《离散数学》习题与解答
第一篇数理逻辑
第一章命题逻辑
1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值
a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵
b)∏> 2 吗？
c)明天我去看电影
d)请勿随地吐痰
e)不存在最大质数
f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了
g)9+5<12
h)x<3
i)月球上有水
j)我正在说假话
[解]
a)不是命题
b)是命题,真值视具体情况而定
c)不是命题
d)是命题,真值为t
e)是命题,真值为t
f)是命题,真值为f
g)不是命题
h)是命题, 真值视具体情况而定
i)不是命题
1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:
(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.
(b)我将去镇上，仅当我有时间.
(c)天不下雪
(d)天下雪,那么我不去镇上
[解]
a)(┐P∧R)→Q
b)Q→R
c)┐P
d)P→┐Q
1-2(2)将下面这段述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.
[解]:述中出现5个原子命题，将他们符号化为:
P: 2 是有理数其真值为F
Q:2是素数其真值为T
R:2是偶数其真值为T
S:3是素数其真值为T
U:4是素数其真值为F
述中各命题符号化为:
┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S
1-2(3)将下列命题符号化
a)如果3+3=6,则雪是白色的.
b)如果3+3≠6,则雪是白色的
c)如果3+3=6,则雪不是白色的.
d)如果3+3≠6,则雪不是白色的
e)王强身体很好，成绩也很好.
f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行
[解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的
R:王强成绩很好S:王强身体很好
U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:
a)可表示为:P→Q
b)可表示为: ┐P→Q
c)可表示为: P→┐Q
d)可表示为：┐P→┐Q
e)可表示为：S∧R
f)可表示为:U＜＝＞V
1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式
a) (Q→R∧S)
b) (P＜＝＞(R→S))
c) ((┐P→Q)→(Q→P)))
d) (RS→T)
e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))
[解]:
a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)
b)是合式公式
c)不是合式公式(括号不配对)
d)不是合式公式
e)是合式公式
1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:
a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。
b)((A→B)∨(B→A),用B代换A,A代换B.
[解]:a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b)((B→A)∨(A→B))
1-3(3)用符号形式写出下列命题
a)假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.
b)我今天进城,除非下雨.
c)仅当你走,我将留下.
[解]a)设P:上午天下雨. Q:我去看电影
R:我在家读书S:我在家看报
原命题可译为:(┐P→Q)∧(P→(R∨S))
b)设:P:我今天进城Q:天下雨
原命题可译为:┐Q→P
c)设:P:你走Q:我留下
原命题可译为:Q→P
１－３(4)称┐P→┐Q为条件命题P→Q的反换式
Q→P为条件命题P→Q的逆换式
┐Q→┐P为条件命题P→Q的逆反式
试写出如下条件命题的反换式，逆换式，逆反式。
（a）如果他有勇气，则他将得胜。
（b）如果天下雨，我不去。
[解]（a）设P：他有勇气，Q：他将得胜
原条件命题可译为：P→Q
反换式：┐P→┐Q，表示：如果他没有勇气，则他将不能获胜。
逆换式：Q→P，表示：如果他将得胜，则他有勇气。
逆反式：┐Q→┐P，表示：如果他不获胜，则他没有勇气。
（b）设P：天下雨，Q：我去
原条件命题可译为：P→┐Q
反换式：┐P→Q，表示：如果如果天不下雨，则我去。
逆换式：Q→P，表示：如果我不去，则天下雨。
逆反式：┐Q→┐P，表示：如果我去，则天不下雨。
1-4（1）试求下列各命题公式的真值表并解释其结果
（a）（P→Q）∧（Q→P）；
（b）（P∧Q）→P；
（c）Q→（P∨Q）；
（d）（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）；
（e）（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））；
（f）┐（P→Q）∧Q∧R 。
[解] （a）从真值表1-1中可看出：（P→Q）∧（Q→P）＜＝＞（P＜＝＞Q）
(b) 从真值表1-2中可看出：（P∧Q）→P是永真式
(c) 从真值表1-3中可看出：Q→（P∨Q）是永真式
(d) 从真值表1-4中可看出：（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）是永真式
(e) 从真值表1-5中可看出：（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））
＜＝＞┐P∨Q
＜＝＞P→Q
＜＝＞┐（P∧┐Q）
(f) 从真值表1-6中可看出：┐（P→Q）∧Q∧R是永真式
表1-1
表1-2
表1-3
表1-4
表1-6
1- 4（2）用真值表判断下列各组公式是否等价：
（a ） P →(Q →R)与（P ∧Q ）→R （b ） （P →Q ）→R 与（P ∧Q ）→R
[解]由表1-7可知P→(Q→R) ＜＝＞（P∧Q）→R
而（P→Q）→R＜≠＞（P∧Q）→R
表1-7
1-4（3）试以真值表证明下列命题：
（a）合取运算的结合律
（b）德摩根定律
[解] （a）如表1-8，（P∧Q）∧R＜＝＞
（b）如表1-9，┐（P∧Q）＜＝＞┐P∨┐Q
┐（P∨Q）＜＝＞┐P∧┐Q
2-4（4）证明下列等价式：
（a）A→（B→A）＜＝＞┐A→（A→┐B）；
(b)（A∨B）→C＜＝＞（A→C）∧（B→C）；
(c) ┐（A＜＝＞B）＜＝＞（A∧┐B）∨（┐A∧B）；
(d) （（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D
[证]（a）A→（B→A）＜＝＞┐A∨（┐B ∨A）
＜＝＞（┐B ∨A）∨┐A
＜＝＞（A∨┐B）∨┐A
＜＝＞A∨（┐B∨┐A）
＜＝＞A∨（┐A∨┐B）
＜＝＞A∨（A→┐B）
＜＝＞┐A→（A→┐B）
（b）（A→C）∧（B→C）＜＝＞（┐A∨C）∧（┐B∨C）
＜＝＞（┐A∧┐B）∨C
＜＝＞┐（A∨B）∨C
＜＝＞（A∨B）C
（c）┐（A＜＝＞B）＜＝＞┐（（A→B）∧（B→A））
＜＝＞┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
＜＝＞┐（┐A∨B）∨┐（┐B∨A））
＜＝＞（A∧┐B）∨（B∧┐A））（d）（（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））
＜＝＞（（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐C∨（A∨B∨D）））
＜＝＞（┐A∨┐B∨┐C∨D）（┐C∨A∨B∨D）
＜＝＞（┐C∨D）∨（（┐A∨┐B）∧（A∨B））
＜＝＞（┐C∨D）∨（（A∧┐B）∨（B∧┐A））
＜＝＞（┐C∨D）∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
＜＝＞（┐C∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A）））∨D
