专题一 函数、不等式及导数的应用
真题体验·引领卷
一、填空题
1．(2015·江苏高考)不等式2x 2
－x ＜4的解集为________．
2．(2011·江苏高考)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
3．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2
)为偶函数，则实数a ＝________．
4．(2015·全国卷Ⅱ改编)设函数f (x )＝?
????1＋log 2（2－x ），x <1，
2x －1，x ≥1，则
f (－2)＋f (lo
g 212)＝______．
5．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2
＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．
6．(2015·湖南高考)已知函数f (x )＝?
????x 3，x ≤a ，
x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有
两个零点，则a 的取值范围是________．
7．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间
[－1，1]上，f (x )＝????
?ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若
f ? ????12＝f ? ??
??
32，则a ＋3b 的值为
________．
8．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2
－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．
9．(2012·江苏高考)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b
a
的取值范围是________．
10．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝?
????0，0＜x ≤1，
|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )
＋g (x )|＝1实根的个数为________． 二、解答题
11.(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为
l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得
点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝
a
x 2＋b
(其中a ，b 为常数)模型．
(1)求a ，b 的值；
(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．
12.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2
－mx .
(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．
13．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；
(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范
围恰好是(－∞，－3)∪? ????1，32∪? ??
??32，＋∞，求c 的值．
专题一 函数、不等式及导数的应用
经典模拟·演练卷
一、填空题
1．(2015·宿迁调研模拟)函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________．
2．(2015·苏北四市调研)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则a 的取值范围为________．
3．(2015·西安模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x
－1，则f ?
??
??2 0152＝________．
4．(2015·安徽“江南十校”联考)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若
x ，y 均为正数，则3x ＋2
y
的最小值是________．
5．(2015·苏州调研)已知f (x )＝?
????x 2
＋x （x ≥0），
－x 2＋x （x ＜0），则不等式
f (x 2－x ＋1)＜12的解集是
________．
6．(2015·镇江调研)函数f (x )＝x 3
－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是________．
7．(2015·保定联考)设关于x ，y 的不等式组????
?2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0
表示的平面区域内存在点
P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．
8．(2015·西安八校联考)已知函数f (x )＝?????－x 2
＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若关于x 的不等式f (x )≥m 2
－
3
4
m 有解，则实数m 的取值范围是________． 9．(2015·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝1
x ＋2
－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．
10．(2015·苏、锡、常、镇模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 二、解答题
11．(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x 的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，
并求出x 为何值时，y 取得最大值？
12.(2015·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝(x 2
－3x ＋3)·e x
的定义域为[－2，t ](t ＞－2)．
(1)试确定t 的取值范围，使得函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数； (2)当1＜t ＜4时，求满足f ′（x 0）e x
＝2
3
(t －1)2
的x 0的个数．
13．(2015·南通调研)已知a 为实常数，y ＝f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函
数，且当x ＜0时，f (x )＝2x －a 3
x
2＋1.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．
专题一 函数、不等式及导数的应用
专题过关·提升卷
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．(2015·陕西高考)设曲线y ＝e x
在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x
(x >0)上点P 处的切线垂
直，则P 的坐标为________．
2．(2015·苏北四市模拟)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－
t )，且x ∈?
???
??
0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ? ??
??－32
的值等于________．
3．(2015·南师附中模拟)已知函数f (x )＝12
mx 2
＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m
的取值范围是________．
4．若函数y ＝f (x )(x ∈A )满足：?x 0∈A ，使x 0＝f [f (x 0)]成立，则称“x 0是函数y ＝f (x )
的稳定点”．若x 0是函数f (x )＝?
