函数的定义域
【考纲说明】
1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。
2、会求较简单的复合函数的定义域。
3、会讨论求解其中参数的取值范围。
【知识梳理】
（1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则
1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。
2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。
3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。
4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据：
①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ；
②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合；
④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ；
⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan =
4、抽象函数的定义域（难点）
（1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可
得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 （3）已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
（4）已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
【经典例题】
1. （陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为
（A ）［0，1］ （B ）（-1，1）
（C ）［-1，1］
（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）
解析：由1-x 2
>0得-1 2、（06广东卷）函数2 ()lg(31) f x x ++的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 解：由131 1301<<-??? ?>+>-x x x ，故选B. 3. （江西文3）函数1()lg 4 x f x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(1 4)， Ｂ．[14)， Ｃ．(1)(4)-∞+∞U ，， Ｄ．(1](4)-∞+∞U ，， 解析：10(1)(4)0,1 4.4 x x x x x ->?--<∴<<-选A. 4. （湖南卷）函数y ( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 解：函数2log 2-= x y 的定义域是2log 2x -≥0，解得x ≥4，选D. 5、（湖北卷4 ）函数1 ()f x x = 的定义域为D A. (,4][2,)-∞-+∞U B. (4,0)(0.1)-U C. [-4,0)(0,1]U D. [4,0)(0,1)-U 6、（2012高考四川文13 ）函数()f x =____________。（用区间表示） 【答案】)2 1,(-∞. 【解析】根据题意知021>-x ，21 1,(-∞. 7、2012高考山东文3 】函数1 ()ln(1) f x x = + (A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 【答案】B 【解析】方法一：特值法，当2-=x 时，)1ln()(+=x x f 无意义，排除A,C.当0=x 时，01ln )10ln()0(==+=f ，不能充当分母，所以排除D,选B. 方法二：要使函数有意义则有?? ? ??≥-≠+>+0 40)1ln(012x x x ，即?????≤≤-≠->2201 x x x ，即01<<-x 或20≤ 8、已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与 ()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，410 33x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?? ???? ， 9、已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤． 令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 10、若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ?必有353255x x --?? -+?，， ≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ?的定义域为[]40-，． 11、已知函数862++-= m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0862≥++-m mx mx ，使一切R x ∈都成立，由2x 项的系数是m ，所以应分0=m 或0≠m 进行讨论。 解：当0=m 时，函数的定义域为R ； 当0≠m 时，0862≥++-m mx mx 是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是 ? ??≤+--=?>0)8(4)6(0 2 m m m m 10≤ 评注：不少学生容易忽略0=m 的情况，希望通过此例解决问题。 【课堂练习】 1、（2010全国卷2文数）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（ ） （A ）y=1 x e +-1(x>0) (B) y=1 x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1 x e -+1 (x ∈R) 2、（2010 重庆文数）函数y = ） （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 3、（2010山东文数）函数()() 2log 31x f x =+的值域为（ ） A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞?? 4、（2010广东文数）函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ ） A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞ 5、（2010湖北文数） 函数y = 的定义域为（ ） A.( 3 4 ,1) B( 3 4,∞) C （1，+∞） D. ( 3 4 ,1)∪（1，+∞） 6、（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数 定义域相同的函数为 （ ） A ．y= 1sin x B ．y= 1nx x C ．y=xe x D ． sin x x 7、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 8、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 9、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 10、（湖北卷4 ）函数1 ()f x x =的定义域为 A. (,4][2,)-∞-+∞U B. (4,0)(0.1)-U C. [-4,0)(0,1]U D. [4,0)(0,1)-U 1、（2009福建卷文） 下列函数中，与函数y = 有相同定义域的是 2、A .