第三章仿射空间中的张量分析
任何物理量通常都可以用一组数来表示，这组数的值一般与坐标的选择有关，研究这组数与坐标变换的关系导致了张量的概念。我们对三维空间中矢量的概念已经十分熟悉，矢量可以表示力、速度、加速度、动量等等，它通常可以用一组数（3个代数值）表示，并且随着坐标的变化而变化。然而即使这组数本身随坐标变化了，矢量本身却还是恒定的。张量的概念可以看作是三维空间中矢量的概念在任意维空间中的推广，是比矢量还要复杂的一种客观存在的物理量的数学表示。借助于张量，广义相对论可以把物理规律表达为看起来简单的张量方程，使它在任一种坐标下具有相同的形式。本章我们将在仿射空间中建立张量的定义和运算，并利用它来讨论空间的几何性质。
狭义相对论的四维Minkowski时空中，最常用的一种坐标变换就是代表惯性系之间关系的洛仑兹变换。从数学的角度来说，洛仑兹变换是一种最简单的线性正交变换，其变换矩阵不依赖于空间点而变化，矩阵元是常数。然而，广义相对论中由于时空的弯曲，一般不再能够找到如此简单的覆盖全时空的坐标变换。通常的坐标变换矩阵都是空间点的函数，当然一般也就不再满足线性、正交的条件。本章从数学的角度讨论一般的坐标变换下，张量的定义和性质。
3.1 n 维仿射空间中的张量
虽然相对论所借助的空间通常是四维的，但本章所讨论的数学对任意维数n 都适用，是更加宽泛的、一般性的张量理论。
n 维空间中的点，在某个已经给定的坐标系中可以用n 个数构成
的数组来描述，这组数叫做该点的坐标
).,,,(21n x x x x =μ (3-1-1)
同一空间中坐标的选取方式是任意的和多种多样的，两组坐标μx 与
μx ~（μ取1至n ）的联系叫坐标变换
),(~~νμμx x x = (3-1-2)
上式中的νx 和μx ~分别代表两套坐标下的两个数组。从(3-1-2)式可导出任一点的坐标微分的变换公式
,~~ααμμdx x
x x d ??= (3-1-3)
式中对重复指标α自动求和，这叫爱因斯坦求和约定，本书中将始终采用这约定。坐标微分的变换实际上反映了该点邻近点的坐标变换，从(3-1-3)可以看出这个变换是线性的，但变换矩阵随不同点而不同。由于表达物理量的张量也是定义在某一空间点上的，所以坐标微分的变换式(3-1-3)是引入张量概念的基础。
当变换矩阵满足
,0~det ∞≠??或αμ
x
x (3-1-4) 则坐标微分的逆变换存在，变换公式为
.~d ~d μ
μαα
x x
x x ??= (3-1-5)
由公式（3-1-3）和（3-1-5），正变换矩阵与逆变换矩阵自然满足
.~~,~~α
ββμμαμ
ννααμδδ=????=????x
x x x x
x x x (3-1-6) 有了仿射空间中坐标微分的变换关系，我们根据这种变换来定义逆变张量和协变张量。
仿射空间中的各阶逆变张量，是按如下的规则依次定义的。零阶逆变张量也叫标量，它满足
（1）有0
n 个分量，在坐标μx 下它的值记为T 。 （2）当坐标从μx 变为μx ~，T 相应地变为T ~
，同时满足
),()~(~
x T x T = (3-1-7)
其中x 和x ~是同一点的两组不同的坐标，(3-1-8)说明标量的值在坐标
变换下保持不变。这里需要强调，标量通常不是常数，它仍然是空间点的函数，在不同的空间点有不同的取值。只是它不依赖于坐标变换，在一个确定空间点的取值在不同坐标系下是相同的。
一阶张量也叫逆变矢量，它满足
（1）有1n 个分量，在坐标μx 下它的值记为μT (μ取1至n )。
（2）当坐标从μx 变为μx ~
，μT 相应地变为μT ~
，并且满足 ,~
~ααμμT x
x T ??= (3-1-8)
也就是说，它的变换规则与坐标微分相一致。
二阶逆变张量满足
（1）有2n 个分量，在坐标μ
x 下它的值记为μνT (μ与ν各取1至n )。
（2）当坐标从μx 变为μx ~，μνT 相应地变为μνT ~
，并且满足
,~~
~αββ
ναμμνT x x x x T ????= (3-1-9)
即每一指标都按坐标微分的变换规律进行变化，这正是逆变张量的基本特征。更高阶的逆变张量的定义可以依此类推。
在仿射空间中的另一类张量叫做协变张量，它的基本特征是每一指标的变换规则与坐标微分的逆变换相一致。为了在符号上加以区分，逆变张量的指标由上标标记，而协变张量的指标由下标标记。
由于零阶张量的取值不随坐标变换而变，所以它没有逆变与协变的差别。当坐标从μx 变为μx ~，一阶协变张量μT 相应变为μT ~
，此时两组表示协变张量的数组之间的变换满足
.~~
αμαμT x
x T ??= (3-1-10)
类似地写出二阶协变张量的变换公式为
.~~~
αβνβμαμνT x
x x x T ????= (3-1-11)
这样任意阶协变张量的变换也就自然地定义出来了。
此外，还可以定义既有逆变指标又有协变指标的所谓混合张量。最低阶的混合张量是二阶的，它的变换规则是
.~~
~αβνβαμμνT x
x x x T ????= (3-1-12)
一般来说，一个张量可以有p 个逆变指标，q 个协变指标，即表示成形式p q
T
αααβββ 2121，我们将它称为),(q p 阶张量。它的变换规则很容
易直接写出，同时前面的简单的逆变、协变以及零阶张量可以看作
),(q p 阶张量的退化形式。
从上面的定义我们看到，一个数组是否构成张量在于它们在坐标变换下的行为。作为例子，我们分析克龙涅克(Kroneker)符号
?
?
?≠==,,0,
,1νμνμδμ
ν
(3-1-13) 它是一个(1，1)阶混合张量。
,~~~~~~~μννμ
νααμαβνβαμμ
ν
δδδ=??=????=????=x
x x x x x x x x x (3-1-14) 可见在任一坐标下，克龙涅克符号的取值都由(3-1-13)决定。
3.2 张量代数和张量的对称性
两个张量可以做加法、减法和乘法运算，由于决定张量变换行为的矩阵是随空间不同点而不同的，所以张量的运算必须在同一点上的两个张量间进行，这样才能使运算后的量保持张量的性质。
张量的加减法定义为相应分量的相加或相减，因此这两个张量必须同阶，运算后仍得同一点上的同阶张量。如
.μνμνμνB A C ±= (3-2-1)
张量的乘法叫外乘。如(1，1)阶张量μνA 和(1，0)阶张量μB 的外乘定义为
.νμλμνλB A C = (3-2-2)
由定义直接可验证μν
λC 是(2，1)阶张量。一般由),(11q p 阶张量与)
,(22q p 阶张量外乘后得到),(2121q q p p ++阶张量。
对混合张量还可以定义一种运算叫缩并，它让混合张量的某一
对上下指标取相同值并求和。如(2，1)阶张量μν
λA 可对(μ或ν)和λ缩
并，得到
,λν
λνA C = 或 ,μλλ
μA D = (3-2-3) 缩并后的张量νC 或μD 都符合(1，0)阶张量的变换规律。一般讲，),(q p 阶张量在一次缩并后成为)1,1(--q p 阶张量。
需要说明，原来我们熟知的矢量间的内乘实际上是外乘后再缩并，因此不是一种新的运算。值得注意的是必须在逆变矢量μA 和协变矢量μB 间进行这种运算。运算后得到
,μμB A C = （3-2-4）
它是一个标量。由两个都是逆变（或协变）的矢量是不能构成标量的。
张量不能定义除法运算，但是如果有满足一般张量在坐标变换下之变换条件的关系式，如
,νμνμC B A = （3-2-5）
又已知μA 及μνB 均为张量，则能证明νC 也是张量，此性质称为张量运算的商定理。
张量的对称性常常为张量计算带来方便，下面就对一般张量的对称性进行讨论。首先看n 维仿射空间中的二阶逆变张量μνT ，它的分量可用一矩阵表示
.21
22221112
11??
