1．用绳将重球挂在光滑的墙上，设绳子的拉力为T ，墙对球的弹力为N ，如图所示，如果将绳的长度加长，则
A ．T 、N 均减小
B ．T 、N 均增加
C ．T 增加，N 减小
D ．T 减小，N 增加
2.如图所示，A 、B 两物体的质量分别是m A 和m B ，整个系统处于静止状态，滑
轮的质量和一切摩擦不计。如果绳的一端由P 点缓慢向左运动到Q 点，整个
系统始终处于平衡状态，关于绳子拉力大小F 和两滑轮间绳子与水平方向的
夹角α的变化，以下说法中正确的是
A ．F 变小，a 变小
B ．F 变大，a 变小
C ．F 不变，a 不变
D ．F 不变，a 变大
3.如图所示，物体B 通过动滑轮悬挂在细绳上，整个系统处于静
止状态，动滑轮的质量和一切摩擦均不计。如果将绳的左端由Q 点缓慢地向左移到P 点，整个系统重新平衡后，绳的拉力F 与竖直方向的夹角θ的变化情况是 ( )
A ．F 变大，θ变大
B ．F 变小，θ变小
C ．F 不变，θ变小
D ．F 不变，θ变大
4.如图所示．在倾角为θ的光滑斜面和档板之间放一个光滑均匀球体，档板与斜面夹 角。
初始时90αθ+< 。在档板绕顶端逆时针缓慢旋转至水平位置的过
程下列说法正确的是
A ．斜面对球的支持力变大
B ．档板对球的弹力变大
c ．斜面对球的支持力变小
D ．档板对球的弹力先变小后变大
5.如图所示，把一个光滑圆球放在两块挡板AC 和AB 之间，AC 与AB 之间夹角为30°，现将AC 板固定而使AB 板顺时针缓慢转动90°，则
A ．球对A
B 板的压力先减小后增大
B ．球对AB 板的压力逐渐减小
C ．球对AC 板的压力逐渐增大
D ．球对AC 板的压力先减小后增大
6.如图所示，用一轻细绳拴一较大的球，置于倾角为α的光滑斜面
上，开始时，绳与水平方向的夹角β>α。现用—水平力缓慢向左移
动斜面(移动时绳不碰到斜面)，则绳的拉力( )
A ．减小
B ．增大
C. 先减小后增大 D ．先增大后减小
7.半圆柱体P 放在粗糙的水平面上，有一挡板MN ，其延长线总是过半圆柱体的轴心O ，但挡板与半圆柱体不接触，在P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q ，整个装置处于静止状态，如图是这个装置的截面图，若用外力使MN 绕O 点缓慢地逆时针转动，在Q 到达最高位置前，发现P 始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是( )
A ．MN 对Q 的弹力大小保持不变
B ．MN 对Q 的弹力先增大后减小
C ．P 、Q 间的弹力先增大后减小
D ．P 所受桌面的作用力一直增大
8.如图所示，滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O 安在一根轻木杆B 上，一根轻绳AC 绕过滑轮，A 端固定在墙上，且绳保持水平，C 端下面挂一个重物，BO 与竖直方向夹角，系统保持平衡，若保持滑轮的位置不变，改变的大小，则滑轮受到木杆的弹力大小变化情况是( )
A ．只有角θ变小，弹力才变小
B ．只有角θ变大，弹力才变大
C ．不论角θ变大或变小，弹力都变大
D ．不论角θ变大或变小，弹力都不变
9.如图所示，用一根细线OB 把电灯拉至图中位置，电线OA 与天花板夹角为60o。若要使细线OB 所受拉力最小，则细绳OB 与OA 的夹角应为
A ．60o B．30o C．120o D．90o
10.如图所示，一遵循胡克定律的弹性轻绳，其一端O 固定在天花板上，另一端C 与静止在水平地面上的滑块A 相连。B 为紧挨绳的一固定不动且与竖直面垂直的光滑小钉，它到天花板的距离BO 等于弹性绳的自然长度。当绳OC 处于竖直位置时，滑块A 对地面有压力作用。现用一水平力F 作用于A ，使之在地面上向右做直线运动，且在运动过程中绳一直处于弹性限度内。若滑块A 与水平地面间有摩擦，且动摩擦因数恒定，那么关于滑块A 所受滑动摩擦力大小的判断，下列说法中正确的是
A ．逐渐增大
B ．逐渐减小
C ．保持不变
D ．无法确定
九、力的矢量三角形定则运用 1.如图所示，光滑水平地面上放有柱状物体A ，A 与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B ，对A 施加一水平向左的力F ，整个装置保持静止.若将A 的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则( ) A.水平外力F 增大 B.墙对B 的作用力减小 C.地面对A 的支持力不变 D.B 对A 的作用力增大 2. 如图所示，用一根长为L 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使 细绳与竖直方向夹300角且绷紧，小球处于静止，则需对小球施加的最小力等于（ ） A ．mg 3 B ．m g 23 C ．m g 3 3 D ．mg 21 3.如图4所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当档板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中 （ ） A.斜面对球的支持力逐渐增大 B.斜面对球的支持力逐渐减小 C.档板对小球的弹力先减小后增大 D.档板对小球的弹力先增大后减小 4．将一个已知力F,分解成两个分力,其中一个分力F 1的方向与已知力的方向成θ=30o ,另一个分力大小为F 2= F 3 3 ,则F 1大小可能为 A 、 F 33 B 、 F 21 C 、 F 23 D 、F 3 32 5．已知两个共点力的合力为50N ，分力F 1的方向与合力F 的方向成30 角，分力F 2的大小为30N 。则（ ） A ．F 1的大小是唯一的 B.F 2的方向是唯一的 C. F 2有两个可能的方向 D.F 2可取任意方向 6．将力F 分解为两个分力，已知其中一个分力F 1的方向与F 的夹角为一锐角θ，则：（ ） A ．只要知道另一个力的方向，就可得到确定的两个分力 B ．只要知道F 1的大小，就可得到确定的两个分力 C ．如果知道另一个分力的大小，就可得到唯一确定的两个分力 D ．另一个分力的最小值是F 1sin θ 7．如图所示，AB 为可绕B 转动的挡板，G 为圆柱体．夹于斜面与挡板之间．若不计一切摩擦，使夹角β由开始时较小的某一角度逐渐增大到90°的过程中，挡板AB 受到的压力：（ ） A ．不断增大 B ．不断减小 C ．先增大后减小 D ．先减小后增大 图4
