2
–8n S n n =,最小值为–16. 【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-, 由17a =-得2d =.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. (2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--,
∴当4n =时,n S 取得最小值,最小值为16-.
45.(2018全国新课标Ⅲ文、理)等比数列{}n a 中,15314a a a ==,
. (1)求{}n a 的通项公式;
(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .
答案:(1)1
2n n a -=或1
(2)
n n a -=-;(2)6.解答:(1)设数列{}n a 的公比为q ,∴2
5
3
4a q a =
=,∴2q =±. ∴1
2
n n a -=或1
(2)
n n a -=-.
(2)由(1)知,122112n n
n S -=
=--或1(2)1[1(2)]123
n n n S +-==--+, ∴2163m
m S =-=或1[1(2)]633
m m S =--=(舍),∴6m =.
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 一、选择题 1.(2018北京文、理)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音 的频率的比都等于.若第一个单音的频率f ,则第八个单音频率为( ) A B . C . D . 【答案】D 【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为,()12n n a n n -+∴=≥∈N ,, 又1a f =,则7 781a a q f ===,故选D . 2.(2018浙江)已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则( ) A .1324,a a a a << B .1324,a a a a >< C .1324,a a a a <> D .1324,a a a a >> 答案:B 解答:∵ln 1x x ≤-,∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-, 得41a ≤-,即311a q ≤-,∴0q <.若1q ≤-,则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤, 212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>,矛盾.∴10q -<<,则2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >,24a a <. 3.(2018全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则 =5a ( ) A .12- B .10- C .10 D .12 答案:B 解答:
参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A =,B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则 (A) (B ) (C) (D)
(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ =,则cos2α= (A) (B ) (C) (D) (8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2= (A)1 4(B) 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 (9)已知x=lnπ,y=log52, 1 2 z=e,则 (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x (10) 已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c= (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 (11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (A)12种(B)18种(C)24种(D)36种 (12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 二。填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) (13)若x,y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 (14)当函数取得最大值时,x=___________。 (15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。 (16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。
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高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈ A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272f 2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =- 3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10- 4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a >< 5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题 6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a +++. 6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n = . (1)求123b b b , ,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式. 7.解:(1)由条件可得a n +1=2(1) n n a n +.将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4. (2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n n a a n n +=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 8.(全国卷II 理17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 8. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--,所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 精品文档第五章:数列历年高考题 一、单项选择题 1、(2003)已知数列{a n }是等差数列,如果a 1 =2,a 4 =-6则前4项的和S 4 是() A -8 B -12 C -2 D 4 2、(2004年)在?ABC中,若∠A、∠B、∠C成等差数列,且BC=2,BA=1,则AC 等于() A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、(2004)在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服,如果每次能洗去污垢的 3 2,则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅,该洗衣机至少要清洗的次数是()A 2 B 3 C 4 D 5 4、(2005年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 12 =10,则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于() A 10 B 20 C 30 D 40 5、(2005年)在等比数列{a n }中,a 2 =2,a 5 =54,则公比q=() A 2 B 3 C 9 D 27 6、(2006年)若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于() A 4 B 6 C 8 D 10 7、(2007)为了治理沙漠,某农场要在沙漠上栽种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每一年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场栽种植被的公顷数是()A 510 B 330 C 186 D 51 8、(2007年)如果a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点 个数是() A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、(2007年)小王同学利用在职业学校学习的知识,设计了一个用计算机进行数字变换的游戏,只要游戏者输入任意三个数a 1 ,a 2 ,a 3 ,计算机就会按照规则:a 1 + 2a 2 - a 3 ,a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数,若游戏者输入三个数后,计算机输出了29,50,55三个数,则输入的三个数依次是() A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、(2008年)在等差数列{a n }中,若a 2 +a 5 =19,则a 7 =20,则该数列的前9项和是() A 26 B 100 C 126 D 155 11、(2009年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 8 =15,则S 8 等于() A 40 B 60 C 80 D 240 12、(2009年)甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a(亿元)和4a(亿元),甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国,假设乙国的年平均增长率为,那么甲国的年平均增长率最少应为() A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、(2009年)如果三个实数a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是() 14、(2010年)已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是() A 4 B 4或-4 C 10 D 5 x 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中,使得()*∈ 2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 数学试卷 第1页(共26页) 数学试卷 第2页(共26页) 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式: 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0<≤,(-2<≤),,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效---------------- 6 数列 一.