＜＝＞┐（C∧（┐A∨B）∧（┐B∨A））∨D
＜＝＞┐（C∧（A→B）∧（B→A））∨D
＜＝＞┐（C∧（A＜＝＞B））∨D
＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D
1-4（5）判断下列命题公式的类型（永真；永假；非永真，也非永假）：（a）（（P→Q）∧P）→Q；
（b）┐（P→(P ∨Q)）∧R；
（c）P ∧(((P ∨Q) ∧┐P) →Q).
[解] （a）（（P→Q）∧P）→Q
＜＝＞（（┐P∨Q）∧P）→Q
＜＝＞┐（（┐P∨Q）∧P）∨Q
＜＝＞（┐（┐P∨Q）∨┐P）∨Q
＜＝＞（（P∧┐Q）∨┐P）∨Q
＜＝＞（（P∨┐P）∧（┐Q∨┐P））∨Q
＜＝＞（┐Q∨┐P）∨Q
＜＝＞T∨┐P
＜＝＞T
∴（a）为永真式
（b）┐（P→(P ∨Q)）∧R
＜＝＞┐（┐P∨P ∨Q）∧R
＜＝＞（P∧┐P ∧┐Q）∧R
＜＝＞F∧R
＜＝＞F
集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作
不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集，则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取
离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D
(7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明（1）?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明设 1 a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数 只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知， 1 a，2a，…，1+m a这m＋1个整 数中至少存在两个数 s a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈ A-（B∪C）? x∈ A∧x?（B∪C）? x∈ A∧（x?B∧x?C）?（x∈ A∧x?B）∧（x∈ A∧x?C）? x∈（A-B）∧x∈（A-C）? x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 习题5 1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y)) (2) x y(F(x)∨G(y)) (3) xF(x)→yG(y) (4) x(F(x,y)→yG(y)) 答案 (1) x y(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c)) (2) x y(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c)) (3) xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c)) 2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)) .(1) 答案 I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x)) (F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。 I2: F(x)同I1,G(x):x≤0 则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假， x(F(x)→G(x))为假。 (2)留给读者自己做。 3．给定解释I如下： (a) 个体域D={3,4}。 (b) (x)为(3)=4，(4)=3。 (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 答案 试求下列公式在I下的真值： (1) x yF(x,y) (2) x yF(x,y) 离散数学证明题 离散数学证明题离散数学证明题:链为分配格 证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论: ⑴b≤a或c≤a ⑵a≤b且a≤c 如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c) 如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c) 无论那种情况分配律均成立,故A是分配格. 一.线性插值(一次插值) 已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。 1. 插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： 把此式按照 yk 和yk+1 写成两项: 记 并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表： 从而 P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x) 此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 . 例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。 解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设 x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010 则插值基函数为： 于是, 拉格朗日型一次插值多项式为: 故 : 即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792). 二.二次插值多项式 已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2 (x), 使其满足, P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 . 其几何意义为:已知平面上的三个点 (xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ), 第5章 一.填空题 1. 群中有唯一的（）。 2. 如果群运算是可交换的，则群为（）。 3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是（）。 4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（）。 5. 设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q 上是（）。（填写可交互/不可交换） 6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z) ，则称二元运算*在A上是（）。 7. 设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y， 则二元运算★在A上是（）。（填写可结合/不可结合） 8. 设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y) ★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（）。 9. 设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(x★y)=x, x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满 足（）。 10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（）。 11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。 12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。 