力的三角形法则 一个物体在三个力的作用下，保持平衡，这三个力构成一个封闭的矢量三角形。力的三角形法则有三种常见题型 题型一：两个力方向不变，第三个力的方向改变，且在改变过程中，物体一直处于平 衡状态，寻求第三个力的方向在改变过程中，该力的最小值。 1．如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态，为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是(B ) A ．90° B ．15° C ．45° D ．0° 2．如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连并悬挂于O 点，用力F 拉小球a 使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ＝60°，则力F 的大小可能为 A. 3mg B ．mg C. 32 mg D. 33mg ABC 3、如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上， 试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受 压力最小？ 答案：当β＝900时，挡板AO 所受压力最小， 最小压力N 2min =mgsin α． 题型二：两个力方向不变，第三个力的方向逐渐变化，且在变化过程中，物体一直处于平衡 状态，分析在此过程中，各力的大小变化规律 4、如图所示，将一个重物用两根等长的细绳OA 、OB 悬挂在半圆形的 架子上，在保持重物位置不动的前提下，B 点固定不动，悬点A 由位置C 向位置D 移动，直至水平，在这个过程中，两绳的拉力如何 变化？ 答案：OB 绳子中的拉力不断增大，而OA 绳中的拉力先减小后增大， 当OA 与OB 垂直时，该力最小。
巧用力的三角形分析力的动态平衡 江苏省新沂市第三中学 唐宝扩 解决力的动态平衡问题通常有两个方法：解析法和图解法。图解法直观、简便，能快捷判断各力的大小、方向变化情况。图解法一般适用于物体受到三个共点力的情况。根据平衡条件，三力首尾相连构成一封闭三角形，再由动态力的三角形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。这里举两例说明力的矢量三角形的简单巧用。 一、在结构三角形上画力的矢量三角形 【例1】半径为R 的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1所示。现缓慢地拉绳，在使小球由A 沿球面运动到B 的过程中，半球对小球的支持力F N 和绳对小球的拉力F T 的大小变化的情况是 A 、F N 变大，F T 变小 B 、F N 变小，F T 变大 C 、F N 变小，F T 先变小后变大 D 、F N 不变，F T 变小 【一般解法】对小球进行受力分析，画出受力示意图，如图2所示。由平衡条件可知，将三个力首尾相连，可形成如图3所示的封闭三角形。这三个力与ΔAOO ′的三个边始终平行，即力的三角形与结构ΔAOO ′相似，故有 L F R F h R mg T N ==+ 其中，mg 、R 、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，F N 不变，F T 变小。故D 正确。 【巧妙解法】如图2所示，因为重力方向竖直向下，把表示重力的线段移到OO′位置，画跟OO′一样长。同理，把F N 移到半径A O′位置，画跟A O′一样长；把F T 直接延长跟AO 一样长，如图4所示。这样就画出了小球初始的受力矢量三角形，这个三角形与结构ΔO O′A 重合。OO′表示重力，A O′表示F N ，AO 表示F T 。在小球由A 运动到B 的过程中，这个结构三角形变扁，半径不变，AO 变短，所以F N 不变，F T 变小。故D 正确。 上述分析，也不要根据力的三角形跟结构三角形相似列相似比方程。要列的话，对应的边一目了然。熟练情况下，不画图2的受力图，直接画图4的力三角形，快捷方便。 F N G F T O 图 2 O′ F T G F N 图3 图 1 O′ O 图4 O′ G F N F T O
例说矢量三角形的使用 息烽县乌江复旦学校王清安 矢量三角形法则是从平行四边形法则演变来的，是矢量运算的法则。用矢量三角形分析和计算矢量的最小值，即简便又形象，有事半功倍的效果，下面举例分析。 一、求电场强度最小值 例1质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q，且处匀强电场中。当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，如图所示，求匀强电场强度E的最小值及其方向。 解析：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形，如图。可见当电场力qE和合力F垂直时，电场力最小，即E最小。 由几何关系得：mgsin30°＝qE 解得：E小＝mg/2q 方向：垂直于绳向上 二、求速度最小值 例2有一小船在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起，相对于静水的最小速度。
解析：小船同时参与两个运动，随水流的运动和相对于水的运动，两分速度分别为v1和v2，与合速度v可组成矢量三角形，如图，当小船恰好在危险区登陆，且v2垂直于v时，v2最小。v2＝v1sinα，由位移关系可得：sinα＝3/5 解得最小速度v2＝3m/s 船头指向：与上游河岸成53°。 三、求力的最小值 例3 将质量m＝5kg的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度推出桌子边缘，木板与桌面间动摩擦因数为，试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。 解析：木板受力为：重力mg、支持力F N、摩擦力Fμ、和推力F。因Fμ与压力成正比，所以Fμ和F N 也成正比，两者的合力方向F合是确定的，且tanα＝ Fμ/F N＝μ，可得α＝30°，如图。 刚好推动木板的条件是合力恰好为零，即重力、推力和F合三个力的合力为零。重力和推力的合力应该与F合共线。做重力、推力、及其合力的矢量三角形如图，可知当推力与合力的方向垂直时，其值最小，如图中的F2。可解得 F min＝mgsinα＝25N，方向：与水平方向的夹角为30°向上。 此题将支持力和摩擦力合成为一个方向恒定的力F，通过这种巧妙的转化，可做出矢量三角形，有此法求解。 四、求动量的最小值
