2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷及详解）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．cos13
计算sin43cos 43
-sin13的值等于（ ）
A.
12 B.3 C.2 D. 2
2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A.22x +y +2x=0
B. 22x +y +x=0
C. 22x +y -x=0
D. 22x +y -2x=0 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9
4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0
f ?≤?
?（的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
6．如图,若Ω是长方体1111ABCD-A B C D 被平面EFGH 截去几何体
11EFGH B C 后得到的几何体,其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段
1B B 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A. EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形 C. Ω是棱柱 D.
Ω是棱台
7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支
上的任意一点,则OP FP ?
的取值范围为 ( )
A. )+∞
B. [3)++∞
C. 7[-
,)4+∞ D. 7
[,)4
+∞ 8．设不等式组x 1
x-2y+30y x ≥??
≥??≥?所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线
3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于
( ) A.
285
B.4
C. 125
D.2
9．对于复数a,b,c,d ,若集合{}S=a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S ∈,必有xy S ∈”,则当
2
2a=1
b =1
c =b ?????
时,b+c+d 等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.i
10．对于具有相同定义域D 的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给
的正数m,存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有0()()0()() h x g x <- ,则称直 线l:y=kx+b 为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={}x|x>1的四组函数如下: ①2 f(x)=x , ; ②-x f(x)=10+2,2x-3g(x)= x ; ③2x +1f(x)=x ,xlnx+1g(x)=lnx ; ④2 2x f(x)=x+1 ,-x g(x)=2x-1-e )（. 其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 二、填空题： 11．在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 n a = . 12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 . 13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 14．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6 π ωω和g(x)=2cos(2x+)+1?的图象的对称轴完全相同。 若x [0, ]2 π ∈，则f(x)的取值范围是 。 15．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成 立；当x ]∈ （1，2时，f(x)=2-x 。给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m f(2)=0 ；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得 1(,)(2,2)k k a b +?” 。 其中所有正确结论的序号是 。 三、解答题： 16．（本小题满分13分） 设S 是不等式2 60x x --≤的解集，整数,m n S ∈。 （1）记使得“0m n +=成立的有序数组(,)m n ”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； （2）设2m ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ。 17．（本小题满分13分） 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。 （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离 等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。 18．（本小题满分13分） 如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC-A B C ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 直径。 （Ⅰ）证明：平面11A ACC ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）设AB=1AA ，在圆柱1OO 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱111ABC-A B C 内的概率为p 。 （i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值； （ii ）记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ(0<90)θ≤ ，当p 取最大值时，求cos θ 的值。 19．（本小题满分13分） O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时， 轮船位于港口O 北偏西30 且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。 （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数3(x)=x -x f ，其图象记为曲线C 。 （i ）求函数(x)f 的单调区间； （ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111P (x ,f(x ))处的切线交于另一点 222P (x ,f(x ))，曲线C 与其在点222P (x ,f(x ))处的切线交于另一点333P (x ,f(x ))，线段 1 1223122 P P ,P P ,S ,S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S 则 为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。 21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=11a b ?? ? ?? ，20c N d ??= ???，且2020MN ?? = ?-??， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值； （Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为3,2 x y ?=????=??（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的 方程为ρθ=。 （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为， 求|PA|+|PB|。 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷及详解） 一、选择题： 1.【解析】原式=1 sin (43-13)=sin 30= 2 ， 答案 A 2.【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0 答案 D 3.【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 答案 A 4.【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点， 答案 C 5.【解析】由程序框图可知，该框图的功能是 输出使和1 2 3 122233211i S i =?+?+?++?> 时的i 的值加1，因为1 2 12221011?+?