????2x （0 1－log 2x （1 ________． 5．(2015·湖南高考改编)若变量x ，y 满足约束条件???? ?x ＋y ≥－1， 2x －y ≤1，y ≤1， 则z ＝3x －y 的最小值为 ________． 6．对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．若二次函数f (x )＝x 2 ＋2ax ＋a 2 没有不动点，则实数a 的取值范围是________． 7.已知函数y ＝log a (x ＋b )(a ，b 为常数，其中a >1)的图象如图所示，则函数g (x )＝bx 2 －2x ，x ∈[0，3]的最大值为________． 8．(2015·天津高考改编)已知定义在R 上的函数f (x )＝2 |x －m | －1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________． 9．设函数f (x )＝x 22＋m x ，若函数f (x )的极值点x 0满足x 0f (x 0)－x 30>m 2 ，则实数m 的取值范围 是________． 10．设函数g (x )＝|x ＋2|＋1，φ(x )＝kx ，若函数f (x )＝g (x )－φ(x )仅有两个零点，则实数k 的取值范围是________． 11．已知关于x 的不等式 ax －1 x －b >0的解集为(－1，1)，且函数φ(x )＝a ＋log 12 (bx )，则不等式φ(x )>1的解集为________． 12．(2015·济南模拟)已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16 n 取得最小值．若曲线y ＝x α 过点P ? ?? ?? m ， 54n ，则α的值为________． 13．已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式 g （x ） e x >1的解集为________． 14．(2014·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2 － ? ??2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2015·苏北四市模拟)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 16．(本小题满分14分)(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹 落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 17．(本小题满分14分)(2015·北京高考)设函数f (x )＝x 2 2－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值； (2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 18.(本小题满分16分)某世界园艺博览会的主题是“让生活走进自然”，为了宣传“会议主题”和“城市时尚”，博览会指挥中心拟在如图所示的空地“扇形ABCD ”上竖立一块长方形液晶广告屏幕MNEF .已知扇形ABCD 所在圆的半径R ＝30米，圆心角θ＝π 2 ，电源在点 K 处，点K 到半径AD ，AB 的距离分别为9米、3米．若MN ∶NE ＝16∶9，线段MN 必过点K ， 端点M ，N 分别在半径AD ，AB 上．设AN ＝x 米，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S 平方米． (1)求S 关于x 的函数关系式及其定义域； (2)若液晶屏每平米造价为1 500元，当x 为何值时，液晶广告屏幕MNEF 的造价最低？ 19．(本小题满分16分)(2015·广东高考)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2 )e x －a . (1)求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点； (3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤3 a －2e －1. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2 －(a ＋2)x ＋a ln x ，常数a >0. (1)当x ＝1时，函数f (x )取得极小值－2，求函数f (x )的极大值； (2)设定义在D 上的函数y ＝h (x )在点P (x 0，h (x 0))处的切线方程为l ：y ＝g (x )，当x ≠x 0时，若 h （x ）－g （x ） x －x 0 >0在D 内恒成立，则称点P 为h (x )的“类优点”．若点(1，f (1)) 是函数f (x )的“类优点”，求实数a 的取值范围． 参考答案 专题一 函数、不等式及导数的应用 真题体验·引领卷 1．{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2 －x ＜4＝22 ，∴x 2 －x ＜2，即x 2 －x －2＜0，解得－1 2.? ????－12，＋∞ [函数f (x )的定义域为? ????－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在? ????－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为? ?? ??－12，＋∞.] 3．1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2 )为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2 )＋ln(－x ＋ a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，则ln a ＝0，a ＝1.] 4．9 [∵f (－2)＝1＋log 24＝1＋2＝3，f (log 212)＝2log212－1 ＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.] 5.? ? ? ?? － 22，0 [作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有? ??? ?f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0， 即?????m 2 ＋m 2 －1＜0，（m ＋1）2 ＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.] 6．(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a ≤1时，函数f (x )＝? ????x 3 （x ≤a ）， x 2 （x >a ）在R 上递增，若a >1 或a <0时，由图象知y ＝f (x )－b 存在b 使之有两个零点，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．] 7．－10 [因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)?－a ＋1＝ b ＋2 2，又f ? ?? ? ?12＝f ? ????32＝f ? ?? ??－12?1 2b ＋2 32 ＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－ 12＝－10.] 8．(－5，0)∪(5，＋∞) [由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2 －4x ， 因此f (x )＝? ????x 2 －4x ，x ≥0， －x 2－4x ，x <0， 不等式f (x )>x 等价于??? ? ?x ≥0，x 2－4x >x 或? ??? ?x <0，－x 2 －4x >x ， 解得：x >5或－5 9．[e ，7] [由题意知?????a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ， c ln b －a ≥c ln c ?b ≥c e a c . 作出可行域(如图所示)． 由? ????a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝7 2c . 此时? ????b a max ＝7. 由?????a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ， 得a ＝4c e ＋1， b ＝4 c e e ＋1.此时? ????b a min ＝4c e e ＋14c e ＋1 ＝e. 所以b a ∈[e ，7]．] 10．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝ ?????