图解法分析动态平衡问题 【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是() A．增大B．先减小，后增大 C．减小D．先增大，后减小 变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N 的大小变化情况是() A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小 利用相似三角形相似求解平衡问题 2．相似三角形法： 当物体受三个共点力作用处于平衡状态时，若三力中有二力的方向发生变化，而无法直接用图解法得出结论时，可以用表示三力关系的矢量三角形跟题中的其他三角形相似对应边成比例，建立关系求解。 【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N 的大小变化情况是() A．F N先减小，后增大B．F N始终不变 C．F先减小，后增大D．F始终不变 变式2－1如图2－4－5所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为() A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1 动态平衡问题 苗贺铭 动态平衡问题是高中物理平衡问题中的一个难点，学生不掌握问题的根本和规律，就不能解决该类问题，一些教学资料中对动态平衡问题归纳还不够全面。因此，本文对动态平衡问题的常见解法梳理如下。 所谓的动态平衡，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题，物体在任意时刻都处于平衡状态，动态平衡问题中往往是三力平衡。即三个力能围成一个闭合的矢量三角形。 一、图解法 方法：对研究对象受力分析，将三个力的示意图首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形的边长，各力的大小及变化就一目了然了。 例题1如图所示,一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为F N1,球对木板的压力大小为F N2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始 缓慢地转到水平位置.不计摩擦,在此过切程中( ) A.F N1始终减小 B. F N2始终减小 C. F N1先增大后减小 D. F N2先减小后增大 解析：以小球为研究对象，分析受力情况：重力G、 墙面的支持力和木板的支持力，如图所示：由矢量三 角形可知：始终减小，始终减小。 归纳：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。 二、解析法 方法：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，得到自变量与应变量的函数关系，由自变量的关系确定应变量的关系。 例题2.1倾斜长木板一端固定在水平轴O上，另一端缓慢放低，放在长木板上的物块m 一直保持相对木板静止状态，如图所示．在这一过程中，物块m受到长木板支持力F N和摩擦力F f的大小变化情况是（） A. F N变 大，F f变大 B. F N变小，F f变小 C. F N变大，F f变小 D. F N变小，F f变大 解析：设木板倾角为θ 根据平衡条件：F N=mgcosθ F f=mgsinθ 可见θ减小，则F N变大，F f变小； “三角形定则”处理动态平衡问题 相互作用专题二 一、单选题（本大题共11小题，共44.0分） 1.质量分别为m和2m小球a、b用细线相连后,再用细线悬挂于O点,如图所示。用力 F拉小球b,使两个小球都处于静止状态,且细线OA与竖直方向的夹角保持,则F的最小值为 2. A. B. mg C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 以两个小球组成的整体为研究对象,当F垂直于Oa线时取得最小值,根据平衡条件求解F 的最小值。 本题是隐含的临界问题,关键运用图解法确定出F的范围,得到F最小的条件,再由平衡条件进行求解。 【解答】 以两个小球组成的整体为研究对象,分析受力,作出F在三个方向时整体的受力图, 根据平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反,由力的合成图可知,当F与绳子Oa垂直时,F有最小值,即图中2位置,F的最小值为： 根据平衡条件得：,故ABC错误,D正确。 故选D。 3.如图,用OA、OB两根轻绳将物体悬于两竖直墙之间,开始时OB 绳水平现保持O点位置不变,改变OB绳长使绳末端由B点缓慢 上移至点,此时与OA之间的夹角设此过程中 OA、OB的拉力分别为、,下列说法正确的是( ) A. 逐渐减小,逐渐增大 B. 逐渐减小, 先减小后增大 C. 逐渐增大,逐渐减小 D. 逐渐增大,先减小后增大 【答案】B 【解析】【分析】 以结点O为研究对象,分析受力,作出轻绳在B和两个位置时受力图,由图分析绳的拉力变化。 本题运用图解法研究动态平衡问题,也可以根据几何知识得到两绳垂直时,轻绳OB的拉力最小来判断。 【解答】 以结点O为研究对象,分析受力：重力G、绳OA的拉力和绳BO的拉力,如图所 示,根据平衡条件知,两根绳子的拉力的合力与重力大 小相等、方向相反, 作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图,由图看 出,逐渐减小,先减小后增大,当时,最 小。 故选B。 4.如图所示,光滑小球置于竖直墙壁和 挡板间,挡板绕O点于图示位置缓慢 转至水平的过程中,球对墙壁和挡板 的压力如何变化( ) A. 