离散数学试题(B卷答案1)
一、证明题(10分)
1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R
证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)
?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)
?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)
?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R
?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R
?T∧R(置换)?R
2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x)
证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))
??x?A(x)∨?xB(x)
???xA(x)∨?xB(x)
??xA(x)→?xB(x)
二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。
证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))
?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R)
?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R)
?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R)
?m0∨m1∨m2∨m7
?M3∨M4∨M5∨M6
三、推理证明题(10分)
1)C∨D, (C∨D)→?E,?E→(A∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E P
(2) ?E→(A∧?B) P
(3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2),I
(4) (A∧?B)→(R∨S) P
(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I
(6) C∨D P
(7) R∨S T(5),I
2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))
证明(1)?xP(x) P
(2)P(a) T(1),ES
(3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P
(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US
(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I
(6)Q(y) T(5),I
(7)R(a) T(5),I
(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I
(9)?x(P(x)∧R(x)) T(8),EG
(10)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I
四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。
解:A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。
先求|A∩B|。
∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。
于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。
五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (10分)。
证明:∵x∈ A-(B∪C)? x∈ A∧x?(B∪C)
? x∈ A∧(x?B∧x?C)
?(x∈ A∧x?B)∧(x∈ A∧x?C)
? x∈(A-B)∧x∈(A-C)
? x∈(A-B)∩(A-C)
∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={
解:R-1={
R*S={
S*R={
七、设R={,,
R2= R5={,,
R3={,,
R4={,,
t(R)={,, c>} 八、证明整数集I上的模m同余关系R={ 证明:1)?x∈I,因为(x-x)/m=0,所以x≡x(mod m),即xRx。 2)?x,y∈I,若xRy,则x≡y(mod m),即(x-y)/m=k∈I,所以(y - x)/m=-k ∈I,所以y≡x(mod m),即yRx。 3)?x,y,z∈I,若xRy,yRz,则(x-y)/m=u∈I,(y-z)/m=v∈I,于是(x-z)/m=(x-y+y-z)/m=u+v ∈I,因此xRz。 九、若f:A→B和g:B→C是双射,则(gf)-1=f-1g-1(10分)。 证明:因为f、g是双射,所以gf:A→C是双射,所以gf有逆函数(gf)-1:C→A。同理可推f-1g-1:C→A是双射。 因为 离散数学试题(B卷答案2) 一、证明题(10分) 1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T 证明: 左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ? ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ? ((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ?T (代入) 2) ?x?y(P(x)→Q(y))??(?xP(x)→?yQ(y)) 证明:?x?y(P(x)→Q(y))??x?y(?P(x)∨Q(y)) ??x(?P(x)∨?yQ(y)) ??x?P(x)∨?yQ(y) ???xP(x)∨?yQ(y) ?(?xP(x)→?yQ(y)) 二、求命题公式(?P→Q)→(P∨?Q) 的主析取范式和主合取范式(10分) 解:(?P→Q)→(P∨?Q)??(?P→Q)∨(P∨?Q) ??(P∨Q)∨(P∨?Q) ?(?P∧?Q)∨(P∨?Q) ?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q) ?(P∨?Q) ?M1 ?m0∨m2∨m3 三、推理证明题(10分) 1)(P→(Q→S))∧(?R∨P)∧Q?R→S 证明:(1)R (2)?R∨P (3)P (4)P→(Q→S) (5)Q→S (6)Q (7)S (8)R→S 2) ?x(A(x)→?yB(y)),?x(B(x)→?yC(y))?xA(x)→?yC(y)。 证明:(1)?x(A(x)→?yB(y)) P (2)A(a)→?yB(y) T(1),ES (3)?x(B(x)→?yC(y)) P (4)?x(B(x)→C(c)) T(3),ES (5)B(b)→C(c) T(4),US (6)A(a)→B(b) T(2),US (7)A(a)→C(c) T(5)(6),I (8)?xA(x)→C(c) T(7),UG (9)?xA(x)→?yC(y) T(8),EG 四、只要今天天气不好,就一定有考生不能提前进入考场,当且仅当所有考生提前进入考场,考试才能准时进行。