《制浆原理与工程》习题与思考题
第一章备料
1.原料为什么要贮存？不同原料的贮存方法有何不同？
2.陆上贮存原料对原料场有哪些要求？为什么？
3.木材原料备料流程有何特点？生产磨木浆和生产化学浆的木材备料流程有何不同？
4.草类原料备料的一般流程是什么？以芦苇和稻麦草为例，分别说明之。
5.根据蔗渣原料的特点，说明其备料流程的特点。
6.普通削片机主要由哪些部分组成？削片刀、底刀、旁刀各安装在什么位置？大、小三角板起什么作用？
7.影响木片长度与厚度的因素有哪些？生产中是怎样控制的？
8.试述影响削片质量的因素。
9.某厂使用四刀削片机，喂料槽与水平面的交角为56°，喂料槽在水平面的垂直面与刀盘垂直面间的夹角为23°，问当刀距为8.5~9.5mm, 刀高为15m m时，切削出来的木片的长度、厚度和木片斜角为多少？
10.某厂使用平口喂料10刀削片机，喂料槽与刀盘的夹角为37°，若要求切削出来的木片长度为18~20mm,试计算该削片机的刀距和削出的木片的斜角。
第二章化学法制浆
1.为什么硫酸盐法比烧碱法蒸煮有较快的脱木素速率？
2.木材、竹子、草类原料碱法蒸煮的反应历程有何不同？这种差别反映到蒸煮工艺条件有何不同？
3.以碱法蒸煮为例，说明为何草类原料比针叶木容易蒸煮成浆？草类原料碱法蒸煮脱木素的特点是什么？
4.试述碱法蒸煮脱木素化学反应。
5.在碱法蒸煮中，碳水化合物在什么情况下发生剥皮反应和碱性水解？碳水化合物的碱性降解对纸浆质量有何影响？如何防止碳水化合物的碱性降解？
6.碱法蒸煮过程中碱的作用是什么？用碱量对纸浆质量有何影响？怎样选
择用碱量？
7.蒸煮液浓度与用碱量、液比的关系如何？怎样根据蒸煮的条件和要求来选用液比？
8.硫化度对蒸煮速度和纸浆质量有何影响？如何选用硫化度？
9.什么叫H-因子？在蒸煮过程中如何利用H-因子？H-因子在实用中有什么局限性？
10.纸浆硬度表示什么?它与纸浆中木素含量有何关系？目前常用的表示纸
浆硬度的方法有哪几种？
11.蒸球和立式蒸煮锅各有什么优缺点？如何选用间歇蒸煮器？
12.连续蒸煮有何优点？连续蒸煮器主要有哪些型式？试述各种连续蒸煮器的结构特点。
13.以RDH和EMCC为例，说明深度脱木素蒸煮的原理，并比较其优缺点。
14.某厂用硫酸盐法蒸煮木片，蒸球容积为25m3，装锅量为170 Kg (o.d.)/
m3，木片水份为22％，用碱量16％（Na2O计），硫化度25％，液比1：2. 6，蒸煮用的NaOH溶液浓度为95g/l（NaOH计），Na2S溶液的浓度为90 g/l（Na2S计），问：
(1)每球应加入NaOH溶液多少m3？
(2)每球应加入Na2S溶液多少m3？
(3)每球应补加清水多少m3？
(4)蒸煮得到水份为72％的粗浆7100Kg，其粗浆得率为多少？
15.某厂用蒸球蒸煮混合阔叶木，蒸球有效容积为37 m3，装锅量为189 Kg (o.d.)/ m3，用碱量为18％（Na2O计），硫化度为22％，液比1：2.6。回收的白液中活性碱浓度为100g/l（Na2O计），白液的硫化度为14％，进厂固体硫化碱溶解后的浓度为100g/l（Na2S计），求：
(1)每球应加入多少白液？
(2)每球应补加多少硫化碱液？
(3)若原料水份为20％，用污热水配蒸煮液，则每球应加入多少污热水？
16.立式蒸煮锅每锅装绝干荻苇18吨，荻苇水份为20％，用碱量12％（Na
O计），硫化度14％，液比1：4。回收得到的白液的活性碱浓度为70g/l 2
（Na2O计），白液的硫化度为10％，外购的硫化碱溶解后的浓度为80g/l (Na2S计),试计算：
(1)每锅需用的白液量；
(2)每锅应补加的硫化碱液量；
(3)若每锅加入黑液1.8m3（黑液中的残碱可忽略不计），并用污热水配蒸煮液，则每锅应加入污热水多少m3？
17.芦苇烧碱法蒸煮的脱木素活化能E= 45980J/mol，设100℃时的相对反应速率常数为1，试求105℃和150℃时的相对反应速率常数。
18.某厂用硫酸盐法蒸煮木片，蒸煮曲线如下：
时间（h:min）0:00 0:15 0:30 0:45 1:00 1:15 1:30 2:45 温度(℃) 80 90 110 125 140 155 165 165 若升温到155℃以后，锅炉送来气压升高，使在相同时间间隔内温度升到1 68℃，若要保持浆的质量稳定，则保温时间应为多少？
19.下面是某厂碱法蒸煮麦草的工艺条件及蒸煮结果（生产漂白文化用纸），请分析此条件是否合理？试提出你认为较合理的方案。
