关于图的特征值的几个问题的研究
【摘要】：图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、统计力学、计算机科学、通信网络以及信息科学中均有着广泛的应用.图谱的研究主要是利用线性代数、矩阵论等成熟的理论和技巧,巧妙地把图的一些基本结构性质和它的参数联系在一起,并找出它们之间的内在关系.在图谱理论中,为了研究图的性质,人们引入了各种各样的矩阵.常见的有图G的邻接矩阵A(G)、拉普拉斯矩阵L(G)、关联矩阵M(G)、距离矩阵D*(G)以及无符号拉普拉斯矩阵Q(G)等等.这些矩阵都与图的结构都有着密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质(主要是指矩阵的特征值性质)反映出来.尽管这些定义不同的矩阵有着各种丰富的形式,但是他们的特征多项式(或者说谱)之间却很可能是互相关联的.在[20]中,Dragos列举说明了在二部图中,无符号拉普拉斯谱和拉普拉斯谱相同.同时我们知道,图的拉普拉斯矩阵的非零特征值和它的线图的邻接特征值也有着密切的关系.这样,通过二部图就可以把它们紧密地联系在一起.又例如,令那么,邻接矩阵的特征多项式可以表示为FG(x,0),拉普拉斯矩阵的特征多项式可以表示为(—1)nFG(—x,1),无符号拉普拉斯矩阵的特征多项式可以表示为FG(x,—1)等等.尽管如此,由于它们都有自己独特的应用背景和实际价值,我们还是很有必要对这些不同的矩阵和谱展开针对性的研究的.在上面所提及的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和拉普拉斯
矩阵.本文研究的主要问题在三个方面：(1)简单连通无向图的拉普拉斯谱及其极限点；(2)有向图的邻接谱半径；(3)无符号拉普拉斯特征值的极限点和谱半径.我们试图建立它们与图的结构参数之间的一些关系.具体内容如下：(一)在第一章中,我们首先回顾了图论的整个发展过程,接着介绍了-些常见的谱理论研究中相关的问题的代数图论背景和研究技巧.在第二小节中,我们给出了一般的图论中的一些基本概念和记号.文章中一些特殊的定义未在此节中出现的,我们将在后面的相关章节中具体介绍.在第三小节中,我们简单介绍了和本文相关极限点以及谱半径等问题的一一些进展及最新结果.(二)在第二章中的第一小节中,我们首先通过找到一个图序列{Gn},证明它的第三大拉普拉斯特征值极限点存在,并且满足而后,我们证明1和上式中1.5550分别是第三大拉普拉斯特征值的第一小和第二小极限点.在第二小节中,对同定的b,假设l3(b)和l’3(b)分别是方程bμ(μ—2)—(μ—1)2(μ—3)=0和bμ(μ—2)—(μ—1)2(μ—3)—(μ—1)(μ—2)=0的第二大根.我们证明了l3(b)和l’3(b)(b=0,1,…)都是第三大拉普拉斯特征值极限点.接着,我们确定了l3(b)和l’3(b)以及2是第三大拉普拉斯特征值在区间(0,2]内的所有极限点,并且证明了l’3(b)l3(b)l’3(b+1),从而对(0,2]中的极限点按照大小进行排序.最后,在第三小节中,我们通过构造图类,证明任何一个正整数k都是第三大拉普拉斯特征值的极限点.(三)在第三章中,我们首先在第一节里刻画了所有满足其第二大拉普拉斯特征值μ2(G)≤l 的连通图G,其中l=3.2470是三次方程μ3—5μ2+6μ—1=0的第一大根.在此基础上,我们通过对图的拉普拉斯特征多项式和特征值的讨论,在
第二小节里求出所有小于等于l=3.2470的第二大拉普拉斯特征值的极限点.(四)在第四章中,我们首先在第一小节中考虑在有向图的一些移接变形后谱半径的变化情况,然后给出团数和围长等固定的有向图中谱半径取到最小时的极图以及强连通图的最小和第二小谱半径.最后,我们求出了点连通度给定的强连通有向图的最大谱半径.(五)在第五章中,我们首先主要以顶点度di和图的边数m为参数,通过矩阵相似变换,讨论了弱并接(weakjoin)图的谱半径的上界,并刻画了达到这个上界的极图.谱半径的上界的准确估计,对于考虑图的最大特征值的极限点的存在性有至关重要的作用.接着,我们根据第二章和第三章的内容,给出了无符号拉普拉斯特征值的一些极限点的存在情况.【关键词】：邻接矩阵拉普拉斯矩阵特征多项式极限点禁用子图有向图邻接谱半径无符号拉普拉斯谱半径直径周长
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2011
【分类号】：O157.5
【目录】：摘要6-9Abstract9-13第一章绪论13-271.1研究背景与发展13-171.2基本概念与记号17-211.3本文的主要问题及其进展21-27第二章第三大拉普拉斯特征值的极限点27-482.1第三大拉普拉斯特征
值的第一及第二小极限点27-372.2第三大拉普拉斯特征值的第κ小极限点37-462.3第三大拉普拉斯特征值的整数极限点46-48第三章第二大拉普拉斯特征值的极限点48-633.1刻画μ_2(G)≤l的连通图48-603.2μ_2(G)小于等于l的极限点60-63第四章有向图的谱半径63-764.1关于有向图的一些移接变形63-664.2有向图的最小及第二小谱半径66-724.3点连通度给定的强连通有向图的最大谱半径72-76第五章无符号拉普拉斯谱76-845.1弱并接图的无符号拉普拉斯谱半径76-805.2无符号拉普拉斯矩阵特征值的极限点80-84参考文献84-93个人简历博士学位期间发表及完成的论文93-94致谢94 本论文购买请联系页眉网站。