??
?
?
?
????
???=nn n n n n T T T
T T T T T T T μν
（3-2-6） 如果它是对称矩阵，即
,νμμνT T = (3-2-7)
那我们就说张量μνT 对它的指标μ和ν是对称的。若它是反对称矩阵，即
,νμμνT T -= (3-2-8)
则说张量μνT 对它的指标μ和ν是反对称的。容易看出，如果当张量在某一坐标系下是对称（或反对称）的，那么在任一坐标下它都是对称（或反对称）的，也就是说张量的对称性与坐标无关。
上述对称性质的讨论对协变张量也适用，但对混合张量不适用。即使混合张量在一个坐标系中有对称性，然而变换到另一个坐标系后，一般也不能保持对称性。
一个不对称的二阶逆变（或协变）张量总可分解成两部分之和，其中一部分是对称张量，两一部分是反称张量，即
,μνμνμνA S T += (3-2-9)
其中
νμμνS S =, νμμνA A -=. (3-2-10)
这种分解很容易唯一地确定下来
,)(21)(μννμμν
μνT T T S ≡+= (3-2-11) .)(2
1
][μννμμνμν
T T T A ≡-= (3-2-12) 人们常常用圆括号表示对称组合，用方括号表示反对称组合。
对高阶张量，完全可以在上述意义下说它对某两个上标（或下标）是对称的或反称的；但仍须注意，对一个上标和一个下标来说对称性没有意义，因为这种对称性在坐标变换下不能保持。当不加限制
地说某逆变（或协变）张量是对称的或反称的时，是指它对任一对上标（或下标）都是对称或反称的。如三阶对称逆变张量应满足
νμλλνμμλνμνλT T T T ===. (3-2-13)
而三阶的反称逆变张量则满足
νμλλνμμλνμνλT T T T -=-=-=. (3-2-14)
反称张量还具有如下常用的性质：
（1）当任意两个指标取同样值时，张量的该分量为零
（2）n 维空间中最高阶的反称张量是n 阶的，这张量只有一个独立分量。如三维空间中的三阶反称张量μνλT 只有123T 是独立分量，其他不为零的分量均与它相等或等值异号。
（3）n 维空间中的1-n 阶反称张量只有1n 个独立分量。如三维空间中的二阶反称张量μνT 的独立分量是12T ，23T 和31T ，其他不为零的分量与它们之一相等或等值异号。
作为应用的例子，我们讨论n 维空间的体元。在空间某点取n 个线性无关的矢量μμμdx dx dx n ,,,21 ，可以用它们构成的行列式来定义一个n 阶张量
n n
n n
x x x x x x x x x T
n
n
n μμμμμμμμμμμμd d d d d d d d d 212
12
1
212
2
2
1
11
=
， (3-2-15)
行列式的性质决定这张量是反称的。它只有一个独立分量n
T 12，这
分量的绝对值就是n 个矢量所构成的体元的体积。
3.3 矢量的平移和仿射联络
根据张量代数的定义，两个不同点上的张量相减后将会失去张量的性质。可是张量场的微分却需要这样的相减，为了使微分运算不破坏张量的性质，必须引入一种新的操作叫张量的平移。它能够把P 点（坐标为μx ）的张量平移到邻近点Q （坐标为μμdx x +）而变成为Q 点的张量。平移后再作减法，将仍然能保持张量的性质。为了实现这平移所要引入的新概念就是仿射联络，下面我们就从协变矢量的平移来引入仿射联络。
设有P 点的协变矢量)(P A μ，它平移至Q 点后相应的矢量记作)(Q P A μ→。作为线性的理论，平移引起的改变)(P δA μ，应正比于)(P A μ，并且正比于μdx 。
,)()()()(ν
λλμνμμμδdx P A P A Q P A P A Γ=-→= (3-3-1)
这里的比例系数)(P Γλ
μν就叫做P 点的仿射联络。我们要求）
（Q P A μ→在Q 点具有协变矢量的性质
.~
~
）（）（Q P A x
x Q P A αQ
μαμ→???? ????=→ （3-3-2） 利用变换矩阵的微分关系
,~~~~~~~~~~22σ
P
σννμαP μανP ν
μαP μαQ μαx d x x x x x x x x d x
x x x x x
x ???? ???????+???? ????=???? ?????+???? ????=???? ???? （3-3-3） 利用（3-3-1）和（3-3-3），方程（3-3-2）式可以写作
()
,~~~~~~~~2σ
ββασασσννμαμα
νλλμνμdx A ΓA dx x x x x x x x x d A ΓA +??
???
????? ???????+???? ????=+ （3-3-4） 这里一切量取的都是P 点的值，所以全部都省略了。考虑到μA 和νdx 都
是P 点的矢量，即有关系式
.~~,
~~
σσννβμβμdx x
x x d A x
x A ??=??= （3-3-5） 将（3-3-5）代回（3-3-4）式，略去坐标微分的二级小量并注意所得的式子对任意的μA 和μdx 都适用，我们有
μα
βασσ
ρρμβσνλβλμνx
x Γx x x x x x x x x Γ~~~~~~~2??+?????=????， （3-3-6） 把公式（3-3-6）变形，得λ
μνΓ~
的表达式为
,~~~~~~~2β
λνσμα
βασβλμβλμνx x x x x x Γx x x x x Γ??????+?????=ν （3-3-7） 这就是仿射联络所必须满足的变换方程。从这个公式看出，仿射联络通常不是张量（除非右边第一项为零）。为了使()Q P A μ→是Q 点的矢量，仿射联络的变换公式（3-3-7）不仅仅是必要条件，而且也是充分条件。
至此，我们对仿射联络的唯一限制就是它必须满足变换式
（3-3-7），因此可以在某一组坐标下任意地给定一个联络场）
（x Γλ
μν，然后利用（3-3-7）式来定义其他坐标下的）
（x Γλμν~
，这样就在仿射空间中确立了一种联络。
用联络建立的平移操作也可以对其他阶张量进行，对P 点的逆变
矢量）（P A μ
，在确定联络后可以证明
,)()()()(νλμλνμμμμδdx P A A P A P A Q P A Γ-=+=→ （3-3-8）
是Q 点的逆变矢量，（3-3-8）就是用联络对逆变矢量作平移的公式。值得指出的是，标量是坐标变换下的不变量，因此它的平移不需要专门的操作，只需要合理地定义其保持原来的取值，即)()(P Q P ??=→。
与张量的平移密切联系进而定义的仿射联络有如下几点性质，它们都可以十分容易地从联络的定义，即在坐标变换下的变换公式，得到证明。
（1）在同一仿射空间中引入两种联络，记为λμνΓ1和λ
μνΓ2，它们的差是
（1，2）阶混合张量
.)2,1(,
21阶张量为λ
μνλμνλμνΓΓT -= （3-3-9）
（2）若联络λ
μνΓ1对μ和ν并不对称，那么λνμ
λμνΓΓ12≡也是一种联络。 （3）联络λμνΓ的对称组合
()
λ
νμλμνλ
μνΓΓΓ+=
2
1）（ （3-3-10） 也是一种联络，叫对称联络，即对其下标是对称的。
（4）联络λ
μνΓ的反称组合
[]()
λ
νμλμνλμνΓΓΓ-=
2
1 （3-3-11） 是一个对下标反称的张量，它叫仿射空间的挠率张量。若挠率张量为零，则联络是对称的。
（5）一个非对称的联络总可以表示为对称联络和挠率张量之和，即
()[]()
.2
1λμνλ
μνλμνΓΓΓ+=
（3-3-12）
3.4 张量的协变微商
