直线与平面垂直的判定与性质
典型例题
1、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A ．βαβα⊥?⊥?⊥n m n m ,,
B ．n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//
C ．n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,,
D ．ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,, 解析：正确的命题是n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//，选B.
2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 求证：AO ⊥平面BCD ；
本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所
成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象
能力、逻辑思维能力和运算能力。
）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥
在AOC ?中，由已知可得1, 3.AO CO ==
而2,AC = 2
2
2
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
一、选择题
1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1
的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ） A ．
2
3
B ．22
C ．2
1 D ．
3
3
2、在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）
（A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E
A B M D E O
C
（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面 ABC
3、设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）
(A) l m l ⊥=?⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=?,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,
(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,
4、如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．
的是 (A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD
(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB1 所成的角为60°
5、（选做）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n ββ⊥⊥，则,m n 所成的角为
（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 二、填空题
6、如图，PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于 ．
7、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面1ABC 的距离为______________．
8（选做）如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题
Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D
Ｃ．二面角111C B D C --的正切值为2 Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34
其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
三、解答题
9、如图，已知两个正四棱锥P -ABCD 与
Q -ABCD 的高都是2，AB =4. 证明PQ ⊥平面ABCD ；
10、在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到EF A 1?的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
11（选做）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =24,E 、F 分别为PC 、CD 的中点. 试证：CD ⊥平面BEF;
Q
B
C
P
A
D
A
F
E
C
B
A 1
E
F
C
P B
图1
图2
答案： 1、 B 2、 C 3、 D 4、 D 5、B 6、2
7、解析：过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC=60°，CD=2
3
，则C 1D=3，CC 1=
2
3
，在△CC 1D 中，过C 作CE ⊥C 1D ，则CE 为点C 到平面1ABC 的距离，
334=，所以点C 到平面AB C 1的距离为43 8、 A 、B 、C
9、取AD 的中点，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，
所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM .又?PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD . 10、不妨设正三角形ABC 的边长为3
在图1中，取BE 中点D ，连结DF. AE ：EB=CF ：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600
, ∴△ADF 是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF ⊥AD 在图2中，A 1E ⊥EF, BE ⊥EF, ∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A 1E ⊥BE,又BE EF E =∴A 1E ⊥平面BEF,即 A 1E ⊥平面BEP 11、证：由已知//DF
AB =
且DAB ∠为直角。故ABFD 是矩形。从而CD BF ⊥。又PB ⊥
底面ABCD ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知.CD PD ⊥ D PDC 中,E 、F 分别为PC 、CD 的中点，故EF//PD,从而CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF 。
《直线与平面垂直的性质》教学设计 教学内容 人教版新教材数学第二册第二章第三节第3课 教材分析 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 学情分析 1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。 2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。 教学目标 1.知识与技能 （1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明. （2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。 （3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 2.情感态度与价值观 （1）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （2）让学生亲从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律. 教学重、难点 1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。 2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。 教学理念 学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者. 设计思路 直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法，学生学习的重点是直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的应用，强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习，应让学生清楚，对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的
问题，可考虑用反证法；教学中要引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显。 教学过程 （一）复习引入 师：判断直线和平面垂直的方法有几种？ 生：定义、例题2结论、判定定理。 师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？ 生：若能确定直线与平面内任意一直线垂直，则运用定义说明。 若能说明所证直线和平面内的一条直线平行，则可运用例题结论说明。 若能说明直线和平面内两相交直线垂直，则可运用判定定理去完成判定。 师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确： 1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 3、垂直于同一平面的两直线互相平行。 4、垂直于同一直线的两平面互相平行。 师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？ （二）创设情景 如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、 C C′、 D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什 么位置关系？ （三）讲解新课 例1 已知：aα ⊥。求证：b∥a ⊥，bα 师：此问题是在aα ⊥的条件下，研究a和b ⊥，bα 是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。而利用反证 法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出, 这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知 道下,学生尝试证明,稍后教师指正.