图的最小特征根和拉普拉斯谱半径 【摘要】：图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、统计力学、计算机科学、通信网络以及信息科学中均有着广泛的应用.图谱理论的研究主要是利用成熟的代数理论和技巧,并结合图论和组合数学的理论来研究图谱、图的结构性质以及与图的其它不变量(如色数、度序列、直径、围长、连通度等)之间的关系,它将图与网络的代数性质与其拓扑性质紧密地结合在一起.在图谱理论中,为了研究图的性质,人们引入了各种各样的矩阵,诸如图的邻接矩阵、关联矩阵、距离矩阵、拉普拉斯矩阵等等,这些矩阵与图的结构都有着密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来,这里所说的矩阵的代数性质,主要是指矩阵的特征值所刻画的性质.在上面所提到的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和图的拉普拉斯矩阵.图的邻接矩阵的特征值和图的拉普拉斯矩阵的特征值都是在图的同构下的不变量.对图的邻接矩阵特征值而言,最重要的两个特征值是最大特征值和最小特征值,分别称为图的谱半径和最小根.对图的谱半径的研究,文献中存在大量的结果,已经形成了比较完善的理论体系.而对最小根而言,研究的结果还很少.在图的拉普拉斯特征值中,最重要的也有两个：图的最大拉普拉斯特征值(即拉普拉斯谱半径)和图的次小拉普拉斯特征值(即代数连通度).本论文主要围绕图的最小根和拉普拉斯谱半径进行研究.本文首先介绍图的最小根和拉普拉斯谱半径的研究背景和
进展,然后分四部分详细地介绍我们围绕这两个课题所取得的主要研究成果.本文的主要结果如下：(一)在第二章中我们讨论直径固定的一般图.用(?)n,d表示直径为d的n阶连通图的集合.对任意的图G∈(?)n,d,通过考虑图G的连通生成二部子图的最小根,我们获得了图G 的最小根的一个下界.进一步地,作为一个推论,给出了图G的拉普拉斯谱半径的一个上界.(二)在第三章中我们研究图的最小根与图的不变量.用U(n,K)表示悬挂点数为k的n阶单圈图的集合.利用移接变形的技巧和特征多项式的一些技巧,刻画了最小根达到最小的单圈图.用8(n,k)表示悬挂点数为k的n阶双圈图的集合.综合利用图谱理论的多种工具和手段,确定了最小根达到最小的双圈图.在本章的最后一节,我们考虑了图的不变量直径.用U(n,d)表示直径为d的n阶单圈图的集合,结合图的不变量直径,我们刻画了最小根达到最小的单圈图.(三)在第四章中我们讨论三圈图的谱.用(?)n表示n阶三圈图的集合.对n≥52,我们确定了最小根取到最小的唯一的三圈图.(四)在第五章中我们讨论树的拉普拉斯谱半径.用Tn,d表示直径为d的n阶树的集合.对d∈{1,2,3,4,n-4,n-3,n-2,n-1},我们分别确定了此时拉普拉斯谱半径达到最小的树.【关键词】：最小特征根拉普拉斯谱半径直径悬挂点移接变形单圈图双圈图三圈图 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 —一 .幂法 1. 幕法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幕法计算其主特征值 (按模最大) 及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： ⑴I 1 I I 2|n |- 0, i 为A 的特征值 (2)存在n 个线性无关的特征向量，设为 X i ,X 2，…，X n 1.1计算过程： n 对任意向量x (0)，有x (0)八：-M —不全为0,则有 i 4 X (k 岀)=Ax (k)= = A k 岀乂。) n n A k 1 aq a 扌1 5 i =1 i =1 ■k 1 2 可见，当 1 — 1 越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有 ? "1 2算法实现 ⑶.计算x Ay,… max(x); ⑷若| ?一十：；,输出-,y,否则,转(5) (5)若N ,置k 「k 1^ -,转3,否则输出失败信息，停机. 3 matlab 程序代码 (冲1 %叫 x (k 1) [x (k) k 二 u x (k) > (k+1) 1，对应的特征向量即是 x (1).输入矩阵A ，初始向量X ，误差限 最大迭代次数N (k) 0; y (k) max(abs(x (k ))
k=1; z=0; y=x0./max(abs(x0)); x=A*y; % z相当于■ %规范化初始向量%迭代格式 b=max(x); % b相当于： if abs(z-b)
第一单元扇形统计图 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 师者，所以传道，授业，解惑也。韩愈 教材分析： 本单元在统计表以及条形统计图、折线统计图的基础上编排。 扇形统计图不仅表示各个部分数量的多少，而且侧重于用同一个圆里的大大小小的扇形，表示各个部分数量与总数量之间的关系，表示各个部分数量分别占总数量的百分之几。 教学扇形统计图，要使学生认识它的特点。了解它的用处，能够看懂统计图所呈现的数据信息，能够利用统计图给出的百分数解决实际问题。体会条形图、折线图、扇形图的不同，体会根据数据内容合理选择统计图的必要性。h 小学数学不要求制作扇形统计图。因为制作扇形统计图需要扇形的知识，要计算扇形的圆心角，而小学数学只简单认识扇形，不教学画扇形，所以小学生不具备制作扇形统计图的知识与能力。全单元编排两道例题，具体安排如下表：例1初步认识扇形统计图，了解扇形统计图的特点，能看懂并利用图中的百分数；例2比较三种统计图，了解条形图、折线图、扇形图各自的特点；能根据要呈现的数据内容，选择适宜的统计图 练习一配合两道例题的教学。第1、2、3题配合例1，以认识扇形图，看懂其中的数据信息为主，比例1及其“练一练”的要求稍高一些。第4题配合例2，教材编排这道题，有选择合适的统计图呈现数据的意图。第5、6、7题是综合练习题。本单元最后安排的“动手做”，是以“反应速度”为内容的游戏活动，是用统计思想方法解决问题的数据活动。编排这次动手做的目的，是要让学生积极、主动地参与一次数据活动，获得对数据的新体验。 教学目标： 1、使学生认识扇形统计图，进一步明确扇形统计图的特点和作用；体会各种统计图的特点，初步学习选择合适的统计图表示数据信息。 2、使学生能根据绘制出的扇形统计图分析数据所反映的一些简单事实，能作出一些简单的推理与判断，进一步认识统计是解决实际问题的一种策略和方