在张量平移概念的基础之上，就可以对张量场定义一种新的微商，它叫协变微商，其特点就是对张量场求协变微商后所得的量将仍具有张量的性质。
先看标量场的微商，)(x T 对μx 的普通微商用，μT 表示：
,μ，μx
T
T ??≡
（3-4-1） 坐标变换后，，μT 变成，μT ~
，且满足
,~~~~~
μα，αμααμ，μx
x T x x x T x T T ??=????=??≡ （3-4-2）
这表明，μT 是协变矢量。因为标量场的普通微商自动具有张量性质，所以它就被定义为标量场的协变微商，用；μT 表示，即
.，μ；μT T = （3-4-3）
然后，我们再看协变矢量场）（x T μ
的微商。它对μ
x 的普通微商 (),lim
ν
μμP
Q ν
μμ,νx
P T Q T x
T x T ?-=??≡
→）
（）（ （3-4-4）
显然不再是一个张量。为了使得协变微商后的νμ;T 仍然是张量，我们利用平移操作，把它定义为
(),lim ;ν
μμP
Q νμx
Q P T Q T x T ?→-=→）
（）
（ （3-4-5）
这样μ;νT 就是一个（0，2）阶的张量。由协变矢量的平移公式（3-3-1）,方程(3-4-5)可以化为
,λT ΓT T λ
μνμ,νμ;ν-= （3-4-6）
这就是协变矢量的协变微商公式。注意，（3-4-6）式右边的两项通常都不是张量，但是它们的差是张量。
为了唯一地确定其他阶张量的协变微商，我们要求协变微商满足与普通微商一样的乘法法则，即
()
()()()()
,；λ
。。。。。。
。。。。。。
。。。。。。
；λ
。。。。。。
；λ
。。。。。。
。。。
。。。B A B A B A
+= （3-4-7）
由这一要求及标量和协变矢量的协变微商公式（3-4-3）和（3-4-6），
就可以导出其他阶的张量的协变微商公式。
先看逆变矢量场)(x A μ，它与任意协变矢量场）（x B μ可构成标量μμB A 。利用标量的协变微商公式（3-4-3）
，我们有 ()().,λ
μμ
;λ
μμ
B A B A = （3-4-8）
再用普通微商和协变微商的乘法法则，得
,μ,λμ
μμ,λμ;λμμμ;λB A B A B A B A +=+ （3-4-9）
对μ;λB 用公式（3-4-7），上式变为
.μα
μαλμμ,λμμ;λB A ΓB A B A += （3-4-10）
考虑到μB 是任意的矢量，于是有
,αμαλμ,λμ;λA ΓA A += （3-4-11）
这就是逆变矢量的协变微商公式。
有了上面导出逆变矢量的协变微商的过程，对于高阶张量也可
以用类似的方法加以解决。例如，对于二阶混合张量场）
（x T μ
ν，它与两个任意矢量场μA 和μB 可以构成标量μνμνB A T ，因此有
()
()
.，λ
μ
νμν；λ
μ
νμ
νB A T B A T
=
然后用乘法公式展开，利用μA 和μB 的协变微商公式，我们就可以得
到μνT 的协变微商公式
,μ
ρρλρνμρλ，λμν；λμνT ΓT ΓT T ν-+= （3-4-12）
它的规律是对每一上标按逆变矢量的协变微商那样操作一次，而对每一下标按协变矢量的协变微商那样操作一次。按这办法写出二阶逆变张量和协变矢量的协变微商公式如下
,μρνρλρνμρλ，λμν；λμνT ΓT ΓT T ++= （3-4-13）
.μρρ
νλρνρμλ，λμν；λμνT ΓT ΓT T --= （3-4-14）
作为应用，我们计算克龙涅克张量μνδ的协变微商。按(3-4-12)式有
,μ
ρρνλρνμρλλμνλμνδδδδΓ-Γ+=，；
由于μνδ的分量是常数，所以上式右边第一项为零，后两项是对消的，因此
,0=λμνδ； （3-4-15）
即克龙涅克张量μνδ的普通微商和协变微商都是零。
下面我们应用协变微商的公式，证明μ,νA 的反称组合为张量。由（3-4-6）可以知道
[][][],λλ
μνμ,νμ;νA ΓA A -= （3-4-16）
上式左边是张量，右边第二项也是张量，因此[]μ,νA 必定是张量。顺便指出，爱因斯坦的广义相对论理论是无挠的，即采用对称联络
[]0=λ
μνΓ，此时
[][].μ,νμ;νA A =
3.5 测地线方程
平直空间中的直线，既是两点之间的短程线，也是线上任意相邻两点的切矢量都相互平行的自平行线。普通空间中的直线因此可借鉴平直空间，定义为在线上任意相邻两点的切矢量都相互平行的曲线。把这概念推广到n 维仿射空间，相应的曲线就叫测地线。现在，
我们要导出任意维仿射空间中测地线所满足的微分方程。
n 维空间的曲线由n 个参量式组成的参数方程来描述
,,...,2,1),(n x x ==μλμμ （3-5-1）
其中λ是一个标量性的参量。曲线上任一点的切矢量定义为
,λ
μ
μ
d dx A = （3-5-2）
它是一个逆变矢量。假定曲线上有两个相邻点P 和Q ，它们的坐标分别为μx 和μμdx x +。为了使Q P ,点上的切矢量能够比较，先把P 点的切矢量)(P A μ平移至Q 点，变成)(Q P A →μ。现在我们可以定义：若曲线上任意两相邻点P 和Q 的切矢量满足
),(//)(Q A Q P A μμ→ （3-5-3）
则这条曲线叫测地线，也叫自平行线。测地线条件（3-5-3）也可以写作
),())(1()(Q P A d f Q A →+=μμλλ （3-5-4）
这里对比例因子按λd 作了展开，并保留至λd 的一级小量。
利用逆变矢量的平移公式（3-3-8），我们有
.)(λλλλβ
αμαβμμ
d d dx d dx d dx Q P A Γ-=→ （3-5-5） 同时，由切矢量的微分公式，又有
.)()()(2
2λλλμ
μμ
μ
μ
d d x d d dx P dA P A Q A +=+= （3-5-6）
把（3-5-5）和（3-5-6）代入（3-5-4），整理并只保留至一级小量，得出
,)(2
2λλλλλ
μβ
αμαβμd dx f d dx d dx d x d =Γ+ （3-5-7） 这就是测地线的微分方程。
如果我们采用一类特殊的标量性参量，测地线方程可以得到简化。为了看清这一点，考虑参量的变换
),(σλλ=
这时相应有
,λ
σ
σλμμd d d dx d dx = ,)(2222222λσσλ
σσλμαμd d d dx d d d x d d x d +=
于是，测地线方程（3-5-7）改变为
).)(())((2222
2λσλσλσλσσσσμβ
αμαβμd d d d f d dx d d d dx d dx d x d -=Γ+ （3-5-8）
从式（3-5-8）式看出，若让参量变换满足
,)(2
2λσ
λλ
σd d f d d = （3-5-9） 则测地线方程将简化为
,02
2=Γ+σσσ
β
αμαβμd dx d dx d x d （3-5-10） 这样的标量性参量σ叫仿射参量。
（1）对比（3-5-7）和（3-5-10）式看出，当采用仿射参量σ时有
0)(=σf 。再由（3-5-4）式知，这时测地线条件是
),()(Q P A Q A →=μμ （3-5-11）
这里σ
μ
μ
d dx A ≡。
（2）仿射参量并不唯一，若σ与σ~是两种不同的仿射参量，（3-5-9）
式告诉我们，它们之间的变换满足
,0~22=σ
σ
d d （3-5-12） 即仿射参量的变换只能是线性变换。
3.6 曲率张量与挠率张量