直线和平面垂直的性质定理 （1课时）李忠志 三维目标： 知识与技能 1、掌握直线与平面垂直的性质。 2、能运用性质定理解决一些简单问题。 3、了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。 过程与方法 培养学生的直观能力，让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发现线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、发散思维和类比的能力。 情感、态度与价值观 通过实物模型或学生自己制作模型进行操作演示，让学生参与到教学活动中来，激发学生的学习欲望和探究精神。 教学重点 直线与平面垂直的性质。 教学难点 性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。 教学过程 一、问题引入： 问1：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？ 问2：平行于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？
问3：平行于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问4：垂直于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问5：若a α⊥，b α?，则a b ⊥吗？ 问6：若a b ∥，a α⊥，则b α⊥吗？ 问7：问5的逆命题成立吗？即 a α⊥，b α⊥，则a b ∥吗？ 二、推进新课： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条 直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行。 已知：如图，,a b αα⊥⊥ 求证：//a b 证明：（反证法）假定b 不平行于a ，则b 与a 相交或异面； （1）若a 与b 相交，设a b A = ， ∵,a b αα⊥⊥ ∴过点A 有两条直线与平面α垂直， 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， ∴a 与b 不相交； （2）若a 与b 异面，设b O α= ，过O 作//b a '， ∵a α⊥ ∴b α'⊥ 又∵b α⊥且b b O '= ， ∴过点O 有直线b '和b 垂直于α与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， ∴b 与a 不异面，综上假设不成立， ∴//a b ．
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α．
2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．
空间中垂直关系的判定与性质 一．基础知识整合 1.直线与平面存垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足． （2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 （3）判定定理 ?????l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ?l ⊥α 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． （2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角， 其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3.平面与平面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 ?????a αa ⊥β?α⊥β 符号语言
? ????α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ?a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D 为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥ 平面ABC . 变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点， P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC . 题型二：面面垂直的判定 例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ， AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG . 证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG 为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG 的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ， 所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG . 变式训练 2 ：如图，在空间四边形 ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、 F 、 G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面 BDG . 证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， 又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平
, 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) , ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ?????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) . A ．PA ⊥BC B ．B C ⊥平面PAC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) ' A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________． 、
平面与平面垂直的性质（教案） 教学目的 通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标： 1 理解掌握面面垂直的性质定理 2 能初步运用性质定理解决问题 教学重点难点： 重点：理解掌握面面垂直的性质定理 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： (一) 复习提问 师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问） 生：线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 生：面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。 1)平面ADD′A′⊥平面ABCD 2) DD′⊥面ABCD 3)AD′⊥面ABCD
师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？ （提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略） 师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。 （三）新课 已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B， 求证：AB⊥β (让学生思考怎样证明) 师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于 平面内两条相交直线，而题中条件已有一条， 故可过该直线作辅助线） 证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a， ∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β， ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 1.面面垂直的性质定理： 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. （用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β 师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。 2. 例题分析 例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为 正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD 内找一点，使AE⊥面BCD 解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E， 连结AE，则AE为BD的中线
垂直的判定和性质专题 垂直的判断方法及性质汇总： 一、判定线面垂直的方法 1．定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2．如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6． 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 二、判定两线垂直的方法 1．定义：成?90角 2．直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5．一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 三、判定面面垂直的方法 1．定义：两面成直二面角,则两面垂直 2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 四、面面垂直的性质 1．二面角的平面角为?90 2．在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3．相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 专题训练： 一．选择题： 1．已知直线l ⊥平面α，给出：① 若直线m ⊥l ，则m //α；② 若直线m ⊥α，则m //l ；③ 若直线m //α，则m ⊥l ；④ 若直线m //l ，则m ⊥α。以上判断正确的是 B （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②④ 2．下列命题正确的是 B （A ）垂直于同一直线的两条直线平行 （B ）垂直于同一直线的两条直线垂直 （C ）垂直于同一平面的两条直线平行 （D ）平行于同一平面的两条直线平行 3．设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，且P 到△ABC 各边的距离相等，那么△ABC C （A ）是非等腰三角形 （B ）是等腰直角三角形 （C ）是等边三角形 （D ）不是A 、B 、C 中所述的三角形 4．正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，PA =12，那么P 到对角线BD 的距离是D （A ）123 （B ）122 （C ）63 （D ）66 5．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 D （A ）l ?α （B ）l ⊥α （C ）l //α （D ）l ?α或l //α 6．已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是 D （A ）a a b b αα⊥??⊥??? （B ）//a b a b αα⊥? ?⊥?? （C ）//或a b a a b ααα⊥????⊥? （D ）////a a b b αα? ????