－ln x ，0＜x ≤1，－x 2 ＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2， 当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝ 1－2x 2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示． 由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.] 11．解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝ a x 2 ＋b ， 得?????a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5， 解得? ????a ＝1 000，b ＝0. (2)①由(1)知，y ＝1 000 x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为? ?? ??t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点，y ′＝－ 2 000 x 3 ， 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000 t 3(x －t )， 由此得A ? ????3t 2，0，B ? ????0，3 000t 2. 故f (t )＝ ? ????3t 22＋? ?? ??3 000t 22 ＝3 2t 2 ＋4×10 6 t 4，t ∈[5，20]． ②设g (t )＝t 2 ＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×10 6 t 5 . 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2. 当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3. 答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米． 12．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0. 若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0. 所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值． 所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是 ?????f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即? ????e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1 ＋2－e<0，故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m >e －1； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1. 综上，m 的取值范围是[－1，1]． 13．解 (1)f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2 ≥0， 所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，x ∈? ????－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈? ?? ??－2a 3，0时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在? ????－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在? ????－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪? ????－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈? ????0，－2a 3时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，? ????－2a 3，＋∞上单调递增，在? ????0，－2a 3上单调递减． (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ， f ? ????－2a 3＝427 a 3＋ b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ? ?? ??－2a 3＝b ? ?? ??427a 3＋b ＜0， 从而?????a ＞0，－427a 3＜b ＜0或? ????a ＜0，0＜b ＜－427a 3. 又b ＝c －a ，所以当a ＞0时，427a 3－a ＋c ＞0或当a ＜0时，427a 3 －a ＋c ＜0. 设g (a )＝ 427 a 3 －a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪? ????1，32∪? ?? ??32，＋∞， 则在(－∞，－3)上g (a )＜0，且在? ????1，32∪? ????32，＋∞上g (a )＞0均恒成立． 从而g (－3)＝c －1≤0，且g ? ?? ??32＝c －1≥0，因此c ＝1. 此时，f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋1－a ＝(x ＋1)[x 2 ＋(a －1)x ＋1－a ]， 因函数有三个零点，则x 2 ＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2 －4(1－a )＝a 2 ＋2a －3＞0， 且(－1)2 －(a －1)＋1－a ≠0， 解得a ∈(－∞，－3)∪? ????1，32∪? ?? ??32，＋∞.综上c ＝1. 经典模拟·演练卷 1．(0，1] [要使函数f (x )＝ln x ＋1－x 有意义，则? ??? ?x ＞0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1，即函数定 义域是(0，1]．] 2．[1，＋∞) [根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y ＝log 2(ax －1)在 (1，2)上单调递增，所以u ＝ax －1在(1，2)单调递增，且恒大于0，即? ????a ＞0， a －1≥0?a ≥1.] 3．－3＋1 [∵f (x )是在R 上的周期为2的奇函数， ∴f ? ????2 0152＝f ? ????1 007＋12＝f ? ????2×503＋32＝f ? ????32＝f ? ????－12＝－f ? ?? ??12. 又当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x －1， ∴f ? ????2 0152＝－f ? ?? ??12＝－(312－1)＝－3＋1.] 4．8 [∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝3.∵x >0，y >0， ∴3x ＋2y ＝? ????3x ＋2y ·1 3 (2x ＋3y ) ＝13? ? ???6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8， 当且仅当3y ＝2x 时取等号． ∴当x ＝34且y ＝12时，3x ＋2 y 取得最小值8.] 5．(－1，2) [依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2 －x ＋1)＜12等价于x 2 －x ＋1＜3，即x 2 －x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2.因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2)．] 6．(0，1) [f ′(x )＝3x 2 －3a ＝3(x 2 －a )． 当a ≤0时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，1)内单调递增，无最小值． 当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )． 当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减， 所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)内有最小值．] 7.? ?? ??23，＋∞ [作不等式组表示的平面区域(如图)，依题意，直线x －2y ＝2与平面区域有公共点． 如图，直线x ＝m 与y ＝－m 交于(m ，－m )，把(m ，－m )代入x －2y ＝2得m ＝2 3 ，结合图形得 m >23 .] 8.??????