对墙壁的压力减小,对挡板的压力也减小 B. 对墙壁的压力减小,对挡板的压力增大 C. 对墙壁的压力减小,对挡板的压力先增大后减小 D. 对墙壁的压力先增大后减小,对挡板的压力增大 【答案】A 【解析】【分析】 对球进行正确受力分析,把握其受力特点：一个力大小和方向不变重力,一个力方向不变墙给球的支持力,另一个力的大小、方向均发生变化挡板给球的作用力,对于这类动态平衡问题,即可以采用“图解法”进行。 熟练掌握分析动态平衡的各种方法,正确分析动态平衡问题是对学生的基本要求,在平时训练中要加强这方面的能力培养。 【解答】 以小球为研究对象,处于平衡状态,根据受力平衡,有： 力学分析运动趋势常用矢量三角形法 矢量三角形法同平行四边形法则在处理矢量的合成和分解时是相同的，也是作图法解决问题的方法之一。应用矢量三角形法则主要解决的试题类型：如果只有某一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力的方向不变，用矢量三角形来判断力的大小变化趋势比较简单。 1、如图所示，用细绳将均匀球悬挂在光滑的竖直墙上，绳受的拉力为T，墙对球的弹力为N，如果将绳的长度增加，则（） A．T、N均不变B．T减小、N增大C．T、N均增大D．T、N均减小 2、如图所示，清洗楼房光滑玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，且视为质点．悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，则（） A．F1=Gsinα B．F2=Gtanα C．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1与F2的合力变大 D．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1减小，F2增大 3、如图所示，用拉力F将质量为m的滑块沿光滑的半圆柱面极缓慢地拉到顶端，在这个过程中，拉力F的方向始终沿圆柱面的切线方向，则下列说法正确的是（） A．拉力F的大小在不断减小B．物块受到的支持力在不断增大 C．拉力和支持力的合力大小和方向均不变 D．拉力和支持力的合力大小不变，方向不断改变 4、某欧式建筑物屋顶为半球形，一警卫人员为执行特殊任务，必须冒险在半球形屋顶上向上缓慢爬行（如图），他在向上爬的过程中（） A. 屋顶对他的支持力变大B．屋顶对他的支持力变小 C．屋顶对他的摩擦力变大D．屋顶对他的摩擦力变小 5、如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，绳上的拉力将() A．逐渐增大B．逐渐减小 C．先增大后减小D．先减小后增大 另外一问：球对斜面的压力（） A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大 6、如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个质量为m的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球匀速上升时，球对墙的压力将（） 图8—1 A．增大B．先增大后减小C．减小D．先减小后增大 7、用两根绳子系住一重物，如图8—2所示.绳OA与天花板间夹角θ不变，当用手拉住绳子OB，使绳OB由水平方向转向竖直方向的过程中，OB绳所受的拉力将（） 相似三角形法分析动态平衡问题 （1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面 B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉 住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ） A 、N 变大，T 变小 B 、N 变小，T 变大 C 、N 变小，T 先变小后变大 D 、N 不变，T 变小 解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式： R N R h mg L T =+= 可得：mg R h L T += 运动过程中L 变小，T 变小。 mg R h R N += 运动中各量均为定值，支持力N 不变。正确答案D 。 例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ） A 、T 变小 静力学解题方法2——相似三角形法 （非常好的方法，仔细分析例题，静力学受力分析三大方法之一） （1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ） A 、N 变大，T 变小 B 、N 变小，T 变大 C 、N 变小，T 先变小后变大 D 、N 不变，T 变小 解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式： R N R h mg L T =+= 可得：mg R h L T += 运动过程中L 变小，T 变小。 mg R h R N += 运动中各量均为定值，支持力N 不变。正确答案D 。 例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前 悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ） A 、T 变小 B 、T 变大 C 、T 不变 D 、T 无法确定 矢量三角形法在三力平衡问题中的应用 在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这 种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全 面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O ，表示三力关系的矢量图呈闭 合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维 系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的 每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所 以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形， 是力三角形法的关键操作。 