关于图的特征值的几个问题的研究 【摘要】：图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、统计力学、计算机科学、通信网络以及信息科学中均有着广泛的应用.图谱的研究主要是利用线性代数、矩阵论等成熟的理论和技巧,巧妙地把图的一些基本结构性质和它的参数联系在一起,并找出它们之间的内在关系.在图谱理论中,为了研究图的性质,人们引入了各种各样的矩阵.常见的有图G的邻接矩阵A(G)、拉普拉斯矩阵L(G)、关联矩阵M(G)、距离矩阵D*(G)以及无符号拉普拉斯矩阵Q(G)等等.这些矩阵都与图的结构都有着密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质(主要是指矩阵的特征值性质)反映出来.尽管这些定义不同的矩阵有着各种丰富的形式,但是他们的特征多项式(或者说谱)之间却很可能是互相关联的.在[20]中,Dragos列举说明了在二部图中,无符号拉普拉斯谱和拉普拉斯谱相同.同时我们知道,图的拉普拉斯矩阵的非零特征值和它的线图的邻接特征值也有着密切的关系.这样,通过二部图就可以把它们紧密地联系在一起.又例如,令那么,邻接矩阵的特征多项式可以表示为FG(x,0),拉普拉斯矩阵的特征多项式可以表示为(—1)nFG(—x,1),无符号拉普拉斯矩阵的特征多项式可以表示为FG(x,—1)等等.尽管如此,由于它们都有自己独特的应用背景和实际价值,我们还是很有必要对这些不同的矩阵和谱展开针对性的研究的.在上面所提及的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和拉普拉斯
矩阵.本文研究的主要问题在三个方面：(1)简单连通无向图的拉普拉斯谱及其极限点；(2)有向图的邻接谱半径；(3)无符号拉普拉斯特征值的极限点和谱半径.我们试图建立它们与图的结构参数之间的一些关系.具体内容如下：(一)在第一章中,我们首先回顾了图论的整个发展过程,接着介绍了-些常见的谱理论研究中相关的问题的代数图论背景和研究技巧.在第二小节中,我们给出了一般的图论中的一些基本概念和记号.文章中一些特殊的定义未在此节中出现的,我们将在后面的相关章节中具体介绍.在第三小节中,我们简单介绍了和本文相关极限点以及谱半径等问题的一一些进展及最新结果.(二)在第二章中的第一小节中,我们首先通过找到一个图序列{Gn},证明它的第三大拉普拉斯特征值极限点存在,并且满足而后,我们证明1和上式中1.5550分别是第三大拉普拉斯特征值的第一小和第二小极限点.在第二小节中,对同定的b,假设l3(b)和l’3(b)分别是方程bμ(μ—2)—(μ—1)2(μ—3)=0和bμ(μ—2)—(μ—1)2(μ—3)—(μ—1)(μ—2)=0的第二大根.我们证明了l3(b)和l’3(b)(b=0,1,…)都是第三大拉普拉斯特征值极限点.接着,我们确定了l3(b)和l’3(b)以及2是第三大拉普拉斯特征值在区间(0,2]内的所有极限点,并且证明了l’3(b)l3(b)l’3(b+1),从而对(0,2]中的极限点按照大小进行排序.最后,在第三小节中,我们通过构造图类,证明任何一个正整数k都是第三大拉普拉斯特征值的极限点.(三)在第三章中,我们首先在第一节里刻画了所有满足其第二大拉普拉斯特征值μ2(G)≤l 的连通图G,其中l=3.2470是三次方程μ3—5μ2+6μ—1=0的第一大根.在此基础上,我们通过对图的拉普拉斯特征多项式和特征值的讨论,在
思维导图在语文课堂中的尝试与运用成果报告 慕仪镇中心小学 【摘要】思维导图是英国著名心理学家托尼·巴赞于上世纪70年代发明了一种新型的思维工具，这是一种将放射性思考具体化的方法，放射性思考是人类大脑的自然思考方式，以大脑中的某一个知识点为思维中心，从这个知识点出发引发出与之相关的其他知识点，这些知识点又可以成为另外的思维中心。近年来，思维导图逐渐获得了广泛的认可，并应用于学科教学过程中。 【关键词】高效课堂思维导图小学语文 一、研究的背景 高效课堂实施以来，如何转变学生的学习方式，激发学生的学习兴趣，进而提高语文教学的有效性，一直是一线教师关注和试图解决的问题。教学的根本目的是促进人的发展，教学有效性的关键是看通过教学学生是否掌握了学习方法，积极主动地学习，促进了学生的进步和发展，也就是说衡量教学有效性的标准是看学生是否获得了进步和发展。运用“思维导图”就是提高教学有效性的方式之一，目前已成为国内外教育研究的热点。 二、课题的核心概念的界定 思维导图: 英国著名心理学家托尼·巴赞于上世纪70年代发明了一种新型的思维工具，这是一种将放射性思考具体化的方法，放射性思考是人类大脑的自然思考方式，以大脑中的某一个知识点为思维中心，从这个知识点出发引发出与之相关的其他知识点，这些知识点又可以成为另外的思维中心。这种发散性的结构符合大脑工作的原理，体现了人们思维过程中的多向性和跳跃性，是一种能够帮助人们
