直线和平面垂直的判定与性质（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．直线和平面垂直的定义及相关概念．
2．直线和平面垂直的判定定理．
3．线线平行的性质定理（即例题1）．
（二）能力训练点
1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．
2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．
（三）德育渗透点
引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点
（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直．
（2）掌握直线和平面垂直的判定定理：
（3）掌握线线平行的性质定理：
若a∥b，a⊥α则b⊥α．
2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．
3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可．
三、课时安排
本课题共安排2课时，本节课为第一课时．
四、学生活动设计（略）
五、教学步骤
（一）温故知新，引入课题
1．空间两条直线有哪几种位置关系？
（三种：相交直线、平行直线、异面直线）
2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？
（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）
3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？
（直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．）
4．怎样判定直线和平面平行？
师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手．
（板书课题：§1．9直线和平面垂直）
（二）猜想推测，激发兴趣
1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．
2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．
3．说明直线和平面垂直的画法及表示．
师：要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）
（三）层层推进，证明定理
指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右：
求证：l⊥α
师：你如何证明直线和平面垂直呢？
生：根据直线和平面垂直的概念，只需证明该直线和平面的任何一条直线都垂直即可．
师：设g是平面α的任意一条直线，现在只要证明l⊥α就可以了．对于平面α不经过点B的直线，可以过点B作它的平行直线，所以，我们先证明l，g 都经过点B的情况．
（生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示．）
1．l、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l上点B的两侧分别取点A，A′，使AB＝A′B．
2．直线m、n和线段AA′是什么关系？
（m、n垂直平分AA′）
3．从结论看，直线g与线段AA′应当有什么关系？（g垂直平分AA′）4．怎样证明直线g垂直平分线段AA′？
（只要g上一点E，有EA＝EA′）
5．过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？
（利用全等三角形性质）
（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）
参看右图并作如下说明：
1．当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．
2．如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．
3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．
这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．
（板书）如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
4．强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．
（1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．
（2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．
（四）初步运用，提高能力
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．
已知：a∥b，a⊥α（如图1-68）．
求证：b⊥α，
要证明：b⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α有两条相交直线m、n与b垂直即可．
证明：在平面α作两条相交直线m、n，设m∩n＝A．
说明：
1．本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．
2．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．练习（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．
已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA．
求证：
OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB．
证明：（以证明OA⊥平面BOC为例，目的是强化书写格式）
（五）归纳小结，强化思想
师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路．
六、作业
作为一般要求，完成习题四1、2、3、4．
提高要求，完成以下两个补充练习：
1．如图1-70，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有
[ ]
A、AH⊥△EFH 所在平面
B、AD⊥△EFH所在平面
长春大众教育培训学校IT分校教学部 教案 (平面广告基础班____学时) （2017版） 课程名称：_____________ 任课教师：_____________ 适用班型：_____________
长春大众教育培训学校（教学组研发编写）?2001-2017
教案目录/章节第一章计算机基础 第一节计算机概述与发展 1-1-1 计算机发展史 1-1-2 计算机未来发展趋势 1-1-3 计算机行业分类 1-1-4 小结与作业 1.计算机分几代？分别是什么？ 2.计算机行业主要有？ 第二节计算机硬件与原理 1-2-1 计算机硬件概述介绍 1-2-2 CPU、内存、硬盘介绍及工作原理 1-2-3 BOIS设置与系统安装 1-2-4 互联网基础及发展 1-2-5 常见硬件识别与打印机安装 1-2-6 小结与作业 1.决定计算机性能的硬件主要有？ 2.显卡的中央处理器叫什么？ 第三节计算机操作系统与应用程序 1-3-1 windows介绍与发展 1-3-2 windows 开始菜单与资源管理器 1-3-3 windows 系统配置与附件程序介绍 1-3-4 windows 文件查找、拷贝、删除介绍及使用 1-3-5 其他操作系统介绍 1-3-6 小结与作业