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．
?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l， m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给 出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m ⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a
《平面与平面垂直的性质》教学设计 一、教材分析： 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 二、学情分析： 1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。 2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。 三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标: （1）知识与技能目标： ①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念. （2）过程与方法目标： ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。 ③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （3）情感、态度与价值观目标： 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 四、教学重点与难点： （1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。 （2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。 五、教学设计思路： 1、复习导入： （1）线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. （2）面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 2、探究发现： （1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！ 设计说明： 感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。
2.3.3 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ? ????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) A ．P A ⊥BC B ．B C ⊥平面P AC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．
【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【教学目标】 知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念； （2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣． 例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1 1 垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】
过 程 行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直． 解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义， 可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD . 图9-43 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 10 *运用知识 强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9?43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答 了解 知识 掌握 情况 14 *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9?44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂 直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面 上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直． 质疑 引导 分析 思考 带领 学生 分析 17 *动脑思考 探索新知 【新知识】 从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 讲解 说明 理解 带领 学生 分析 图9?44
2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳 与垂直相关的几个重要结论 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ?α?a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 垂直关系的转化 1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等． 3．利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直． (2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加． 注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的． 4．三种垂直关系的证明方法 (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α； ②判定定理1： ???? ?m ，n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β． (2)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b ． (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β． 题型一、直线与平面垂直的判定与性质 1．(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD . 证明：BD ⊥PC ； 2．(2014·福建高考)如图所示，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ； (2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． 3．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)证明：EF ⊥平面P AB ．
】 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（） A、l B、l⊥ C、l∥ D、l或l∥ 3、若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是（） A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b · 4、a∥α，则a平行于α内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线 5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( ) A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交 6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( ) A、平行 B、相交 — C、平行或相交 D、平行、相交或在平面α内 二、填空题 7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面 有个. 8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个. 9、过一点可作________个平面与已知平面垂直. . 10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.
11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直. 三、解答题 （ 12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条 ] 14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么 > 15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l 求证：AP在α内
直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线. ②垂直于同一个平面的两条直线________. ③垂直于同一直线的两平面________. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的____________，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的 角叫做二面角的平面角. 1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条. 2.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接P A、PB、PC， (1)若P A＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点. (2)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心. (3)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心. 3.m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： ①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β. 其中，所有真命题的编号是________.
平面与平面垂直的性质定理教学设计 一．教材分析 （1）教材的地位和作用：《平面与平面垂直的性质》选自《普通高中课程标准实验教科书》数学第二册（人 教A版）第三节第4课时，平面与平面垂直问题是 平面与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求 解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设 辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系 把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明 和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的 空间想象力和逻辑推理能力，这些都是学生今后学 习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识体系看，“平面与平面垂直的性质”是线面垂直与面面垂直内容的延续，不仅可以加深利用线 面垂直证线线垂直，也可以实现面面垂直的证明。 因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直关系的 纽带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直 的相互转化。 二．学情分析： （1）学生已有的知识结构：在学习本课之前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，
判定定理，及线面垂直的性质定理，学生已具备 了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和 一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。 （2）教学对象：高一年级的学生，已有一定的立体感，学习兴趣较浓，具有一定的想象能力和分析问题、 解决问题的能力。但由于年龄的原因，思维尽管 活跃，敏捷，却缺乏冷静，深刻，因而片面，不 够严谨。这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主 要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思 维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体 形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。本课借 助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分 析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和 体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、 猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想 象能力和分析问题、解决问题的能力。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与线面垂直的性质定理及应用进行类比，这是积 极因素，应因式利导，不利因素是学生的抽象概 括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅 助教学。 三．设计理念
第5节 直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ??0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 [常用结论与微点提醒] 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 3.线线、线面、面面垂直间的转化 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使 得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论