()ln f x x = B.1 ()f x x = C. ()||f x x = D.()x f x e = 12、（2010广东理数）函数()f x =lg(x -2)的定义域是 13、（广东文4）函数 1 ()lg(1)1f x x x = ++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞U D ．(,)-∞+∞ 12 1()log (21)f x x = + 【课后作业】 1、（江西文3）若 ，则()f x 的定义域为( ) 1(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-?+∞ D.1 (,2)2- 2、（江西理4）设x x x x f ln 42)(2--=，则0)(' >x f 的解集为 A. ),0(+∞ B. ),2()0,1(+∞-Y C. ),2(+∞ D.)0,1(- 3、安徽文13 ）函数y = 的定义域是 . 4、【2012高考四川文13 】函数()f x = ____________。（用区间表示） 5、（安徽卷13） 函数2()f x = 的定义域为 ． 6、（湖南卷14 ）已知函数()1).f x a = ≠ （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ; (2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 7、【2012高考山东文3 】函数1 ()ln(1) f x x = + (A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 8、【2012高考江苏5】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 9、（重庆13）若函数12)(22 -=--a ax x x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为 . 10、（广东1）已知函数x x f -=11)(的定义域为M , ()()x x g +=1ln 的定义域为N ，则M ∩N =（ ） A ．{x | x >－1} B ．{x | x <1} C ．{x |－1< x <1} D ．φ 11、（全国I14）函数)(x f y =的图像与函数)0(log 3>=x x y 的图像关于直线x y =对称，则=)(x f . 12、（上海1）．函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为 。 13、（浙江10）设???<≥=, 1||,,1||,)(2x x x x x f )(x g 是二次函数，若))((x g f 的值域是)(),,0[x g 则+∞的值域是（ ） （A ）),1[]1,(+∞--∞Y （B ）),0[]1,(+∞--∞Y （C ）),0[+∞ （D ）),1[+∞ 14、（湖北4）．函数)4323ln(1 )(22+--++-= x x x x x x f 的定义域为（ ） A ．),2[]4,(+∞--∞Y B ．)1,0()0,4(Y - C ．]1,0()0,4[Y - D ．)1,0()0,4[Y - 15、已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（ ） （A ）),22(+∞ （B ）[) +∞,22 （C ）),3(+∞ （D ）[)+∞,3 16、（江苏11）已知函数21,0()1,0 x x f x x ?+≥=? (1)(2)f x f x ->的x 的范围是 17、（湖北2）．已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ? ? ==>== >???? ,则U C P =（ ） A ．1 [,)2 +∞ B ．10,2?? ??? C ．()0,+∞ D ．1(,0][,)2 -∞+∞ 18、（陕西11）设若2 lg ,0,()3,0,a x x f x x t dt x >?? =?+≤???((1))1f f =，则a = 19、（浙江1）．设函数2 ,0,()()4,0. x x f x f x x α-≤?==?>?若,则实数α=（） A ．-4或-2 B ．-4或2 C ．-2或4 D ．-2或2 【参考答案】 【课堂练习】 1D 2C 3A 4B 5A 6D 7、[1,1]-； [4,9] 8、5 [0,];2 11(,][,)32 -∞-+∞U 9、11m -≤≤ 10D 11A 12、 (1,+∞) 13、C 【课下作业】 3.C 2、C 3、（－3,2） 4、.)2 1 ,(-∞ 5、 [3,)+∞ 6、 3,a ??-∞ ?? ? ； ()(],01,3-∞? 7、B 8、( 0 9、[-1，0] 10、C 11、x 3 12、()()4,33,?∞- 13、C 14、D 15、C 16、(1)-- 17、 A 18、1 19、B 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 一.定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ， ，故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点(2, -1)， ，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。 解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得 ，故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时， 直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为 y=kx+b， 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 （1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b （2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b （3）直线y=x对称，则直线的解析式为 （4）直线y=-x对称，则直线的解析式为 （5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线，解析式为 （3）其它（略） 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） － 集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} 2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( ) 函数概念及其表示---典例分析 例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。 变式： 1．函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）. 选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。 变式： 1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）. 2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝ 1 2x B. f ：x →y ＝ 1 3x C. f ：x →y ＝1 4x D. f ：x →y ＝1 6 x A. B. C. D. 