耦合模理论及其在微波和光纤技术中的应用
（研究生课程用）
钱景仁
中国科学技术大学
二零零五年
目录
绪言 (Preface) (1)
第一章耦合模的一般理论
§1.1 耦合模方程 (6)
§1.2 强耦合与弱耦合 (11)
§1.3 周期性耦合 (18)
§1.4 耦合模与简正模 (29)
§1.5 缓变参数情况下本地简正模广义理论 (33)
§1.6 理想模、本地简正模和超本地简正模 (37)
§1.7 耦合器应用举例 (42)
§1.8 临界界面附近和稳相点附近的耦合模方程 (46)
第二章闭合波导中的耦合模问题
§2.1 介质填充波导 (51)
§2.2 缓变表面阻抗和阻抗微扰 (59)
§2.3 弯曲波导 (64)
第三章光纤中的耦合模问题
§3.1 光纤中的简正模式 (68)
§3.2 耦合模理论的推广 (80)
§3.3 非理想光纤的耦合模方程 (81)
§3.4 用闭合波导理论来研究开波导 (86)
第四章 螺旋光纤及弯曲光纤
§4.1 螺旋光纤的耦合模分析 (89)
§4.2 单模传输条件下的螺旋光纤 (93)
§4.3 弯曲光纤 (98)
第五章耦合功率方程
§5.1多模波导和多模光纤的传输特性 (104)
§5.2 多模波导中的耦合功率方程 (105)
§5.3 多模光纤传输中的耦合功率方程 (107)
中文参考文献 (109)
英文参考文献 (110)
Preface
What is the coupled-mode theory? Is it a common theory in physics?
Waves and vibration phenomena are popular in physics as we know such as mechanical vibrations, acoustic waves, light waves, microwaves and radio waves. Furthermore, connection or coupling among systems is also a general rule in universe. Everything presupposes the existence of some other thing. Cause-effect relations and action-reaction relations are generally existed among systems in the universe.
It is obvious that there aren’t any ideal waves which exist independently and do not change their amplitudes and directions. A real wave or vibration is always connected with a source or other waves. Now, it is necessary to describe how these waves or vibrations (oscillations) couple to each other, and how their amplitudes change with the time or the distance. To illustrate the principle of the coupling between waves or vibrations (oscillations), let’s take pendulums as an example.
Fig. a
A pendulum can vibrate, that is to say it swings from side to side. We can give it a push and then it will vibrate at a fixed speed or at a certain frequency. If two pendulums with same frequency are hung on a string and one of them is set swinging as shown in Fig. a, it will swing less and less until it stops altogether, while the other pendulum will swing higher and higher until it reaches a maximum. Then the process will be reversed until the first pendulum reaches a maximum and the second comes to
rest once more. This cycle repeats itself again and again. It would repeat infinitely if
there were no losses in the system.
This is a typical experiment performed in most early physics courses. I had done it when I was in middle school.
1
Fig. b Frequencies are the same. Fig. c Frequencies are different.
If these two pendulums have different frequencies, then transfer of energy between them will not be complete, and the first pendulum will not stop in the process. We can plot a graph to express the process as shown in Fig.b and Fig.c. The abscissa represents the time, and the ordinate A represents the amplitude of each pendulum. If the initial conditions at t =0 are as follows: ()()1201,00A A ==,
We can see the variations of the amplitudes of the two coupled pendulums in Fig.b and Fig.c, respectively, when their frequencies are the same and different. The time spacing between two adjacent maxima (or minima) is the period of the process, which is determined by the coupling between the two pendulums. The stronger the coupling is, the shorter the period is. The coupling between the two pendulums is caused by the fact that the pendulums are connected to a same string, and any vibration of one of the pendulums will have an effect on the other through the string.
It has been recognized that coupled transmission lines, coupled electrical circuits, coupled optical fibers and coupled waveguides are analogous to coupled pendulums. The variations of the amplitudes of waves are the same as shown in the figures, but now the abscissa represents distance instant of time.
Sometimes the coupling is not between the same kind of waves or oscillations, for example, in a traveling wave tube, a space-charge wave and an electromagnetic wave
couple to each other. In a crystal, an electrical vibration will cause a mechanical (or acoustic) vibration and vice versa.
There should be some general rules or there is a generalized theory to describe these coupling problems. It is the so called coupled-mode theory. Here, mode means one of the models of wave forms.
In the theory, all the coupled-mode or coupled-vibration problems are formulated by a set of coupled-mode equations, which are simultaneous differential equations of first order with variable or constant coefficients. In case of two modes, they can be written as follows:
()
()()()
()()11122221j j j j dA z A z cA z dz
dA z A z cA z dz
ββ=?+=?+
Where
i β and c are functions of z in general case.
When n modes or waves should be considered in a coupling problem, n differential equations will be used instead of two.
A common method in electromagnetic theory is the modal approach in which the normal modes of the system (those fields which propagate unchanged except in phase) are found. This involves solving the wave equation adapted to the particular geometry of the system, and matching solutions at the boundaries to give the normal modes or eigensolutions. Any field of the system can then be expanded in terms of the normal modes, with the expansion coefficients determined by certain boundary conditions e.g. initial conditions. This modal-expansion or eigenvector method is physically intuitive and straightforward in principle, but modal solutions of the wave equation can only be found for a limited number of ideal systems of relatively simple geometry, including slabs and circular cylinders.
Coupled-mode theory attempts to preserve the concept of modes for non-ideal systems in which an exact modal solution is not possible but where the normal modes of a reference system of simple geometry are known. These modes, in general, form a complete set so that they can be used to expand the fields of the non-ideal system.
Because they do not satisfy the boundary conditions of the non-ideal system, the modes coupled or exchange power as they propagate. To derive the coupled-mode equations, Maxwell’s equations are transformed to those which determine how the individual mode amplitudes vary as a function of the parameters of the system. There have been several methods of coupled-mode analysis to formulate the coupled-mode equations. In the early times, people used to start directly from Maxwell’s equations along with the boundary conditions to derive these equations. Later, many other methods were utilized, such as using reciprocity theorem, starting from a Green function or stimulating equations of waveguides, someone also used variation method and perturbation approach, all these are substantial agreement.
The method of coupled-modes is most useful when the deviation of the non-ideal system from the known reference system is not too great e.g. small deviations in refractive index or small deformation of cross-section. Although the imperfections may be small they can still produce marked effects, such as total transfer of power from one mode to the other in a waveguide or one waveguide to another. Coupled-mode theory has also been used to treat a variety of problems, including the cross-sectional deformation of waveguides. In many of the problems where the power transfer between modes is small, solutions can also be obtained by other techniques. However, coupled-mode theory has particular application to systems in which a large fraction of modal power may be transferred to other modes, as in the case of neighbouring waveguides in which complete transfer of power between waveguides can take place. This is unique for coupled-mode theory.
The primary idea of the coupled-mode theory was first introduced by Pierce in 1940’s, when he worked on microwave electronic devices. Later, this idea was extended its use to the waveguide transmission by Miller and then the theory was fully developed. Recently, the theory has been widely used to solve optical fiber transmission problems and fiber gratings. On the other hand, the coupled-mode theory supervises the practice and many new coupling principles have been discovered. According them, a variety of devices have been designed, such as mode transducers, broadband optical fiber couplers and etc.
A lot of coupling problems involving optics, acoustics and microwaves have been being solved by scientists of many countries, including Chinese scientists. Prof. Huang Hong-Chia, vice-president of Shanghai University, has made important contributions to coupled-mode theory. Some of his papers are listed in the end of this book for reference.
In this book, the first chapter begins with the coupled-mode equations and is followed by many treatments to solve these equations. In Chapter 2, many typical coupled-mode problems in closed waveguides are solved. Those all problems will lead to the coupled-mode equations and then the coupling coefficients are derived. Chapter 3 begins with a discussion of the normal modes in optical fibers. The remainder of the chapter deals with coupling between these normal modes in imperfect optical fibers. In Chapter 4 helical fibers and bending fibers are studied. In the fifth chapter the coupled power theory is introduced, it consists of Pierce’s theory and Marcuse’s theory which are used in waveguide and optical fiber transmission, respectively.
On the whole, coupled-mode theory is a general theory. Mathematically, it bases on the expansion theorem of eigen-functions, the existence of expansion in terms of eigen-functions makes the theory to be carried out. The mathematic areas in the theory are differential equations and linear algebra.