分析问题、整理思路、快速学习的方法和工具。思维导图类似于大脑神经元网络的分布，方便让大脑掌握知识内在联系的同时能使想法很快产生；使用了大脑喜欢的多色彩的思考方式；强调左右大脑的协调合作，在清晰整理自己思维的过程中，大量使用形象生动的图形和容易辨识的符号，而不是单一的文字；强调以立体方式思考，将彼此间的关系显示出来，可在分支上再继续分出新要点；具有强烈的个人色彩，在基本原则相同的前提下，每个人绘制的思维导图都有强烈的个人风格。近年来，思维导图逐渐获得了广泛的认可，并应用于学科教学过程中。 三、理论依据及意义 １、课堂教学改革可以通过借鉴其他领域的取得的成果促进改革向纵深发展，比如脑科学研究的最新成果、信息技术的最新进展等。 ２、高效课堂教学改革只有触及到了学生思维发展的水平上才能真正体现出新课程倡导的理念，本课题研究选择了思维科学为突破口来整体构建新型的教学与学习方式。 ３、思维导图，可以把—长串枯燥的信息变成彩色的、容易记忆的、有高度组织性的图画，与我们大脑处理事物的自然方式相互吻合。 ４、作为一种实证性的研究，本课题更关注研究过程中师生的作品成果的积累。本课题的研究对转变学生的学习方式，提高语文教学的有效性有较高的实践价值。通过研究探索运用“思维导图”提高语文教学有效性的策略，初步建立基于“思维导图”的语文课堂教学模式，帮助语文教师提高教学能力，促进学生的进步和发展。
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第二次作业 201821050326 程小龙 习题： 4.8 答：参考教材4.4-1式，高通滤波器可以看成是1减去相应低通滤波器，从低通滤波器的性质可以看出，在空间域上低通滤波器在原点是存在一个尖峰，且大于0，1是看成直流分量，因此，傅里叶逆变换之后的高通滤波器在空间域上原点就会出现负的尖峰。 b5E2RGbCAP 4.15 答： 方便起见，我们考虑一个变量。当u从0增加到M，H(u,v>从最大值2j<复数）然后减少，当u=M/2时<转移方程的中心）最小；当u 继续增加，H(u,v>继续增加，且当u=M时，又取得最大值。同样，考虑两个变量也得到类似的结果。这种特性就是我们的高通滤波器，于是我们就可以得到我们推导出的滤波器H !程序说明：幂法求矩阵主特征值 !日期：2010年11月30日 PROGRAM Matrix_EigenValue PARAMETER(N=3) REAL ARR(N,N) CALL INPUT(ARR,N) CALL MATEV(ARR,N) END PROGRAM SUBROUTINE INPUT(ARR,N) REAL ARR(N,N) OPEN(1,FILE='MAT.TXT') READ(1,*)((ARR(I,J),J=1,N),I=1,N) END SUBROUTINE SUBROUTINE MATEV(ARR,N) PARAMETER(EPS=1E-7) REAL :: ARR(N,N),X(N),X1(N),MAX=0 INTEGER :: K=0,P=0 X=RESHAPE((/1,1,1/),(/3/)) WRITE(1,*) ' 迭代次数 U（规范化向量） & & MAX(V)（主特征值）' DO WHILE(P/=N) WRITE(1,'(I6,A, ENDDO K=K+1 ENDDO END SUBROUTINE 输出结果： 1 1 0.5 1 1 0.25 0.5 0.25 2 迭代次数 U（规范化向量） MAX(V)（主特征值） 0 ( 1.000000 1.000000 1.000000 ) 0.000000 1 ( 0.909091 0.81818 2 1.000000 ) 2.750000 2 ( 0.837607 0.743590 1.000000 ) 2.659091 3 ( 0.799016 0.703035 1.000000 ) 2.604701 4 ( 0.77741 5 0.680338 1.000000 ) 2.575267 5 ( 0.765108 0.66740 6 1.000000 ) 2.558792 6 ( 0.758025 0.659963 1.000000 ) 2.549406 7 ( 0.753925 0.655655 1.000000 ) 2.544003 8 ( 0.751544 0.653153 1.000000 ) 2.540876 9 ( 0.750158 0.651697 1.000000 ) 2.539060 10 ( 0.749351 0.650848 1.000000 ) 2.538003 11 ( 0.748880 0.650354 1.000000 ) 2.537387 12 ( 0.748606 0.650065 1.000000 ) 2.537028 13 ( 0.748445 0.649897 1.000000 ) 2.536819 14 ( 0.748352 0.649799 1.000000 ) 2.536697 15 ( 0.748298 0.649741 1.000000 ) 2.536626 16 ( 0.748266 0.649708 1.000000 ) 2.536584 17 ( 0.748247 0.649688 1.000000 ) 2.536560 18 ( 0.748236 0.649677 1.000000 ) 2.536546 19 ( 0.748230 0.649670 1.000000 ) 2.536537 20 ( 0.748226 0.649667 1.000000 ) 2.536533 21 ( 0.748224 0.649664 1.000000 ) 2.536530 22 ( 0.748223 0.649663 1.000000 ) 2.536528 23 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 24 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 25 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536526 