1.windows主要的版本有那些？ 2.其他流行的操作系统有那些？ 第二章办公自动化Office基础 第一节Word软件基础与应用 2-1-1 word文档创建与保存 2-1-2 word封面、页眉、页脚设置 2-1-3 word 文字排版与样式 2-1-4 word 图片与表格编辑 2-1-5 word文字编辑与查找 2-1-6 word 常用文档书写规范 2-1-7 word 文档输出导入与自定义打印 2-1-8 小结与作业 1.用word写一份学习计划。 2.用word 排版一份《小米手机说明书》或《西门子电冰箱说明书》。第二节Excel软件基础与应用 2-2-1 Excel文档创建与保存 2-2-2 Excel编辑修改表格 2-2-3 Excel 创建数据图表 2-2-4 Excel 查找与替换表格内容 2-2-5 Excel 建立简单函数公式及宏命令 2-2-6 小结与作业 1.用Excel 制作一张工资表 2.用Excel 制作1-6月财务数据报表 第三节PPT软件基础与应用 2-3-1 PPT创建与保存
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α．
2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．
《平面构成》教学大纲 一、课程性质 平面构成是在二维平面内，按照一定法则组构既有形态,从而创造理想形态的造型设计基础课程。 平面构成课程体系建立在理性与感性相结合,研究与实践相融会的基础上,它与色彩构成、立体构成平行互补,形成一门相对独立完整的构成体系．一切造型活动都必须从平面入手，培养平面造型能力,成为一切造型活动的基础. 为以后的专业设计提供技法支持,使我们在从事设计之前学会运用视觉语言. 二、课程教学目的 1.教学目的: 平面构成教学是研究探讨形式美在所有平面艺术中的构成原理、规律及法则,探讨用多变的外部视觉形式来保证形式美所追求的永恒性。通过教学提高学生平面构成的理论知识水平、思维想象能力和对形体变化、组合规律的敏锐感受力,善于从不同角度去发现和表现事物的能力，启迪艺术设计灵感，为今后从事任何艺术设计门类的创作奠定扎实的基础。 2、教学任务和要求: 本课程为一切造型设计的基础课程，主要培养学生对平面中各个构成要素的组织能力,要求学生了解平面中各个要素的特点和关系,掌握形式美的法则，设计出符合形式美普遍法则、构成要素和谐的作品。本课程在主要研究形态之间的比例、平衡、对比、节奏、律动、推演的同时，对形体进行广泛性和普遍性规律的探讨，讲求图形给人视觉以引导作用并具有审美价值，借鉴当今前卫艺术的成果,提高学生的设计水平和理论水平。培养学生良好的专业素养，对材料、工具的认识和掌握，设计画面的平整、洁净，良好的描绘秩序，对自身高标准的要求和纪律性,对于学生今后设计专业的学习和发展至关重要。熟悉和掌握平面构成设计理论,提高思维想象能力,研究元素的广泛性和普遍性规律及相关表现技巧。 三、教学内容与纲目 第一章：概论 1、教学目的和要求: 通过本章的学习，了解平面构成的理论和由来以及其原理,知道平面构成是学习什么的。 2、教学内容：
空间中垂直关系的判定与性质 一．基础知识整合 1.直线与平面存垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足． （2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 （3）判定定理 ?????l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ?l ⊥α 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． （2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角， 其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3.平面与平面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 ?????a αa ⊥β?α⊥β 符号语言
? ????α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ?a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D 为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥ 平面ABC . 变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点， P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC . 题型二：面面垂直的判定 例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ， AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG . 证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG 为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG 的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ， 所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG . 变式训练 2 ：如图，在空间四边形 ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、 F 、 G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面 BDG . 证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， 又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平
学看平面图教学设计 教学目标： 1. 了解平面图在生活中的用途。 2. 能看懂简单的平面图，认识平面图中的方向及图例，能在平面图中找出某一地点的位置。 3. 学习画简单的平面图，能认识显示生活中处于相对空间位置的事物，并用简单的图形表示出来。 课前准备： （生）1. 收集各种平面图，尝试自己阅读，看看从平面图中能知道些什么。 2. 去附近的公园、商店、医院、社区、学校……等处去查看平面图，并尝试根据平面图在实地走一走，看一看。 3. 彩笔 （师）1. 准备一张学生熟悉的地方的平面图 2. 准备一些写有XX平面图的卡 一、导入 （一）交朋友，结识平面图。 师：亲爱的小朋友，你好！下面让我们一起来认识一位新朋友，它就是——有趣的平面图。(ppt出示课题) 【在轻松的谈话氛围中,激发学生对平面图产生兴趣】 （二）听故事，认识平面图。 1、师：你可能要问了：平面图是什么呢？（ppt出示课题问题）
【问题的出示主要实现两个目的,一是使学生的学习纲领化，清晰化，条理化，二是减轻孩子一味光听的听觉负担】 二、新授 教师：这里有一张图片，你能认出，这张图上画的是什么吗？ 教师：这张图上画的也是我们的学校，只不过是从上方观察我们学校的样子，并且把他们画在了纸上，制作出的平面图。（一）、认识图例（出示图例）如果是现在这样的图，你们能分辨出图上所画的物体到底是什么吗？ 师：这些小小的提示，叫做图例。图例是地图上表示地理事物的符号。是表达地图内容的基本形式和方法，是地图和我们这些使用者之间进行交流的语言。正像刚才我们亲身体验的那样，要想很快看懂地图，就要先认识图例。（出示更多图例）这些都是图例，同学们你们能猜猜他们各自表示的是实际中的什么景物吗？学生猜测，共同探讨 【采用学生比较熟悉的案例进行介绍，容易引起学生探究兴趣，降低学习的难度，有助于学生的自主学习】 (二)、认识指向标 回到我们学校的平面图上，这次，这张平面图有了一些微小的变化，你发现了吗？（出示指向标） 教师：这个小小的箭头和文字，有什么作用？猜测一下 学生猜测中了解指向标的作用。 教师：地图上的指向标一般都指向北方，但并不是仅仅只能指向