－14，1 [当x ≤1时，f (x )＝－x 2 ＋x ＝－? ????x －122 ＋14≤14 ，当x >1时，f (x )＝log 1 3x <0， ∴f (x )的最大值为1 4 ， 因此原不等式为14≥m 2 －34m ，解之得－14≤m ≤1.] 9．(1，＋∞) [函数f (x )有三个零点等价于方程1 x ＋2 ＝m |x |有且仅有三个实根． ∵ 1x ＋2＝m |x |?1 m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0＜1 m ＜1，故m ＞1.] 10．4 [若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x ＞0时，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3 －3x ＋1≥0可化为 a ≥3x 2－1 x 3. 令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ） x 4 ， 所以g (x )在区间? ????0，12上单调递增， 在区间??????12，1上单调递减． 因此g (x )max ＝g ? ?? ??12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0时，即x ∈[－1，0)时，同理a ≤3x 2－1 x 3. g (x )在区间[－1，0)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (－1)＝4， 从而a ≤4，综上可知a ＝4.] 11．解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， 所以θ＝10＋2x 10＋x . (2)花坛的面积为12θ(102－x 2 )＝(5＋x )(10－x ) ＝－x 2 ＋5x ＋50(0＜x ＜10)． 装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ， 所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2 ＋5x ＋50 170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ） ， 令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110? ????t ＋324t ≤3 10， 当且仅当t ＝18时取等号， 此时x ＝1，θ＝12 11 . 答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 12．解 (1)∵f ′(x )＝(x 2 －3x ＋3)·e x ＋(2x －3)·e x ＝x ·(x －1)e x ， 由f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜0；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1. ∴f (x )在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 若使f (x )在[－2，t ]上为单调函数，则需－2＜t ≤0， 即t 的取值范围为(－2，0]． (2)∵ f ′（x 0） e x ＝x 2 0－x 0， f ′（x 0）e x 0 ＝2 3(t －1)2，即x 20－x 0＝23(t －1)2，令g (x )＝x 2 －x －23 (t －1)2，则问题转化为当1＜t ＜4时，求方程g (x )＝x 2－x －23(t －1)2 ＝0在[－2，t ]上的 解的个数． ∵g (－2)＝6－23(t －1)2 ＝－23 (t ＋2)(t －4)， g (t )＝t (t －1)－23(t －1)2＝13 (t ＋2)(t －1)， ∴当1＜t ＜4时，g (－2)＞0且g (t )＞0， ∵g (0)＝－23(t －1)2 ＜0， ∴g (x )＝0在[－2，t ]上有两解． 即满足 f ′（x 0）e x ＝2 3 (t －1)2 的x 0的个数为2. 13．解 (1)由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可． f ′(x )＝2＋2a 3 x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a . ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，0)上单调递增． ②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞， －a )上单调递增． x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)上单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)； 当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0， a )． (2)因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时， f (x )＝－f (－x )＝－? ????－2x －a 3 x 2＋1 ＝2x ＋a 3 x 2－1. ①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立， 即2x ＋a 3 x 2≥a 对一切x ＞0成立． 而当x ＝－a 2＞0时，有－a ＋4a ≥a ， 所以a ≥0，则与a ＜0矛盾． 所以a ＜0不成立． ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1＝a －1对一切x ＞0成立， 故a ＝0满足题设要求． ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (a )＝3a －1＞a －1， 所以a ＞0时也满足题设要求． 综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)． 专题过关·提升卷 1．(1，1) [∵y ′|x ＝0＝e x |x ＝0＝1. 设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝ ???? ????1x ′x ＝x 0 ＝－1x 20. 依题意，得1·? ?? ??－1x 20＝－1，且x 0>0，则x 0＝1.因此切点P 为(1，1)．] 2．－1 4 [根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即 f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函 数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0, f ? ????－32＝f ? ????12＝－14. 所以f (3)＋f ? ????－32的值是0＋? ?? ??－14＝－14.] 3．[1，＋∞) [f ′(x )＝mx ＋1 x －2≥0对一切x ＞0恒成立， ∴m ≥－? ????1x 2 ＋2 x . 令g (x )＝－? ????1x 2 ＋2 x ，则当1x ＝1， 即x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.] 4.1 2或 2 [(1)当x 0∈(0，1)时，1<2x 0<2. ∴f [f (x 0)]＝f (2x 0)＝1－log 22x 0＝x 0，则x 0＝1 2. (2)当x 0∈(1，2)时，0<1－log 2x 0<1， ∴f [f (x 0)]＝f (1－log 2x 0)＝21－log 2x 0＝x 0，则x 0＝ 2. 因此x 0的取值为1 2 或 2.] 5．－7 [不等式组???? ?x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1表示的平面区域如图所示，平移直线y ＝3x －z ，过点 M (－2，1)时，直线的截距最大，此时z 有最小值、∴z min ＝3×(－2)－1＝－7.] 6.? ?? ??14，＋∞ [若使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a 2无不动点，则方程x 2＋2ax ＋a 2 ＝x 无实数根，即方程x 2＋(2a －1)x ＋a 2＝0无实数根，所以Δ＝(2a －1)2－4a 2 ＜0，解得a ＞14.] 7.1 b [∵将y ＝log a x 的图象向左平移b 个单位，得到函数 y ＝log a (x ＋b )的图象， ∴0 在R 上是减函数． 又t ＝x 2 －2x ＝(x －1)2 －1，x ∈[0，3]， ∴－1≤t ≤3，因此y ＝b t 的最大值为1b .] 8．