第一章 耦合模的一般理论
在这一章中，将首先从一般概念出发，得到耦合模方程。得到耦合模方程后，在不同的情况下（强耦合，弱耦合，周期性耦合等）采用不同的方法来求解。在求解过程中，引入理想模，本地简正模，超本地简正模等概念是有益的，特别是在缓变参数的情况，可以使问题简化。本章还讨论了耦合模方程在临界截面处和稳相点处的特性和解，本章还列举大量实例说明各种耦合原理的应用。
§1.1耦合模方程
在这一节中将从一般概念出发，推导在线性系统中的耦合模方程。这里的模可以是波导中的传输模，也可以是振荡模（在参放系统或谐振腔）或空间电荷波（在电子管）。波随时间变化因子为exp(j ωt )。
下面以传输模为例来推导耦合模方程。显然传输在正z 和负z 方向上的模具有exp[j(ωt -βz )]和exp[j(ωt +βz )]因子。
这里从最简单的情况出发，见图 1.1，若传输系统中仅有两个模，其复幅度分别为1A 和2A ，在z 处发生耦合（即图1.1上z Δ小段
内）。1A 在传输过程中本身的相位要有改变，同时2A 通过耦合线性地加到1A 上去，因此增量111122j ()()A zA z zA z βκΔ=?Δ+Δ。式中右边第一项代表在z +方向传输过程中波相位的改变，见图1.2，图上的1A Δ不包括耦合项，式中的12k 为耦合系数。同样如果2A 也在z +方
向，222211j ()()A zA z zA z βκ++
Δ=?Δ+Δ，若2A 在z ?
方向传输，
则222211j ()()A zA z zA z βκ??
Δ=+Δ+Δ，取0z Δ→时，
即可导出两个耦合模（在同向或反向情况）的微分方程组，即
图1.2
111122222
211d ()
j ()()d d ()j ()()d A z A z A z z
A z A z A z z
βκβκ±
±±
=?+=+? （1.1）
z
上述的结果是在线性传输系统中推得，对于非线性系统，如果传输常数在不同方向上是一样的，则（1.1）式往往仍然是正确的，否则便要修改。
通过适当定义，引入归一化条件，可使2
*A A A ?=直接代表传输功率（对于传输系统），或储能（对于振荡系统）。
（1.1）式中，β为实数时，表示传输模；β为虚数时，则变为消失模，这时（1.1）式表示消失模间的耦合。这种情况往往发生在截止波导，一般不予考虑。
在参放或振荡系统中，需将（1.1）式中z 改变为t ，即以时间为变量，另外将β改为ω就可以了。
下面将把上面讨论的进一步推广到无限多个模的情况，则有
d ()
j ()()d i i i ik k k i
A z A z A z z βκ∞
≠=?+∑ (1,2,)i =±±±
式中i i ββ?=?。对于n 个模的情况
d ()
j ()()d n i i i ik k k i
A z A z A z z βκ≠=?+∑ (1,2,,)i n =±±±
用矩阵形式表示，为
′A =ΚA (1.2)
式中，A 是列矩阵，其元排列为1212(,,,,,)n n A A A A A A ??? ；d 'd z
A
A =
； 1121311112121j j =j n n n n βκκκκκκβκβ?????????????????????
Κ
下面来讨论Κ应具有怎么样的形式，各元之间有什么关系，首先将利用在无耗系统中能量守恒原理求得耦合系数间两两共轭的关系，接着将利用电磁场的互易性和几何形状对耦合系数的影响确定耦合系数两两间的另外两个关系，从而得到耦合模方程两种最常见的形式。
在一个无耗的传输系统中，通过每一个横截面的功率是不变的，因此
*
1d 0d n i i i i A A z i ±=±??=??????
∑ 对于光纤这类的开式波导，存在有辐射场，上式仍然成立，因此此时取横截面为无限大，功率仍守恒。把上式改写成
(
)
**
*d d d d d d z z z
=+=A A A PA PA A P 0
（1.3）
式中P 为对角矩阵，其元为(1,1,-1,-1,) ； *
A 表示A 的共轭转置矩阵。
因为d d z
=A
A'，将（1.2）式代入（1.3）式，可得
***+=A
ΚPA A P ΚA 0 所以 *
Κ
P =-P Κ，因为P 是对角矩阵，故 *11
212*
*
12122j p p p j p βκκβ??
??
??
=??????
Κ
P
1112121222j p p p j p βκκβ????????=????
??
P Κ (1.4)
因而可见
*ij ji κκ=?
其中，“?”号或负共轭关系适用于同向模，“+”号或正共轭关系适用于反向模。
在继续讨论耦合系数关系前，先讨论一下离散耦合的情况，这种情况在实际中经常出现，如波导截面的突变，接头错位，小孔耦合，波导弯折以及媒质参数突变等，可以用多模微波网络中的散射矩阵表示
'''??????
=????????????
R T S I R'S T I （1.5）
如果起始条件'=I 0,而设投射到不连续处的波幅为I ,则问题变为求T 和S 了。这里列矩阵R 和'R 各元分别为12,,n R R R 以及
12',','n R R R ,I 及'I 各元分别为12,,n I I I 及12',','n I I I ,它们分别是从不连续性处反射的和投射到不连续处的各波型幅度。以后将讨论连续耦合情况下的Κ和离散耦合情况下的T 和S 的关系。
由于场的互易性，故（1.5）式中的散射矩阵是
对称的，即
=T T , ''=T T , '=S S
现在继续研究连续耦合情况，设有一段不规则波导（见图1.4），我们仅观察
1z z =到1z z z =+Δ间的一小段不规则性所引起的波导中各波型间的耦合。可以用
两种方法来研究它。可以将连续耦合看作无数个离散耦合连在一起而成，只要z Δ取得足够小，这一小段不连续性两边模的幅度可用（1.5）式表示。
另一方面也可用耦合模方程(1.2)式来描述这一段不规则波导引起的各波型间的耦合。为此先将该方程改写成
'()()'()()z z z z ++++?+??+??
???????
=????????????
A K K A A K K A （1.6）
其中+A 及?A 为分块列矩阵，其各元分别代表正z 向和负z 向传输模幅度，它们在列矩阵中的排列次序与I 和'I 是一致的。
如果z Δ足够小，在ij z κΔ的一次近似下，解（1.6）式，并考虑到在1z z =处
i i +=A I ，i i ?=A R ，而在1z z z =+Δ处，'',i i i i +?==A R A I ，可得
''z
z z z ++
+??+??
??+ΔΔ??????=??????????Δ+Δ??
R I K K I I R K I K （1.7）
矩阵元上加一横表示为z Δ内的平均值。为了便于同（1.5）式相比较，在ij z κΔ的一次近似下，将（1.7）式化为
''z z z z ?+??
+++????Δ?Δ????
??=??????????
+ΔΔ??R K I K I R I I K K （1.8）
比较（1.5）和（1.8）式，并利用散射矩阵对称性又取极限0z Δ→，即得耦合系数关系
()
()()()()()()
ij ji ij
ji
ij
ji
z z i j z z z z κκκκκκ++
???+?++?+?=?≠==， （1.9）
（1.9）式是场的互易性在耦合系数上的表现。
另一方面，如将图1.4中的坐标颠倒，即引入坐标变换'z z =?，在新的坐标
中，耦合模方程仍可写成
'(')(')'(')(')z z z z ++++?+??+??
???????=????????????
A K K A A K K A （1.10）
z
1z 1z z
+
Δ
如果坐标变换不影响到模式的重新定义，这里+A 和?A 与原来z 坐标系统中的+A 和?A 恰好互相颠倒，为了避免混淆，将（1.10）式中的+A 和?A 倒回来，使它同（1.6）式中的+A ，?A 表示一致；再将'z z =?代入（1.10）式左边，得
'(')(')'(')(')z z z z ?+++??+?+??
+??????
?=????????????
A K K A A K K A 由于对'z 的求导改为对z 求导，等式左边出现负号，如果仍将列矩阵+A 排在前面，得
'(')(')'(')(')z z z z +???++?+?++
?????????=??????????????
A K K A A K K A （1.11）
在同一点上比较（1.6）式和（1.11）式，得到
''()(')()(')z z z z
z z z z ±±=?±±=???=???
??=???
K K K K ??
??