=<，1 2 3 12223311?+?+?>， 所以当11S >时， 计算到3i =，故输出的i 是4 答案 C 6.【解析】因为EH ∥11A D ，11A D ∥11B C ，所以EH ∥11B C ，又EH ?平面11BCBC ， 所以EH ∥平面11BCBC ，又EH ?平面EFGH ，平面EFGH ?平面11BCBC = FG ， 所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ， EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ?平面11ABB A ， 故EH ⊥EF ，所以选 项B 也正确 答案 D 7.【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以2 14a +=，即2 3a =，所以双曲线 方程为22 13x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3x y x -=≥，解得2 2 0001(3 x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+ ，00(,)OP x y = ，所以 2 000(2)OP FP x x y ?=++ =00(2)x x ++2013x -=2004213 x x +-，此二次函数对应的抛物 线的对称轴为03 4 x =-，因为0x ，所以当0x 时，OP FP ? 取得最小值 4 313 ?+=3+OP FP ? 的取值范围是[3)++∞ 答案 B 8.【解析】由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为 |31419| 245 ?-?-? = 答案 B 9.【解析】由题意，可取a=1,b=-1,c=i,d=-i ，所以b+c+d=-1+i+-i 1=- 答案 B 10.【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 。对于○1，当1>x 时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时， 0)()(→-x g x f ；对于○3，x x x g x f ln 11)()(-= -，设01 )(",ln )(2>=-=x x x x x λλ且x x 2112)()(→+++-= -x e x x g x f ，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是○2○4 答案 C 二、填空题： 11.【解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =n-1 4。 答案 n -1 4 12.【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 24=3216??= ，所以其表面积为 答案 6+13.【解析】恰好回答四道，且连续两道答对停止答题，则尽可能是第一道答对，第二道答错、三、四道答对或者是前两道答错，后两道答对的情况，所以 2(0.20.20.80.2)(0.8)0.128p =?+??= 【答案】3 [-,3]2 14、【解析】由题意知，2ω=，因为x [0,]2 π ∈，所以52x- [- ,]6 66 π ππ ∈，由三角函数图 象知： f(x)的最小值为33sin (-)=-62π ，最大值为3sin =32π，所以f(x)的取值范围是3 [-,3]2 。 答案 3 [- ,3]2 15、【解析】○10)2(2)2(2)22()2(111 ====?=---f f f f m m m m ，正确；○ 2取 ]2,2(1+∈m m x ，则 ]2,1(2∈m x ；m m x x f 22)2(-=，从而 x x f x f x f m m m -====+12)2 (2)2(2)( ，其中， ,2,1,0=m ，从而),0[)(+∞∈x f ， 正确；○3122)12(1--=++n m n f ，假设存在n 使9)12(=+n f ，即存在 ..,,21t s x x 102221=-x x ，又，x 2变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题 错误；○4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4. 答案 ①②④ 三、解答题： 16、【解析】（1）由2 60x x --≤得23x -≤≤，即{}S=x|-2x 3≤≤， 由于整数,m n S ∈且0m n +=，所以A 包含的基本事件为 (2,2,(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)-）。 （2）由于m 的所有不同取值为2,-1,0,1,2,3,-所以2m ξ=的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P(=0)= ξ16，P(=1)=ξ21=63，P(=4)=ξ21=63，P(=9)=ξ1 6 ， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P 16 1 3 1 3 16 所以E ξ=106?+113?+143?+196?=19 6 。 17、【解析】（1）依题意，可设椭圆C 的方程为22 221(a>0,b>0)x y a b +=，且可知左焦点为 F （-2，0），从而有' c=2 2a=|AF|+|AF |=3+5=8 ?? ?，解得c=2 a=4 ?? ?， 又2 2 2 a = b + c ，所以2 b 12=，故椭圆C 的方程为 22 11612 x y +=。 （2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为3 y= x+t 2 ， 由22 3y=x+t 2x y +=11612 ???????得22 3x +3tx+t -12=0， 因为直线l 与椭圆有公共点，所以有223t)-43(t -12)0?=?≥（， 解得t -≤ 另一方面，由直线OA 与l 的距离4 ，从而t=± 由于± [-，所以符合题意的直线l 不存在。 18、【解析】（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以1AA ⊥BC ， 因为AB 是圆O 直径，所以BC ⊥AC ，又AC ?1AA A =，所以BC ⊥平面11A ACC ， 而BC ?平面11B BCC ，所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC 。 （Ⅱ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则AB=1AA =2r ，故三棱柱111ABC-A B C 的体积为 11 V =AC BC 2r 2 ??=AC BC r ??，又因为2222AC BC =AB =4r +， 所以22AC +BC AC BC 2 ?≤=2 2r ，当且仅当时等号成立， 从而3 1V 2r ≤，而圆柱的体积2 3 V=r 2r=2r ππ?， 故p =313 V 2r 1 =,V 2r ππ ≤ 当且仅当，即OC AB ⊥时等号成立， 所以p 的最大值是 1 π 。 （ii ）由（i ）可知，p 取最大值时，OC AB ⊥，于是以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz （如图），则C （r ，0，0），B （0，r ，0），1B （0，r ，2r ）， 因为BC ⊥平面11A ACC ，所以BC=(r,-r,0) 是平面11A ACC 的一个法向量， 设平面1B OC 的法向量n=(x,y,z) ，由1n OC 020 n OB rx ry rz ?⊥=????+=⊥??? 得，故02x y z =?? =-?， 取1z =得平面1B OC 的一个法向量为n=(0,-2,1) ，因为0<90θ≤ ， 所以cos |cos ,BC |=|||| n BC n n BC θ?===? 19、【解析】如图，由（1）得 >,,>AC OC OC AC AC =≥故且对于线段上任意点P 有OP OC ，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相 遇，设COD=(0<<90),Rt COD CD θθθ∠?= 则在中，， ， 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t = 和t = = 30,sin (+30)v v θ=≤≥ 又故， 从而30<90,30tan θθθ≤= 由于时，取得最小 值，且最小值为 3 ，于是 当30θ= 时，t = 23。 此时，在OAB ?中，20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 20、【解析】（Ⅰ）（i ）由3 (x)=x -x f 得' 2 (x)=3x -1f =， 当x (-,- )3 ∈∞ 和 3+∞（）时，' (x)>0f ； 当x (- 3 ∈)3 时，'(x)<0f ， 因此，(x)f 的单调递增区间为(-∞ 和+∞） ，单调递减区间为 。 （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为2 3 1111y=(3x -1)(x-x )+x -x ,即 2 311 y=(3x -1)x-2x ,由23 113 (3x -1)x-2x y=x -x y ?=????