用碱量15％（Na2O计）残碱14.5 g/l
硫化度25％粗浆得率33％
液比1：2.3 粗浆硬度 6.0（KM n O4值）
蒸煮曲线：
20.某厂用硫酸盐法蒸煮杂竹生产纸袋纸用浆，其蒸煮用碱量为13％（NaO H计），硫化度15％，液比1：2.6，蒸煮曲线为：
黑液残碱为0.8g/l，粗浆硬度为35~36（KM n O4值）。试根据所学的理论知识把上述蒸煮工艺条件和蒸煮曲线修改成合理的工艺条件和蒸煮曲线。
21.碱法蒸煮时添加多硫化钠的作用原理和效果如何？
22.试述烧碱－蒽醌法蒸煮过程中AQ的作用原理及此法的特点。
23.预水解碱法制取精制浆时，预水解的作用原理是什么？预水解有哪些方法？
24.碱法蒸煮时添加亚硫酸钠或蒽醌，或同时添加亚硫酸钠和蒽醌对蒸煮过程和结果会有什么影响？为什么？
25.亚硫酸盐法蒸煮有哪几种？试说明其蒸煮液的组成和pH值的关系。
26.不同pH值的亚硫酸盐法蒸煮对原料的适应性有何不同？为什么？
27.试述酸性亚硫酸盐法蒸煮时蒸煮酸各主要成分在蒸煮过程中的作用。
28.试述酸性亚硫酸盐法蒸煮碳水化合物的降解反应。
29.试比较酸性亚硫酸盐法、中性亚硫酸盐法和碱性亚硫酸盐法的脱木素反应历程。
30.为什么通常酸性亚硫酸盐法蒸煮时间较硫酸盐法长？
31.在酸性亚硫酸盐法蒸煮过程中，木素是在什么条件下如何进行缩合的？如何防止缩合反应的发生？
32.酸性亚硫酸盐法与碱性亚硫酸盐法蒸煮脱木素有什么差别？试说明形成这种差别的原因以及这种差别反映到蒸煮曲线上有何不同？
33.酸性亚硫酸盐法和亚硫酸氢盐法蒸煮的操作过程与硫酸盐法有何不同？
34.亚硫酸盐法蒸煮过程中，SO2及热回收有何意义？怎样选择回收的流程？
35.试述亚硫酸盐法蒸煮的主要影响因素。
36. 当塔酸中TA=3.87%，CaO=1.25%时，求此塔酸的组成。
37. 某厂用亚硫酸氢镁蒸煮蔗渣，蒸煮时锅内总液量为103m3（包括原料含水量12m3），要求蒸煮时锅内药液的TA=2.6%，CA=1.8%；从回收锅送入
蒸煮锅药液量为85m3，回收锅药液中，回收的蒸煮液量18m3，TA=1.5%，CA=0.75%；吸收塔来原酸67m3，CA=1.8%；试计算：
(1)吸收塔来原酸的TA应为多少才符合要求？
(2)需要补加多少公斤的氧化镁（设氧化镁的纯度为90%）？
(3)氧化镁乳液的体积应为多少m3？
38. 亚铵法有什么优点？亚铵法蒸煮为什么要加入缓冲剂？常用的缓冲剂有哪些？
39. 与KP法或AS法相比，AS-AQ法有什么优点？
40. 试比较草类原料KP法、NS法、AS法蒸煮脱木素反应速率及相应的工艺技术条件。
41. 什么叫纤维分离点？以芦苇为例，比较不同制浆方法的纤维分离点。
42. 亚硫酸盐法纸浆与硫酸盐法纸浆的性质有何不同？简述其原因。
43. 比较我国草类原料蒸煮方法，举例说明草类原料的蒸煮工艺条件。
第三章机械法、化学机械法、半化学法制浆
1.什么叫高得率浆？发展高得率浆的意义是什么？
2.以木材原料为例，说明高得率纸浆的分类及其得率范围。
3.试述磨木浆的生产流程、纸浆特性及其用途。
4.常用的磨木机有哪几种？试比较其结构特点及优缺点，并从工艺要求上说明磨木机应具有哪些组成部分？
5.试比较水泥磨石和陶瓷磨石的组成及其优缺点。
6.试述磨石刻石的作用和刻石操作要点。
7.近代磨浆理论将磨浆过程分为哪三个阶段？试概述近代磨浆理论的要点。
8.原木材种、水份、腐朽、木节和弯曲度对磨木浆生产有何影响？
9.磨石表面状态，磨石比压和磨石线速对磨木浆产量和质量有何影响？
10.普通磨木浆在生产中采用高温低浓工艺有什么好处？
11.试述压力磨木机的结构特征及压力磨木浆的优缺点。
12.四台磨木机每天处理214.27m3实积的原木，生产出平均浓度为2.0%的磨木浆3775m3，试求每米实积原木生产多少公斤风干磨木浆？当原木比重为0.36时，磨木浆得率为多少？
13.某日磨木机总磨木量为180m3实积，原木比重为0.44，经测定，磨木浆得率为96%，热水溶出物损失为3.6%，磨木过程流失为0.4%，求每天产浆量，热水溶出物损失量和磨木过程流失量（以风干吨计）。
14.用盘磨机生产机械浆有什么优缺点？
15.分述RMP、TMP、CTMP、CMP、SCMP和APMP的生产流程和工艺特点。
16.盘磨机磨浆过程可分为哪三个区段？各区段的作用是什么？
17.试述影响盘磨机磨浆的因素。
18.什么叫玻璃态转移温度？为什么TMP生产中，预热和一段磨浆的温度应不超过木素的玻璃态转移温度？