26 ( 0.748221 0.649661 1.000000 ) 2.536526 内容来自wikipedia 链接为https://www.doczj.com/doc/5215312161.html,/wiki/Laplacian_matrix 图的拉普拉斯矩阵 1. In the mathematical field of graph theory , the Laplacian matrix , sometimes called admittance matrix , Kirchhoff matrix or discrete Laplacian , is a matrix representation of a graph . Together with Kirchhoff's theorem , it can be used to calculate the number of spanning trees for a given graph. The Laplacian matrix can be used to find many other properties of the graph. Cheeger's inequality from Riemannian geometry has a discrete analogue involving the Laplacian matrix; this is perhaps the most important theorem in spectral graph theory and one of the most useful facts in algorithmic applications. It approximates the sparsest cut of a graph through the second eigenvalue of its Laplacian. 2.定义 Given a simple graph G with n vertices, its Laplacian matrix n n L ? is defined as: A D L -=， where D is the degree matrix and A is the adjacency matrix of the graph. In the case of directed graphs , either the indegree or outdegree might be used, depending on the application. The elements of L are given by where deg(v i ) is degree of the vertex i . The symmetric normalized Laplacian matrix is defined as: The elements of are given by 图的结构参数与特征值 【摘要】：图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、统计力学、计算机科学、通信网络以及信息科学中均有着广泛的应用.在图谱理论中,为了研究图的性质,人们引入了各种各样的矩阵,诸如图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、关联矩阵、距离矩阵等等.这些矩阵与图的结构都有着密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来.这里所指的矩阵的代数性质,主要是指矩阵的特征值性质,例如谱半径,谱唯一性,谱展,能量等等.在上面所提及的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵.本文主要对图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的谱半径以及谱展进行研究,试图建立它们与图的结构参数之间的一些关系.本文的主要内容如下：(一)在第一章中,我们首先回顾了图论的演变,接着介绍了本文所研究的一些图谱理论问题的背景和进展.最后引入了相关问题的一些基本概念和记号.(二)在第二章中,我们讨论了图的邻接谱半径与图的结构参数之间的关系.在文献[119]中,E.R.vanDam刻画了直径给定的连通图中最大邻接谱半径的极图.这里,我们刻画了直径给定的二部图中最大邻接谱半径的极图以及围长给定的双圈图中最大邻接谱半径的极图.(三)在第三章中,我们首先给出了关于拉普拉斯谱半径的一个边嫁接定理,作为它的一个应用,我们刻画了围长给定的双圈图中最大拉普拉斯谱半径的唯一极图.此外,我们获得了图的拉普拉斯谱半径关于直径的一个上界并刻画了直径 给定的图中最大拉普拉斯谱半径的极图.(四)在第四章中,我们研究图的谱展问题.图的邻接谱展是指其邻接矩阵的谱半径与最小特征值之差.而图的拉普拉斯谱展被定义为其拉普拉斯谱半径与代数连通度之差.我们首先研究了无穷型双圈图的邻接谱展及相应的极图,然后研究了一般图的拉普拉斯谱展.(五)在第五章中,我们讨论了图的距离谱半径与团数之间的关系.我们分别刻画了团数给定的连通图中达到最大与最小距离谱半径的极图.【关键词】：邻接矩阵拉普拉斯矩阵距离矩阵邻接谱半径拉普拉斯谱半径距离谱半径谱展拉普拉斯谱展直径围长团数极图二部图双圈图 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2010 【分类号】：O157.5 【目录】：摘要6-8Abstract8-13第一章绪论13-201.1研究背景与进展13-181.2基本概念和记号18-20第二章图的邻接谱半径20-402.1直径给定的二部图的邻接谱半径20-302.2围长给定的双圈图的邻接谱半径30-40第三章图的拉普拉斯谱半径40-683.1关于拉普拉斯谱半径的一个边嫁接定理40-453.2围长给定的双圈图的拉普拉斯谱半径45-533.3直径给定的二部图与一般图的拉普拉斯谱半径53-68第四章 数值分析 幂法求矩阵A按模最大的特征值及其 特征向量 幂法的主要思想 设 n n ij R a A ?