基础题组 1. 【2014全国2,文5】等差数列的公差是2,若成等比数列,则的前项和( ) A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2010全国2,文6】如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7等于( ) A .14 B .21 C .28 D .35 【答案】: C 【解析】∵{a n }为等差数列,a 3+a 4+a 5=12,∴a 4=4. ∴a 1+a 2+…+a 7= =7a 4=28. 3. 【2006全国2,文6】已知等差数列中,,则前10项的和=( ) (A )100 (B)210 (C)380 (D)400 【答案】B 【解析】依题意可知:,,解得:, ∴. 4.【2005全国2,文7】如果数列是等差数列,则( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】∵数列是等差数列,∴, ∴. 5. 【2012全国新课标,文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =__________. 【答案】:-2 【解析】:由S 3=-3S 2,可得a 1+a 2+a 3=-3(a 1+a 2), 即a 1(1+q +q 2 )=-3a 1(1+q ), {}n a 248,,a a a {}n a n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1) 2 n n -177() 2 a a +{}n a 247,15a a ==10S 217a a d =+=41315a a d =+=14,3d a ==101109109 1030421022 S a d ??=+ =+?={}n a 1845a a a a +<+1845a a a a +=+1845a a a a +>+1845a a a a ={}n a m n p q m n p q a a a a +=+?+=+1845a a a a +=+ 第五章:数列历年高考题一、单项选择题 1、(2003)已知数列{a n }是等差数列,如果a 1 =2,a 4 =-6则前4项的和S 4 是() A -8 B -12 C -2 D 4 2、(2004年)在?ABC中,若∠A、∠B、∠C成等差数列,且BC=2,BA=1,则AC 等于() A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、(2004)在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服,如果每次能洗去污垢的 3 2,则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅,该洗衣机至少要清洗的次数是()A 2 B 3 C 4 D 5 4、(2005年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 12 =10,则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于() A 10 B 20 C 30 D 40 5、(2005年)在等比数列{a n }中,a 2 =2,a 5 =54,则公比q=() A 2 B 3 C 9 D 27 6、(2006年)若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于() A 4 B 6 C 8 D 10 7、(2007)为了治理沙漠,某农场要在沙漠上栽种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每一年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场栽种植被的公顷数是()A 510 B 330 C 186 D 51 8、(2007年)如果a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点 个数是() A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、(2007年)小王同学利用在职业学校学习的知识,设计了一个用计算机进行数字变换的游戏,只要游戏者输入任意三个数a 1 ,a 2 ,a 3 ,计算机就会按照规则:a 1 + 2a 2 - a 3 ,a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数,若游戏者输入三个数后,计算机输出了29,50,55三个数,则输入的三个数依次是() A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、(2008年)在等差数列{a n }中,若a 2 +a 5 =19,则a 7 =20,则该数列的前9项和是() A 26 B 100 C 126 D 155 11、(2009年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 8 =15,则S 8 等于() A 40 B 60 C 80 D 240 12、(2009年)甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a(亿元)和4a(亿元),甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国,假设乙国的年平均增长率为,那么甲国的年平均增长率最少应为() A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、(2009年)如果三个实数a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是() 14、(2010年)已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是() A 4 B 4或-4 C 10 D 5 15、(2010年)已知数列的前n项和S n =n n + 2,则第二项a 2 的值是() A 2 B 4 C 6 D 8 16、(2011年)如果三个正数a,b,c成等比数列,那么lga,lgb,lgc() x 参考公式: 如果事件A 、B 互斥, 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立, 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3. m }, B ={1, m} ,A U B =A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点, 焦距为 4 一条准线为x=-4 , 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 , AB=2, CC 1=22 E 为CC 1的中点, 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 5=5, S 5=15, 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中, AB 边的高为CD , 若 a·b=0, |a|=1, |b|=2, 则 (A) (B ) (C) (D) 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.(2018 全国卷 1 理科)设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 2 2(2018 全国卷 2 理科) 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3(2018 全国卷 3 理科) (1 + i )(2 - i ) = ( ) A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4(2018 北京卷理科)在复平面内,复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5(2018 天津卷理科) i 是虚数单位,复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6(2018 江苏卷)若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 7(2018 上海卷)已知复数 z 满足(1+ i )z = 1- 7i (i 是虚数单位),则∣z ∣= . 2 集合 1.(2018 全国卷1 理科)已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =() A. {x | -1 1. (福建卷)已知等差数列 }{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2. (湖南卷)已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+,则 20a = ( ) A .0 B .3- C .3 D .23 3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列,则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. (山东卷) {}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,如果n a =2005,则序号n 等于( ) (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 8. (湖北卷)设等比数列 }{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 10. (上海)12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ,记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=,!,,3,2,1n i Λ=。