（1.12）
应注意到z 坐标中的z 和'z 坐标中的z ?是在同一点。
下面有两种情况，如果各耦合系数是与不规则性的大小或大小的偶次导数成
线性函数特性，则坐标的改变对耦合系数没有影响，故由（1.12）式：
()()
()()
ij ij ij ij
z z z z κκκκ++??
?+
+?=?=? （1.13）
再利用（1.9）式，即得
()ij ji ij ji
i j κκκκ±±±±+?
?+=≠=?
（1.14）
这说明对于同向模，两两耦合系数相等，而对于异向模，它们相差一符号。
另一情况，如果耦合系数与不规则性大小的一次导数或奇次导数成线性函数
关系，则上述坐标变换将使耦合系数改变符号，故由（1.12）式得
()ij ij ij ij i j κκκκ??
?++?
=≠=++（z）(z)（z）（z）
（1.15）
再利用（1.9）式，得
()
ij ji ij ji
ij
ji
i j κκκκκ
κ
++++????
+??+=?=?≠=，
（1.16）
也即对于同向模，它们之间相差一符号，而对于异向模，它们是相等的。
这样，由（1.9），（1.13），（1.14）式，对于前一种情况，（1.6）式可写为
''++++?+?+?++???????
=??????????????
A K K A A K K A （1.17）
式中++K ,+?K 皆为对称方阵。由（1.9），（1.15），（1.16）式，对应于后一种情况，有
''+++
+?+?+??????????
=????????????
A K K A A K K A （1.18）
式中仍为对称方阵，而++K 及??K 的非对角项相等且是反对称的，对角项仅差一符号。
由此可见，待求K 的元减少了()23n n ?个；如果仅考虑同向模间的耦合，则待求耦合系数减少了12(1)n n ?个，这在实用上是有意义的。
在无耗的情况下，（1.4）式成立，它可以改写成
()()
()
()
*
*ij ji ij ji ij
ji
i j κκκκκ
κ
++++????
+??+=?=?≠=*
，
（1.19）
这样，对于前一情况，由（1.14）和（1.19）式可知耦合系数皆为虚数，而在后一种情况，由（1.16）和（1.19）式可知耦合系数皆为实数。这就是实际上最常见到的两种形式。
这两种形式所以最常见，是因为实际上遇到的各种问题中，耦合系数往往只单独与不规则性大小或其一次变率或其二次变率成线性函数关系。在第二、第三章的许多实例中将说明这一点，也有不属于上述两种情况的，这时的耦合模方程就不能用（1.17）和（1.18）式来表示，仍用（1.6）式表示。
上面的讨论对于满足场互易性的耦合系统都是正确的，这个系统可以是闭合波导或开放波导，也可以是多波导系统。
在这一节中，我们从概念出发推出耦合模方程，并对方程中的耦合系数作出讨论。
§1.2 强耦合与弱耦合
用耦合模方程所描述的耦合可以区分强耦合与弱耦合两种情况，分别具有不同的概念和处理方法。
首先讨论弱耦合。弱耦合的充要条件是耦合到某波型的功率（能量）在耦合
段内处处远小于原来输入模的功率。
以n 个波型耦合为例来研究弱耦合。设边值条件为
1(0)1(0)0(2,3,)()0(1,2,,)
i i
A A i n A L i n =??
==??==??? 当当
在弱耦合情况下，（1.2）式将近似为
()
11111d ()
j ()d d ()
j ()()d ,1,2,3,i i i i i i A z A z z A z A z A z z
i n ββκββ=?+=?++=?=?±± －高次近似项高次近似项 （1.20）
式中高次近似项是按前已述及的弱耦合条件而忽略的。式中第一个方程的解是
110()exp z
A z j dz β??=?????∫
将它代入第二个方程，即得
110d ()
j ()exp j d z i i i i A z A z dz z
βκβ??=?+?????∫
当i 为正时，该式在z L =处的解为
11000()exp j exp j ()L L z
i i i i A L dz dz dz βκββ+????=???????????∫∫∫
（1.21）
当i 为负时，即反向模在0z =处的解为
1100(0)exp j ()L z
i i i A dz dz κββ???=??+????
∫∫
（1.22）
如果1β和各i β为常数，则（1.21）和（1.22）式可写成
()()
()()
11j j 10
j 10
()e e
2,3,,(0)e
1,2,,i i i L
z
L i i L
z
i i A L dz
i n A dz
i n βββββκκ+??+?+?===?=∫∫ （1.23）
（1.21）～（1.23）式是耦合模方程在弱耦合条件下的解。由上面分析可见，在弱耦合条件下，波型之间的耦合可以两个两个分别考虑（即仅考虑输入模1A 和待求模i A ）
，这使问题大为简化。
若边值条件改为()()1200,00A A ≠≠，其余()00i A =，情况如何呢？仍然可
以采用两两方式来处理。先设仅入射1A 波型，解出2i A A ，；再设入射2A 波型，而()100A =，解出1i A A ，。基于是线性系统和相应的是线性微分方程的缘故，最后的解是把两个解迭加起来，得到
()()()()1
2
11j j j 112120
0e
0e
e z
z z
z
A z A A dz ββββκ???=+∫
()()()()2122j j j 221210
0e
0e
e z
z
z
z
A z A A dz β
βββκ???=+∫
()()()()()12j j j 112200e
0e 0e i i i z z z z z
i i i A z A dz A dz βββββκκ?????=+????
∫∫
上述各式推导时设各i β皆为常数，且各模都在正z 向传输。由此可见，不管边值条件如何，只要是在弱耦合情况下，波型间的耦合可以分别地两两考虑，这就是所谓弱耦合近似理论。
现在可以对前面提到的弱耦合的充要条件用数学形式表示，由（1.23）式，
可知条件为
()1
j 10
1
)i
z
z i e dz z i ββκ?∫
(对耦合区内所有和所有
（1.24）
现在解释弱耦合的物理概念。在边值条件为()()10100i A A ==，情况，已得
到解（1.23）式，现将（1.23）式第一式改写：
()()1j j 10i L
L z z
i i A z dz e e ββκ????????
?∫＝ 它的意义表示在图1.5中，在零到L 的耦合段中，每一小段耦合到i 模的幅度为
1i dz κ，它的相位迟后由1
j e z β?和()j e i
L z β??相乘而定，于是在耦合段内将所有每一小
段耦合的幅度相加起来。其相加的矢量图表示在图 1.6，由于()1j e
i z
ββ??的存在，
每个小矢量有相差，从而使()i A z 矢量作旋转，其振幅就不能一直增大，在到达最大值iMAX A 后又反而减小，如果L 足够大，()i A z 随z 的变化使不规则的周期性变动。在图1.6中，为了说明问题，作为简化，每个小矢量是z Δ段内的耦合。用1i z κΔ表示，1i κ 是z Δ内1i κ的平均值，以后作类似这样的矢量图就不再说明。
按（1.21）－（1.23）式，原则上就可以解弱耦合问题，这些积分在截止点
()0i β=和稳相点()1i ββ=的情况将在以后再谈。一般只要知道()1i z κ的函数，那
就可以做；如果是复杂的函数，就可以通过数值方法用计算机算。这里看一个最简单的情况，即1i κ为常量，则由（1.23）式积分
()()1j j 12i i L
L i Q A L e e βββ????=??? （1.25）
其中
()112j i i Q κββ=?