所以,如果考试准时进行,那么天气就好(15分)。 解设P:今天天气好,Q:考试准时进行,A(e):e提前进入考场,个体域:考生 的集合,则命题可符号化为: ?P→?x?A(x),?xA(x)?Q Q→P。 (1)?P→?x?A(x) P (2)?P→??xA(x) T(1),E (3)?xA(x)→P T(2),E (4)?xA(x)?Q P (5)(?xA(x)→Q)∧(Q→?xA(x)) T(4),E (6)Q→?xA(x) T(5),I (7)Q→P T(6)(3),I 五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分) 证明:∵x∈A∩(B∪C)?x∈A∧x∈(B∪C)?x∈A∧(x∈B∨x∈C)?( x∈A ∧x∈B)∨(x∈A∧x∈C)?x∈(A∩B)∨x∈A∩C?x∈(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 六、A={ x1,x2,x3 },B={ y1,y2},R={ 七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>},求r(R)、s(R)和t(R),并作出它们及R的关系图(15分)。 解:r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>, <3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>} R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>} R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>} 八、设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠?且B≠?。关系R满足:< 证明对任意的 对任意的 R2。由R1对称得∈R1,由R2对称得 对任意的 综上可得,R是A×B上的等价关系。 九、设f:A→B,g:B→C,h:C→A,证明:如果h g f=I A,f h g=I B,g f h=I C,则f、 g、h均为双射,并求出f-1、g-1和h-1(10分)。 解因I A恒等函数,由h g f=I A可得f是单射,h是满射;因I B恒等函数,由f h g =I B可得g是单射,f是满射;因I C恒等函数,由g f h=I C可得h是单射,g是满射。从而f、g、h均为双射。 由h g f=I A,得f-1=h g;由f h g=I B,得g-1=f h;由g f h=I C,得h-1=g f。 离散数学试题(B卷答案3) 一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)?(写过程) 1)P→(P∨Q∨R) 2)?((Q→P)∨?P)∧(P∨R) 3)((?P∨Q)→R)→((P∧Q)∨R) 解:1)重言式;2)矛盾式;3)可满足式 二、(10分)求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∨Q∨R)的主析取范式,并求成真赋值。 解:(P∨(Q∧R))→(P∨Q∨R)??(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨R ??P∧(?Q∨?R)∨P∨Q∨R ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R)∨(P∨Q)∨R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∨(?P∧?R)∨R ?1∨((?P∧?R)∨R)?1 ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7 该式为重言式,全部赋值都是成真赋值。 三、(10分)证明 ((P∧Q∧A)→C)∧(A→(P∨Q∨C))?(A∧(P?Q))→C 证明:((P∧Q∧A)→C)∧(A→(P∨Q∨C))?(?(P∧Q∧A)∨C)∧(?A∨(P∨Q∨C)) ?((?P∨?Q∨?A)∨C)∧((?A∨P∨Q)∨C) ?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C ??((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))→C ?(?(?P∨?Q∨?A)∨?(?A∨P∨Q))→C ?((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))→C ?(A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))→C ?(A∧((P∨?Q)∧(?P∨Q)))→C ?(A∧((Q→P)∧(P→Q)))→C ?(A∧(P?Q))→C 四、(10分)个体域为{1,2},求?x?y(x+y=4)的真值。 解:?x?y(x+y=4)??x((x+1=4)∨(x+2=4)) ?((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+2=4)) ?(0∨0)∧(0∨1)?0∧1?0 五、(10分)对于任意集合A,B,试证明:P(A)∩P(B)=P(A∩B) 解:?x∈P(A)∩P(B),x∈P(A)且x∈P(B),有x?A且x?B,从而x?A∩B,x∈P(A∩ B),由于上述过程可逆,故P(A)∩P(B)=P(A∩B) 六、(10分)已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>},求r(R)、s(R)和t(R)。 解:r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>} t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2, 4>,<1,4>} 七、(10分)设函数f:R×R→R×R,R为实数集,f定义为:f( 1)证明f是双射。 解:1)? 2)? ∈R×R,由f( ,通过计算可得x=(p+q)/2;y=(p-q)/2;从而 的原象存在,f是满射。 八、(10分) 证明:1)?a,b∈G,a?b=a*u-1*b∈G,运算是封闭的。 2)?a,b,c∈G,(a?b)?c=(a*u-1*b)*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a?(b?c),运算是可结合的。 3)?a∈G,设E为?的单位元,则a?E=a*u-1*E=a,得E=u,存在单位元u。 4)?a∈G,a?x=a*u-1*x=E,x=u*a-1*u,则x?a=u*a-1*u*u-1*a=u=E,每个元素都有逆元。 所以 九、(10分)已知:D= 4>,<3,5>,<5,1>},求D的邻接距阵A和可达距阵P。 解:1)D的邻接距阵A和可达距阵P如下: 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 A= 0 0 0 1 1 P= 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。 