得3x -x=23 11(3x -1)x-2x ， 即2 11(x-x )x+2x )=0（，解得1121x=x 2,x 2x x x =-=-或故，进而有 1 1 23234 111127(x -3x x+2x )dx = x 4 x x S -= ?，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 32x 2x =-和42227S =x 4，又21x 20x =-≠，所以4 212716S = x 0,4?≠ 因此有 12S 1 =S 16 。 （Ⅱ）记函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a 0)≠的图象为曲线' C ，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式b 3a - 的实数1x ，曲线' C 与其在点111P (x ,g(x ))处的切线交于另一点 222P (x ,g(x ))，曲线C 与其在点222P (x ,g(x ))处的切线交于另一点333P (x ,g(x ))，线段 '1 1223122 P P ,P P ,S ,.S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S 则 为定值 证明如下： 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心 b (3a g -（，b ))3a -平移至坐标原点，因而不妨设3g(x)=ax +hx(x 0)≠，类似（i ）（ii ）的计算可得 41127S = x 4，4212716S =x 0,4?≠故12S 1 =S 16 。 21、（1） 【解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=??+=??+=-??+=?，解得1 122 a b c d =-??=-? ?=??=?； （Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，3）， 由001111-????= ? ?-????00?? ???，131111-????= ? ?-????22-?? ??? 得：点（0，0），（1，3）在矩阵M 所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而 直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y x =-。 （2）选修4-4：坐标系与参数方程 【解析】 （Ⅰ）由ρθ= 得220,x y +-= 即22( 5.x y += （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3)()522 - +=， 即240,t -+= 由于24420?=-?=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根， 所以12 12 4t t l P t t ?+=??=??又直线过点故由上式及t 的几何意义得： |PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t = （3）选修4-5：不等式选讲 【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+， 又已知不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以31 35 a a -=-?? +=?，解得2a =。 （Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是 ()=|x-2||3|g x x ++=21,<35,3221,>2x x x x x ---?? -≤≤??+? ，所以 当x<-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。 2010年高考福建数学试题（文史类解析） 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ?等于（ ） A ．{}x|2 4．i 是虚数单位,4 1i ()1-i +等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】C 【解析】41i ()1-i +=244 (1i)[]=i =12 +,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力． 7．函数2x +2x-3,x 0 x)=-2+ln x,x>0 f ?≤? ?（的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 2012年福建省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2012?福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 考 点： 复数代数形式的乘除运算． 专 题： 计算题． 分 析： 由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果． 解答：解：∵复数z满足zi=1﹣i， ∴z===﹣1﹣i，故选A． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 2．（5分）（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 考 点： 等差数列的通项公式． 专 题： 计算题． 分 析： 设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值． 解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2， 故选B． 点 评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 3．（5分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（） A．?x 0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2 C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用． 专 题： 计算题． 分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误； 解答：解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确； 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确； a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确． 故选D． 点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用． 4．（5分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 考 点： 由三视图还原实物图． 专 题： 作图题． 分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等 解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等； B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同； C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形； D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形． 故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱． 故选D． 点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题 5．（5分）（2012?福建）下列不等式一定成立的是（） A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R） 考 点： 不等式比较大小． 专 题： 探究型． 分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可 解 答： 解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等； B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2； C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0； D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立． 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 2010年高考福建数学试题（理科解析） 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ） A. 1 2 B.3 C.2 D. 2 【答案】A 【解析】原式=1 sin (43-13)=sin 30= 2 ，故选A 。