定义为耦合能力，它除了和耦合系数直接有关，还和相位系数有关。当1j i c κ=时，
12)2i Q c c βββ=?=Δ。由（1.25）式可见，只靠c 还不能说明耦合大小，引入
Q 量后，能较全面判定一个耦合系统的耦合。若1Q ，则按（1.25）及（1.24）式，则可判定这两波型间是弱耦合，因此这是弱耦合的充分条件。如果Q 并不小，甚至很大或无穷大，一般是强耦合情况，但只要耦合区间充分小，仍然可能为弱耦合。
通常实际上遇到的弱耦合问题，1i κ的函数并不知道，而是待求的，已知的是
i A 在频带内保持一定值或一定范围内的值，要求出1i κ的分布。这是一个工程设计问题，已做了许多工作，已比较成熟。
到此谈的是连续耦合情况，下面简单谈一离散情况下的弱耦合。具体的例子
是小孔定向耦合器。
与连续情况一样，在弱耦合条件下可以两两
考虑，因此只要讨论两个波型的耦合或两个波导间的耦合（见图1.7）。在弱耦合条件下，1A 幅 度近似不变，第i 个波型被动地接受耦合过来的能量，而对1A 没有反作用。i A 表示为
()1
j j 11
je
e i i
i n
z z
i i i A A c β
ββ??==∑ （1.26）
其中i c 表示i z z =处的耦合常数。（1.26）式可以从（1.23）式推出，也可以从概念上推出，它是设计弱耦合定向耦合器的基础。
强耦合与弱耦合不单纯是强弱之差，在概念上、数学分析上是完全不同的。
在强耦合情况中，被耦合的（激励的）波型不仅单方面受到入射模的作用，而且要考虑反作用，同时顾及入射模能量的减少。总之要考虑相互作用的问题。
为简单起见，我们仍只考虑两个同向波型的情况并假定耦合系数为虚数，因
此11j i i c κκ==，此时（1.1）式可写成
()
()()()
()()11122221d j j d d j j d A z A z cA z z
A z A z cA z z
ββ=?+=?+
（1.27）
假定c 为常数，引入边值条件()()120100A A ==，，解（1.27）式。先令
j j 1122e e hz hz A E A E ?=－＝，，代入（1.27）式第一式得：
j j j 1112j e j e j e hz hz hz hE E cE β????=?+
这里因为12E E ，不是z 的函数，因此
1
d 0d E z
=，同样代入（1.27）式第二式，共得 ()()112221j j 0j j 0
E h cE E h cE ββ?+=?+=
(1.28)
要使（1.28）式有非零解，其系数行列式为零，即
1
2
0h c
c
h ββ?=?
此二次方程解为
112
12
2
2
2
h h ββββ++=
=?? 对应于1h 有11E 和21E ，对应于2h 有12E 和22E ，（1.27）式一般解为
1212j j 11112j j 22122
e e e
e
h z h z h z
h z
A E E A E E ????=+=+ （1.29）
利用边值条件，上式变为
111221
221
0E E E E +=??
+=?
（1.30）
由（1.28），（1.30）两个方程解出11122122,,,E E E E ,再代入（1.29）式得
()()()()121211
j j 222211j j 22
21111e
11e 221
1e
e 2
h z h z
h z
h z A Q Q A Q ????????????=?++++????????
=
+? （1.31）
将（1.31）式2A 的表达式写成另一种形式：
(
)
)
12
1j
22
2
2j 1sin
e
z
A Q
ββ+???=+ （1.32）
这个公式以后要用。
由(1.31)式，可得传输功率：
(
))
1
2
22221sin P A Q ??==+
121P P =?
现在来作12,A A 随z 变化的曲线，首先看最简单的情况，0βΔ=，Q =∞，
（1.31）式就化为
()()12j 1j 2cos e jsin e
z z
A cz A cz ββ??==
（1.33）
当2
n cz π
=
时，10A =，功率发生转换。（n 为奇正整数）。这就是图1.8上Q =∞的曲线。当0βΔ≠时，2A
π=
来决定，第一个功率转换点由2
π
=
来决定。
两个波型常耦合情况下强耦合理论最早是由Miller 再1954年提出来的（见
B 、S 、T 、J 、1954、P661），详细可以参考他的文章。 现在来谈强耦合与弱耦合在概念上的差别。
在边值条件()()1201,00A A ==情况下，弱耦合时（1.27）式中可以忽略
()2jcA z 这一项而解第一式。如果要进一步近似，可以用迭代法，逐次逼近，即
把弱耦合解（1.23）式代入（1.27）式第一式（这里为了简单假定β是常数，这并不影响讨论的一般性），得二次微扰项
()()()1j j j '100e 1j e j e 'z z
z z z A z c c dz dz βββ?ΔΔ??=+????
∫∫
仿此再将()1A z 式代入（1.27）式第二式，求解()2A z 得三次微扰项，如此重复下去，1A 和2A 就成一级数，取多少项就要由级数的收敛性决定。耦合越弱收敛越快。
cz
cz
0.5π
A
取二次近似解已能说明强耦合的本质，仍设0βΔ=，因此有
()()()'
10
1''z z A z c z c z dz dz =?∫∫
上式表明()1A z 的幅度减小了，说明了i A 波的反作用。现以强弱耦合定向耦合器为例，如图1.9所示，耦合是通过一系列小孔从1A 波导耦合到2A 波导。在某一个孔，能量由1A 到2A ，由于耦合系数是jc ，因此2A 比1A 迟后90°，到第二个孔，由于该处20A ≠，因此除了1A 要耦合到2A 外，2A 也要有一部分能量耦合到1A 去，但
这一部分场的幅度又要迟后90°，因此与原来波导中的1A 反相（由于0βΔ=，因此距离不引起相位差）。这就是说2A 模通过小孔耦合到1A 模的场起了加速1A 模场减弱的作用，2A 越大，减弱作用也越大。上面1A 表达式中，已明显地表明了这一点，已提及的同向模间耦合系数负共轭关系和反向模间的正共轭关系保证了这种减弱作用。这就是强耦合不同于弱耦合的本质。
强耦合过程也不是绝对的，在局部区域内仍是弱耦合，若令1cz ，则
11A ，2A cz ，这就是弱耦合的结果。很容易证明当1cz 时，（1.23）式第
一式（令式中1j i k c =为常数）与（1.32）式是一致的。这说明强耦合在局部区域可用弱耦合公式来表示。
下面讨论一下离散耦合情况。典型例子仍是定向耦合器（见图1.9）。由于是
强耦合，令12ββ=，且只考虑同向耦合。
在12,,,n z z z 处有小孔，其耦合系数为12,,,n c c c ，若以A 表示每孔左边的
波幅，以B 表示每孔右边的波幅，则在第一孔处()()121,0A z A z ==，由于耦合，第一个孔右边的场为
(
)()11211j B z B z c ==
若令11sin c θ=，则()()111211cos ,jsin B z B z θθ==。
在第二个孔左边，由于距离而引起相移为
()()()()
121221j 121j 221cos e jsin e
z z z z A z A z ββθθ????==
设22sin c θ=，再按线性迭加可得通过第二个孔耦合后的幅度，
()[]()()[]()
121221j 11212j 21212cos cos sin sin e ,jcos sin jsin cos e
z z z z B z B z ββθθθθθθθθ????=?=+
2A
利用三角函数和差公式，得
()()()()()()
121221j 1212j 2212cos e ,jsin e
z z z z B z B z ββθθθθ????=+=+
仿此可以已知进行到最后一个孔，得
()()12j 1j 2cos e jsin e
L n L
n B z B z ββθθ??== （1.34）
其中
111
,,sin n
i n i i i L z z c θθθ?===?=∑
（1.34）式中，12ββ=，如果不等的话，得不到这个结果。将（1.33）式与（1.34）式相比较，它们形式是一致的。现在将本节总括一下：根据实际情况，可分强耦合与弱耦合两种，中等耦合可以用强耦合或弱耦合来逼近。
没有必要把强耦合条件规定很明确，只要把弱耦合条件明确了，就可以知道
用弱耦合近似，强耦合没有近似可言。因此，分强、弱耦合不完全是概念上的，倒还不如说是处理方法上的需要。
§1.3
周期性耦合
本节只讨论两个同向模间的周期性耦合。
上一节讨论的内容基本上是Miller 在1954年提出来的，在那时并没有考虑