13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl =x，则称er为A中关于运算*的（）。 14. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素or，对于A中任意的元素x，都有x*or=x，则称or为A中关于运算*的（）。 15. 如果对于集合中的二元运算*，存在左零元和右零元，且左零元等于右零元，则零元是（）。 16. 如果对于集合中的二元运算*，存在左么元和右么元，且左么元等于右么元，则么元是（）。 17. 设*是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算*的么元，如果对于A中的元素x，存在A中的元素y，有y*x=e，则称y为x的 （）。 18. 对于实数域上的乘法元算，每个元素（）逆元。（填写一定有/不一定有） 19. 对于实数域上的加法运算，（）零元。（填写存在/不存在） 20. 对于整数域上的加法运算，（）么元。（填写存在/不存在） 21. 对于非空集合S上二元运算*，是封闭且可结合的，那么 五、证明题 1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等． 证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结 点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等． 2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加 2 k 条边才能使其成为欧拉图． 证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2 k 条边到图G 才能使其成为欧拉图． 五、证明题 1．试证明集合等式：A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C )． 证：若x ∈A ? (B ?C )，则x ∈A 或x ∈B ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C ． 即x ∈A ?B 且x ∈A ?C ， 即x ∈T =(A ?B ) ? (A ?C )， 所以A ? (B ?C )? (A ?B ) ? (A ?C )． 反之，若x ∈(A ?B ) ? (A ?C )，则x ∈A ?B 且x ∈A ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C ， 即x ∈A 或x ∈B ?C ， 即x ∈A ? (B ?C )， 所以(A ?B ) ? (A ?C )? A ? (B ?C )． 因此．A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C )． 2．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ?B = A ?C ，且A ≠?，则B = C ． 证明：设x ∈A ，y ∈B ，则 第6章 函数 一、选择题（每题3分） 1、设{,,},{1,2,3}A a b c B ==，则下列关系中能构成A 到B 函数的是（ C ） A 、1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B 、2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C 、4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D 、1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><> 2、设R Z N 、、分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（ B ） A 、)}10(),(|,{<+∧∈> 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 全国2010年7月自学考试离散数学试题 课程代码：02324 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是．．命题的是（ D ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的 D ．太好了！ 2．下列式子不是．．谓词合式公式的是（ B ） A ．（?x ）P (x )→R (y ) B ．(?x ) ┐P （x ）?(?x )(P (x )→Q (x )) C ．(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ) D ．(?x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(?z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q ) D ．(┐P ∨Q )?(P →Q ) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(?x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(?x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(?x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(?x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} 5．对于公式(?x ) (?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元 C ．(?x )的辖域是R(x , y ) D ．(?x )的辖域是(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2}，与公式(?x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2) D ．A (2)→A (1) 7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是入射 B ．仅是满射 C ．是双射 D ．不是函数 8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．???? ? ?????001110101 B ．???? ? ?????101110001 离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）证明?(A∨B)→?(P∨Q)，P，(B→A)∨?P A。 证明：(1)?(A∨B)→?(P∨Q)P (2)(P∨Q)→(A∨B) T(1)，E (3)P P (4)A∨B T(2)(3)，I (5)(B→A)∨?P P (6)B→A T(3)(5)，I (7)A∨?B T(6)，E (8)(A∨B)∧(A∨?B) T(4)(7)，I (9)A∧(B∨?B) T(8)，E (10)A T(9)，E 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 解符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。 依题意有， (1)甲和乙只有一人参加，符号化为A⊕B?(?A∧B)∨(A∧?B)； (2)丙参加，丁必参加，符号化为C→D； (3)乙或丁至多参加一人，符号化为?(B∧D)； (4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为?D→?A。 所以原命题为：(A⊕B)∧(C→D)∧(?(B∧D))∧(?D→?A) ?((?A∧B)∨(A∧?B))∧(?C∨D)∧(?B∨?D)∧(D∨?A) ?((?A∧B∧?C)∨(A∧?B∧?C)∨(?A∧B∧D)∨(A∧?B∧D))∧((?B∧D)∨(?B∧?A)∨(?D∧?A)) ?