∈=)( ,其特征值为i λ ,对应特征向量为),,,1(n i x i =即 i i i x Ax λ= ),,1(n i =，且 x 1，······，x n 线性无关。求矩阵A 的主特征值及对应的特征向量。 幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量 v 0 ∈R n 且v 0≠0， 由矩阵A 的乘幂构造一向量序列： 称{ v k }为迭代向量， A 特征值中 λ1为强占优，即▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏, {x 1，x 2，······，x n }线性无关，即{x 1，x 2，······，x n }为R n 中的一 个基，于是对任意的初始向量v 0 ∈R n 且 v 0≠0有展开式。 (v 0 用{x i } 的线性组合表示) （且设01≠α） 则 当k =2,3,… 时，v k = A v k-1 = A k v ? ?? 1Av v =0 212v A Av v ==01 1 v A Av v k k k ++==) ,,1,0(n k =∑==n i i i x v 1 α)(221101n n x x x A v A v ααα+++==n n x A x A x A ααα+++=2211n n n x x x λαλαλα+++=222111) (111 +≡x k αλk ε 其中 由假设▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏，得 ，从而 即,0lim =∞→k k ε且收敛速度由比值||12λλ=r 确定。 所以有 说明，当k 充分大时，有1 11 x v k k αλ≈，或 k k v 1λ 越来越接近特征 向量 规范化幂法的算法 ①输入矩阵 A 、初始向量v (0)，误差 eps ，实用中一般取 v (0)=（1，1，···，1）T ； ②k ←1； ③计算 v (k) ←Au (k-1)； ④m k ←max{ v (k) }，m k-1 ←{ v (k-1) }； ⑤u (k) ←v (k)/ m k ； ⑥如果▕ m k - m k-1▕＜eps ，则显示特征值λ1←和对应的特征 向量x (1)，终止； ⑦k=k+1，转③。 n k n n k k x x )()(1 2122λλαλλαε++=),,2(1||1 n i i =<λλ ),,,2(0)(lim 1n i k i k ==∞→λλ111 lim x v k k k αλ=∞ →。 11x α 邻接矩阵及拉普拉斯矩阵 邻接矩阵 图的邻接矩阵能够很方便的表示图的很多信息，且具有描述简单、直观的特点。无向简 单图的邻接矩阵定义如下：设图G = (V ，E ) ，有n ≥ 1 个顶点,分别为： 12,,,n v v v L 则G 的邻接矩阵 A 是按如下定义的一个n 阶方阵。 1v =a a =0,i j ij n n ij A ?∈?? ?， （,v ）E （） ， 否则 直观上，由邻接矩阵我们可以得到如下信息： 1.邻接矩阵是一个0，1的对称矩阵，对角线元素为0。 2.矩阵的各个行和（列和）是各个顶点的度。所有元素相加和为边数的二倍。 3. A n 的i , j 位置元素为v i j 与v 之间的长度等于n 的通路的数目，而i ，j 位置的元素为v i 到自身的回路的数目。特别的2 A 的i,i 位置元素是v i 的度；3 A 的i,i 位置元素是含v i 的三角形数目的二倍。 4.由3.设1 (1)l k l k S A l == ≥∑，则l S 中,i j 位置元素(),S l i j 为顶点i v 与v j 之间长度小于或 等于l 的通路的个数。若(n-1),S 0i j =，则说明i v 与v j 之间没有通路。由此我们可以得到一个判断图G 的联通新的重要准则：对于矩阵1 l k l k S A ==∑，若S 中所有元素都非零则G 是连通图， 否则图G 是非连通图。 5.设G 是连通图，将矩阵 A 的所有是1的元素换成?1，并且把对角线元素ii a 换成相 应顶点i v 的度， i=1,2,,n L （），则所得到的矩阵的任何元素的代数余子式都相等，等于G 的 生成树的数目。 小学数学教师资格证面试教案模板《扇形统计图》 【教学内容】 【教学目标】 1. 认识扇形统计图的特点，了解扇形统计图的作用; 2. 学会观察扇 形统计图，能根据扇形统计图提出数学问题并解决问题; 3. 在学习过程中，感受扇形统计图的价值，体会统计方法与统计思想。 【教学过程】 一、教学例1。 师：同学们好!，今天老师将和大家一起开始学习第六单元《统计》。 师：请看屏幕——(出示主题图) 师：这是六(1)班同学开展课外活动时的情景。同学们有的打乒乓球，有的踢足球，还有的跳绳，踢毽子?…热闹极了!请同学们想一想，如果我们绘制一个统计图，要能清楚地反映六(1)班同学喜欢各种运动项目的人数，大家认为应该绘制什么样的统计图比较好呢?预设： 生：条形统计图。 师：嗯，老师也同意。(出示p106页条形统计图)这是老师绘制的六(1)班同学最喜欢的运动项目统计图。从这个条形统计图中，你能得到哪些信息呢? 