19.磨石磨木浆和热磨机械浆磨浆过程中，温度和浓度对浆料质量有什么影响？
20.什么是机械浆的潜态性？采用什么办法消潜？
21.与TMP相比，CTMP有哪些优点？CTMP有哪些用途？
22.半化学浆有哪些生产方法？
23.磨石磨木浆和热磨机械浆在生产过程中有哪些主要的不同点和优缺点。
24.试述高得率制浆的发展趋势。
第四章废纸制浆
1.废纸回用的意义是什么？
2.我国废纸分为哪几类？
3.化学浆（以经打浆未漂针叶木浆为例）和机械浆废纸浆再生过程中性质的变化有何不同？
4.影响废纸浆性质的因素有哪些？
5.胶粘物对生产有何影响？
6.影响水力碎浆机工作效率的因素有哪些？
7.高浓除渣器、正向除渣器和逆向除渣器的工作原理和主要工艺参数（浆浓、压力等）有何不同？
8.废纸浆选用波形筛板有何好处？
9.热分散器有何作用？在流程中热分散器应如何设置？
10.一般脱墨分成哪几个步骤？废纸脱墨主要有哪些方法？试比较其优缺点。
11.影响废纸脱墨的因素有哪些？
12.试比较Voith多喷射器椭圆形浮选机和Beloit压力式浮选机的优缺点？
第五章纸浆的洗涤、筛选与净化
1.试述纸浆的洗涤原理。洗涤方式及洗涤过程的影响因素。
2.什么叫稀释因子？稀释因子的大小对洗涤效率和提取的黑液浓度有何影响？
3.试比较双辊挤浆机、真空洗浆机、压力洗浆机、水平带式真空洗浆机、扩散洗涤器等洗涤设备的工作原理、工艺条件、适应性和优缺点。
4.采用真空洗浆机组提取黑液时，为什么草类浆要采用强制真空而木浆则采用自然真空？
5.分述高频振框平筛、高频振动圆筛、跳筛，CX型和ZSL1~4型离心筛、压力筛等筛选设备的结构特点、工艺条件和优缺点。
6.试述筛选的影响因素。
7.试述锥形除砂器的净化原理、工艺条件及影响因素。
8.何谓筛选净化流程中的“级”和“段”？举例说明筛选净化设备的不同组合方式。
9.某厂以烧碱—蒽醌法稻草浆生产书写纸，试选用筛选净化设备，并设计出一个较合理的筛选净化流程。
10.根据本章所学知识，试拟出150吨/日漂白硫酸盐苇浆的洗筛流程，并说明理由。
11.洗筛工艺流程有的厂家先洗后筛，有的则采用先筛（除节）后洗，试比较两者之优劣。
12.贮浆池通常有哪几种型式？各有什么优缺点？
第六章纸浆的漂白
1.什么是纸浆的白度？纸浆的白度和纸张的白度有什么区别？
2.纸浆中主要有哪些发色基团和助色基团？
3.工业上主要的氧化性漂白剂有哪些？还原性漂白剂有哪些？
4.试述过氧化氢漂白机械浆的机理、特点和工艺条件。
5.试述连二亚硫酸钠漂白的作用原理、特点和工艺条件。
6.试比较过氧化氢和连二亚硫酸钠漂白磨木浆的优缺点。
7.什么叫有效氯？什么叫有效氯用量？以Ca(OCl)2和ClO2为例，说明之。
8.制漂过程中的过氯化有什么不良后果？在制备次氯酸钙漂液时应注意些
什么？
9.试述次氯酸盐漂白脱木素的机理和pH值对次氯酸盐漂白过程的影响。
10.为何纸浆次氯酸盐漂白要控制pH值在碱性范围内？试从纤维素的氧化反应途径说明之。
11.次氯酸盐单段漂，每天处理风干未漂浆80吨，有效氯用量为4%，漂损5%，漂液有效氯浓度为25g/l，试求每小时漂白浆产量和所需的漂白剂体积。
12.试述CEH三段漂白的原理，并以硫酸盐苇浆为例，说明CEH三段漂的工艺条件。
13. CEH三段漂白中各漂段的作用如何？次氯酸盐单段漂与CEH三段漂中H段的漂白作用与效果有何不同？
14.对纸浆进行多段漂白，未漂浆的漂率为8%，氯化时用氯量占总用氯量的66.7%，问当氯化50吨绝干浆时需用液氯多少吨？
15.每小时氯化浓度为3%的浆料105m3，氯化用氯量为2.5%，氯化时间为5 5min，氯化塔内径为3m，试求：
(1)每小时氯化用氯量为多少公斤（设浓度为3%的浆料比重为1）？
(2)氯化塔高度为多少？
16.试比较次氯酸盐和二氧化氯两种漂白剂漂白作用和漂白工艺条件的差别，并说明理由。
17.新型漂白剂ClO2、H2O2、O3和O2-NaOH的作用原理与优缺点如何？
18.指出化学浆与机械浆漂白的主要区别？
19.稻草浆和硫酸盐木浆漂白主要有哪些区别？
20.化学浆和机械浆返黄机理有哪些主要的不同？减轻化学浆返黄有哪些措施？
21.试述现代漂白的发展趋势。
第七章蒸煮液的制备及蒸煮废液的回收与利用。
1.塔酸（原酸）与蒸煮酸有何区别？
2.指出硫铁矿焙烧的主要化学反应及影响沸腾炉焙烧的主要因素。
3.试述SO2的吸收机理、吸收方法及主要影响因素。
4.黑液浓度常用那几种表示方法？它们之间的关系如何？
5.什么叫碱回收？碱回收有什么意义？