三力平衡的力三角形判断通常有三类情况． 一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向 确定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定 例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动， 例2 则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？ 分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁 对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重 力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力， 如图2，取点Ｏ作表示 重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所 在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头 表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对 球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断 增大 例2 如图3装置，AB 为一轻杆在B 处用铰链固定于 竖墙壁上，AC 为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB 杆上滑行。试分析当重物W 从A 端向 B 端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB 杆作用力的变化情况。 分析与解 以AB 杆为研究对象，用力矩平 衡的知识可较为方便明确AC 拉索中的拉力变化情 况，但不易确定墙对AB 杆作用力的情况。我们考虑 到AB 杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作 用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量 三角形来描述。其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定力，与上题类似。 如图4，取O 点作表示重物对AB 杆拉力的有向线 段①，过O 点作绳索拉力的作用线所在射线②，从①箭头 端点作指向射线②上任意 点的有向线段③，则③就是墙对AB 杆的作用力. 用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重物从A 端向B 端移动的过程中，①、③的夹角θ逐渐减小，所以 绳索的拉力不断减小，墙对AB 杆的作用力先减小后增大。 综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量 为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方 向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线 图4 图 1 图2 图3 高中物理矢量三角形法应用 河北 石晓兵 物体在三个非平行力的作用下平衡时，这三个力必在同一平面内共点。根据共点力的平衡条件可知，其合力为零，三个力组成一个封闭三角形。解答此类题目时，用矢量三角形分析一些动态变化，使得定性分析的解答过程简捷、直观、明了，使得定量计算的解答过程远比解析法简便得多。尤其是遇到物体在共点力的作用下平衡时求极值的题目，用矢量三角形可以大大简化解题过程，避免用解析法通过三角函数求极值的繁琐过程，能收到事半功倍的效果。 1. 共点力平衡时力变化的定性讨论 例1 用一根细绳把重为G 的小球挂在竖直光滑的墙壁上，如图1所示，若改用较长的细绳，使α角变小时，细绳对小球的拉力及墙壁对小球的弹力如何变化？ 图1 解析 选小球为研究对象，小球在重力G 、细绳拉力T F 、墙壁弹力F N 三个力作用下始终处于共点力的平衡状态，G 的大小和方向都确定。F N 的方向确定，但大小不定，T F 的大小和方向都不定。根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，α角较小时，细绳对小球的拉力和墙壁对小球的弹力均减小。 例2 如图2所示，一轻杆O 端用铰链固定于墙壁上，A 端用轻绳拉紧使OA 杆保持水平，若在A 端挂重物G ，当把重物的悬点A 点向O 点逐渐缓慢移动时，绳对A 点的拉力和铰链对杆的作用如何变化？ 图2 解析 选杆为研究对象，杆在拉力)G F (F 1T 1T 、拉力2T F 和铰链作用力N F 三个力作用下始终处于平衡状态。1T F 的大小和方向都确定，2T F 的方向确定，但大小不定，N F 的大小和方向都不定。根据图3中力的封闭矢量三角形可以看出，当把重物的悬点从A 点向O 点逐渐缓慢移动时，2T F 一直减小，N F 先减小后增大。 图3 1．用绳将重球挂在光滑的墙上，设绳子的拉力为T ，墙对球的弹力为N ，如图所示，如果将绳的长度加长，则 A ．T 、N 均减小 B ．T 、N 均增加 C ．T 增加，N 减小 D ．T 减小，N 增加 2.如图所示，A 、B 两物体的质量分别是m A 和m B ，整个系统处于静止状态，滑 轮的质量和一切摩擦不计。如果绳的一端由P 点缓慢向左运动到Q 点，整个 系统始终处于平衡状态，关于绳子拉力大小F 和两滑轮间绳子与水平方向的 夹角α的变化，以下说法中正确的是 A ．F 变小，a 变小 B ．F 变大，a 变小 C ．F 不变，a 不变 D ．F 不变，a 变大 3.如图所示，物体B 通过动滑轮悬挂在细绳上，整个系统处于静 止状态，动滑轮的质量和一切摩擦均不计。