§1.1.1
正弦定理
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
一、课前准备
试验：固定ABC 的边CB 及B ，使边AC 绕着顶点C 转动．
?∠思考：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
∠显然，边AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种∠关系精确地表示出来？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，
?
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有，，又， sin a A c =sin b B c =sin 1c C c
==从而在直角三角形ABC 中，． sin sin sin a b c A B C
==探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，
?有CD =，则， sin sin a B b A =sin sin a b A B
=同理可得，从而．sin sin c b C B =sin sin a b A B =sin c C
=
类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.
?新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
．sin sin a b A B =sin c C
=试试：
（1）在中，一定成立的等式是（ ）．
ABC ?A ． B .sin sin a A b B =cos cos a A b B
=C . D .sin sin a B b A =cos cos a B b A
=（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使
， ，；sin a k A =sin c k C =（2）等价于 ，，．sin sin a b A B =sin c C =sin sin c b C B =sin a A =sin c C
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ．sin sin b A a B
=b =②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如；sin sin a A B b
=sin C = ．
（4）一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边叫做 .已知三角形的几个元素,,a b c 求其他元素的过程叫做 ．
※ 典型例题
例1. 在中，已知，，cm ，解三角形．
ABC ?45A = 60B = 42a =变式：在中，已知，，cm ，解三角形．
ABC ?45B = 60C = 12a =
例2. 在．
45,2,,ABC c A a b B C ?=== 中，求和
变式：在．
60,1,,ABC b B c a A C ?=== 中，求和三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
sin sin a b A B =sin c C
=2．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展
，其中为外接圆直径.sin sin a b A B =2sin c R C
==2R
※ 当堂检测
1．根据下列条件，解△ABC.
(1)已知b=4，c=8， B=30o ； (2)已知B=30o ，c=2 ； (3)已知b=6，c=9，B=45o .
2. 在△ABC 中，解三角形
(1)a=3，b=2，A=30 o ； (2)a=2，A=45 o ；
(3)a=5，b=2，B=120 o ；B=45 o .
3.在△ABC 中，a:b:c=1:3:3，求的值.2sin sin sin A B C
-4. 在中，若
，则是（ ）.ABC ?cos cos A b B a
=ABC ?A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形
5. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶1
D ．2∶26. 在△ABC 中，若，则与的大小关系为（ ）.
sin sin A B >A B A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定