我们已经知道，联络是决定空间几何性质的重要参量，但它不是张量。挠率是由联络的反称部分构成的重要张量；下面将指出，由联络还能构造出另一个重要的张量，它叫曲率张量。
借助协变微商来引入曲率张量，对任一协变矢量场)(x A μ的二阶协变微商，我们有
,
;,,,,,;;,;;;ρλρμν
σσρμ
ρλν
μρρλν
νρρλμ
ρρ
ν
λμνμλρ
λρ
μνμρρλννμλνμλA A A A A A A A A A Γ-ΓΓ+Γ-Γ-Γ-=Γ-Γ-= （3-6-1）
取νμλ;;A 对μ和ν的反称组合，它可以整理成
),2(2
1)(21;][;;;;];[;ρλρμνρρλμνμνλνμλνμλA A R A A A Γ-=-=
（3-6-2） 其中
.,,ρσμσλνρσνσλμρμλνρνλμρλμνΓΓ+ΓΓ-Γ+Γ-≡R （3-6-3）
（3-6-2）式左边是张量，右边第二项也是张量，因此ρ
λμνR 必是
张量，它叫曲率张量。只有当曲率和挠率都等于零（注意，因为它们都是张量，这条件与坐标的选取无关），μA 的两次协变微商才可以变换次序。
由定义式（3-6-3）可看出曲率张量的两点性质。首先，它完全由联络和联络的一阶微商所决定。其次，它对下标μ和ν是反称的，即
.ρλνμρλμνR R -= （3-6-4）
曲率作为（1，3）阶张量，它当然可以缩并。由于其对称性，独立的缩并方式只有两种，一种为
,λλμνμνR A ≡ （3-6-5）
另一种则是
,λμνλμνR R = （3-6-6）
由于有（3-6-4）的反称性质，λ
μλνR 不给出新的张量。
曲率和挠率一起，构成了刻画空间弯曲情况的基本张量。如果在空间某区域V 内曲率张量和挠率张量都恒等于零，那可以证明，总
能找到一个适当的坐标变换μμx x ~
→，使得 0~=Γλ
μν，在V 内。 （3-6-7）
我们不证明这定理，仅仅指出它的含义。在V 内的联络为零，由矢量平移公式看出
,0=μδA （3-6-8）
这表明在V 内矢量的平移不改变其分量。此外，测地线方程简化为
,02
2=σμ
d x d （3-6-9） 即在V 内测地线是直线。由于这些性质，人们称V 内的空间是平坦的。这也就是说，上述定理告诉我们，曲率和挠率是否都为零是空间是否平坦的标志。
值得指出一点，由张量定义看出，当张量在某一坐标下为零，则在一切坐标下均为零。联络不是张量，从联络的变换公式看出，它在某一坐标下为零，在其他坐标下一般不为零，这正是人们要应用曲率张量和挠率张量来刻画空间几何性质的原因。
下面我们讨论一下挠率和曲率的几何意义，以便对这两个重要的描述空间弯曲的张量有一个更加直观的理解和认识。
如图3-6-1所示，空间中有两个从O 点出发的无穷小位移μdx 和
μδx ，分别用'OQ 和OQ 表示。现在把μdx 平移μδx 到Q 点，平移后的矢
量用QP 表示；再把μδx 平移μdx 到'Q 点，平移后的矢量用''P Q 表示。如果空间是平直的，从欧几里德几何可知，'P 和P 必定重合，形成封闭的平行四边形''P PQOQ 。如果空间不是平直的，情况就比较复杂。由逆变矢量的平移公式（3-3-8），有
,νλμ
λνμδx dx dx QP Γ-= （3-6-10） ,''νλμλνμδδdx x x P Q Γ-= （3-6-11）
因此，P 与'P 两点之差为
,
2)()]([)()
'''(][λνμνλλνμλνμνλνλμ
λνμμνλμλνμμδδδδδδdx x dx x dx x x dx x dx dx x P Q OQ QP OQ Γ=Γ-Γ=Γ-+-Γ-+=+-+=? （3-6-12） 其中μ
νλ][Γ为挠率张量。可见，当且仅当挠率为零时，上述平移操作能
形成封闭的四边形。当空间有挠时，必须对上述无穷小平移附加一个移动?，才能形成封闭的环路。这个附加的移动，正是空间挠率（扭曲）产生的几何效应。
图3-6-1 挠率的几何意义
要了解狭义相对论和广义相对论的区别，我们首先要搞清楚，这两个理论大概说了什么？ 狭义相对论 我们先从狭义相对论说起，其实狭义相对论解决了一个物理学的重大矛盾。在爱因斯坦之前，最成功的两个理论分别是牛顿提出的牛顿力学和麦克斯韦提出麦克斯韦方程。只不过，这两个理论有个矛盾，那就是：光速。 具体来说，牛顿的理论认为，速度可以不断地进行叠加，没有上限，只要你加得上去就行。可是，麦克斯韦方程得出的光速是一个固定值，似乎暗示着光速无论在什么惯性坐标系下都是一样的。要知道，我们在使用牛顿力学时，是需要先选定参考坐标的。因此，科学家就在思考，是不是存在一个奇怪的坐标系，让光速一直保持一个速度，它们管这个叫做以太。于是，一群科学家就拼了命地去找“以太”，然后他们接二连三地失败了。 后来，26岁的爱因斯坦提出了狭义相对论。
有人说他高举了奥卡姆剃刀原理才成功的，这个奥卡姆剃刀原理大意是：如无必须勿增实体。翻译过来就是，咋简单咋来。既然光速是不变的，那为啥还要假设“以太”？ 于是，爱因斯坦就以“光速不变原理”和“相对性原理”为基础假设，推导出了狭义相对论。这个过程就有点像平面几何，就只有五条公设，但是能搞出一整套体系。而这里的相对性原理，说白了就是经典物理学的老套路，在研究运动时，需要先选个惯性参考系。 通过这两条假设，爱因斯坦出了很多奇葩的结论，比如：时间膨胀。说的是，如果你想对于我高速运动，那我看你的时间就会变慢，这种变慢可以理解成，如果你在高速的飞船里做操，那我这里看到的就是你在慢动作做操。而你自己其实感觉到的时间是正常流逝。所以，是以我参考系看你时间膨胀了。如果你也 看到，你也会发现我的时间也变慢了，因为我想对于你也是在高速运动的。
广义相对论基础 Introduction to General Relativity 课程编号：S070200J15 课程属性：学科基础课学时/学分：60/3 预修课程：大学理论物理、高等数学 教学目的和要求: 本课程为物理学、天文学研究生的学科基础课，同时也是为今后有可能接触到引力理论的其它学科研究生的学科基础课。主要介绍爱因斯坦的广义相对论。使学生具有在今后接触到引力场问题时，能通过阅读有关书籍文献对更深入的问题进行了解的能力。本课强调弄清物理和几何图像。本课不涉及引力场量子化、引力和其它作用之统一以及以抽象数学工具表现时空几何等问题。本课也扼要对广义相对论的观测和实验检验，黑洞问题和宇宙学问题进行简要地介绍。 内容提要: 第一章张量分析基础 张量代数，联络，协变微商，测地线方程，Killing矢量。 第二章引力场方程 引力与度规，引力红移，黎曼曲率张量，Bianchi恒等式，引力场方程。 第三章场方程的应用（Ⅰ） 西瓦兹解，西瓦兹场中质点的运动，光线偏折，引力透镜效应，雷达回波，0Kruskal坐标和黑洞，Keer度规。 第四章场方程的应用（Ⅱ） 宇宙学原理,共动坐标系，Robertson-Walker度规，宇宙学红移，标准宇宙学模型简介。 主要参考书： 1. R, Adler， M.Bagin,M.Schiffer，Introduction to General Relativity（第二版），McGraw-Hill Book Company，New York，1975. 2. 俞允强，《广义相对论引论》，北京大学出版社，北京，1997。 3. S. Weinberg，Gravitation and Cosmology，John Wiley Sons,Inc.，New York，1972. 撰写人：邓祖淦(中国科学院研究生院) 撰写日期：2001年09日