6.列举黑液碱回收的主要过程并指出草浆黑液碱回收的特点。
7.影响黑液间接蒸发的主要因素有哪些？
8.黑液燃烧炉有哪些类型？方形喷射炉有什么优缺点？
9.简述黑液碱回收的原理和基本过程，指出黑液燃烧和绿液苛化有代表性的化学反应。
10.试述黑液燃烧过程的原理及影响因素。
11.试比较文丘里-旋风分离器与圆盘蒸发器-静电除尘器两种除尘增浓装置的优缺点。
12.试述静电除尘器的工作原理及影响除尘效率的因素。
13.用文字列举绿液连续苛化的工艺流程。
14.影响绿液苛化和白液澄清的因素有哪些？
15.试述草浆黑液与木浆黑液性质的差别对碱回收过程的影响。
16.已知白液中活性碱的浓度为100g/l（Na2O计），硫化度为25%，苛化率为80%，还原率为90%，求白液中的Na2S，NaOH，Na2CO3，Na2SO4各为多少g/l？（分别以Na2S，NaOH，Na2CO3和Na2SO4计）。
17.某厂用25m3蒸球蒸煮木材，装锅量为168Kg（O.Cl.）/m3，木片水份20%，蒸煮用碱量为16.0%（Na2O计），硫化度为25%，从碱回收送来的白液活性碱浓度为100g/l（NaOH计），硫化度15%，苛化率90%，还原率92%，试求：
（1）白液中Na2S，NaOH，Na2CO3，Na2SO4各为多少g/l？
（2）每球应加入白液多少m3？
（3）每球应补充纯的Na2S多少Kg？
18.试述黑液综合利用的可能途径？
19.以亚硫酸盐法蒸煮废液为原料，试提出木素可能利用的途径，并说明理由。
第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-,
*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（） A．－2 3 B． 2 3 C．－ 3 2 D． 3 2 9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213 13 ，则 c＋2 a的 值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 **11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距 离等于 2 2 ，这样的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0） 有两个不同交点，则a的取值范围是（） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是；或。
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几 个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有 （ ） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上， 可 先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素， 如 此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（ ） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（ ） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法： 例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种
第三章 直线与方程 ３.1 直线的倾斜角与斜率 3.１．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 １.直线的倾斜角: ２.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线的倾斜角为（ ). Ａ. 6０° B ． ３０° Ｃ. 60°或120° D. ３0°或１50° 变式训练： 设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转4５°,得到直线1l ,则 1l 的倾斜角为( ）。 A. 45α+? B ． 