周期性耦合，15年后，Miller 对此做了重要补充，论证当0βΔ≠时也有可能达到两个波型间的全耦合。周期性结构达到全耦合，不是靠两波型间的每点的同步，
电磁兼容传导耦合理论及其应用 学生张** 年级2010级 班级0210** 班 学号021012** 专业电子信息工程 学院电子工程学院 西安电子科技大学 2013年5月
电磁兼容传导耦合原理及其应用 张** 摘要：本文就现实中普遍存在的电子，电气设备电磁骚扰现象引发的电磁干扰出发，先介绍了电磁兼容这个学科的发展及意义，然后重点介绍了电磁干扰耦合传输理论。最后从传导耦合和辐射耦合两个方面并结合相关案例分析如何在这两个耦合途径上减少电磁干扰的发生。 关键词：电磁兼容传输耦合传导耦合辐射耦合
目录 引言 (1) 第一章电磁兼容发展及意义 (1) 1.1电磁兼容技术的发展 (1) 1.2 电磁兼容的地位和意义 (1) 第二章电磁干扰耦合传输理论 (1) 2.1传导耦合 (2) 2.2 辐射耦合 (2) 第三章传导耦合理论应用实例及分析 (2) 3.1电力线载波 (3) 3.2 变频器 (3) 3.2抑制传导干扰的有效办法 (4) 第四章辐射耦合理论应用实例及分析 (5) 3.1雷电电磁辐射对微电子设备的影响 (5) 3.2感性负载的瞬态噪声抑制及其触点的保护 (5) 3.2抑制辐射干扰的有效办法 (5) 第五章结束语 (6) 参考文献 (7)
引言 随着现代科学技术的发展，各种电子，电气设备不仅数量及种类不断增加，而且向小型化，数字化，高速化和网络化的方向高速发展，然而电子，电气设备在正常工作时还会产生一些有用无用的电磁能量，影响其他设备，系统或者生物，使得电磁环境日益复杂，造成了电磁污染，形成电磁骚扰。电磁骚扰有可能使电气，电子设备和系统的工作性偏离预期，产生误差。严重时还会摧毁电气电子设备，危害人体。正是在这种背景下，电磁兼容性设计成为了现代工程设计中的重要组成部分。 第一章电磁兼容发展及意义 1.电磁兼容技术的发展 电磁兼容是指“设备在共同的电磁环境中能一起执行各自功能的共存状态，即该设备不会由于受到处于同一电磁环境中的其他设备的电磁发射导致或遭受不允 许的降级，它也不会使同一电磁环境中其它设备因受其电磁发射而导致或遭受不允 许的降级。 1881年英国科学家希维赛德发表了“论干扰”的文章，标志着电磁兼容性研究的开端，1889年英国邮电部门研究了通信中的干扰问题，使电磁兼容性研究开 始走向工程化，1944年德国电气工程师协会制订了世界上第一个电磁兼容性规范 VDE0878，1945年美国颁布了第一个电磁兼容性军用规范JAN-I-225。世界多数发 达国家早已开始以法令、法规形式进行管理控制，在我国电磁兼容理论和技术的研 究起步较晚，从1983年开始陆续颁布了一系列有关电磁兼容性标准和规范。自此 以后，电磁兼容技术迅速发展成为非常活跃的学科领域之一。 2.电磁兼容的地位及意义 经验证明，如果记在产品开发阶段解决电磁干扰问题的费用为1个单位，那么等到产品设计定型后再解决其问题，费用将增加10倍；而到产品批量生产后再解 决时，费用将增加100倍；到用户发现问题后才解决时，费用可能高达1000倍。 而在产品开发阶段同时进行电磁兼容性设计，就可望把80%~90%的电磁兼容性问 题解决在产品定型之前。只按常规进行产品功能设计，不仅在技术上带来一系列的 难题，而且还会造成人力、财力的极大浪费。 就产品本身功能和市场占有而言，电磁兼容性设计的意义也是不可估量的。其一，电子设备工作的可靠性依赖于其电磁抗干扰性。电磁兼容性表征电子设备在电 磁环境中正常工作的能力。其二，电子设备国内外市场的开拓需要其具有良好的电 磁兼容性。电磁兼容性达标认证已由一个国家范围向全球地区发展，成为一个国际 标准。其三，安全因素，存在电磁辐射的电子产品可能会引起如设备误操作、通讯 设施电磁泄密、电爆装置误爆、误燃等危险。 第二章电磁干扰耦合传输理论 产生电磁干扰三要素：电磁干扰源，干扰传播途径，敏感设备。由此可知，任何电磁干扰的产生必然存在电磁骚扰（或者骚扰电磁能量）的耦合与传输途径。这里，耦合的概念指的是电路、设备、系统与其它电路、设备、系统之间的电磁量联系，耦合起着把电磁能量从
耦合模理论 耦合模理论（Coupled-Mode Theory ，CMT ）是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论。CMT 可用于非接触电能传输（Contactless Power Transfer ，CPT ）系统的计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用CMT 来估算线圈间的能量传输效率，首先用电路原理（Circuit Theory ，CT ）的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过CMT 得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套相同的公式。随后分析3个线圈、4个线圈、一直到n-1个线圈都可以变换为同一套公式，最后将此方法推广到在同一平面的n 个负载线圈的效率求解。 1 单负载的电路分析 1.1 电路分析 在图1中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电，U 是逆变后的交流电源，R 为原副边的内阻，R L 是负载，耦合系数12/ K M L L =M 为L1和L2的互感。系 统最佳的工作频率就是谐振点ω，由集总参数的能量守恒原理可以得到 11211U R j L I j MI C ωωω?? ? ?=+- - ? ????? (1) L 212210R R L I j j MI C ωωω?? ? ?=++- - ? ?? ??? (2) 222L 222 1,(R )X L j MU I P I R X M ωω= =++ (3) 令11i i X R j L C ωω?? =+- ?? ? ， 222222 1121L 2(())(R X ) CT L L L P I R M R UI UI R X X M ωηω===+++ (4)
磁力耦合传动原理 Magna Drive 磁力耦合器 美国Magna Drive 磁力耦合驱动技术在1999年获得了突破性的进展。该驱动方式解决了旋转负载系统的轴心对中、软启动、减振、调速、及过载保护等问题，并且使磁力驱动的传动效率大大提高，可达到98.5%.该技术现已在各行各业获得了广泛的应用并且对传统的传动技术带来了崭新的概念，在传动领域引起一场新的革命。美国海军经过两年多的验证，在2004年3月，该产品成功通过了美国海军最严格的9-G抗震试验，美国海军对 该技术产品实现了批量采购。 1、涡流式磁力耦合工作原理 Magna Drive磁力耦合调速驱动是通过导磁体和永磁体之间的气隙实现由电动机到负 载的扭矩传输。该技术实现了电动机和负载侧没有机械联接。其工作原理是一端稀有金属氧化物硼铁钕永磁体和另一端感应磁场相互作用产生扭矩，通过调节永磁体和导磁体之间的气隙就可以控制传递的扭矩，从而实现负载速度调节。 Magna Drive磁力耦合调速驱动器主要由铜转子、永磁转子和控制器三部分组成。铜 转子固定在电动机轴上，永磁转子固定在负载转轴上，铜转子和永磁转子之间有间隙（称为气隙）。这样电动机和负载由原来的机械联接转变为磁联接，通过调节永磁体和导磁体之间的气隙就可实现负载轴上的输出扭矩变化，从而实现负载转速变化。由上面的分析可以知道，通过调整气隙可以获得可调整的、可控制的、可重复的负载转速。 磁感应是通过磁体和导体之间的相对运动产生。也就是说，磁力耦合调速驱动器的输出转速始终都比输入转速小，转速差称为滑差。通常在电动机满转时， Magna Drive ASD(大功率调速型磁力耦合器（ASD）)的滑差在1%--4%之间。通过 Magna Drive ASD输入扭矩总是等于输出扭矩，因此电动机只需要产生负载所需要的扭矩。Magna Drive ASD传输能量和控制速度的能力不受电动机轴和负载轴之间由于安装未对 准原因而产生的小角度或者小偏移的影响，排除了未对准而产生的振动问题。由于没有机械联接，即使电动机本身引起的振动也不会引起负载振动，使整个系统的振动问题得到有效降低。 Magna Drive ASD控制器通过处理各种信号实现对负载调速，包括压力、流量、位移等其他过程控制信号。可以方便地对现有设备进行改造，不需要对现有电动机和供电电源进行任何改动。安装Magna Drive ASD以后，对整个系统不产生电磁干扰。在大多数情况下，关闭或者拆除现有的过程控制硬件设备即可。负载将在最优化的速度运行，增加能源效率，减少运行和维护成本。 该产品已经通过美国海军最严格的9-G抗震试验。同时，该产品在美国获得17项专 利技术，在全球共获得专利一百多项。由于该技术创新，使人们对节能概念有了全新的认识。在短短几年中，Magna Drive获得了很大的发展，现产品已经应用到各行各业，现已超过4000套的设备投入运行。（左图为磁力耦合器在美国海军的海水泵中的应用）。 2、涡流式磁力耦合调速器的特点 总成本最低。 维护工作量小，几乎为免维护产品，维护费用极低。 允许较大的安装对中误差（5mm）。大大简化了安装调试过程。 过载保护功能。提高了整个电机驱动系统的可靠性，完全消除了系统因过载而导致的损害。 带缓冲的软启动/软制动（刹车）。