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, 12021b b b +++Λ=_______。 11. (天津卷)在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n , 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷:(本题满分18分) 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足()sin n n b a =,集合 {}*|,n S x x b n N ==∈. (1)若120,3 a d π ==,求集合S ; (2)若12 a π = ,求d 使得集合S 恰好有两个元素; (3)若集合S 恰好有三个元素:n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的 值. 二、2019年高考数学浙江卷:(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注: 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. (1)求n 的值; (2)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷:(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ,若无穷数列{}n b 满足:对任意*n N ∈,都有1n n b a -≤,则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列,11n n b a +=+,*n N ∈,判断数列{}n b 是否与{}n a 接近,并说明理由; (2)设数列{}n a 的前四项为:12341,248a a a a ====,,,{}n b 是一个与{}n a 接近的数列,记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===,求M 中元素的个数m ; (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列,若存在数列{}n b 满足:{}n b 与{}n a 接近,且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数,求d 的取值范围. 解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)一.选择题(共4小题) 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=() A.B.C.D. 2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=() A.4 B. C. D.2 3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则() A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4 4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12 二.填空题(共4小题) 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=,c=. 7.设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.8.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=. 三.解答题(共9小题) 9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC边上的高. 10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过 点P(﹣,﹣). (Ⅰ)求sin(α+π)的值; (Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值. 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B ﹣). (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值. 12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 13.设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n﹣b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围; (2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a n﹣b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).14.已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1﹣b n)a n}的前n项和为2n2+n. (Ⅰ)求q的值; (Ⅱ)求数列{b n}的通项公式. 15.设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式; (Ⅱ)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*), (i)求T n; (ii)证明=﹣2(n∈N*). 16.等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3. 2016—2018年全国卷数列高考汇编 8.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = ( ) (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 4.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 错误!未找到引用源。满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 . 6.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且17=128.a S =,记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1,. (Ⅰ)求111101b b b ,,; (Ⅱ)求数列{}n b 的前1 000项和. 7.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误!未找到引用源。的前n 项和1n n S a λ=+错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。其中0λ≠. (I )证明{}n a 错误!未找到引用源。是等比数列,并求其通项公式;(II )若53132 S =错误!未找到引用源。 ,求λ. 4.【2017高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 15. 【2017高考新课标2理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则 11n k k S ==∑ . 9.【2017高考新课标3理数】等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{}n a 前6项的和为 A .-24 B .-3 C .3 D .8 4.【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+,12a =,则5a = A .12- B .10- C .10 D .12 15.【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若21n n S a =+,则6S = . 4.【2018高考新课标2文理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若17a =-,315S =-. ⑴求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 17.(2018年全国卷3) 等比数列{}n a 中,12314a a a ==,. ⑴求{}n a 的通项公式; ⑵记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m . -年高考文科数学真题汇编:数列高考题老师版 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 学科教师辅导教案 学员姓名 年 级 高三 辅导科目 数 学 授课老师 课时数 2h 第 次课 授课日期及时段 2018年 月 日 : — : 1.(2013安徽文)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =( ) (A )6- (B )4- (C )2- (D )2 【答案】A 2.(2012福建理)等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】B 3.(2014福建理)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C 4.(2017·全国Ⅰ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8 【解析】设{a n }的公差为d ,由????? a 4+a 5=24, S 6=48,得? ? ??? (a 1+3d )+(a 1+4d )=24, 6a 1+6×5 2 d =48,解得d =4.故选C. 5.(2012辽宁文)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B 6.(2014新标2文) 等差数列{}n a 的公差是2,若248,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( ) A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1) 2 n n - 【答案】A 7.(2012安徽文)公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =( ) ()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 8 【答案】A 历年高考试题集锦——数列q a (D )7.08.0,01-<<-
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