解:最优二叉树为 权=(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2=148 离散数学试题(B卷答案4) 一、证明题(10分) 1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T 证明: 左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ? ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ? ((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ?T (代入) 2)?x(P(x)→Q(x))∧?xP(x)??x(P(x)∧Q(x)) 证明:?x(P(x)→Q(x))∧?xP(x)??x((P(x)→Q(x)∧P(x))??x((?P(x)∨Q(x)∧P(x))??x(P(x)∧Q(x))??xP(x)∧?xQ(x)??x(P(x)∧Q(x)) 二、求命题公式(?P→Q)→(P∨?Q) 的主析取范式和主合取范式(10分) 解:(?P→Q)→(P∨?Q)??(?P→Q)∨(P∨?Q)??(P∨Q)∨(P∨?Q)?(?P∧?Q)∨(P∨?Q) ?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q)?(P∨?Q)?M1?m0∨m2∨m3 三、推理证明题(10分) 1)(P→(Q→S))∧(?R∨P)∧Q?R→S 证明:(1)R 附加前提 (2)?R∨P P (3)P T(1)(2),I (4)P→(Q→S) P (5)Q→S T(3)(4),I (6)Q P (7)S T(5)(6),I (8)R→S CP 2) ?x(P(x)∨Q(x)),?x?P(x)??x Q(x) 证明:(1)?x?P(x) P (2)?P(c) T(1),US (3)?x(P(x)∨Q(x)) P (4)P(c)∨Q(c) T(3),US (5)Q(c) T(2)(4),I (6)?x Q(x) T(5),EG 四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点,证明其中必存在三个点,使得由它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过1/8(10分)。 证明:把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形,则至少有一个小正方形内有三个点,它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过小正方形的一半,即1/8。五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分) 证明:∵x∈A∩(B∪C)?x∈A∧x∈(B∪C)?x∈A∧(x∈B∨x∈C)?( x∈A ∧x∈B)∨(x∈A∧x∈C)?x∈(A∩B)∨x∈A∩C?x∈(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 六、π={A1,A2,…,A n}是集合A的一个划分,定义R={|a、b∈A i,I=1,2,…,n},则R是A上的等价关系(15分)。 证明:?a∈A必有i使得a∈A i,由定义知aRa,故R自反。 ?a,b∈A,若aRb ,则a,b∈A i,即b,a∈A i,所以bRa,故R对称。 ?a,b,c∈A,若aRb 且bRc,则a,b∈A i及b,c∈A j。因为i≠j时A i∩A j=Φ,故i=j,即a,b,c∈A i,所以aRc,故R传递。 总之R是A上的等价关系。 七、若f:A→B是双射,则f-1:B→A是双射(15分)。 证明:对任意的x∈A,因为f是从A到B的函数,故存在y∈B,使 对任意的x∈A,若存在y1,y2∈B,使得 因此f-1是双射。 八、设 证明假设A≠G且B≠G,则存在a∈A,a?B,且存在b∈B,b?A(否则对任意的a∈A,a∈B,从而A?B,即A∪B=B,得B=G,矛盾。) 对于元素a*b∈G,若a*b∈A,因A是子群,a-1∈A,从而a-1 * (a*b)=b∈A,所以矛盾,故a*b?A。同理可证a*b?B,综合有a*b?A∪B=G。 综上所述,假设不成立,得证A=G或B=G。 九、若无向图G是不连通的,证明G的补图G是连通的(10分)。 证明设无向图G是不连通的,其k个连通分支为 G、2G、…、k G。任取结点u 1 、v∈G,若u和v不在图G的同一个连通分支中,则[u,v]不是图G的边,因而[u,v]是图G的边;若u和v在图G的同一个连通分支中,不妨设其在连通分支 G(1 i ≤i≤k)中,在不同于 G的另一连通分支上取一结点w,则[u,w]和[w,v]都不是 i 图G的边,,因而[u,w]和[w,v]都是G的边。综上可知,不管那种情况,u和v都是可达的。由u和v的任意性可知,G是连通的。 离散数学试题(B卷答案5) 一、(10分)求命题公式?(P∧Q)??(?P→R)的主合取范式。 解:?(P∧Q)??(?P→R)?(?(P∧Q)→?(?P→R))∧(?(?P→R)→?(P∧Q))?((P∧Q)∨(?P∧?R))∧((P∨R)∨(?P∨?Q)) ?(P∧Q)∨(?P∧?R) ?(P∨?R)∧(Q∨?P)∧(Q∨?R) ?(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R) ?M1∧M3∧M4∧M5 二、(8分)叙述并证明苏格拉底三段论 解:所有人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。 符号化:F(x):x是一个人。G(x):x要死的。A:苏格拉底。 命题符号化为?x(F(x)→G(x)),F(a)?G(a) 证明: (1)?x(F(x)→G(x)) P (2)F(a)→G(a) T(1),US (3)F(a) P (4)G(a) T(2)(3),I 三、(8分)已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 证明:∵x∈ A∩(B∪C)? x∈ A∧x∈(B∪C) ? x∈ A∧(x∈B∨x∈C) ?( x∈ A∧x∈B)∨(x∈ A∧x∈C) ? x∈(A∩B)∨x∈ A∩C ? x∈(A∩B)∪(A∩C) ∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 四、(10分)已知R 和S 是非空集合A 上的等价关系,试证:1)R ∩S 是A 上的等价关系; 2)对a ∈A ,[a]R ∩S =[a]R ∩[a]S 。 解:?x ∈A ,因为R 和S 是自反关系,所以 ?x 、y ∈A ,若 ?x 、y 、z ∈A ,若 总之R ∩S 是等价关系。 2)因为x ∈[a]R ∩S ? 所以[a]R ∩S =[a]R ∩[a]S 。 五、(10分) 设A ={a ,b ,c ,d },R 是A 上的二元关系,且R ={,,, s (R )=R ∪R -1 ={,,, t (R )=i i R ∞=1 ={,,, d >,} 六、(15分) 设A 、B 、C 、D 是集合,f 是A 到B 的双射,g 是C 到D 的双射,令h :A ×C →B ×D 且?∈A ×C ,h()= 证明:1)先证h 是满射。 ?