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α＜1３5°时为45α+?,当１3５°≤α＜1８0°时,为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 ２如图所示菱形ＡBCD 中∠BAD =6０°，求菱形A ＢＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值. 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l １、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ）. A .k 1＜k 2<ｋ3? Ｂ． ｋ3 变式训练: 若三点P (2，3)，Q （3,a ),R (4，b )共线,那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B.1b a -= C.23a b -= D.23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- ３) , B (3, 0) ,过点Ｐ （-1， ２）的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练: 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段ＡＢ相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练： 利用斜率公式证明不等式:(0a m a a b b m b +><<+且0)m > 3.1.２ 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 江苏省赣榆高级中学 直线与方程单元测试题 一、填空题(5分×18=90分) 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ； 3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ； 6．已知直线0323=-+y x 和0 16=++my x 互相平行，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是: 9．已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是: 10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ． 13．当10k 2 <<时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ； 15.直线y=2 1x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B , 则反射光线所在直线的方程 18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 排列组合问题经典题型解析含答案 排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A 的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 点的P反射后通过点B(3,1)，求射向(－1,3)x轴，经过x轴上的点P1．一条光线从点A坐标．0013－－13 k＝－＝，，依题意，＝，则k＝0)设解P(x,PBAP x－－1x3x－＋3－1x由光的反射定律得k＝－k，PBAP31即＝，解得x＝2，即P(2,0)．x＋13－x2．△ABC为正三角形，顶点A在x 轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜 率． 解如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°， ∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°， 3，＝－tan 150°∴k＝AB33. ＝＝tan 30°k AC3f?a?f?b?f?c?3．已知函数f(x)＝log(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．