预设： 生1：我知道了喜欢乒乓球的有12人，喜欢足球的有8人，喜欢跳绳和踢毽子的分别有 6 人和 5 人，喜欢其他运动项目的有9 人; 生2：从这个条形统计图中，我还能看出喜欢乒乓球的人数最多，喜欢踢毽子的人数最少;生3：我还知道了喜欢乒乓球的人数比喜欢足球的人数多 4 人; 生4：我还知道了六(1)班一共有40 人。 师：你是怎样知道六(1)班一共有40 人的呢? 生4：把喜欢各类运动的人数相加正好等于40。 师：嗯，条形统计图的特点就是可以清楚地反映各种数量的多少。但是，同学们，如果我们想清楚地知道喜欢每种运动项目人数各占总人数的百分之几，你们还能从条形统计图中直接看出来吗? 生齐：不能。 师：老师告诉大家，有一种统计图就能清楚地反映各部分数量与总数之间的关系，同学们想知道那是什么统计图吗? 师：这种统计图就是——扇形统计图。(板书课题)我们今天就一起来学习扇形统计图。 师：这就是已经绘制好的六(1)班同学最喜欢的运动项目的扇形统计图。 师：在这个扇形统计图中，我们用整个圆表示全班学生的人数，也就是;用5个扇形分别表示喜欢5 类运动项目的人数占全班人数的百分之几。 师：其中橙色的扇形表示喜欢乒乓球的人数占总人数的百分比。同学们，那绿色扇形、蓝色扇形、黄色扇形、红色扇形分别表示什么呢?请同桌的同学相互说一说吧。 生1：绿色的扇形表示喜欢足球的人数占总人数的百分比; 生2：蓝色的扇形表示喜欢跳绳的人数占总人数的百分比; 生3：黄色的扇形表示喜欢踢毽子的人数占总人数的百分比; 生4：红色的扇形表示喜欢其他运动项目的人数占总人数的百分比。 师：嗯。我们已经初步了解了扇形统计图，现在，请同学们认真观察，从这个扇形统计图中，你们又能了解哪些信息呢? 数学建模作业 计算机学院信计1102班姜圣涛 （1）幂法求矩阵最大特征值及特征向量： 程序为： #include while(1){ max=X[0]; for(i=0;i 1 思维导图调查研究报告 ——始之于脑，用之于 学 学校：贵州省贵阳市第六中学 参赛学生：罗欣欣程建欣彭宇岚邰康敏 指导老师：张莉 研究论文开始时间：2014年10月2日 1 思维导图调查研究报告 ——始之于脑，用之于学 学校：贵州省贵阳市第六中学 参赛学生：罗欣欣程建欣彭宇岚邰康敏 指导老师：张莉 研究论文开始时间：2014年10月2日 目录 一．摘要 (3) 二．论文关键词 (3) 三．前言 (3) 四．正文 (3) 五．研究项目实性报 告……………………………………………………………………………………………….（6）. 六．结论与建议 (6) 七．参考文献 (6) 八．附录 (7) 九．鸣 谢 (7) 2 一．摘要 同学们在学习过程中经常会遇到不知道怎么去巩固和复习知识的问题，这个问题激发了我们寻找高效学习方式的热情。由此我们开始了这个关于思维导图学习方式的研究课题。通过调查研究得到了一系列结论。 二．论文关键词 思维导图学习方式实际应用记忆思考 三．前言 高中学习阶段知识种类多而繁杂，怎样有条不紊的把所学的知识进行归纳总结是我们现代高中生必须去探究的一个问题。思维导图，这个名词就被引入了我们的学习生活。我们本着为了使学习更加高效和轻松的目的，针对思维导图进行了调查研究。力图让更多的人了解和学习到这种新的学习方式。 四、正文 思维导图的含义与特点。思维导图又叫心智图，运用图文并重的技巧把主题与附带信息用思维图层的方式再现出来，把主题关键词与图像、颜色等建立记忆链接。是表达发射性思维的有效的图形思维工具，是一种将放射性思考具体化的具体方法。思维导图在人的大脑中形成一种放射性的思维方式，针对文字、数字、颜色建立一个思考中心并由中心发散出各个关节点与主题形成对接，建立起一个简洁便于利用的信息库。 一直以来我们都在使用着思维导图作为我们的学习方法，每一次课后我们 3 拉普拉斯变换的应用 一·拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普 拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。 (2)希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。 三·应用步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤： 幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 一.幂法 1. 幂法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21 ≥≥≥> (2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程： i n i i i u x x αα,1 ) 0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有 1 11111221 12111 1 1 11 1 011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k n i i k i i n i i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈? ? ????+++======∑∑ 可见，当||1 2 λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)11 11)11111λαλαλ=??????==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。 2 算法实现 . ,, 3,,1 , ).5() 5(,,,,||).4();max(,).3() (max(;0,1).2(,).1()() () (停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←= ←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k 3 matlab 程序代码 课题研究报告 一、简介部分 1．