函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域： （1）1 21 y x = +-；（2 ）y = . 选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2 ）由30 20 x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。 变式： 1 ．函数y =的定义域为（ ）. A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求： （1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1 (2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -= +，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式： 1．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。 解：∵ 0(,1)∈-∞ ， ∴ f 又 ∵ >1， ∴ f )3)-3=2+ 12=52，即f [f (0)]=5 2 . 点评：体现了分类讨论思想。 2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）. 第十八章 函数 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称 点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： 2) y = 1 + (2 x - 1)0+ 4 - x 2 1+ 1 x -1 2、设函数 f (x )的定义域为［0，1］，则函数f (x 2)的定义域为_ _ _；函数 f ( x -2) 的定义域为 _______ 3、若函数 f (x +1)的定义域为［-2，3］，则函数 f (2x -1)的定义域是 ；函 数 f (1 + 2)的定义域为 。 x 4、 已知函数f (x )的定义域为［-1, 1］，且函数F (x )= f (x +m )-f (x -m )的定义域存在， 求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴ y = x 2 +2x -3 (x R ) ⑵ y = x 2 +2x -3 x [1,2] ⑶y =3x -1 x + 1 ⑷y = 3x -1 (x 5) x +1 三、求函数的解析式 1、 已知函数 f (x -1) = x - 4x ，求函数 f (x )， f (2x +1) 的解析式。 2、 已知 f (x )是二次函数，且 f (x +1)+ f (x -1)=2x -4x ，求 f (x )的解析式。 ⑴y = x 2 -2x -15 x +3-3 y = 2x - 6 x +2 3、已知函数f(x)满足2f(x)+ f(-x)=3x+4，则f(x)= 。 4、设f(x)是R 上的奇函数，且当x[0,+)时，f(x)=x(1+3x)，则当x(-,0)时f(x)= ________ _ f(x)在R 上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是｛x|x R,且x1｝，f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)+g(x)=1，求f(x)与g(x) 的解析表达式 x - 1 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ y= x2+2x+3 ⑵ y = -x2+2x +3 ⑶ y = x2- 6x -1 7、函数f(x)在[0,+)上是单调递减函数，则f(1-x2)的单调递增区间是 8、函数y = 2-x的递减区间是；函数y = 2-x的递减 3x + 6 3x + 6 区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴y1=(x+3)(x-5)，y2=x-5；⑵y1= x+1 x-1 ，y2= (x+1)(x-1) ； x+3 ⑶f (x) = x，g(x) = x2 ；⑷f (x) = x，g(x)= 3x3 ；⑸f1(x) = ( 2x-5)2 ， f (x) = 2x - 5。 A、⑴、⑵ B 、⑵、 ⑶ C 、⑷D、⑶、⑸ 10、若函数f(x)= x - 4的定义域为R ,则实数 m mx2+ 4mx + 3 的取值范围是 ( ) A、(－∞,+∞) 3 B 、(0,3 ] 3 C 、(3,+∞ ) 3 D 、[0, 3 ) 11、若函数f (x) = mx2+mx+1的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 2．2 函数2例题解析 【例1】判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？ (1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)y ＝11 --x x 解 (1)由x 2＋y ＝1得y ＝1－x 2，它能确定y 是x 的函数． (2)x y 1y y x 2由＋＝得＝±．它不能确定是的函数，因为对1-x 于任意的x ∈{x|x ≤1}，其函数值不是唯一的． (3)y y x ＝的定义域是，所以它不能确定是的函数．11 --?x x 【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？ (1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)2＝，＝＝，＝?t x 2 2 (3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)＝2，＝＝2，＝x x x x x x +--+--111 11122 解 (1)中两式的定义域部是R ，对应法则相同，故两式为相同函数． (2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数． (4)中两式的定义域都是－1≤x ≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数． 【例3】求下列函数的定义域： (1)f(x)2 (2)f(x)(3)f(x)＝＋＋＝＝x x x x x x x --+----145 3210215 2|| (4)f(x)(4x 5)(1)x 10 4x 0 1x 4{x|1x 4}(2)3x 20x {x|x }＝＋－由－≥－≥得≤≤．∴定义域是≤≤由－＞，得＞，∴定义域是＞812323|| x -???解 (3)10x x 210 |x|503x 7x 5{x|3x 7x 5} 2由－－≥－≠得≤≤且≠，∴定义域是≤≤，且≠??? (4)10 |x|0 4x 508x 00x x 8[80)(0)()由－≥≠－≠解得－≤＜或＜＜或＜≤∴定义域是－，∪，∪，854545454 8||x ?????? ??? 【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域： (1)y f (2)y f(2x)f (3)y f ＝＝＋＝()()()123 2x x x a + 解(1)01x 1x 1f(){x|x 1x 1}由＜≤，得≤－或≥，∴的定义域是≤－或≥1 122x x 第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数 函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0
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