广义相对论简介 引子 由牛顿力学到狭义相对论，基本观念的发展是，其一：由一切惯性系对力学规律平权到一切惯性系对所有物理规律平权；其二：由绝对时空到时空与运动有关。 爱因斯坦进一步的思考：非惯性系与惯性系会不平权吗？物质与运动密不可分，那么时空与物质有什么关系？关于惯性和引力的思考，是开启这一迷宫大门的钥匙，最终导致广义相对论的建立。 §1 广义相对论的基本原理 一、等效原理 1. 惯性质量与引力质量 实验事实：引力场中同一处，任何自由物体有相同的加速度。 根据上述事实及力学定律，可得任一物体的惯性质量 与引力质量 满足 常量，与运动物体性质无关，选择合适的单位，可令 ＝ ＝ ， 即惯性质量与引力质量相等。从而，在引力场中自由飞行的物体，其加速度必等于 当地的引力强度 。 2. 惯性力与引力 已知在非惯性系中引入惯性力后，可应用力学规律，而惯性力。在 此基础上，讨论下述假想实验。 1) 自由空间中的加速电梯(如图1) 以 为参考系,无法区分ma 是惯性力还是引力。因此，也可以认为是在引力场中 匀速运动的电梯。 2) 引力场中自由下落的电梯S*(如图2) 以S*为参考系，无法区分是二力平衡 还是无引力。因此，也可认为S*是 自由空间中匀速运动的电梯。 以上二例表明，由 ＝ ， 可导出惯性力与引力的力学效应不可区分， 或者说，一加速参考系与引力场等效。当然，由于真实引力场大范围空间内不均匀， 图 图1 图 2
因此，这种等效只在较小范围空间内才成立，我们称之为局域等效。 3. 等效原理 弱等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切力学效应等效。 强等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效。 广义相对论的等效原理是指强等效原理。 4.对惯性系的再认识——局域惯性系 按牛顿力学的定义，惯性定律成立的参考系叫惯性系。恒星参考系是很好的惯性 系，不存在严格符合此定义的真正的惯性系。惯性系之间无相对加速度。 按爱因斯坦的定义，狭义相对论成立的参考系，或（总）引力为零的参考系叫惯 性系。因此，以引力场中自由降落的物体为参考的局域参考系是严格的惯性系，简 称为局惯系。引力场中任一时空点的邻域内均可建立局惯系，在此参考系内运用狭 义相对论。同一时空点的各局惯系间无相对加速度，不同时空点的各局惯系间有相 对加速度。 二、广义相对性原理 原理叙述为：一切参考系对物理规律平权，即物理规律在一切参考系中的表述形 式相同。 为了在广义相对性原理的基础上建立广义相对论理论，爱因斯坦所做的进一步工 作是使引力几何化，即把引力场化作时空几何结构加以表述。对广义相对论普遍理 论的研究数学上涉及黎曼几何、张量分析等，超出本简介范围，下面只作浅显的说 明。 §2 引力场的时空弯曲 一、弯曲空间的概念 从高维平直空间可观测低维平直空间与弯曲空间的差异。 平面——二维平直空间内：测地线（即两点间距离的极值线）为直线，三角形内 角和＝，圆周长＝。 球面——二维弯曲空间：测地线为弧线，如图。三角形(PMN)的内角和＞， 圆周长＜。 故通过测量可判定空间弯曲。(如图3) Array二、引力场的空间弯曲 讨论爱因斯坦转盘(如图4) 相对惯性系S以角速度均匀 转动的参考系。由S系可推知 系中的测量结果（狭义相对论） 图 3
11、广义相对论的几 个疑难问题 1、暗物质的本质：现代宇宙学观测表明宇宙中存在暗物质和暗能量。但是它们的起源仍然是个谜。我们能找到的普通物质仅占整个宇宙的4%，各种测算方法都证实，宇宙的大部分是不可见的。要说宇宙中仅仅就是暗色尘云和死星体是很容易的，但已发现的有力证据说明，事实并非如此。正是对宇宙中未知物质的寻找，使宇宙学家和粒子物理学家开始合作，最有可能的暗物质成分是中微子或其它两种粒子：neutralino和axions（轴子），但这仅是物理学的理论推测，并未探测到，据认为，这三种粒子都不带电，因此无法吸收或反射光， 但其性质稳定，所以能从创世大爆炸后的最初阶段幸存下来。 天文学家已经证明：宇宙中的天体从比我们银河系小100万倍的星系到最大星系团，都是由一种物质形式所维系在一起的，这种物质既不是构成我们银河系的那种物质，也不发光。这种物质可能包括一个或更多尚未发现的基本粒子组成，该物质的聚集产生导致宇宙中星系和大尺寸结构形成的万有引力。同时，这些粒子可能穿过地面实验室。 美国能源部LANL实验室的液体闪烁体中微子探测器、加拿大Sudbury中微子观测站和日本超级神冈加速器实验的最新结果给出 有力的证据：中微子以各种形式“振荡”，因此必定会具有质量。虽然质量很小，但宇宙中大量的中微子加起来可使总的质量达到相当高。美国费米国家实验室新的加速器实验MiniBooNE和MINOS将研究中微子震荡和中微子质量。 尚未发现的其它粒子有可能存在，例如一种称为超对称的新对称理论预言有一种大的新类型的粒子，其中有些可解释暗物质。现正在费米实验室TeV能级加速器进行的和计划在CERN正建造的大型强子对撞机（LHC）上开展的实验，以及地下低温暗物质寻找和空间利用伽马射线大面积天体望远镜所进行的实验，目的都是要寻找超对称粒子。 阿尔法磁谱仪（AMS）安装在国际空间站上，寻找反物质星系和
15.4 广义相对论简介学案 ★知识目标 1．了解广义相对性原理和等效原理。 2．了解广义相对论的几个结论。 ★教学重点 广义相对性原理和等效原理。 ★教学难点 理解广义相对论的几个结论。 ★知识梳理 一、超越狭义相对论的思考 爱因斯坦思考狭义相对论无法解决的两个问题： 1、引力问题，万有引力定律不满足洛伦兹变换，无法纳入狭义相对论的理论框架； 2、非惯性系问题，狭义相对论只适用于惯性系。它们是促成广义相对论的前提。 二、广义相对性原理和等效原理 把相对性原理从“任何惯性系平权”推广到“包括非惯性系在内的任意参考系(即包括惯性系和非惯性系)平权”。 三、广义相对论几个结论以及相关实验验证 1、光线经过强引力场中发生弯曲 2、引力红移 3、水星轨道近日点的进动 四、关于的宇宙大爆炸理论 大爆炸宇宙学：多方分析表明，我们的宇宙是在约200亿年以前从一个尺度很小的状态发展演化而来的。 ★随堂检测 1. 和问题难以用狭义相对论解决，催促了广义相对论的诞 生。 2．广义相对论认为，在任何参考系中，物理规律都是_____________。 3．等效原理的基本内容是一个均匀的_____________场与一个做__________________运动的参考系是等价的。 4．广义相对论告诉我们，____________的存在使得空间不同位置的____________出现差别，物质的____________使光线弯曲。 5．下列属于广义相对论结论的是 ( ) A．尺缩效应 B．时间变慢
C．光线在引力场中弯曲 D．物体运动时的质量比静止时大大 6、简答：从广义相对论的两个基本原理出发，可以直接得到一些“意想不到”的结论。请大家阅读教材，说明得到了哪些结论这些解论的实验验证是什么？ 7、查阅相关资料了解，宇宙发展演化的过程。 参考答案：1、引力问题，非惯性系问题 2、相同的 3、引力，匀加速 4、引力场，时间进程，引力 5、C 6、1：第一个结论，物质的引力使光线弯曲。20世纪初，人们观测到了太阳引力场引起的光线弯曲。观测到了太阳后面的恒星。 2：第二个结论，引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别。例如在强引力的星球附近，时间进程会变慢。天文观测到了引力红移现象，验证了这一结论的成立。 7、略