《世界平面设计史》笔记 前言，绪论 1.所谓“平面设计”，指的是在平面空间中的设计活动，其涉及的内容主要是二维空间中各个元素的设计和这些元素组合的布局设计，其中包括字体设计、版面编排、插图、摄影的采用，而所有这些内容的核心是在于传达信息、指导、劝说等等，而它的表现方式则是以现代印刷技术达到的。 2.简述现代平面设计史包含的三个基本方面: (1)对于平面设计诸因素的论述，包括字体发展、版面编排发展、插图风格发展等等； (2)印刷技术对于平面设计的影响； (3)分门别类的讨论组成内容，比如包装设计、书籍设计、海报设计等等的发展过程。 3.平面设计的三个基本原则: (1)具有创造性的程序不仅是靠技术娴熟的手工完成，所有的创作设计都必须依靠脑、心和手的同心协力合作达到； (2)先掌握可靠的技巧，然后启迪自己的灵感； (3)人类是高等精神或是“他所被赋予能力去完成和表现的”生命源泉的一个最高体现。 4.印刷术的四种基本方法：凸版、凹版、平版、孔版（镂空版） 5.中国的书写字体和印刷字体种类: 书写：行、草、隶、篆； 印刷：楷书、宋体、仿宋、黑体。 6.人类最早文字的三种基本类型及共同点： 基本类型：苏美尔人的楔形文字,埃及人的象形文字,中国人的象形、会意和仿音结合的文字体系。 共同点：都具有一个单字本身构造的特点，每个字自成体系，本身有完整的架构，类似图画，或者象征图案。 7.罗马字体设计的特点:出现装饰线,方形的大写字母。 8.洛可可风格艺术的特点:强调浪漫情调，从自然形态、东方装饰、中世纪和古典时代的装饰之中吸取动机，大量采用C形和S形的曲线作为装饰手段，色彩上比较柔和，广泛采用淡雅的色彩计划，比如粉红、粉蓝、粉绿等，也大量采用金色和象牙白色，设计上往往采用非对称的排列方法，与比较讲究对称、彩强烈的色彩计划的巴罗克风格形成对比。 9.18世纪法国罗可可时期平面设计与印刷的风格趋向:采用非对称布局，大量采用曲线装饰，版面华丽，字体也时常采用花哨的书法体例，花体字成为书籍封面和扉页上最常用的字体。 10.利用羊皮纸作手抄本，是中世纪的书籍最显著的特点。 11.真正把活字技术发展完善，使之成为现代印刷的主要方法的是德国人﹑来自曼兹地区的约翰?古腾堡。 12.阿伯里奇·杜勒的平面设计风格:1498年，杜勒为《启示录》一书作了15张精彩的木刻插图，描绘生动，线条丰富，黑白处理得当，构图紧凑，成为这个时期德国艺术登峰造极的代表作。杜勒是文艺复兴晚期的最重要的艺术家之一，也是世界上最早的平面设计家之一。他对于美术理论，特别是美术技法理论也有相当深的造诣。杜勒关于美术基本技法﹑艺术人体
平面与平面垂直的性质（教案） 教学目的 通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标： 1 理解掌握面面垂直的性质定理 2 能初步运用性质定理解决问题 教学重点难点： 重点：理解掌握面面垂直的性质定理 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： (一) 复习提问 师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问） 生：线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 生：面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。 1)平面ADD′A′⊥平面ABCD 2) DD′⊥面ABCD 3)AD′⊥面ABCD
师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？ （提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略） 师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。 （三）新课 已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B， 求证：AB⊥β (让学生思考怎样证明) 师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于 平面内两条相交直线，而题中条件已有一条， 故可过该直线作辅助线） 证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a， ∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β， ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 1.面面垂直的性质定理： 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. （用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β 师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。 2. 例题分析 例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为 正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD 内找一点，使AE⊥面BCD 解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E， 连结AE，则AE为BD的中线
垂直的判定和性质专题 垂直的判断方法及性质汇总： 一、判定线面垂直的方法 1．定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2．如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6． 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 二、判定两线垂直的方法 1．定义：成?90角 2．直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5．一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 三、判定面面垂直的方法 1．定义：两面成直二面角,则两面垂直 2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 四、面面垂直的性质 1．二面角的平面角为?90 2．在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3．相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 专题训练： 一．选择题： 1．已知直线l ⊥平面α，给出：① 若直线m ⊥l ，则m //α；② 若直线m ⊥α，则m //l ；③ 若直线m //α，则m ⊥l ；④ 若直线m //l ，则m ⊥α。以上判断正确的是 B （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②④ 2．下列命题正确的是 B （A ）垂直于同一直线的两条直线平行 （B ）垂直于同一直线的两条直线垂直 （C ）垂直于同一平面的两条直线平行 （D ）平行于同一平面的两条直线平行 3．设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，且P 到△ABC 各边的距离相等，那么△ABC C （A ）是非等腰三角形 （B ）是等腰直角三角形 （C ）是等边三角形 （D ）不是A 、B 、C 中所述的三角形 4．正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，PA =12，那么P 到对角线BD 的距离是D （A ）123 （B ）122 （C ）63 （D ）66 5．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 D （A ）l ?α （B ）l ⊥α （C ）l //α （D ）l ?α或l //α 6．已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是 D （A ）a a b b αα⊥??⊥??? （B ）//a b a b αα⊥? ?⊥?? （C ）//或a b a a b ααα⊥????⊥? （D ）////a a b b αα? ????
