专题 09 导数与不等式的解题技巧
．知识点 基本初等函数的导数公式
（1）常用函数的导数
①（C ）′＝ _ （C 为常数 ）; ②（x ）′＝ ； ③
(x 2
) ′＝ __________ ___； ④ 1x ′＝ ____ ；
⑤ ( x) ′＝ _______
x
（2）初等函数的导数公式
① (x n
) ′＝ __________ ___； ②(sin x) ′＝ ______________________ ③ (cosx ) ′ ____ ； ④（e x ） ′＝ ；
⑤(a x ) ′＝ __________ _____ ； ⑥(ln x) ′＝ _____ ；
⑦ （log a x ） ′＝ ．
【详解】如图所示，直线 l 与 y ＝lnx 相切且与 y ＝x ＋1 平行时，切点 P 到直线 y ＝x ＋1 的距离 |PQ|即为所求
故选 C.
三）构造函数证明不等式 例 3．【 山东省烟台市 2019 届高三数学试卷 】已知定义在（﹣ ∞，0）上的函
数 f （ x ），其导函数记为 f'（ x ），
若 成立，则下列正确的是（ ）
A ． f （﹣ e ）﹣ e 2f （﹣ 1）＞0 C ． e 2f （﹣ e ）﹣ f （﹣ 1）＞0
答案】 A
最小值． （lnx ） ＝′ ，令 ＝ 1，得 x ＝ 1.故 P （1,0）．由点到直线的距离公式得
|PQ|min=
【分析】由题干知：，x<﹣1时，2f（x ）﹣xf ′（x ）< 0．﹣1< x< 0时，2f（x）﹣xf ′
（x）> 0．构造函数g（x）= ，对函数求导可得到x<﹣1时，g′（x）< 0；﹣1< x <0，g′（x）> 0，利用函数的单调性得到结果.
练习1 ．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式
，，则的大小关系是
D．
答案】D
分析】
恒成立，
A．B．
若
C．
构造函数，根据函数比较三
个数的大小.
的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于
故函数在上递增.由于.所以
，故当
，根据单
点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属 于中档题 .
练习 2. 设函数 ， 的导函数为 ，且满足 ，则（ ）
A ．
B ．
答案】 B
故选 B.
调性有
.故 ，即 ，故选 D.
C ．
D ． 不能确定 与 的大小
解析】 令 g x ） = ，求出 g （ x ）的导数，得到函数 g （ x ）的单调性，
详解】令 g x ）=
，
则 g ′（ x ） =
∵xf ′（x ）＜3f （x ），即 xf ′（x ）﹣3f x ）＜0，
∴g ′（x ）＜0 在（ 0，+∞）恒成立，故 g （x ）在（ 0，+∞）递减，
∴ g （ ） ＞g （ ），即
，则有
练习 3. 定义在 [0 ， +∞）上的函数
满足： ．其中 表示 的导函
数，若对任意正数 都有 ，则实数 的取值范围是（
A ．（0，4]
B ．[2 ，4]
C ．（﹣∞， 0）∪ [4 ， +∞）
D ．[4 ， +∞）
答案】 C
解析】 由 可得 ，令
，则 ，利用导数可得函数 在区间 上单调递减，从而由原不等式可得
，解不等式可得所求范围．
【详解】∵ ，
时两等号同时成立，
∴“对任意正数 都有
可得 ，
令 ，则
则
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
∴， ∴函数 在区间 上单调递减，
故由 可得 ， 整理得 ，解得 或 ． ∴实数 的取值范围是 ． 故选 C ．
【点睛】本题难度较大，涉及知识点较多．解题的关键有两个，一是求出 的最小值，在此过
，当且仅当 且 ，即
”等价于“
程中需要注意基本不等式中等号成立的条件，特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二 是结合条件中含有导函数的等式构造 函数，并通过求导得到函数的单调性，最后再根据单调性将函数不等 式转化为一般不等式求解．主要考查构造、转化等方法在解题中的应用．
四）不等式中存在任意问题
2019 届高三第二次（ 12 月） 联考数学 】已知函数
，对于 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是
最值即可求得 . 详解】对于 ， ，使得 等价于
所以当 时， ， 令 ，则 ， 若 时， ， 所以只需 ，解得
所以只需 ，解得 当 时， 综上 ，故选 D.
例 4．【 安徽省皖南八校 A ． 【答
案】 B ． C ． D ．
解析】
， ，使得 ，可得 ，利用 ， 的单调性、
因为
是增函数，由复合函数增减性可知
在 上是增函数，
若时
，，
成立.
练习1. 已知函数，函数（），若对任意的，总存在
使得，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可【解析】由题意，可得在的值域包含于函数求解.
详解】由题意，函数的导数为，
当时，，则函数为单调递增；
当时，，则函数为单调递减，
即当时，函数取得极小值，且为最小值，
又由，可得函数在的值域，
由函数在递增，可得的值域，
由对于任意的，总存在，使得，
可得，即为，解得，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答
问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
练习2．函数，，若对，，，则实数的
最小值是________ ．
【答案】14
【解析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数 f （x），g（x）的最值，将问题转为求f（x）min≥g
（x）min 即可．
【详解】，在递减，在递增，所以
，在单调递增，，由已知对
对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是 ____________________________
【解析】存在 ，使得对任意的 ， 恒成立，即 ，由 在
上递增，可得 ，利用导数可判断 在 上的单调性，可得 ，由 ，可求 得 的范围；
当 时， ， ， 为增函数，
所以 ；
若存在 ，使得对任意的 ， 恒成立， 即，
，
当 时 ， 为减函数， ，
∴ ， ，
故答案为：
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题； 或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另
一个函数。
（五）数列与不等式
练习 3．已知函数
且， ，使得
答案】
详解】 的定义域为 ，
，若存在
例 5．【湖北省武汉市 2019届 12 月高三数学试题 】等差数列 的前 项和 ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A ． ，
B ． ，
【答案】 A
【解析】 设f （x ）=x 3