爱因斯坦广义相对论 广义相对论是爱因斯坦继狭义相对论之后，深入研究引力理论，于1913年提出的引力场的相对论理论。这一理论完全不同于牛顿的引力论，它把引力场归结为物体周围的时空弯曲，把物体受引力作用而运动，归结为物体在弯曲时空中沿短程线的自由运动。因此，广义相对论亦称时空几何动力学，即把引力归结为时空的几何特性。 如何理解广义相对论的时空弯曲呢？这里我们借用一个模型式的比拟来加以说明。假如有两个质量很大的钢球，按牛顿的看法，它们因万有引力相互吸引，将彼此接近。而爱因斯坦的广义相对论则并不认为这两个钢球间存在吸引力。它们之所以相互靠近，是由于没有钢球出现时，周围的时空犹如一张拉平的网，现在两个钢球把这张时空网压弯了，于是两个钢球就沿着弯曲的网滚到一起来了。这就相当于因时空弯曲物体沿短程线的运动。所以，爱因斯坦的广义相对论是不存在“引力”的引力理论。 进一步说，这个理论是建立在等效原理及广义协变原理这两个基本假设之上的。等效原理是从物体的惯性质量与引力质量相等这个基本事实出发，认为引力与加速系中的惯性力等效，两者原则上是无法区分的；广义协变原理，可以认为是等效原理的一种数学表示，即认为反映物理规律的一切微分方程应当在所有参考系中保持形式不变，也可以说认为一切参考系是平等的，从而打破了狭义相对论中惯性系的特殊地位，由于参考系选择的任意性而得名为广义相对论。 我们知道，牛顿的万有引力定律认为，一切有质量的物体均相互吸引，这是一种静态的超距作用。 在广义相对论中物质产生引力场的规律由爱因斯坦场方程表示，它所反映的引力作用是动态的，以光速来传递的。 广义相对论是比牛顿引力论更一般的理论，牛顿引力论只是广义相对论的弱场近似。所谓弱场是指物体在引力场中的引力能远小于固有能，力场中，才显示出两者的差别，这时必须应用广义相对论才能正确处理引力问题。 广义相对论在1915年建立后，爱因斯坦就提出了可以从三个方面来检验其正确性，即所谓三大实验验证。这就是光线在太阳附近的偏折，水星近日点的进动以及光谱线在引力场中的频移，这些不久即为当时的实验观测所证实。以后又有人设计了雷达回波时间延迟实验，很快在更高精度上证实了广义相对论。60年代天文学上的一系列新发现：3K微波背景辐射、脉冲星、类星体、X射电源等新的天体物理观测都有力地支持了广义相对论，从而使人们对广义相对论的兴趣由冷转热。特别是应用广义相对论来研究天体物理和宇宙学，已成为物理学中的一个热门前沿。 爱因斯坦一直把广义相对论看作是自己一生中最重要的科学成果，他说过，“要是我没有发现狭义相对论，也会有别人发现的，问题已经成熟。但是我认为，广
?第1部分 ?总题数:25 ? 1 【单选题】(4分) 所谓“绝对星等”，代表了恒星的什么指标？ A. 大小 B. 颜色 C. 温度 D. 发光能力 正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 2 【单选题】(4分) 除太阳以外，肉眼能见距离我们最近的恒星是哪颗？ A. 半人马座南门二 B. 大犬座天狼星 C. 天琴座织女星 D. 天鹅座天津四 正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 3 【单选题】(4分)
在地球上以三角视差法测量恒星，是利用了什么？ A. 地球在南北两极看北极星的高度差 B. 地球的自转反映恒星在天球的不同位置 C. 地球公转时被测恒星相对于更遥远恒星视距角的变化 D. 恒星的温度变化 正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 4 【单选题】(4分) 在以下恒星中，体积最大的是哪颗？ A. 太阳 B. 天狼星 C. 大火（天蝎座心宿二） D. 织女星 正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 5 【单选题】(4分) 哪种方法并不适用于测量恒星的半径？ A. 哈勃定律 B.
光干涉法 C. 月掩恒星法 D. 光度~温度关系 正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 6 【单选题】(4分) 关于恒星的光谱类型，和恒星的什么特征并不直接相关？ A. 颜色 B. 发光能力 C. 不同元素及成分光谱强度 D. 温度 正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 7 【单选题】(4分) 赫罗图并没有直接包含什么？ A. 恒星距离 B. 恒星体积~发光能力 C. 恒星发光能力~温度 D.
正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 8 【单选题】(4分) 哪颗恒星不属于主序星？ A. 太阳 B. 天狼星 C. 大火（天蝎座心宿二） D. 织女星 正确 查看答案解析 ? ?本题总得分：4分 9 【单选题】(4分) 哪颗恒星也不属于主序星？ A. 天鹅座天津四 B. 天狼星的伴星 C. 牛郎星 D. 狮子座轩辕十四 10 【单选题】(4分) 星云颜色有玫瑰花样红色和天空般蓝色两种，分别属于什么类型？ A.
广义相对论是阿尔伯特●爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立的。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相关系，其关系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。 从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。 爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。广义相对论还预言了引力波的存在，引力波已经被间接观测所证实，而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台（LIGO）这样的引力波观测计划的目标。此外，广义相对论还是现代宇宙学膨胀宇宙论的理论基础。 相关简介 相对论是现代物理学的理论基础之一。论述物质运动与空间时间关系的理论。20世纪初由爱因斯坦创立并和其他物理学家一起发展和完善，狭义相对论于1905年创立，广义相对论于1916年完成。19世纪末由于牛顿力学和（苏格兰数学家）麦克斯韦（1831~1879年）电磁理论趋于完善，一些物理学家认为“物理学的发展实际上已经结束”，但当人们运用伽利略变换解释光的传播等问题时，发现一系列尖锐矛盾，对经典时空观产生疑问。爱因斯坦对这些问题，提出物理学中新的时空观，建立了可与光速相比拟的高速运动物体的规律，创立相对论。狭义相对论提出两条基本原理。（1）光速不变原理。即在任何惯性系中，真空中光速c都相同，与光源及观察者的运动状况无关。（2）狭义相对性原理是物理学的基本定律乃至自然规律，对所有惯性参考系来说都相同。