2abcf?x? 可视为过原点直线的斜率．画出函数的草图如图，解xf?c?f?b?f?a?由图象可知：>>. cba 4．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD. 32＋1)且l，a⊥l，求实数(3，直线l经过点Aa，－2)，B(0k(2)已知直线l的斜率＝211124a的值．(1)证明由斜率公式得： 6－33 ＝，＝k AB55－1011－?－4?5＝－，＝k CD3－6－3则k·k＝－1，∴AB⊥CD. CDAB(2)解∵l ⊥l，∴k·k＝－1，2121＋1－?－2?2a3即＝－1，解得a＝1或a＝3. ×40－3a 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、的形状．OPQR试判断四边形>0.t，其中2)t,2－(R、)t＋2t,2－(1Q、)t，(1P． 0t－，t＝＝由斜率公式得k解OP01－t－0－2－?2＋t?21＝＝t，k＝－，＝＝k ORQR t－2t－?1－2t?－1－2t－02＋t－t12＝－＝. ＝k PQ tt－212t－1－. PQ，OR∥OP∴k＝k，k＝k，从而∥QR PQQROPOR为平行四边形．∴四边形 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180 ,90∈α时，0 一、选择题： 1．直线 x- 3 y+6=0 的倾斜角是（ ） A 60 B 120 C 30 0 D 150 2. 经过点 A(-1,4), 且在 x 轴上的截距为 3 的直线方程是（ ） A x+y+3=0 B x-y+3=0 C x+y-3=0 D x+y-5=0 3．直线 (2m 2+m-3)x+(m 2 -m)y=4m-1 与直线 2x-3y=5 平行，则的值为（ ） A- 3 或1 B1 C- 9 D - 9 或 1 2 8 8 4．直线 ax+(1-a)y=3 与直线 (a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直，则 a 的值为（ ） A -3 B 1 C 0 3 D 1 或-3 或- 2 5．圆（ x-3 ） 2+(y+4) 2 =2 关于直线 x+y=0 对称的圆的方程是（ ） A. (x+3) 2 +(y-4) 2 =2 B. (x-4) 2 +(y+3) 2=2 C .(x+4) 2 +(y-3) 2=2 D. (x-3) 2 +(y-4) 2=2 6、若实数 x 、y 满足 ( x 2) 2 y 2 3，则 y 的最大值为（ ） x A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 7．圆 (x 1) 2 ( y 3) 2 1 的切线方程中有一个是 A ． x －y ＝0 B ．x ＋ y ＝0 C ．x ＝0 D ． y ＝0 8．若直线 ax 2 y 1 0 与直线 x y 2 0 互相垂直，那么 a 的值等于 A ． 1 B ． 1 C 2 D ． 2 3 ． 3 9．设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x 2 y 2 2 相切，则 a 的值为 （ ） Ａ． 4 Ｂ． 2 2 Ｃ． 2 Ｄ． 2 10． 如果直线 l 1 ,l 2 的斜率分别为二次方程 x 2 4x 1 0 的两个根，那么 l 1 与 l 2 的夹角为（ A ． B ． 4 C ． D ． 3 6 8 11．已知 M {( x, y) | y 9 x 2 , y 0}， N {( x, y) | y x b} ，若 M I N b A ．[ 3 2,3 2] B ． ( 3 2,3 2) （ ） （ ） ） ，则 （ ） C ． ( 3,3 2] D ． [ 3,3 2] 排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式： n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒： 规定0!=1 1 6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？最新直线与方程单元测试题
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