如果将绳的左端由Q 点缓慢地向左移到P 点，整个系统重新平衡后，绳的拉力F 与竖直方向的夹角θ的变化情况是 ( ) A ．F 变大，θ变大 B ．F 变小，θ变小 C ．F 不变，θ变小 D ．F 不变，θ变大 4.如图所示．在倾角为θ的光滑斜面和档板之间放一个光滑均匀球体，档板与斜面夹 角。 初始时90αθ+< 。在档板绕顶端逆时针缓慢旋转至水平位置的过 程下列说法正确的是 A ．斜面对球的支持力变大 B ．档板对球的弹力变大 c ．斜面对球的支持力变小 D ．档板对球的弹力先变小后变大 5.如图所示，把一个光滑圆球放在两块挡板AC 和AB 之间，AC 与AB 之间夹角为30°，现将AC 板固定而使AB 板顺时针缓慢转动90°，则 A ．球对A B 板的压力先减小后增大 B ．球对AB 板的压力逐渐减小 C ．球对AC 板的压力逐渐增大 D ．球对AC 板的压力先减小后增大 6.如图所示，用一轻细绳拴一较大的球，置于倾角为α的光滑斜面 上，开始时，绳与水平方向的夹角β>α。现用—水平力缓慢向左移 动斜面(移动时绳不碰到斜面)，则绳的拉力( ) A ．减小 B ．增大 C. 先减小后增大 D ．先增大后减小 动态平衡 一、矢量三角形解动态平衡问题 操作步骤： 1、物体在三力作用下保持平衡； 2、找出大小和方向不变的力（常为重力）做为剩余两力合力需抵消的力； 3、画出剩余两力以及两力的合力，按题目要求移动物体，发现其中一力 方向肯定不变，另一力在转动，通过矢量三角形观察两力的变化情况。 例一、 （2012全国高考）如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为N 1，球对木板的压力大小为N 2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中（ ） A. N 1始终减小，N 2始终增大 B. N 1始终减小，N 2始终减小 C. N 1先增大后减小，N 2始终减小 D. N 1先增大后减小，N 2先减小后增大 解析：对小球进行受力分析，小球在三力作用下保持平衡；找出大小和方向不变的力即重力，该力为剩余两力合力需抵消的力；画出剩余两力以及两力的合力，其中一力方向肯定不变（N 1力），按题目移动另一力（逆时针移动N 2），通过移动发现N 1和N 2都始终减小，选B 。 N 1 mg N 2 mg N 1 N 2 重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若挡板逆时针缓慢转动到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1，F 2各如何变化？ 例二、 在固定于地面的斜面上垂直安放了一个挡板，截面为四分之一圆的柱状物体甲放在斜面上，半径与甲相等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态，如图所示，现在从球心O 1处对甲施加一平行于斜面向下的力F ，使甲沿斜面方向极其缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止。设乙对挡板的压力为F 1，甲对斜面的压力为F 2，在此过程中F 1、F 2如何变化？ 解析：对乙球进行受力分析，发现小球在三力作用下受力平衡；找出大小和方向不变的力即重力，那该力需剩余两力的合力来抵消；画出剩余两力以及两力的合力，按题目要求移动一下物体，发现力N 1的方向不变，力N 2做顺时针转动，所以力N 1逐渐减小，N 2先减小后增大。因为力N 1和F 1是作用力和反作用力，所以F 1=N 1，即F 1逐渐减小。如何求F 2呢，将甲乙两物体看做一个整体，那么其对斜面的压力F 2=（m 甲+m 乙）gcos ?，其力保持不变。 mg N 1 N 2 mg N 1 N 2 图解法、相似三角形法解决动态平衡问题 1． 如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。现用水平力F 拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力F f和环对杆的压力F N的变化情况是( ) A、F f不变，F N不变 B、F f增大，F N不变 C、F f增大，F N减小 D、F f不变，F N减小 2．如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°。现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力 A、大小不变 B、逐渐增大 C、先减小后增大 D、先增大后减小 3． 如图所示，水平横杆上套有两个质量均为m的铁环，在铁环上系有等长的细绳，共同拴着质量为M的小球．两铁环与小球均保持静止，现使两铁环间距离增大少许，系统仍保持静止，则水平横杆对铁环的支持力F N和摩擦力F f将 A．F N增大 B．F f增大 C．F N不变D．F f减小 4．某学习小组设计了高度可调节的滑轮装置以探究使球形物体处于静止状态时绳拉力的大小情况，如图2所示，初始状态绳沿水平方向，当定滑轮不断升高的过程中，绳上的拉力将（）A．逐渐增大B．逐渐减小 C．先增大再减小D．先减小再增大 5． 如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止．若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则 A．水平外力F增大 B．墙对B的作用力减小 C．地面对A的支持力减小 D．B对A的作用力减小 6． 一物体静止在斜面上如图所示，当斜面的倾角θ逐渐增大而物体仍静止在斜面上时 A．物体所受重力和静摩擦力的合力逐渐增大 B．物体所受重力和支持力的合力逐渐增大 C．物体所受支持力和静摩擦力的合力逐渐增大 D．物体所受重力、支持力和静摩擦力的合力逐渐增大 7．三根相同的光滑硬杆，在O端连接在一起但各自能绕O点自由转动，OABC始终构成一个正三棱锥，杆的另一端ABC始终成一个等边三角形且在同一个水平面。现在在锥内放一个小球，然后缓慢使锥角变大，直到三根杆子水平，该过程中每根杆对小球的作用力将 图2 第1页共8页◎第2页共8页 用三角形法则求解三力平衡问题 陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君 物体在几个共点力作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，作用在物体上的这几个力的合力为零。