广义相对论的思想起源 在狭义相对论中，自然定律在所有的惯性系中都保持着不变的形式。然而，这种理论却依然留下了两个疑难：l）引力定律不能被纳人狭义相对论的体系之中；2）惯性系不是宇宙中的真实存在。这两大疑难被爱因斯坦描述为狭义相对论“固有的认识论上的缺陷”。毫无疑问，这些缺陷构成了广义相对论的“科学问题”。 第一节马赫和马赫原理 尽管狭义相对论完全废除了以太概念，即电磁运动的绝对空间，但却仍然没有对经典力学把绝对空间当作世界的绝对惯性结构的理由做出解释，也没有为具有绝对惯性结构的力学提供新的替换。也就是说，惯性系的存在，对于力学和电磁学都是必不可少的。 狭义相对论紧紧地依赖于惯性参考系。它们在自然界中确立了“特权阶级”。它们是一切非加速度的标准；它们使一切物理定律的形式表达实现了最简化。惯性系的这种特权在很长时间里保持着一种神秘性。广义相对论阐明了这种“特权”的局限性。 经常有人说，为了满足狭义相对论而修改牛顿引力（平方反比）理论的失败，导致了广义相对论的兴起。的确，广义相对论是现代引力理论。如果不是日常计算实践的需要的话，在原理上它已经取代了牛顿的引力理论。不过，有一点很清楚，爱因斯坦是出于一种哲学欲望才把绝对空间彻底地从物理学中清除出去的。自一开始，狭义相对论就把惯性系当作一种当然的存在。可能，爱因斯坦本来也不反对（但也不怎么满意）在狭义相对论基础上建立的引力论。由此，爱因斯坦不得不超越狭义相对论。 在这一工作中，他十分诚恳地反复强调，他得益于物理学家兼哲学家马赫（Ernst Mach，1836～1916）的思想。 爱因斯坦说：“事实是，马赫曾经以其历史的批判的著作①对我们这一代自然科学家起过巨大的影响，在这些著作中，他以深切的感情注意各门科学的成长，追踪这些领域中起开创作用的研究工作者，一直到他们的内心深处。我甚至相信，那些自命为马赫的反对派的人，可以说几乎不知道他们曾经如同吸取他们母亲的乳汁那样吮吸了多少马赫的思维方式。” “没有人能够否认，那些认识论的理论家们曾为这一发展铺平了道路；从我自己来说，我至少知道：我曾经直接地或间接地特别从体馍和马赫那里受到莫大的启发。” 也许可以公正地反过来说，马赫应该感谢爱因斯坦，正是爱因斯坦对惯性的思索、研究并赋之以相对性观念，才使得马赫的科学思想和哲学思维方法大放异彩。 马赫（Ernst Mach，1838～1916）是斯洛伐克物理学家、生理学家、心理学家和哲学家。②他14岁才上学，也许是世界著名科学家中人学年龄最大的一个。他的启蒙老师就是他的父亲。1860年，马赫获得维也纳大学的博士学位，然后又在这所大学执教4年。他的第一篇论文是以实验支持多普勒定律。这篇文章反映了马赫坚持传统的物理学观点的倾向。他完全接受了物质的原子性分子理论和气体运动论。1864年，他移居到格拉兹（Graz）。从此，他的研究兴趣转向关于感觉的心理学和生理学。在格拉兹，他发现了现在称之为“马赫带”的光学现象。1867年，他在布拉格的查尔斯大学担任实验物理学教授，在超声研究方面做出了突出贡献。“马赫数”就是他的发现。马赫成为世界级的著名科学家兼哲学家，源自他的科学史和科学哲学研究。其中一项是关于知识理论的“思维经济原则”；另一项便是由爱因斯坦命名的“马赫原理”。 马赫的知识理论认为，我们所接受的是感觉，经验客体（事物、物体，物质，等等）都是感觉的符号。科学的产生，源于把相当复杂的感觉世界用最经济的方式来满足自我接受的需要。根据这些观点，马赫反对把“实体”（如原子）作为一种存在来建构理论。按照“马赫准则”，理论只能由那些可观察的现象归纳出来的命题构成；“证据”必然与经验相联系。马赫的这些认识论观点，曾经受到过科学上无知的哲学家们粗俗的谩骂，正是这些谩骂使马赫的哲学蜚声世界。 马赫原理早在17世纪贝克莱主教的著作中就已经有了萌芽。大略地讲，马赫的惯性思想包括四个方面的内容： 1）空间本身并不是一种“事物”，它纯粹是物质间距离关系总体的抽象。
名词解释：——1）惯性系疑难 ——由于引力作用的普遍存在，任一物质的参考系总有加速度，因而总不会是真正的惯性系。在表述物理规律时惯性系占有特殊的优越地位，但自然界却不存在一个真正的惯性系。 2）广义相对性原理——所有参考系都是等价的（一切参考系都是平权的）。 3）史瓦西半径 ——史瓦西半径是任何具重力的质量之临界半径。在物理学和天文学中，尤其在万有引力理论、广义相对论中它是一个非常重要的概念。1916年卡尔·史瓦西首次发现了史瓦西半径的存在，他发现这个半径是一个球状对称、不自转的物体的重力场的精确解。 一个物体的史瓦西半径与其质量成正比。太阳的史瓦西半径约为3千米，地球的史瓦西半径只有约9毫米。 小于其史瓦西半径的物体被称为黑洞。在不自转的黑洞上，史瓦西半径所形成的球面组成一个视界。（自转的黑洞的情况稍许不同。）光和粒子均无法逃离这个球面。银河中心的超大质量黑洞的史瓦西半径约为780万千米。一个平均密度等于临界密度的球体的史瓦西半径等于我们的可观察宇宙的半径 公式2 2Gm r c = 4）爱因斯坦约定——对重复指标自动求和。 5）一阶逆（协）变张量—— 'x T T T T x α μμ μαμ?''→?=? （n 1 个分量） 6）二阶逆（协）变张量——''x x T T T T x x αβ μνμν μναβμν??''→?=?? （n 2个分量）
1）广义相对论为什么要使用张量方程？—— 将物理规律表达为张量方程，使它在任何参考系下具有相同的形式，从而满足广义相对性原理。 2）反称张量的性质？——(a)当任意两个指标取同样值时，张量的该分量为零。 (b)n 维空间中最高阶的反称张量是n 阶的，这张量只有一个独立分量。 (c)n 维空间中的n-1阶反称张量只有1n 个独立分量。 3）仿射联络的坐标变换公式？它是张量吗？ 4）仿射联络的性质？ 5）一阶逆（协）变张量协变微商的公式？;,T T T μμααλλμλ=+Γ ;,T T T λμνμνμνλ=-Γ
《广义相对论简介》教学设计 适用教材 人教版选修3-5第十五章第4节 教学目标 1．了解广义相对性原理和等效原理。 2．了解广义相对论的几个结论及主要观测证据。 3．通过本节学习，激发学生探索宇宙奥秘的兴趣，形成初步的相对论时空观。 教学重点 广义相对性原理和等效原理。 教学难点 理解广义相对论的几个结论。 教学方法 在教师的引导下，共同分析、研究得出结论。 教学用具： 投影仪及投影片。 教学过程 （一）引入新课 师：1915年，继狭义相对论发表10年之后，爱因斯坦又发表了广义相对论。这节课我们来了解一下广义相对论的基本原理和几个结论。 （二）进行新课 1．超越狭义相对论的思考 师：请大家阅读教材，回答狭义相对论中无法解释的两个问题是什么？
学生阅读、思考。 生：第一个问题，狭义相对论无法解释引力作用以什么速度传递，没有办法把万有引力理论纳入狭义相对论的理论框架；第二个问题，狭义相对论只适用于惯性参考系，为什么狭义相对论只在惯性参考系适用而在非惯性系不适用？狭义相对论本身无法解释。 师：爱因斯坦认真思考了以上两个问题，又向前迈进了一大步，把相对性原理推广到包括非惯性系在内的任意参考系，提出了广义相对性原理。 2．广义相对性原理和等效原理 师：广义相对性原理的内容：“在任何参考系中，物理规律都是相同的”，也可以理解为：“物理学定律必须对于无论哪种方式运动着的参考系都成立”。 师：在广义相对论中还有另一个基本原理这就是著名的等效原理。请大家阅读教材，看看什么是等效原理，它是如何提出来的。 学生阅读、思考。 师：（投影下图，做简要讲解。） 停泊在行星表面的飞船里，没有支撑的物体会做自由落体运动即匀加速运动，这是因为飞船处在行星表面空间的引力场中；如果飞船远离行星表面做匀加速运动，也会观察到没有支撑的物体的自由落体运即匀加速运动。我们不能根据飞船内的自由落体运动来判断飞船到底在加速运动，还是停在一个行星的表面。这说明一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这就是等效原理。 3．广义相对论的几个结论
狭义与广义相对论浅说 爱因斯坦 .