(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)∨(?A∧B∧?C∧?D)?T 但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故?A∧B∧?C∧?D为F。所以只有：(A∧?B∧?C∧ D)∨(A∧?B∧D)?T，即甲、丁参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。 (1)?x(P(x)→Q(x)) P 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 说明： 定义：红色表示。 定理性质：橙色表示。 公式：蓝色表示。 算法:绿色表示 页码：灰色表示 数理逻辑： 1.命题公式：命题，联结词(，，，，)，合式公式，子公式 2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式 3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式 4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集 5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则， CP规则，推理 6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词 7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入 8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的 9.前束范式:前束范式 10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG），-规则(ES)， +规则(EG), 推理 集合论： 1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差 2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关 系 3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R), 对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R) 4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分 5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下 界 6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数 7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集 代数结构： 1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺 元,零元,逆元 2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。 3.群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集， 拉格朗日（Lagrange）定理 4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元 5.环与域：环，交换环，含幺环，整环，域 6.格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限 布尔代数的表示定理 图论： 1.图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、 补图，握手定理，图的同构 2.图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路 （圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图） 3.图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵 4.欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密 顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 5.无向树与根树：无向树，生成树，最小生成树，Kruskal，根树，m叉树，最优二叉 树，Huffman算法 6.平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski定理 习题13参考答案 1.图13.9中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。 图13.9 答案：(1),(3),(6)是格。(2)中的{e,d}没有最大下界。(4)中的{d,e}没有最大下界。(5)中的{a,b}没有最大下界。 2.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。 (1) L={1,2,3,4,5} (2) L={1,2,3,6,12} (3) L={1,2,3,4,6,9,12,18,36} (4) L={1,2,22,...,2n},n∈Z+ 答案：(1)不是格,其他都是。 3.(1)画出Klein四元群的子群格。 (2)画出模12的整数群Z12的子群格。 (3)画出3元对称群S3的子群格。 答案：(1) (2) (3) 4.设L是格,求以下公式的对偶式: (1) a∧(a∨b) a (2) a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c) (3) b∨(c∧a)(b∨c)∧a 答案：(1) a∨(a∧b) a (2) a∧(b∨c)(a∧b)∨(a∧c) (3) b∧(c∨a)(b∧c)∨a 5.设L是格,a,b,c∈L,且a b c,证明 a∨b=b∧c 答案：a∨b=b b∧c=b 6.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。 图13.10 答案： L1的子格：{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d}, {b,d},{c,d},{a,b,d},{a,c,d},L1 L2的子格：{a1},{d1},L2 L3的子格：{a2},{b2},{c2},{d2},{a2,b2},{a2,c2}, {a2,d2},{b2,c2},{b2,d2},{c2,d2},{a2,b2,c2}, {a2,b2,d2},{a2,c2,d2},{b2,c2,d2},L3 7.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。 答案：（1）a与d互补；b,c没有补元。 （3）a与f互补；b的补元为c,d；c的补元为b,e；d的补元为b,e；e的补元为c,d. （6）a与f互补；b的补元为e；c和d没有补元；e的补元为b. 8.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。 答案： （1）是分配格，因为不包含与钻石格和五角格同构的子格；不是有补格和布尔格，b,c没有补元。 （3）不是分配格，不是布尔格，因为包含五角格作为子格；是有补格，a与f互补，b和e的补元有c,d；c,d的补元有b,e. （6）是分配格，因为没有5元子格与钻石格或五角格同构；不是有 习题8 1. 设f：N→N，且 求f(0)，f({0})，f(1)，f({1})，f({0，2，4，6，…})，f({4，6，8})，f({1，3，5，7})。 2. 设A={1，2}，B={a，b，c}，求B A。 3.给定函数f和集合A，B如下： (1) f：R→R，f(x)=x，A={8}，B={4} (2) f：R→R+，f(x)=2x，A={1}，B={1，2} (3) f：N→N×N，f(x)=离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析
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