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．
?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l， m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给 出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m ⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a
《平面与平面垂直的性质》教学设计 一、教材分析： 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 二、学情分析： 1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。 2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。 三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标: （1）知识与技能目标： ①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念. （2）过程与方法目标： ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。 ③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （3）情感、态度与价值观目标： 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 四、教学重点与难点： （1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。 （2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。 五、教学设计思路： 1、复习导入： （1）线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. （2）面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 2、探究发现： （1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！ 设计说明： 感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。
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《平面构成》教学大纲 一、课程性质 平面构成是在二维平面内，按照一定法则组构既有形态，从而创造理想形态的造型设计基础课程。 平面构成课程体系建立在理性与感性相结合，研究与实践相融会的基础上,它与 色彩构成、立体构成平行互补，形成一门相对独立完整的构成体系。一切造型活动 都必须从平面入手，培养平面造型能力,成为一切造型活动的基础. 为以后的专业设 计提供技法支持,使我们在从事设计之前学会运用视觉语言。 二、课程教学目的 1．教学目的： 平面构成教学是研究探讨形式美在所有平面艺术中的构成原理、规律及法则，探讨用多变的外部视觉形式来保证形式美所追求的永恒性。通过教学提高学生平面构 成的理论知识水平、思维想象能力和对形体变化、组合规律的敏锐感受力，善于从 不同角度去发现和表现事物的能力，启迪艺术设计灵感，为今后从事任何艺术设计 门类的创作奠定扎实的基础. 2、教学任务和要求： 本课程为一切造型设计的基础课程,主要培养学生对平面中各个构成要素的组织 能力,要求学生了解平面中各个要素的特点和关系，掌握形式美的法则，设计出符合 形式美普遍法则、构成要素和谐的作品。本课程在主要研究形态之间的比例、平衡、对比、节奏、律动、推演的同时，对形体进行广泛性和普遍性规律的探讨,讲求图形 给人视觉以引导作用并具有审美价值，借鉴当今前卫艺术的成果，提高学生的设计 水平和理论水平。培养学生良好的专业素养，对材料、工具的认识和掌握，设计画 面的平整、洁净，良好的描绘秩序,对自身高标准的要求和纪律性,对于学生今后设 计专业的学习和发展至关重要。熟悉和掌握平面构成设计理论，提高思维想象能力，研究元素的广泛性和普遍性规律及相关表现技巧。 三、教学内容与纲目 第一章：概论 1、教学目的和要求： 通过本章的学习，了解平面构成的理论和由来以及其原理，知道平面构成是学习什么的. 2、教学内容： 第一节:平面构成简述： 第二节:平面构成的由来：
【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【教学目标】 知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念； （2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣． 例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1 1 垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】
过 程 行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直． 解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义， 可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD . 图9-43 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 10 *运用知识 强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9?43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答 了解 知识 掌握 情况 14 *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9?44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂 直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面 上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直． 质疑 引导 分析 思考 带领 学生 分析 17 *动脑思考 探索新知 【新知识】 从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 讲解 说明 理解 带领 学生 分析 图9?44