第一部分狭义相对论·············································································································· ····································································································································································································································· ················································································································································································································· ······································································································· ················································································· ····································································· ············································································································ ············································································································ ························································································································································································································· ··························································································· ······················································································· ······································································································· ··························································································· ······································································································· ··································································································· ·········································································································· ························································································································································································································· ········································ ····························· ······················································································· ·························································································································································································· ················································ ······················································ ······················································································· ···································································· ··················································································· ··················································································· ···························································· ····················································································································································································································· ······························································································· ··············································································· ······························································································· ····························································································· ····················································································· ····························································································· ······································································· (4) 1．几何命题的物理意义 4 2．坐标系 5 3．经典力学中的空间和时间7 4．伽利略坐标系8 5．相对性原理（狭义）8 6．经典力学中所用的速度相加定理10 7．光的传播定律与相对性原理的表面抵触10 8．物理学的时间观12 9．同时性的相对性14 10．距离概念的相对性15 11．洛伦兹变换16 12．量杆和钟在运动时的行为19 13．速度相加定理斐索实验20 14．相对论的启发作用22 15．狭义相对论的普遍性结果22 16．经验和狭义相对论25 17．闵可夫斯基四维空间27 第二部分广义相对论29 18．狭义和广义相对性原理29 19．引力场31 20．惯性质量和引力质量相等是广义相对性公设的一个论据32 21．经典力学的基础和狭义相对论的基础在哪些方面不能令人满意34 22．广义相对性原理的几个推论35 23．在转动的参考物体上的钟和量杆的行为37 25．高斯坐标41 26．狭义相对论的空时连续区可以当作欧几里得连续区43 27．广义相对论的空时连续区不是欧几里得连续区44 28．广义相对性原理的严格表述45 29．在广义相对性原理的基础上解引力问题47 第三部分关于整个宇宙的一些考虑49 30．牛顿理论在宇宙论方面的困难49 31．一个“有限”而又“无界”的宇宙的可能性50 32．以广义相对论为依据的空间结构53 附录54 一、洛伦兹变换的简单推导54 二、闵可夫斯基四维空间（“世界”）57 三、广义相对论的实验证实58 （1）水星近日点的运动59 （2）光线在引力场中的偏转60 （3）光谱线的红向移动62 四、以广义相对论为依为依据的空间结构64 五、相对论与空间问题65
普通高中课程标准实验教科书—物理选修3－4[人教版] 第十五章相对论简介 新课程学习 15.4 广义相对论简介 ★新课标要求 （一）知识与技能 1．了解广义相对性原理和等效原理。 2．了解广义相对论的几个结论。 （二）过程与方法 通过本节的学习，初步认识狭义相对论和广义相对论的基本原理。 （三）情感、态度与价值观 通过本节内容的学习，激发探索宇宙奥秘的兴趣，形成初步的相对论时空观。★教学重点 广义相对性原理和等效原理。 ★教学难点 理解广义相对论的几个结论。 ★教学方法
在教师的引导下，共同分析、研究得出结论。 ★教学用具： 投影仪及投影片。 ★教学过程 （一）引入新课 师：1915年，继狭义相对论发表10年之后，爱因斯坦又发表了广义相对论。这节课我们来了解一下广义相对论的基本原理和几个结论。 （二）进行新课 1．超越狭义相对论的思考 师：请大家阅读117页有关内容，说一说狭义相对论中无法解释的几个问题是什么？ 学生阅读、思考。 生：狭义相对论无法解释引力作用以什么速度传递；狭义相对论是惯性参考系之间的理论。为什么惯性参考系有这样特殊的地位？狭义相对论无法解释。 师：爱因斯坦认真思考了以上问题，又向前迈进了一大步，把相对性原理推广到包括非惯性系在内的任意参考系，提出了广义相对性原理。 2．广义相对性原理和等效原理 师：在任何参考系中，物理规律都是相同的，这就是广义相对性原理。 师：在广义相对论中还有另一个基本原理这就是著名的等效原理。请大家阅读教材，看看什么是等效原理，它是如何提出来的 学生阅读、思考。 师：（投影下图，做简要讲解。）
一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这就是等效原理。 3．广义相对论的几个结论 师：从广义相对论的两个基本原理出发，可以直接得到一些“意想不到”的结论。请大家阅读教材，说明得到了哪些结论这些解论的实验验证是什么？ 学生阅读，思考。 生1：第一个结论，物质的引力使光线弯曲。20世纪初，人们观测到了太阳引力场引起的光线弯曲。观测到了太阳后面的恒星。 生2：第二个结论，引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别。例如在强引力的星球附近，时间进程会变慢。天文观测到了引力红移现象，验证了这一结论的成立。 师：总结学生的回答。投影下图做必要讲解。 鼓励学生勇于探索，用于发现新的规律，为推动人类文明做出自己的贡献。 （三）课堂总结、点评 本节我们了解了爱因斯坦在对狭义相对论无法解释的几个问题的思考的基础上，提出了广义相对性原理和等效原理，从而创立了广义相对论。我们还了解了广义相对论的两个
第一&二章 1. 设想有一光子火箭，相对于地球以速率v=0.95c 飞行，若以火箭为参考系测得火箭长度为15 m ，问以地球为参考系，此火箭有多长 ？ 解 ：固有长度, 2. 一长为 1 m 的棒静止地放在 O ’x ’y ’平面内，在S ’系的观察者测得此棒 与O ’x ’轴成45°角，试问从 S 系的观察者来看，此棒的长度以及棒与 Ox 轴的夹角是多少？设想S ’系相对S 系的运动速度 4.68m l ==
第三章 1.简述狭义相对论与广义相对论的基本原理。P9、15、2* ①狭义相对论：所有的基本物理规律都在任一惯性系中具有相同的形式。这就叫狭义相对性原理。 相对性原理：一切惯性参照系等效，即物理规律在所有的惯性系中都具有完全相同的形式。 光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动状态无关，即不依赖于惯性系的选择。 ②广义相对论：一切参照系都是平权的。或者说，客观的物理规律应在任意坐标变换下保持形式不变。 等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。 广义相对性原理：一切参考系都是平权的或客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变，即广义协变性。 2.什么是广义相对论的等效原理？强等效原理与弱等效原理有何区别？ 等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。 3.在牛顿力学中是否能够定义惯性参照系？什么是局部惯性系？P12、29 引力与惯性力有何异同？ 定义不同：惯性力的度量是惯性质量写为F=ma，而引力的度量是引力质量， 由万有引力定律写成 (1)(2) 2 g g m m F G r ，从物理本质上是不同的。 相同：二者的实验量值是相等的，根据等效原理引力与惯性力的任何物理效果都是等效的 4.弯曲时空是用什么几何量来描述的？什么是引力场的几何化？P35 处于形变的四维时空区域，从物理上说可以认为是有引力存在的时空区域。所以，表示时空弯曲的几何量，同时也表示了引力场的状态。 引力场中的物理问题便等价于弯曲时空的几何问题，这种看法就称为引力场的几何化。 5.如何利用等效原理说明引力场中光线弯曲与谱线的红向偏移?
第三章仿射空间中的张量分析 任何物理量通常都可以用一组数来表示，这组数的值一般与坐标的选择有关，研究这组数与坐标变换的关系导致了张量的概念。我们对三维空间中矢量的概念已经十分熟悉，矢量可以表示力、速度、加速度、动量等等，它通常可以用一组数（3个代数值）表示，并且随着坐标的变化而变化。然而即使这组数本身随坐标变化了，矢量本身却还是恒定的。张量的概念可以看作是三维空间中矢量的概念在任意维空间中的推广，是比矢量还要复杂的一种客观存在的物理量的数学表示。借助于张量，广义相对论可以把物理规律表达为看起来简单的张量方程，使它在任一种坐标下具有相同的形式。本章我们将在仿射空间中建立张量的定义和运算，并利用它来讨论空间的几何性质。 狭义相对论的四维Minkowski时空中，最常用的一种坐标变换就是代表惯性系之间关系的洛仑兹变换。从数学的角度来说，洛仑兹变换是一种最简单的线性正交变换，其变换矩阵不依赖于空间点而变化，矩阵元是常数。然而，广义相对论中由于时空的弯曲，一般不再能够找到如此简单的覆盖全时空的坐标变换。通常的坐标变换矩阵都是空间点的函数，当然一般也就不再满足线性、正交的条件。本章从数学的角度讨论一般的坐标变换下，张量的定义和性质。
3.1 n 维仿射空间中的张量 虽然相对论所借助的空间通常是四维的，但本章所讨论的数学对任意维数n 都适用，是更加宽泛的、一般性的张量理论。 n 维空间中的点，在某个已经给定的坐标系中可以用n 个数构成 的数组来描述，这组数叫做该点的坐标 ).,,,(21n x x x x =μ (3-1-1) 同一空间中坐标的选取方式是任意的和多种多样的，两组坐标μx 与 μx ~（μ取1至n ）的联系叫坐标变换 ),(~~νμμx x x = (3-1-2) 上式中的νx 和μx ~分别代表两套坐标下的两个数组。从(3-1-2)式可导出任一点的坐标微分的变换公式 ,~~ααμμdx x x x d ??= (3-1-3) 式中对重复指标α自动求和，这叫爱因斯坦求和约定，本书中将始终采用这约定。坐标微分的变换实际上反映了该点邻近点的坐标变换，从(3-1-3)可以看出这个变换是线性的，但变换矩阵随不同点而不同。由于表达物理量的张量也是定义在某一空间点上的，所以坐标微分的变换式(3-1-3)是引入张量概念的基础。 当变换矩阵满足 ,0~det ∞≠??或αμ x x (3-1-4) 则坐标微分的逆变换存在，变换公式为