若物体在三个共点力的作用下处于静止或匀速直线运动状态，这三个力的合力必为零，此时可运用三角形法则进行分析与求解。 一、三角形法则 三个共点力的合力为零时，若用平行四边形定则求出任意两力的合力，这个合力将代替原来的两个力，这样，三力平衡问题就变成了二力平衡问题，合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。因此，若将表示三个力的矢量平行移动，使其依次首尾相接，将构成封闭三角形。这就是求解与分析三个共点力平衡问题的三角形法则。运用三角形法则作出表示力矢量的三角形后，可利用解三角形的知识与方法进行分析与求解。 例1．如图1所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为 m 和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平1 线的夹角为α＝60°。则小球的质量比m2/m1为 A． B． C． D． 解析：选碗中的小球m1为研究对象，如图2所示，由于碗的内表面光滑，它受竖直向下的重力mg、从m1（质点）指向球心O的支持力N（弹力）、沿细线斜向上的拉力T（弹力）三个力的作用而处于静止状态，由力的平衡条件可知，它们的合力为零，故将表示这三个力的矢量平行移动依次首尾相接，将构成封闭三 角形，如图3所示。由正弦定理有：，由于碗边缘光滑，相当于定滑轮，故有：。解两式得：。本题选A。 二、求解动态平衡问题 物体在三个共点力的作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，若其中的一个力缓慢变化，而物体仍处于静止状态或匀速直线运动状态，这类问题就是动态平衡问题，变力变化过程中的每一个状态，三力的合力都等于零。这类问题中至少有一个大小、方向均保持不变，三力矢量构成的封闭三角形中，至少有一个边保持不变，即三角形的两个顶点将保持不动，根据题中变力的变化情况，可确定出另一顶点的变化，由此可以判断出变力的变化情况。 例2．如图5所示，质量为m的小球用细线悬于天花板上。在小球上作用水平拉力F，使细线与竖直方向保持θ角，小球保持静止状态。现让力F缓慢由水平方向变为竖直方向。这一过程中，小球处于静止状态，细线与竖直方向夹角不变。则力F的大小、细线对小球的拉力大小如何变化？ 1.如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为O.人沿水平方向拉着OB绳，物体和人均处于静止状态．若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是() A．OA绳中的拉力先减小后增大 B．OB绳中的拉力不变 C．人对地面的压力逐渐减小 D．地面给人的摩擦力逐渐增大 2.如图所示，将球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向缓慢向上偏移至竖直方向的过程中，细绳上的拉力将 () A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 3.如图所示，不计重力的轻杆OP能以O点为圆心在竖直平面内自由转动，P端用轻绳PB挂一重物，用一根轻绳通过滑轮系住P端．在力F的作用下，当杆OP和竖直方向的夹角α(0<α<π)缓慢增大时，力F的大小应() A．恒定不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 4.如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是() A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大 5.如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是() A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2减小 D．F1减小，F2增大 6.如图所示，物体m与斜面体M一起静止在水平面上，若将斜面的倾角θ减小一些，下列说法正确的是() A．斜面体对物体的支持力减小 B．斜面体对物体的摩擦力减小 C．水平面对斜面体的支持力减小 D．水平面对斜面体的摩擦力减小 7.如图所示，上表面光滑的半圆柱体放在水平面上，小物块从靠近半圆柱体顶点O的A点，在外力F作用下沿圆弧缓慢下滑到B点，此过程中F始终沿圆弧的切线方向且半圆柱体保持静止状态．下列说法中正确的是() A．外力F先变小后变大 B．半圆柱体对小物块的支持力变大 C．地面对半圆柱体的支持力变大 D．地面对半圆柱体的摩擦力先变大后变小 准静态问题的力三角形判断法 在静力学中，经常遇到在力系作用下处于准静态平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题。这种判断如果用平衡方程做定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面。 我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=0，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰首尾相接，当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在且形状发生改变，比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然，所以，作出物体准静态平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形判断法的关键操作，三力动态平衡的力三角形判断通常有三类情况，类型I三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定， 例l 如图所示，竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置处于 平衡状态，若AC加长，使C点左移，,AB仍竖直，且处于平衡 状态，那么AC绳的拉力T和杆AB受到绳子的压力N与原先相 比，下列说法正确的是( ) (A)T增大，N减小 (B)T减小，N增大 (C)T和N均增大 (D)T和N均减小 分析与解由于绳AC以不同方向拉杆，使杆AB有一系列可能的平 衡状态．