绪论 1.所谓“平面设计，指的是在平面空间中的设计活动，其涉及的内容主要是二维空间中各平面设计”平面设计个元素的设计和这些元素组合的布局设计，其中包括字体设计、版面编排、插图、摄影的采用，而所有这些内容的核心是在于传达信息、指导、劝说等等，而它的表现方式则是以现代印刷技术达到的。 2.英文中“平面设计”这个词是美国人威廉·阿迪逊·德威金斯，在1922 年开始使用，它的主要功能应该是调动所有平面的因素，达到视觉传达准确的目的。 3.平面设计的三个基本原则： ●具有创造性的程序不仅是靠技术娴熟的手工完成，所有的创作设计都必须依靠脑、心和 手的同心协力合作达到； ●先掌握可靠的技巧，然后启迪自己的灵感； ●人类是高等精神或是“他所被赋予能力去完成和表现的”生命源泉的一个最高体现。 4.印刷的四种基本方法：凸版、凹版、平版、孔版（或称为“镂空版”。） 5.人类最早的文字包括了三种基本类型，即苏美尔人的楔形文字，埃及人的象形文字，中国人的甲骨文。 6.中世纪时期平面设计中最重要的发展有如下几个方面:25--28(答小标题就可以) ●古典风格的存在和有限发展 ●凯尔特人的书籍设计 ●卡罗琳时代平面设计的复兴 ●西班牙的图画表现主义的发展 ●中世纪晚期的宗教读物装饰手抄本 第一章 1. 18 世纪到19 世纪，英国字体设计最重要的奠基人是威廉·卡斯隆。 2. 最早从事无装饰线字体设计的是威廉·卡斯隆。 3. 18世纪到19世纪，欧洲，特别是英国在字体的设计上具有几个方面的突破：46 ①是以"卡斯隆旧体"为核心的一系列字体的创造，出现了简明而典雅的新字体系列，对于20世纪的字体在平面设计上的运用带来促进和推动。 ②是从古典的字体中进行提炼和改造，其中以所谓的"埃及体"，或者"古典体"的发展为最典型的代表。 ③是广泛地采用和改革无装饰线字体，使无装饰线体成为当地印刷和平面设计中最重要的字体之一。 4. 木刻活字衰退的主要原因：49 有两个方面，①是彩色石版印刷的发展。彩色石板无论从质量还是从生产的的方便来说，都超过了旧式的活字排版印刷方式，自然取代了木刻活字印刷。 ②与此同时，如同马戏团之类走江湖的娱乐业在这个时候开始急遽衰落，一旦娱乐业的海报需求急遽减少，设计和印刷这类海报的行业也随即衰落，这种情况，也是造成了木版活字印刷海报衰退的另外一个原因。 第三章 1. 维多利亚时期在设计风格上一个最显著的特点是对于中世纪歌特风格中世纪歌特风格中世纪歌特风格的推崇和流行。 2. 美国的彩色石版印刷起源波士顿。 3. 德国对于美国的石印技术影响最大的是德国石版印刷家路易斯·普朗。1873 年他首先
2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳 与垂直相关的几个重要结论 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ?α?a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 垂直关系的转化 1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等． 3．利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直． (2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加． 注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的． 4．三种垂直关系的证明方法 (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α； ②判定定理1： ???? ?m ，n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β． (2)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b ． (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β． 题型一、直线与平面垂直的判定与性质 1．(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD . 证明：BD ⊥PC ； 2．(2014·福建高考)如图所示，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ； (2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． 3．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)证明：EF ⊥平面P AB ．
】 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（） A、l B、l⊥ C、l∥ D、l或l∥ 3、若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是（） A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b · 4、a∥α，则a平行于α内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线 5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( ) A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交 6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( ) A、平行 B、相交 — C、平行或相交 D、平行、相交或在平面α内 二、填空题 7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面 有个. 8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个. 9、过一点可作________个平面与已知平面垂直. . 10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.
11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直. 三、解答题 （ 12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条 ] 14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么 > 15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l 求证：AP在α内
2.3.3 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ? ????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) A ．P A ⊥BC B ．B C ⊥平面P AC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．
直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线. ②垂直于同一个平面的两条直线________. ③垂直于同一直线的两平面________. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的____________，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的 角叫做二面角的平面角. 1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条. 2.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接P A、PB、PC， (1)若P A＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点. (2)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心. (3)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心. 3.m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： ①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β. 其中，所有真命题的编号是________.