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抽象函数定义域的求法例题.doc

抽象函数的定义域

1、已知f ( x)的定义域，求复合函数 f [ g x ] 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f (x) 的定义域为x a, b ，求出f [ g( x)] 中 a g (x) b 的解x的范围，即为

f [ g( x)] 的定义域。

2、已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，求 f (x) 的定义域

方法是：若 f [ g x ] 的定义域为 x a, b ，则由a x b 确定 g (x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。3、已知复合函数 f [ g (x)] 的定义域，求 f [h(x)] 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义域。

4、已知 f (x) 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出

各个函数的定义域，再求交集。

例 1、已知函数 f ( x) 的定义域为15，，求f (3 x 5) 的定义域．

解： f ( x) 的定义域为15，，1≤ 3x 5≤ 5 ， 4 ≤x≤ 10 ．

3 3

故函数 f (3 x 5) 的定义域为4 10

．3

，

练习：若函数y f ( x) 的定义域为1

,2 ，则f (log2x)的定义域为。2

解：依题意知：1

log 2 x 2 解之，得： 2 x 4 2

∴ f (log 2 x) 的定义域为x | 2 x 4

例 2、已知函数f (x2 2x 2) 的定义域为0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域．

分析：若 f g (x) 的定义域为m ≤ x≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g( x) 的范围即为 f (x) 的定义域．这种情况下， f ( x) 的定义域即为复合函数 f g ( x) 的内函数的值域。本题中令u x2 2x 2 ，则 f (x2 2x 2) f (u) ，

由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此u 的取值范围即为 f (x) 的定义域．

解：由 0 ≤ x ≤ 3，得 1≤ x2 2 x 2 ≤5 ．令 u x2 2x 2 ，则f (x2 2x 2) f (u) ，1≤ u ≤ 5 ．故

f ( x) 的定义域为 15，．

练习：已知函数

的定义域为

，则

的定义域为 ________。

解：由

，得

所以

，故填

例 3. 函数

定义域是

，则

的定义域是（）

C. D.

解：先求

的定义域

的定义域是

，

即

的定义域是，再求的定义域

的定义域是

，故应选 A

练习：已知函数

f(2 x ）的定义域是［ -1 ，1］，求 f(log 2x) 的定义域 .

解 ∵y=f(2 x

) 的定义域是［ -1 ， 1］，即 -1 ≤x ≤ 1, ∴ 2

≤ 2x ≤ 2.

∴函数 y=f(log

x) 中 2

≤ log 2x ≤ 2. 即 log 2

≤ log 2x ≤ log 24, ∴

≤ x ≤4.

故函数 f(log 2x) 的定义域为［ 2 ， 4］

例 4 若 f ( x) 的定义域为

3，5 ，求 ( x)

f ( x) f (2 x 5) 的定义域．

3 ≤ x ≤ ，

解：由 f ( x) 的定义域为

3，5 ，则 5

解得 4 ≤ x ≤ 0 ．

( x) 必有

≤

3 2x 5 ≤ ，

5 所以函数

(x) 的定义域为 4，0 ．

练习：已知函数

的定义域是，求的定义域。

分析：分别求 f(x+a) 与 f(x-a)

的定义域，再取交集。

解：由已知，有

，即

函数的定义域由确

函数

的定义域是

例 5 若函数 f(x+1)的定义域为 [ －

2 2 ，2]，求 f(x )的定义域．

解：先求 f(x)的定义域：由题意知－

≤ x ≤ 2，则 1

＜ x ＋ 1＜ 3，即 f(x)的定义域为 [ 1

， 3]，

2 2

再求 f[h(x)] 的定义域：

∴ 1

＜x 2

＜ 3，解得－

3 ＜ x ＜－ 2 或

2 ＜ x ＜

3 ．

2 2

∴ f(x 2

)的定义域是 {x| －

3 ＜ x ＜－ 2 或

＜ x ＜

3 }．

2 2

例 6、某单位用木料制作如图所示的框架 , 框架的下部是边长分别为 x 、 y( 单位： m)的矩形 . 上部是等腰直角三角形 . 要求框架围成的总面积8cm 2.

问

x 、 y 分别为多少 ( 精确到 0.001m)

时用料最省 ?

分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，

还需考虑实际上的有

效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中

常见情况：

（ 1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

（ 2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于 0 也不能大于题设中

规定的值（有的题没有规定）；

（ 3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满

足题设；（ 4 ）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为

S 三角形 S 矩形

1 x 2

8 ，由于 xy 0 ，于是 1

x 2 8 ，即 x 4 2 。又 x

0，∴ x 的取值范围

是 0 x 4 2 。

解：由题意得 xy+ 1

x 2

=8, ∴y= 8

x 2

8 x

4 2 ).

x x 4

于是 , 框架用料长度为 l=2x+2y+2(

x )=( 3 + 2 )x+

≥4 6 4 2 .

当 ( 3

+ 2 )x=

, 即 x=8－ 4 2 时等号成立 .

2 x

此时 , x ≈2.343,y=2

2 ≈2.828.

故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时 , 用料最省 .