b ＞a ＞c [因为函数f (x )＝2 |x －m | －1为偶函数可知，m ＝0， 所以f (x )＝2|x | －1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25>|－log 0.53|>0，∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)．] 9.? ?? ??0，12 [由f (x )＝x 2 2＋m x ，得f ′(x )＝x －m x 2， 又x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，解之得x 0＝3 m ， 因此x 0f (x 0)－x 30 ＝x 30 2＋m －x 3 0＝m 2 ， 所以m 2>m 2，解之得0 2 .] 10.? ????－1，－12 [在同一坐标系内作函数y ＝g (x )与y ＝φ(x )的图象，依题意知，两个函 数的图象有两个交点． 则直线φ(x )＝kx 应介于两直线y ＝－x 与y ＝－x 2之间，应有－1 2 .] 11.?????? x ? ??0 ∴a <0，且1 a ＝－1，b ＝1，则φ(x )＝－1＋log 12 x ， 由φ(x )>1，得log 12x >2，解之得0 4.] 12.1 2 [∵m ＋n ＝1，且m >0，n >0， ∴1m ＋16n ＝(m ＋n )? ?? ??1m ＋16n ＝17＋n m ＋16m n ≥17＋2 n m ·16m n ＝25. 当且仅当n m ＝16m n ，即n ＝4m 时，等号成立． 故1m ＋16n 取得最小值时，应有n ＝4m ，从而m ＝15，n ＝45， 又y ＝x α 过点P ? ? ? ??m ，54n ， ∴ 54n ＝m α，即5m ＝m α，则51－α＝5，故α＝12 .] 13．(－∞，0) [令F (x )＝ g （x ） e x －1，则F ′(x )＝ g ′（x ）e x －e x g （x ） （e x ） 2 ＝[g ′(x )－ g (x )]·1 e x . ∵g ′(x )－g (x )<0， ∴F ′(x )<0，则函数F (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． 又函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (0)＝g (4)＝1，从而F (0)＝g （0） e －1＝0. 故F (x )>0? ?? ??即 g （x ）e x >1的解集为(－∞，0)．] 14.? ?? ??0，12 [作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝ f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12 ，观察图象可得0＜a ＜12 .] 15．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈? ?? ??1a ，＋∞时， f ′(x )<0. 所以f (x )在? ?? ??0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f (x )在? ?? ??0，1a 上单调递增， 在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1 a 处取得最 大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln ? ?? ??1a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1， 则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当01时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0，1)． 16．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2 ＝0， 由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k 2＝ 20k ＋ 1k ≤20 2 ＝10， 当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标?存在k >0， 使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立?关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2 ＋64＝0有正根?判别式Δ＝ (－20a )2－4a 2(a 2 ＋64)≥0?a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标． 17．(1)解 ∵f (x )＝x 2 2 －k ln x ，定义域为(0，＋∞)，且k >0. ∴f ′(x )＝x －k x ＝x 2－k x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k (负值舍去)． f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表： 所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)， f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k （1－ln k ） 2 . (2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k （1－ln k ） 2 . 因为f (x )存在零点，所以 k （1－ln k ） 2 ≤0，从而k ≥e ， 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点． 当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0， 所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。 例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 导数——泰勒不等式专题 一、泰勒公式： 泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。如果一个函数足够平滑，即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数，且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数，则对],[b a 上任意一点x ，有 ).()(! )()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数. 我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式： )(!) 0(!2) 0( !1)0(!0)0()(2 2x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式： ++++=32!31 !21 !11 1x x x e x ① +-+-=+4324 1 3121 )1ln(x x x x x ② +-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③ -+-=4 2!41!211cos x x x ④ ++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式： x e x +≥1①； 1ln -≤x x ②； 212 x x e x ++≥③对0≥x 恒成立； x x x x ≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立； x x x x ≤≤-sin 63 ⑤对0≥x 恒成立； 2421cos 214 22x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 利用导数处理与不等式有关的问题 关键词：导数，不等式，单调性，最值。 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 （一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式： 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减） 区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。 例1：x>0时,求证；x 2x 2 -－ln(1+x)＜0 证明：设f(x)= x 2x 2 -－ln(1+x) (x>0), 则f'(x)= 2x 1x - + ∵x>0,∴f ' (x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x>0时,f(x) 1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立． 1.