浅析环境与经济系统的耦合关系作者：高鹤文单位：北方工业大学经济管理学院 一、研究方法 本研究将耗散结构理论引入生态经济系统耦合度的分析，把生态经济系统视为复杂系统，通过合理的制度设计和制度安排为生态经济系统输入“负熵”流。使这一复杂系统成为自组织和自适应的耗散结构。首先，本研究筛选20项涉及环境、经济、资源的指标，并把这些指标归为两类即生态环境系统和社会经济系统，既能全面地概括生态经济系统影响因子，又能表现经济发展的低碳要求。然后，通过构建环境生态系统和社会经济系统耦合度的分析模型，计算并分析北京生态经济系统耦合度。耦合度分析主要是通过分析系统内部各子系统的相互关系与影响来研究系统的动态发展过程，并寻找决定系统变化的因素与规律。根据经济发展与资源环境交互作用的强弱程度，一般可以将其耦合的过程划分为低水平耦合、颉颃、磨合和高水平耦合4个阶段。对于经济发展与北京环境资源耦合系统而言，耦合度分析的意义在于:通过定量描述耦合系统协调形态随时间推移而发生的动态变化来反映经济发展与资源环境在一定时间内的数量关系及其调整过程，从微观上为分析经济发展与生态环境交互耦合发展的趋势以及影响二者协调性的瓶颈因素提供依据。 二、北京地区生态经济系统耦合度分析 本文借助系统论的思想建立系统间耦合关系评价模型。在这里我们讨论两个系统(环境资源与经济系统)，且两个系统间的耦合作用的
协调发展主要表现为:经济的低碳发展，生态稳定，人们生活水平的提高，即生态经济系统达到整体最优。因此，在宏观上对生态经济系统耦合度协调程度以及二者耦合所处时序区间进行分析，对预警两者发展秩序具有十分重要的意义。将20项指标代入耦合发展度的计算公式，可得北京市2000－2008年的生态环境与社会经济的耦合度(表1)。2000－2008年北京经济发展与环境资源整体阶段处于颉颃作用时期。所谓颉颃作用是一个生物学概念，亦称颉颃现象或对抗作用。是指两个因素同时对某现象起作用时，其作用互相对抗而抵消，这种现象称为两种因素的颉颃作用，而两者互为颉颃因子。在颉颃作用时期，经济进入快速发展时期。通过耦合度分析，我们可以发现2000－2008年间北京市经济发展与环境资源系统演化过程经历了三个周期。经济发展与北京市环境资源耦合系统演化的第一个周期是2000－2001年，耦合度处在0.4990～0.4977之间。第二个周期是2001－2003年，耦合度处在0.4975～0.4990之间。第三个周期是2003－2008年，耦合度处在0.4971～0.4990之间。 三、北京地区生态经济系统 良性耦合发展趋势的原因分析 第一个周期是2000－2001年，耦合度处在0.4990～0.4977之间。从总体看，在这时期前我国的工业固体废弃物的排放量水平很高。政府部门开始对环境资源和经济发展之间的关系重新审视并采取相关措施。2000年4月29日经全国人大常委会修订的《中华人民共和国大气污染防治法》的出台，修改后的《大气污染防治法》对空气污染
耦合模理论及其在微波和光纤技术中的应用 （研究生课程用） 钱景仁 中国科学技术大学 二零零五年
目录 绪言 (Preface) (1) 第一章耦合模的一般理论 §1.1 耦合模方程 (6) §1.2 强耦合与弱耦合 (11) §1.3 周期性耦合 (18) §1.4 耦合模与简正模 (29) §1.5 缓变参数情况下本地简正模广义理论 (33) §1.6 理想模、本地简正模和超本地简正模 (37) §1.7 耦合器应用举例 (42) §1.8 临界界面附近和稳相点附近的耦合模方程 (46) 第二章闭合波导中的耦合模问题 §2.1 介质填充波导 (51) §2.2 缓变表面阻抗和阻抗微扰 (59) §2.3 弯曲波导 (64) 第三章光纤中的耦合模问题 §3.1 光纤中的简正模式 (68) §3.2 耦合模理论的推广 (80) §3.3 非理想光纤的耦合模方程 (81) §3.4 用闭合波导理论来研究开波导 (86) 第四章 螺旋光纤及弯曲光纤 §4.1 螺旋光纤的耦合模分析 (89) §4.2 单模传输条件下的螺旋光纤 (93) §4.3 弯曲光纤 (98) 第五章耦合功率方程 §5.1多模波导和多模光纤的传输特性 (104) §5.2 多模波导中的耦合功率方程 (105) §5.3 多模光纤传输中的耦合功率方程 (107) 中文参考文献 (109) 英文参考文献 (110)
Preface What is the coupled-mode theory? Is it a common theory in physics? Waves and vibration phenomena are popular in physics as we know such as mechanical vibrations, acoustic waves, light waves, microwaves and radio waves. Furthermore, connection or coupling among systems is also a general rule in universe. Everything presupposes the existence of some other thing. Cause-effect relations and action-reaction relations are generally existed among systems in the universe. It is obvious that there aren’t any ideal waves which exist independently and do not change their amplitudes and directions. A real wave or vibration is always connected with a source or other waves. Now, it is necessary to describe how these waves or vibrations (oscillations) couple to each other, and how their amplitudes change with the time or the distance. To illustrate the principle of the coupling between waves or vibrations (oscillations), let’s take pendulums as an example. Fig. a A pendulum can vibrate, that is to say it swings from side to side. We can give it a push and then it will vibrate at a fixed speed or at a certain frequency. If two pendulums with same frequency are hung on a string and one of them is set swinging as shown in Fig. a, it will swing less and less until it stops altogether, while the other pendulum will swing higher and higher until it reaches a maximum. Then the process will be reversed until the first pendulum reaches a maximum and the second comes to rest once more. This cycle repeats itself again and again. It would repeat infinitely if there were no losses in the system.