∈B ×D ,则b ∈B ,d ∈D ,因为f 是A 到B 的双射,g 是C 到D 的双射,所以存在a ∈A ,c ∈C ,使得f(a)=b ,f(c)=d ,亦即存在∈A ×C ,使得h()= 2)再证h是单射。 ? 综合1)和2),h是双射。 七、(12分)设 证明:??a,b∈H有b-1∈H,所以a*b-1∈H。 ??a∈H,则e=a*a-1∈H a-1=e*a-1∈H ∵a,b∈H及b-1∈H,∴a*b=a*(b-1)-1∈H ∵H?G且H≠Φ,∴*在H上满足结合律 ∴ 八、(10分)设G= 解:设G的每个结点的度数都大于等于6,则2|E|=∑d(v)≥6|V|,即|E|≥3|V|,与简单无向平面图的|E|≤3|V|-6矛盾,所以G至少有一个结点的度数小于等于5。 九.G=,A={a,b,c},*的运算表为:(写过程,7分) (1)G是否为阿贝尔群? (2)找出G的单位元;(3)找出G的幂等元(4)求b的逆元和c的逆元 解:(1)(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c) (a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b) (b*c)*(b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c) 所以G是阿贝尔群 (2)因为a*a=a a*b=b*a=b a*c=c*a=c 所以G的单位元是a (3)因为a*a=a 所以G 的幂等元是a (4)因为b*c=c*b=a ,所以b 的逆元是c 且c 的逆元是b 十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。 解:最优二叉树为 权=148 离散数学试题(B 卷答案6) 一、(20分)用公式法判断下列公式的类型: (1)(?P ∨?Q )→(P ??Q ) (2)(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R )) 解:(1)因为(?P ∨?Q )→(P ??Q )??(?P ∨?Q )∨(P ∧?Q )∨(?P ∧Q ) ?(P ∧Q )∨(P ∧?Q )∨(?P ∧Q ) ?1m ∨2m ∨3m ?0M 所以,公式(?P ∨?Q )→(P ??Q )为可满足式。 (2)因为(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) 华南农业大学期末考试试卷(A 卷) 2013-2014学年第 一 学期 考试科目: 离散结构 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题,共6页。 ②所有解答必须写在答卷上,写在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 25 小题,每小题 2 分,共 50 分) 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生,r:他可以在宿舍使用电脑,下列命题“除非他不是新生,否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集,下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x 2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系,它可以既满足对称性,又满足反对称性 B 、存在这样的关系,它可以既不满足对称性,又不满足反对称性 C 、存在这样的关系,它可以既满足自反性,又满足反自反性 D 、存在这样的关系,它可以既不满足自反性,又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系,当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是:______。 A 、R 是自反的,则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的,则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的,则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的,则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上,P 是所有人的集合,=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲},=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲},则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是:______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列,能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1,2,2,3,4,5 离散数学试题(A卷答案) 一、(10分)求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解:(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解设设P:王教授是苏州人;Q:王教授是上海人;R:王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P∧Q 乙:?Q∧P 丙:?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则由定理4.19知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 综上可知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、(15分)集合A ={a ,b ,c ,d ,e }上的二元关系R 为R ={,,,,,,,, 《离散数学》期末复习题 一、填空题(每空2分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:a* b = a和b两者的最大值,则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元, 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ). 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={ 《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分,共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系,1-R 是R 的逆关系,则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数,则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合,≤是其上的小于等于关系,则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ,又存在右逆元r a ,则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}中,2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( ) 一.