我们考察两绳系在直立杆顶端的结点A，它在绳AC的拉力 T、重物通过水平绳的拉力F（F=G）和杆AB的支持力作用下平衡．三 力中，水平绳拉力不变，杆支持力方向不变，总是竖直向上，大小 如何变化待定；而绳AC的拉力大小、方向均不确定．用代表这三个 力的有向线段作出一簇闭合三角形如图1－２所示，取点O为始端， 先作确定力F的有向线段①，从该线段箭头端点按已知方向力的方向作射线②，它是所有可能的力的作用线位置，从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的有向线段③便是第三个力矢量，在所得三角形集合图上，根据题意，用曲箭头表示出动态变化的趋势． 从图1－２中可知，随着绳AC趋于水平，其上的拉力减小，杆的支持力亦减小．注意到杆对结点支持力与结点对杆压力是作用力与反作用力，故本题正确答案为选项D． 例2 如图所示，用绳通过定滑轮牵引物块。使物块在水平面上从图示位置开始沿地面做匀速直线运动，若物块与地面间的动摩擦因数 <1 块运动过程中，以下判断正确的是( ) (A)绳子拉力将保持不变 (B)绳子拉力将不断增大 (C)地面对物块的摩擦力不断减小 (D)物块对地面的压力不断减小 分析与解本题中物块是在四个力作用下保持动态平衡．我们可先将地面施予物体的支持力N与摩擦力合成为地面作用力F，由于f=μＮ′＝μＮ，可知力F的方向是确定的：与支持力的方向成arctanμ角，支承面约束力（支持力与滑动摩擦力或最大静摩擦力的合力）与支持力间的这个角，通常称“摩擦角”，如图1 －4所示．这样，问题转化为三力平衡，其中重力G为确定力， 地面作用力F为方向确定力，属于类型一的问题． 如图1－5所示，取点O，作表示重力的有向线段①，从该线段箭头 端点作地面作用力F的作用线所在射线②，作从射线②上任意点指向O 点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③，它们就是绳拉力矢量， 用曲箭头标明变化趋势． 根据题给限制条件，由于μ＜1，故力三角形中①、②两线间 夹角小于45°；由于初始状态绳拉力与水平面成45°，故力三角形中线段③与线段①的夹角从45°开始减小，图1－5中θ角小于90°．容易判断：绳子拉力不断增大，地面作用力不断减小；由图1－4所示关系显见，地面支持力与摩擦力均随之减小．本 5．矢量三角形在牛顿定律中的应用 两种矢量三角形 三个力的合力为零 F 是F 1和F 2的合力 在牛顿定律问题当中，当物体只受两个力时，并且加速度与其中一个力垂直时，应用矢量三角形比较简单。 例题1：在一根绳下串联着两个质量不同的小球，上面小球比下面小球质量大，当手提着绳端沿着水平方向并使两球一起作匀加速直线运动时（空气阻力不计），则下面图中正确的是（ ） 答案：A 例题2：如图所示，小车向右做匀加速运动的加速度大小为a,bc 是固定在小车上的水平横杆，物块M 穿在杆上，M 通过细线悬吊着小球m ，M 、m 均相对小车静止，细线与竖直方向的夹角为θ。若小车的加速度逐渐增大到2a 时，M 、m 仍与小球保持相对静止，则（ ） A ．M 受到的摩擦力增加到原来的2倍 B ．细线的拉力增加到原来的2倍 C ．细线与竖直方向的夹角增加到原来的2倍 D ．细线与竖直方向的夹角的正切值增加到原来的2倍 答案：AD 例题3：如图，小车内用两根细线系着质量为m=4kg 的小球，其中细线CD 水平方向，细线AB 与竖直方向的夹角α=370求：（1）小车以加速度a 1=5m/s 2向右加速运动时，两细线的拉力分别是多少？（2）小车以加速度a 2=10m/s 2向右加速时，两细线拉力又 是多少？（g =10m/s 2） 例题4：如图所示，小球与光滑斜面一起在水平面上运动，小球的质量m=1kg ，细线与斜面平行，求：A B C D F 1F 2F F 3F 2F 1A B D C αθm θm c b M a （1）当斜面加速度a 1=5m/s 2时细线的拉力为多少？ （2）当斜面加速a 2=20m/s 2时细线的拉力为多少？ （3）当细线恰好无拉力时，求斜面的加速度？ 答案：临界加速度g 3 例题5：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线、悬挂一为ｍ的小球，圆锥顶 角为２θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧斜面，此时绳的拉力是 多少？若要小球离开斜面，则小球的角速度至少是多少？ 答案：θωθ22sin cos L m mg + θcos /L g 例题6：求下列情况下的加速度： 例题7：如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量不等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则( ) A ．球A 的角速度一定大于球 B 的角速度 B ．球A 的线速度一定大于球B 的线速度 C ．球A 的运动周期一定小于球B 的运动周期 D ．球A 对筒壁的压力一定大于球B 对筒壁的压力 解析：选B 对A 、B 两个小球进行受力分析，如图所示，由于弹力垂直于接触面，因此两个弹力的方向相同，且弹力的竖直分量等于重力，在两小球质量大小不明确的情况下 两个弹力的大小也无法判断，选项D 错误；弹力的水平分力提供向心力且和 小球的质量成正比，也就是说两小球的向心加速度相等，根据a ＝ω2R ，由于 A 球的轨道半径大于 B 球的轨道半径，因此A 球的角速度小于B 球的角速度， 选项A 错误；根据a ＝v 2R 由于A 球的轨道半径大于B 球的轨道半径，可知A 球线速度大于B 球的线速度，选项B 正确；根据a ＝4π2 T 2R ，由于A 球的轨道半径大于B 球的轨道半径，因此A 的运动周期大于B 球的运动周期，选项C 错误． m θ 2θ A动态平衡问题常见解法
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