已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116 . 2．(优质试题·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )． (1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是????12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围． 3．(优质试题·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1. (1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：在(1)的条件下，当x >1时，12x 2＋ax －a >x ln x ＋12 成立． 4.已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a <0时，讨论f (x )的单调性； (2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围． 5．(优质试题·福州质检)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)当a >0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1<(n ＋1)n ＋1. 答案精析 1．(1)解 f ′(x )＝2x －a －a x ，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ， 令g (x )＝f (x )－????－x 33＋5x 22 －4x ＋116 ＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116 ， 由g ′(x )＝x 2 －3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝(x －1)3x (x >0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数， 在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116 成立． 2．解 (1)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)， 由h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x (x >0)， 若h (x )的单调减区间是????12，1， 由h ′(1)＝h ′????12＝0，解得a ＝3， 而当a ＝3时，h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x (x >0)． 由h ′(x )<0，解得x ∈????12，1， 即h (x )的单调减区间是????12，1， ∴a ＝3. (2)由题意知x 2－ax ≥ln x (x >0)， ∴a ≤x －ln x x (x >0)． 令φ(x )＝x －ln x x (x >0)， 高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值 选修2-2第一章单元测试（一） 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3 6. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断: ①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数； ②x=—1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数； ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中，所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a 专题09导数与不等式的解 题技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 专题导数与不等式的解题技巧 一．知识点 基本初等函数的导数公式 ()常用函数的导数 ①()′＝(为常数); ②()′＝； ③()′＝；④′＝； ⑤()′＝． ()初等函数的导数公式 ①()′＝；②( )′＝； ③( )′＝；④()′＝； ⑤()′＝；⑥( )′＝； ⑦()′＝． ．导数的运算法则 ()[()±()]′＝； ()[()·()]′＝； ()′＝． ．复合函数的导数 ()对于两个函数＝()和＝()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数(函数＝()和＝())的复合函数为＝(())． ()复合函数＝(())的导数和函数＝()，＝()的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 二．题型分析 （一）函数单调性与不等式 例．【一轮复习】已知函数()＝＋，∈(－，)，则满足(－)＋(－)>的的取值范围是( )．(，) ．(，) ．(，) ．(，) 【答案】 【分析】在区间（﹣，）上，由（﹣）＝﹣（），且′（）＞可知函数（）是奇函数且单调递增，由此可求出的取值范围． 【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题． 练习．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）．． ．． 【答案】 【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【解读】构造函数，则，∵，∴ ，即在上为增函数，则，即 ，即，即，又，即， 即，故错误的是．故选：． 【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得 . （二）函数最值与不等式 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 导数与不等式专题一 1. （优质试题北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数。 ⑴求的单调区间； ⑵若对于任意的，都有 ≤，求的取值范围. 解：⑴，令， 当时，与的情况如下： 所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是， 当时，与的情况如下： 所以，的单调递减区间是和：单调递增区间是。 ⑵当时，因为11 (1)k k f k e e ++=>，所以不会有 当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是， 所以等价于,解 综上：故当时，的取值范围是[，0]. 2 ()()x k f x x k e =-()f x (0,)x ∈+∞()f x 1e k 221()()x k f x x k e k '=-()0,f x x k '==±0k >()f x ()f x '()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x ()f x '()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -0k >1(0,),().x f x e ?∈+∞≤0k <()f x (0,)+∞2 4()k f k e -=1(0,),()x f x e ?∈+∞≤24()k f k e -= 1 e ≤10.2k -≤<1(0,),()x f x e ?∈+∞≤ k 1 2 - 2. （优质试题天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数，其中. ⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式； ⑵讨论函数的单调性； ⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 解：⑴，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． ⑵． 当时，显然(),这时在，上内是增函数． 当时，令，解得 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大 值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴在，内是增函数，在，内是减函数． ⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的 ，()()0≠++= x b x a x x f R b a ∈ ,()x f y =()( )2,2f P 13+=x y ()x f ()x f ??????