判断题(共10小题,每题1分,共10分) 在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误: 1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ? p ( ) 2.?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3.初级回路一定是简单回路。( ) 4.自然映射是双射。( ) 5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6.群的运算是可交换的。( ) 7.自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20.7阶圈的点色数是。 三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分) 21.求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。 23.设A={a,b,c,d,e,f},R=I A?{,},则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24.求图示带权图中的最小生成树,并计算最小生成树的权。 25.设R*为正实数集,代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群?是群者,求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题(共3小题,共20分) 26 (8分)在自然推理系统P中构造下述推理的证明: 前题:p→(q∨r),?s→?q,p∧?s 结论:r 27 (6分)设 离散数学试题(B卷答案1) 一、证明题(10分) 1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明:x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) x A(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。 证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D,(C∨D)E, E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S证明:(1) (C∨D) E ?P (2) E(A∧B) ??P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2),I (4) (A∧B)(R∨S)??P (5) (C∨D)(R∨S) ? T(3)(4),I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P (2)P(a) T(1),ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3),US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I (6)Q(y) T(5),I (7)R(a) T(5),I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8),EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I 四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解:A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。 先求|A∩B|。 ∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。 于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(10分)。 证明:∵x A-(B∪C) x A∧x(B∪C) xA∧(xB∧x C) (x A∧x B)∧(x A∧xC) x(A-B)∧x(A-C) x(A-B)∩(A-C) ∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={ 一(6%)选择填空题。 (1) 设S = {1,2,3},R 为S 上的二元关系,其关系图如右图所示,则R 具有( )的性质。 A. 自反、对称、传递; B. 反自反、反对称; C. 自反、传递; D. 自反。 (2) 设A = {1, 2, 3, 4}, A 上的等价关系 R = {, , (4)没有不犯错的人。 五(10%)在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生,则他一定学过DELPHI语言且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言,那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生,那么他就会编程序。 六(10%)在自然推理系统中构造下面推理的证明(个体域:人类): 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车,每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车,因而有的人不喜欢步行。 七(14%)下图给出了一些偏序集的哈斯图,判断其是否为格,对于不是格的说明理由,对于是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格(布尔代数)。 八(12%)设S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24},“ ”为S上整除关系, (1)画出偏序集> ,S的哈斯图; < (2)设B = { 2, 3, 4, 6, 12},求B的极小元、最小元、极大元、最大元,下界,上界。 九(8%)画一个无向图,使它是: (1)是欧拉图,不是哈密尔顿图; (2)是哈密尔顿图,不是欧拉图; (3)既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图; 并且对欧拉图或哈密尔顿图,指出欧拉回路或哈密尔顿回路,对于即不是欧拉图也不是哈密尔顿图的说明理由。 十(8%)设6个字母在通信中出现的频率如下: 12 13 :c :b% 45 :a% % :e% :f 9 5 : d% % 16 用Huffman算法求传输它们的最佳前缀码。要求画出最优树,指出每个字母对应的编码,n个按上述频率出现的字母需要多少个二进制数字。 并指出传输)2 ( n 10≥∈A×B,若,则>∈R,即,所以R是传递的。华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
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