变式训练：

13. （ 2007·北京理， 19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为

2r ，短半轴长为 r. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状

, 下底 AB 是半椭圆的短轴，上底

CD 的端点在椭圆

上 . 记 CD=2x,梯形面积为 S. (1) 求面积 S 以 x

(2) 求面积 S 的最大值 .

解（ 1）依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O-xy （如图），则点 C 的横坐标为 x, 点 C 的纵坐标 y 满足方程

x 2 y 2 1(y ≥ 0),

解得 y=2

r 2 x 2

(2x+2r) · 2 r 2

x 2

=2(x+r) ·

r 2 x 2 , 其定义域为 {x|0

（ 2）记 f(x)=4(x+r)

(r 2-x 2),0

(r-2x).

令 f ′(x)=0, 得 x= 1

r. 因为当 0

时， f ′ (x)>0;

当

r ）是 f(x) 的最大值 .

因此，当 x= 1

r 时， S 也取得最大值，最大值为

f ( 1 r ) 3 3 r 2 .

即梯形面积 S 的最大值为

3 r 2 .

巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析）

设函数

的定义域为

，则（ 1）函数

的定义域为 __

______。

（ 2）函数

的定义域为 ___

_______。

2、已知函数

的定义域为，则

的定义域为 ___ _____。

3、已知函数

的定义域为

，则 y=f(3x-5)的定义域为 __5/3≤ x ≤ 2.

4、设函数 y=f(x) 的定义域为［ 0， 1］， q 求 y=f ( x 1) f ( x

) 定义域。

分析：做法与例题 4 相同。

解：由条件， y 的定义域是 f ( x

) 与 ( x

) 定义域的交集 .

0 x

1 x

列出不等式组

1 1

4 x 3

0 x

x 3

故 y=f ( x

) f ( x

) 的定义域为

1 , 2

3 3

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4、已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性一、知识归纳： 1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数）（4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法 4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ）与f （－x ）的关系。f （x ）－

函数定义域与值域经典类型总结练习题含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

函数定义域、值域经典习题及答案88322

复合函数定义域和值域练习题一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： 2) y = 1 + (2 x - 1)0+ 4 - x 2 1+ 1 x -1 2、设函数 f (x )的定义域为［0，1］，则函数f (x 2)的定义域为_ _ _；函数 f ( x -2) 的定义域为 _______ 3、若函数 f (x +1)的定义域为［-2，3］，则函数 f (2x -1)的定义域是；函数 f (1 + 2)的定义域为。 x 4、已知函数f (x )的定义域为［-1, 1］，且函数F (x )= f (x +m )-f (x -m )的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴ y = x 2 +2x -3 (x R ) ⑵ y = x 2 +2x -3 x [1,2] ⑶y =3x -1 x + 1 ⑷y = 3x -1 (x 5) x +1 三、求函数的解析式 1、已知函数 f (x -1) = x - 4x ，求函数 f (x )， f (2x +1) 的解析式。 2、已知 f (x )是二次函数，且 f (x +1)+ f (x -1)=2x -4x ，求 f (x )的解析式。 ⑴y = x 2 -2x -15 x +3-3 y = 2x - 6 x +2

3、已知函数f(x)满足2f(x)+ f(-x)=3x+4，则f(x)= 。 4、设f(x)是R 上的奇函数，且当x[0,+)时，f(x)=x(1+3x)，则当x(-,0)时f(x)= ________ _ f(x)在R 上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是｛x|x R,且x1｝，f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)+g(x)=1，求f(x)与g(x) 的解析表达式 x - 1 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ y= x2+2x+3 ⑵ y = -x2+2x +3 ⑶ y = x2- 6x -1 7、函数f(x)在[0,+)上是单调递减函数，则f(1-x2)的单调递增区间是 8、函数y = 2-x的递减区间是；函数y = 2-x的递减 3x + 6 3x + 6 区间是五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴y1=(x+3)(x-5)，y2=x-5；⑵y1= x+1 x-1 ，y2= (x+1)(x-1) ； x+3 ⑶f (x) = x，g(x) = x2 ；⑷f (x) = x，g(x)= 3x3 ；⑸f1(x) = ( 2x-5)2 ， f (x) = 2x - 5。 A、⑴、⑵ B 、⑵、 ⑶ C 、⑷D、⑶、⑸ 10、若函数f(x)= x - 4的定义域为R ,则实数 m mx2+ 4mx + 3 的取值范围是 ( ) A、(－∞,+∞) 3 B 、(0,3 ] 3 C 、(3,+∞ ) 3 D 、[0, 3 ) 11、若函数f (x) = mx2+mx+1的定义域为R，则实数m的取值范围是( )

函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案

函数的定义域【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。【知识梳理】（1）定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的的集合。（2）确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为； ②f(x)是分式，则定义域为的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为的集合； ④对数式中真数，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数； ⑤零次幂中，，即x 0中； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点）（1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。（2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33 y x = +- （2 ）01(21)111 y x x = +-++ - 2、 _ _ _；的定义域为________； 3、若函数(1)f x +(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4 、已 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

4、设 ()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵ y = ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是；函数y =的递减区间是五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶ x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸ 2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 11、若函数 ()f x R ，则实数m 的取值范围是（） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.

5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是（） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例4：求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。（等价于：0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ）注意：当0)(≠x f 时，也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。