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。 2．以抛物线2 4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.2 2 x +y +2x=0 B. 2 2 x +y +x=0 C. 22 x +y -x=0 D. 2 2 x +y -2x=0 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的 半径为r=1，故所求圆的方程为 22x-1)+y =1（，即22 x -2x+y =0，选D 。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0 f ?≤??（的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 2011年福建省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、（2011?福建）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（） A、{0，1} B、{﹣1，0，1} C、{0，1，2} D、{﹣1，0，1，2} 考点：交集及其运算。专题：计算题。 分析：根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}， 得到M∩N={0，1}．故选A 点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题． 2、（2011?福建）i是虚数单位1+i3等于（） A、i B、﹣i C、1+i D、1﹣i 考点：虚数单位i及其性质。专题：计算题。 分析：由复数单位的定义，我们易得i2=﹣1，代入即可得到1+i3的值． 解答：解：∵i是虚数单位 ∴i2=﹣1 1+i3=1﹣i 故选D 点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=﹣1是解答本类问题的关键． 3、（2011?福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；充要条件。 分析：先判断“a=1”?“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案． 解答：解：当“a=1”时，“|a|=1”成立 即“a=1”?“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时，“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选A 点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”?“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键． 4、（2011?福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（） A、6 B、8 C、10 D、12 考点：分层抽样方法。 专题：计算题。 分析：根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数． 解答：解：∵高一年级有30名， 在高一年级的学生中抽取了6名， 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(福建卷 ) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.理科：第Ⅱ卷第21题为选考题， 其他题为必考题，满分1５0分. 第Ⅰ卷 一、选择题：（理科)本大题共10小题,每小题5分，共５０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科）本大题共12小题,每小题5分，共6０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数z 满足z i ＝１-i ，则ｚ等于( ) A ．-1-i B.１－i C ．-1+i Ｄ．１+i Ａ．3+4i B ．５+4i C.3+2i D ．5+２i 2.等差数列{a ｎ}中,a 1+a 5＝10，a ４＝７，则数列{a ｎ}的公差为( ) Ａ．1 B.2 Ｃ.3 D ．4 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．ｘ０∈R ,0e 0x ≤ B.ｘ∈R ，２ｘ>ｘ2 C ．ａ+b =０的充要条件是1a b =- Ｄ．a ＞1,b ＞1是ａb >1的充分条件 4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 Ｃ．正方体 D.圆柱 ５.下列不等式一定成立的是( ) A ．l ｇ(x 2＋ 14 )>lg x (ｘ＞0） Ｂ.s ｉn x ＋1sin x ≥2（ｘ≠ｋπ，k ∈Ｚ） C.x 2＋1≥２|ｘ|(x ∈R ） D.2111 x >+(x ∈R ） 6.如图所示，在边长为1的正方形ＯAB Ｃ中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) Ａ． 14 B ．15 C.16 D ．17 7.设函数1,()0,x D x x ?=??为有理数，为无理数，则下列结论错误的是（ ) A.D (x )的值域为{0,1} B ．D （x )是偶函数 C.Ｄ(ｘ）不是周期函数 Ｄ．D (x )不是单调函数 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 2010年高考福建理科数学试题及答案 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于 A ．12 B 3 C 2 D 32．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A ．2220x y x ++= B ．220x y x ++= C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-= 3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。若111a =-，466a a -=-， 则 当n S 取最小值时，n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4．函数2230()2ln 0 x x x f x x x ?--≤=?-+>?，，，的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何 体 11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点， F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不 正确的是 A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是矩形 C ．Ω是棱柱 D ．Ω是棱台 7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2 221x y a -=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP 的取值范围为 A ． [3- +∞） B ． [3+ +∞） C ．[74-， +∞） D ．[74 ， +∞） 8．设不等式组1230x x y y x ≥??-+≥??≥? 所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直 线3490x y --=对称。对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于 A ．285 B ．4 C ．125 D ．2 9．对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，， 必有xy S ∈”，则当2211a b c b =??=??=? ， ，时，b c d ++等于 A ．1 B ．-1 C ．0 D ．i 10．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m h x g x m <-的四组函数如下： ①2()f x x = ，()g x =()102x f x -=+，()g x =23x x -； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x +；④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=--。 其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④2010年高考试题数学文(福建卷)
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1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余2012高考福建理科数学试题及标准答案(高清版)
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