耦合波理论 如图是用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。光栅矢量K 垂直于边界平面，其大小为Λ=/2πK ，Λ为光栅周期，θ为入射角。 图2 布拉格光栅模型 R---入射波，S---信号波，Φ---光栅的倾斜角，0θ---再现光波满足布拉格条件时的入射角（与z 轴所夹得角）；K---光栅矢量的大小，d---光栅的厚度，r θ和s θ---再现光波和衍射光波与z 轴所夹的角度，Λ---光栅周期。 光波在光栅中的传播由标量波动方程描述 022=+?E k E （2） 公式（2）中()z x E ,是y 方向的电磁波的复振幅，假设为与y 无关，其角频率为ω。公式（2）中传播常数()z x k ,被空间调制，且与介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ相关： ωμσεωj c k -=22 2 （3） 公式（3）中，在自由空间传播的条件下，c 是自由空间的光速，μ为介质的渗透率。在此模型中，介质常量与y 无关。布拉格光栅的界面由介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ的空间调制表示：
()() ????+=?+=X K X K cos cos 1010σσσεεε （4） 公式（4）中，1ε和1σ是空间调制的振幅，0ε是平均介电常数，0σ是平均传导率。假设对ε和σ进行相位调制。为简化标志，我们用半径矢量X 和光栅矢量K ??????????=x y x X ； ???? ??????ΦΦ=cos 0sin K ； Λ=K /2π 结合公式（3）和公式（4） () X jK X jK e e j k ?-?++-=κβαββ2222 （5） 此处引入平均传输常数β和平均吸收常数α ()λεπβ/2210=； ()21002/εσμαc = （6） 耦合常数κ定义为 ()()?? ????-=21012101//241εσμεελπκc j （7） 耦合常数κ描述了入射光波R 和衍射光波S 之间的耦合光系。耦合常数是耦合波理论的中心参量。当耦合常数0=κ时，入射光波R 和衍射光波S 之间不存在耦合，因此也没有衍射存在。 光学介质通常由他们的折射率和吸收常数来表征。当满足如下条件时，运用平均传输常数β、平均吸收常数α和耦合常数κ等参量就十分方便。 αλπ>>n 2；()z n 12αλ π>>；1n n >> （8） 公式（8）适用于几乎所有的实际情况。公式（8）中，n 为平均折射率，1n 是折射率空间调制的振幅，1α是吸收常数空间调制的振幅。其中，λ是自由空间的波长。在以上的条件下，可以写出具有较高精确度的平均传输常数β λπβ/2n = 和耦合常数κ 2//11αλπκj n -=
第二章线性电光效应的耦合波理论 2001年，She 等人提出一种全新的理论，它从麦克斯韦方程出发，考虑二阶非线性极化强度(也就是只考虑线性电光效应)，忽略其余高阶极化强度，推出关于线性电光效应的耦合波方程，得到在电场作用下的晶体中光的两个独立电场分量的解析解。这种方法，可运用于研究光在任意一个方向的电场作用下沿任意方向传播的各种线性电光效应的情况，并且不单可以用于研究光的振幅调制，也可以容易去解决光的相位调制问题。另外对于给定的一个晶体(点群)，能根据需要利用该理论进行优化设计。这全新的耦合波理论相对折射率椭球理论来说，它的物理图象清晰，得到的结果是解析解，不用再作任何数学变换。我们不单可以方便地进行优化设计，而且也可用于电光调制器等电光器件性能的分析。它的出现拓展电光材料的选择范围和优化调制器的调制方式，从而引起了电光效应研究领域内新一轮的探索。 2.1 理论推导 波在介质中传播时，能够通过介质内的非线性极化而相互作用将导致形形色色的非线性光学现象，如高次谐波、参量转换、受激散射等等。电光效应就是其中的一种非线性光学现象。电(波)与光(波)的互作用，实质上又可以看作是几个处于不同波段的电磁波在非线性介质中的波耦合过程，因此可以象非线性光学那样，通过求解耦合波方程来获得电光作用的有关知识。对于普克尔效应，是入射波为光+)(ω电波)(m ω产生一个输出光波)(m ωω+的三波耦合过程。对于电光效应，它涉及到的是光与物质的相互作用，光是由麦克斯韦方程或场方程描述，物质体系是由光学布洛方程描述。于是我们采用类似非线性光学方法，首先给出相应的非线性极化强度，把电场所感生的附加极化矢量当成一个微扰量P ?，再将它视为新的极化光源引入麦克斯韦波动方程，通过整理最后可得到相应的耦合波方程。线性电光效应耦合波理论就是以麦克斯韦波动方程为基础和出发点推导出来的。 我们可以由麦克斯韦方程组和物质方程推导出：
1 耦合模理论 耦合模理论(Coupled-Mode Theory , CMT )是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一 般规律的理论。CMT 可用于非接触电能传输(Con tactless Power Transfer , CPT )系统的计 先用电路原理(Circuit Theory ，CT )的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过 CMT 得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套 相同的公式。随后分析 3个线圈、4个线圈、一直到n-1个线圈都可以变换为同一套公式, 最后将此方法推广到在同一平面的 n 个负载线圈的效率求解。 1单负载的电路分析 1.1电路分析 图1饥负载线圈的CPT 拓捋结构 在图1中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电, R 为原副边的内阻，R L 是负载，耦合系数K M / jn ，其中M 为L1和L2的互感。系 2 M 2 R L ___________ ((R L X 2)X 1 2 M 2 )(R L X 2) ⑷ 统最佳的工作频率就是谐振点 ，由集总参数的能量守恒原理可以得到 L 1 1 C 1 I 1 j MI 2 (1 ) R R L j L 2 1 C 2 |2 j MI 1 (R L X 2)X 1 j MU j ,P I 22 R L 令X i j L 1 C i 算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用 CMT 来估算线圈间的能量传输效率，首 U 是逆变后的交流电源, CT ----------- UI 1 |22 R L UI 1
在谐振状态下，0L1 —,X1 R,X2R，从而得到 0L2 2 2 2M2R L CT-------------- 2―2---------- ((R L R)R M)(R L R) 1.2 CMT分析 CPT系统中，常常只涉及稳态分析, 在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为 一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈a i（t）, a2（t）的原始储 能可分 别表示为 2 _ a1(t) , a2(t)。由CMT 可得 a1&) ( j 1)a1(t) jK 12a2(t) F s(t) a2&) ( j 2 1)a2(t) jK 12a1(t) 在上述公式中, 1, 2, L分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率，K12 为两个线圈的耦合率, F s（t）为励磁损 耗（忽略不 计） °CMT 中，a1(t) A1e j t,a2(t) A2e j t 都是正弦信号；P1 2 2 1 A1 ,P 2 2 A和P L 2 分别为原线圈、副线圈和负载 的功率。由能量守恒定律可得 CMT ---------- P1 P L P2 P L 4|2 由方程（6）和 （7） 者之间关系L 2Q L CMT A i 2 2 2 A： 2 L A2 (8 ) 可得一 A2 jK 12 2 L 1 jK12 Q L R L 2 -。将两L K12 2药以及K12代入式（8），解 得 (L 2)(( L _________ 2M2R ((R L R)R2M2)( R L R) 2K2L1L2R L 2 2 2 2) 1 K12 ((R L R)R K L1L2)(R L R) (9) 与式（5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。 2两个负载电路的传输效率分析 2.1电路分析 2
多尺度耦合理论
何国威、白以龙 中国科学院力学研究所，非线性力学国家重点实验室 多尺度力学是当代科学技术发展的需求和前沿。在生物科学，材料科学，化学科学和流体力学中，许多重要问题的本质都表现为多尺度，它们涉及从分子尺度到连续介质尺度上不同物理机制的耦合和关联。例如，在生物和化学科学里，在分子尺度上的不同性态产生了生物体尺度上的复杂现象；在固体破坏中，不同尺度的微损伤相互作用产生更大尺度上的裂纹导致材料破坏；在流体力学中，不同时空尺度的涡相互作用构成复杂的流动图案。这些问题的共同特点是不同尺度上物理机制的耦合和关联。只考虑单个尺度上某个物理机制，不可能描述整个系统的复杂现象。因此，多尺度力学的核心问题是多过程耦合和跨尺度关联。 多尺度力学是传统的针对多尺度问题研究的发展，但有着本质的不同。它们都研究不 能通过解耦进行求解的多尺度耦合问题。但是，传统的多尺度问题具有相似性或弱耦合，即：不同尺度上的物理过程具有相似性，因此我们可以求相似解；或者，不同尺度上的物理过程具有弱耦合，因此我们可以采用平均法求解。然而，多尺度力学的研究对象具有多样性和强耦合，即：不同尺度上的物理过程既不具有相似性，耦合也不再是弱的了。因此，传统的相 似解和平均法对多尺度力学的问题都不适用。 动力系统理论和统计力学为多尺度现象的研究提供了基本方法。在一个给定尺度上的物理过程可以用动力学方程描述，而动力学方程的建立主要依赖于经典力学和量子力学。问题的关键在于不同尺度上物理过程的相互耦合。如果可以忽略耦合，单个尺度上的物理过程完全可以由经典力学或量子力学描述，剩下的就是类似于解方程那样的认识过程，原则上并不是什么困难的事情。在平衡态统计物理里，不同尺度之间物理过程耦合的基本假设是基于等概率原理的统计平均。但是，大多数多尺度问题涉及统计力学中非平衡态的非线性演化过程，不同的尺度之间存在强耦合或敏感耦合，不能简单地采用绝热近似、统计平均以及微扰等方法处理，而必须将不同尺度耦合求解。特别是存在敏感耦合的情形，小尺度上的某些无序性细节在非线性演化过程中可能被强烈地放大，变成大尺度上的显著效应。统计力学为处理这类问题提供了一个基本出发点。一个直接的方法是从第一原理出发，利用分子动力学，计算分子尺度上的所有细节，然后求得连续介质尺度上的物理性质。但是，由于现有计算机的限制，从第一原理出发的直接法并不现实。一个比较现实的方法是寻找中间尺度进行过渡，它包括基于区域分解的准连续方法和基于粗粒化的粒子动力学法。这些构造模型的方法在不同的问题上都取得了一定程度的成功，但是，它们都不具有普适性。最新的发展是建立在齐次化方法上的非均匀齐次法，它试图给出解决跨尺度关联问题的一般框架。 现代力学中两个典型的多尺度问题是流体湍流和固体破坏，它们既有共同点，但又有 所区别：流体湍流表现为不同尺度上多个物理过程的耦合，它没有尺度分离；固体破坏表现为不同尺度上物理机制的跨尺度关联，它具有尺度分离。现详细讨论如下： （1）流体湍流： 在流体湍流里，不同尺度上的涡相互作用构成了复杂的流动图案，它们具有不同的物理机制而又相互耦合。在上个世纪，针对不同尺度上物理过程相似的问题，流体力学家发展了求相似解的方法；针对不同尺度上物理过程耦合较弱的问题，流体力学家发展了小参数摄动法。正是相似解和摄动法解决了航空航天中诸如湍流边界层这样的重大问题，形成了力学史上的一个黄金时代。但是，现在对湍流问题的研究与过去有了根本的不同，它表现为要认识不同尺度上不同的物理过程的强耦合。对于这类问题，经典的相似解和摄动法并不适用。 因此，必须发展能解决多尺度现象里多样性和强耦合问题的理论和数值方法。 湍流具有从耗散尺度到积分尺度的连续谱，它没有尺度分离，因此平均法并不适用。 统计物理为湍流的多尺度模型提供了工具。一般而言，湍流的统计特性可以用矩和概率密度函数描述。但是，矩方程含有非线性引起的高阶矩耦合，概率密度函数方程含有耗散引起的