标题 《思维导图在小学科学复习课中的应用研究》 2．序言 我在教孩子背诵课文时用到脑图思维绘画，并写上关键字的方法来记忆，孩子感觉感兴趣并且背诵效果好，表现在记得快，记得牢。同时在参加天津集中研修班时，加深了对思维导图的认识，想把这种思维的方式教授给学生！因此想进行思维导图在小学科学复习课中的应用研究。 素质教育的目标是希望学生能掌握良好的学习习惯和方法，从而能更为有效地进行学习。我们常用的复习方法，不能提高孩子的学习积极性，同时会失去学习科学的积极性。并且在学生回顾知识时，许多知识是零散的，没有形成整体的复习体系。原来我们也可采用框架图、结构图来联系知识，可是这种比较死板，不以学生为主体，并且禁锢了学生的想象力，学生的个性特点很难发挥。而思维导图恰好以学生为主体，充分张显孩子的自主发展，在绘制思维导图的过程中归纳总结，进行知识迁移，加深对知识的理解，从而学以致用。 东尼.博赞的《思维导图》为我们提供了一种新的思维方式；而杨兰娟的《思维导图融入小学科学教学中的应用初探》，我从中学到思维导图在课堂中的应用步骤。在这些经验的基础上，基于农村学校孩子的特点，自理能力强，留守儿童多，家长辅助少等，来推广思维导图。 利用文献分析法、行动研究法对课题进行研究。 3．摘要 我在如何上好复习小学科学复习课上进行了探索，以帮助学生学会归纳总结，加深对知识的理解。思维导图可以在小学科学复习课中进行应用，它是一种综合运用文字、符号、图片、色彩等的图形思维工具，它可以为学生提供思考框架，优化学习过程，把枯燥、单一的科学复习课变得有趣和多样化。 教学实践表明：利用思维导图进行的复习课，能提高学生的学习兴趣；有助于学生建立良好的认知结构，找到知识之间的联系； 人教版数学《扇形统计图》说课稿_说课稿 ◆您现在正在阅读的人教版数学《扇形统计图》说课稿文章内容由收集!人教版数学《扇形统计图》说课稿一、教材分析 《扇形统计图》这一内容选自于人教版义务教育课程标准实验教科书小学六年级上册数学第六单元。有关统计图的认识，小学阶段主要认识条形统计图、折线统计图和扇形统计图。本单元是在前面学习了条形统计图和折线统计图的特点和作用的基础上进行教学的。主要通过熟悉的事例使学生体会到统计的实用价值。 二、教学目标 1、知识与技能 认识扇形统计图的特点和作用，能看懂并能简单地分析扇形统计图所反映的情况。 2、过程与方法 经历扇形统计图的认识过程，体验直观观察学习的方法。 3、情感态度与价值观 在学习活动过程中，体验数学知识与日常生活的密切联系，激发学生的学习兴趣，培养学生分析、比较、想象的能力，受到科学观的教育。 三、教学重难点 教学重点：对扇形统计图进行有效的分析。 教学难点：掌握扇形统计图的特点。 四、学情分析 本单元的教学是在学生已有统计经验的基础上，学习新知的。六年级的学生已经学习了条形统计图和折线统计图，知道他们的特点，并具有一定的概括、分析能力，在此基础上，通过新旧知识对比，自然生成新知识点。 五、教学法分析 1、本堂课力争做到由关注知识转向关注学生，由传授知识转向引导探索，由要我学转向我要学。学生是学习的主人，教师是组织者、领导者。将课堂放手给学生，让学生自己收集信息、分析信息，自主探索、合作交流，参与知识的构建。 2、让学生学有价值的数学，从创设情境、探究学习一直到应用巩固等环节，处处联系学生日常生活实际，既提高了学习兴趣，也体现了数学来源于生活，也服务于生活。使学生不仅在学数学，也在用数学。 3、运用尝试法。尝试的方法属于实践探究式教学，探究学习的内容以问题的形式出现在教师的引导下，学生自主探究，让学生在课堂上多活动、多思考，自主构建知识体系。引导学生收集资料，获取信息并合作交流。 六、教学流程分析 （一）情境导入，激发兴趣 通过学生说喜爱的运动项目现场进行统计制成条形统计图这一环节使数学知识具有丰富的现实背景，为学生的数学学习提供了生动活泼、主动的材料与环境。 ◆您现在正在阅读的人教版数学《扇形统计图》说课稿文章内容由收集!人教版数学《扇形统计图》说课稿（二）对比分析，生成新知 1. 观察条形统计图，你从中得到了哪些信息？ 2.说说条形统计图的特点。 3. 从条形统计图中，你还能提出那些数学问题？引发学生思考，从而发现条形统计图不容易看出各部分量与总量的关系。 4. 生成扇形统计图（教师利用课件，直接由条形统计图生成扇形统计图。）说说2个统计图有什么异同？引导学生观察从扇形统计图中，你得到了哪些有用的数学信息？（学生根据直观观察，发表见解） 5. 根据统计图上表示的情况，你对我班同学有哪些建议？ 6.根据刚才的学习，归纳扇形统计图的特点和作用。 在这一环节，充分利用多媒体现场直观生成扇形统计图，使学生通过实际感受和条形统计图与扇形统计图的对比，对扇形统计图有了初步认识。同时说明了扇形统计图的意义和作用，使学生感觉到学有所用，激发学生的学习兴趣，从而突破教学重难点。 三、知识应用，解决问题 1．牛奶中的数学问题幂法求矩阵主特征值
图的拉普拉斯矩阵
图的结构参数与特征值
幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量
邻接矩阵及拉普拉斯矩阵
文库小学数学教师资格证面试教案模板《扇形统计图》
数学建模 用幂法 和法 根法求特征值特征向量
思维导图调查研究报告
拉普拉斯变换基本应用
幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量
思维导图应用研究报告
人教版数学《扇形统计图》说课稿_说课稿
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