∈2,21a ()10≤x f ?? ? ???1,41b 2()1a f x x '=- (2)3f '=8a =-(2,(2))P f 31y x =+27b -+=9b =()f x 8 ()9f x x x =-+2 ()1a f x x '=- 0a ≤()0f x '>0x ≠()f x (,0)-∞(0,)+∞0a >()0f x '=x =x ()f x '()f x x (,-∞()+∞()f x '()f x ()f x (,-∞)+∞((0,)+∞()f x 1[,1]41()4f (1)f 1 [,2]2 a ∈ 利用导数处理与不等式有关的问题 关键词：导数，不等式，单调性，最值。 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 （一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式： 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单 调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。 例1：x>0时,求证；x 2x 2 -－ln(1+x)＜0 证明：设f(x)= x 2x 2 -－ln(1+x) (x>0), 则f'(x)= 2x 1x - + ∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x>0时,f(x) 一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1 导数中“不等式”相关的几个问题 f (x )＝ln(1＋ax ) －2x x ＋2 . 专题二：不等式两边“变量”相同且不含参 1. （2016年山东高考）已知.当时，证明对于任意的成立. 2. （2016年全国II 高考）讨论函数的单调性，并证明当时，； 专题三：不等式两边不同“变量”的任意存在组合型 1. 已知函数f (x )＝x －1 x ＋1 ，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使 f (x 1)≥ g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________ 2. 已知函数.设当时，若()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈1a =()3 ()'2 f x f x +＞[]1,2x ∈x x 2f (x)x 2 -= +e 0x >(2)20x x e x -++>1()ln 1a f x x ax x -=-+ -()a R ∈2()2 4.g x x bx =-+1 4 a = 对任意，存在，使，求实数取值范围. 专题四：不等式两边不同“变量”的对等构造、齐次消元型 类型1：对称变量，构造法求解 1. 已知函数f(x)= 2 1x 2 -ax+(a-1)ln x ，1a >。 （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有 1212 ()() 1f x f x x x ->--。 2. 已知函数 （I ）讨论函数的单调性； （II ）设.如果对任意，，求的 取值范围。 3. 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3 零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ） b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围． 4. 当()1,,n m n m Z >>∈，时，证明：( )()m n n m mn nm > 1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b 1ln )1()(2 +++=ax x a x f )(x f 1- 导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac>0B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0 [答案] D [解析]∵a>0，f(x)为增函数， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立， ∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0. 2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x， 令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋∞) B．(－∞，2] C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞) [答案] B [解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]． 4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x) 的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( ) [答案] C [解析] 当0 2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等 式第2讲不等式问题练习 一、填空题 1.(xx·苏州调研)已知f (x )＝???x 2 ＋x （x ≥0），－x 2 ＋x （x ＜0）， 则不等式f (x 2 －x ＋1)＜12的解集是________. 解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2 －x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2) 2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4 ＝1上，则mn 的最大值是________. 解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n 4 ＝1， 所以m 3·n 4≤2 342m n ?? + ? ? ? ?? ? ???? 当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤? ????122＝1 4，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 3 3.(xx·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝???x 2 ＋2x ，x ≥0， x 2－2x ，x ＜0， 若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则 实数a 的取值范围是________. 解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)? ???a ≥0， （－a ）2－2×（－a ）＋a 2 ＋2a ≤2×3或 ?? ?a ＜0， （－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即???a ≥0，a 2＋2a －3≤0或???a ＜0，a 2－2a －3≤0， 解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 答案 [－1，1] 4.已知函数f (x )＝???log 3 x ，x ＞0， ? ?? ??13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________. 解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由? ?? ??13x ≥1可得x ≤0，∴不等 式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案 (－∞，0]∪[3，＋∞) 5.(xx·南京、盐城模拟)若x ，y 满足不等式组???x ＋2y －2≥0， x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0， 则 x 2＋y 2的最小值是 ________. 解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示， x 2＋y 2表示原点(0，0)到此区域内的点P (x ，y )的距离. 显然该距离的最小值为原点到直线x ＋2y －2＝0的距离. 故最小值为|0＋0－2|12＋22＝25 5. 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'． 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.高中数学导数题型总结
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