Transmission of Wireless Power in Two-Coil and Four-Coil Systems using Coupled Mode Theory Manasi Bhutada, Vikaram Singh, ChiragWarty Dept. of Electrical and Electronics Engineering Intelligent Communication Lab Mumbai, India 无线电传输在双线圈及四线圈系统中的耦合模理论 电气与电子工程系 智能通信实验室 印度，孟买 姓名： 学号： 班级： 日期：2016年7月2日
Abstract—Wireless Power Transfer (WPT) systems are considered as sophisticated alternatives for modern day wired power transmission. Resonance based wireless power delivery is an efficient technique to transfer power over a relatively long distance. This paper presents a summary of a two-coil wireless power transfer system with the design theory, detailed formulations and simulation results using the coupled mode theory (CMT). Further by using the same theory, it explains the four-coil wireless power transfer system and its comparison with the two-coil wireless transfer power system. A four-coil energy transfer system can be optimized to provide maximum efficiency at a given operating distance. Design steps to obtain an efficient power transfer system are presented and a design example is provided. Further, the concept of relay is described and how relay effect can allow more distant and flexible energy transmission is shown. 摘要——无线电源传输（WPT）系统被认为是复杂的现代有线输电的替代品。基于共振无线电力传输技术在一个相对较长的距离里能有效的传输电力。本文总结了双线圈的无线电力传输系统的设计理论, 并利用耦合模式理论(CMT)得到详细的方法和仿真结果。利用该理论也解释了双线圈无线电力传输系统与四线圈无线传输电力系统。四线圈电力传输系统可以在给定的操作距离里优化并提供最高的效率，并提出了有效的功率传输系统的设计步骤和设计实例。此外，对中继器的概念进行了描述，并展示了如何利用中继更灵活和更遥远的传输电力。
矢量控制系统理论基础及其公式推导目录: 1、坐标变换理论 2、A-B-C静止坐标系下的感应电机数学模型 3、任意转速旋转的d-q坐标系下的感应电机数学模型 4、α-β坐标系下的感应电机数学模型 5、dq0坐标系下的感应电机数学模型 6、间接矢量控制系统的关键公式推导 7、磁链观测器关键公式推导 内容: 1、坐标变换理论 A-B-C坐标系与α-β坐标系 : i i α β ? = ? ? ? ?= ?? (1) 推导的条件: ①磁动势相等; ②功率守恒; ③0 A B C i i i ++=。 α-β坐标系与d-q坐标系: cos sin sin cos d q d q i i i i i i α β ?? ?? =- ?? ?=+ ?? (2) 逆变换: cos sin sin cos d q i i i i i i αβ αβ ?? ?? =+ ?? ?=-+ ?? (3) 其中:t ?ω =为d-q轴与α-β轴之间的夹角;ω为d-q坐标系的旋转速度特殊情况: 当d-q坐标系的旋转角速度ω与同步角速度相一致时,d轴与q轴的分量为直流量。2、A-B-C静止坐标系下的感应电机动态数学模型 动态数学模型有五部分组成:电压方程、磁链方程、转矩方程、运动方程与速度方程。 电压方程: 定子电压方程 A A A s B B B s C C C s d u i R dt d u i R dt d u i R dt ψ ψ ψ ? =+ ? ? ? =+ ? ? ? =+ ? ? (4) 转子电压方程
a a a s b b b s c c c s d u i R dt d u i R dt d u i R dt ψψψ?=+???=+???=+??(5) 归纳为:u Ri p ψ=+(6) 磁链方程: 由于感应电机共有六组线圈,分别就是定子三组与转子三组线圈,每组线圈的磁通量就是自感产生的磁通量与其它线圈感应产生的磁通量之与,如A 相磁链为: A AA A B A C Aa Ab Ac ψψψψψψψ=+++++(7) 其中:AA A AA i L ψ=,为A 相自感产生的磁通量;AB B AB i L ψ=,为B 相在A 相感应的磁通量,其它各相感应的磁通量分别就 是:AC C AC i L ψ=,Aa a Aa i L ψ=,Ab b Ab i L ψ=与Ac c Ac i L ψ=。 包含六个线圈的磁链方程为: A AA A B A C Aa Ab Ac A B BA BB BC Ba Bb Bc B C CA CB CC Ca Cb Cc C a aA aB aC aa ab ac a b bA bA bA bA bA bA b c cA cB cC ca cb cc c L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i ψψψψψψ????????????????????????=??????????????????????????????? ?????(8) 归纳为:Li ψ=(9) 并且: 1212AA BB CC ms ls aa bb cc ms lr AB AC BA BC CA CB ms ab ac ba bc ca cb ms L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ===+??===+???======-??======-?? (10) cos cos(120)cos(120)Aa aA Bb bB Cc cC ms o Ac cA Ba aB Cb bC ms o Ab bA Bc cB Ca aC ms L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L θθθ======??======-??======+? (11) 其中,ms L 为定子与转子每相互感,ls L 为定子漏感,lr L 为转子漏感,r t θω=为定转子之间的夹角,r ω为转子电角速度 式(10)分别为定子三相与转子三相的自感与互感,由于定子三相之间位置相对固定为120度,转子三相之间位置也就是固定的120度,因此,互感都就是定值。 式(11)为定子与转子之间的互感,由于转子处于旋转状态,定转子之间位置并不固定,因此,定转子之间的互感为时变值,当定子A 相与转子a 相重合时,其互感最大,当两者为90度时,其互感最小。 综合式(6)与(9),可得: u Ri pLi =+ (12) 由于L 与i 都就是变化的,对其求微分得到: r dL u Ri Lpi i d ωθ=++(13) 其中,Lpi 为电感压降,也被称为由于电流突变而导致的脉变电动势,r dL i d ωθ为与速度相关的速度反电动势。 转矩方程: [()sin ()sin(120)()sin(120)]o o e p ms A a B b C c A b B c C a A c B a C b T n L i i i i i i i i i i i i i i i i i i θθθ=+++++++++-(14)
ADAMS柔性体-刚柔耦合模块 一、ADAMS柔性体理论 1、ADAMS研究体系： a）刚体多体系统（低速运动） b）柔性多体系统（考虑弹性变形，大轻薄，高速） c）刚柔耦合多体系统（根据各个构件情况考虑，常用普遍仿真类型） 大部分仿真分析都采用的是刚性构件，在受到力的作用不会产生变形，现实中把大部分构件当做刚性体处理是可以满足要求的，因为各个零件之间的弹性变形对于机构各部分的动态特性影响微乎其微。 但是需要考虑构件变形，变形会影响精度结果，需要对构件其应力大小和分布以及载荷输出研究的时候，以及薄壁构件，高精密仪器部件等，则需要当做柔性体对待，这样计算结果会准确一些。对于柔性体机构，变形对动态影响起着决定性作用，刚柔耦合系统约束的添加必须考虑各个零部件之间的连接和受力关系，更可能还原实际工况，从而使模型更真实还原。 2、柔性体 柔性体是由模态构成的，要得到柔性体就需要计算构件的模态。柔性体最重要的假设就是仅考虑了相对于连体坐标系得晓得线性变形，而连体坐标系同时也在做大的非线性运动。 对于柔性体变形，模态中性文件必然存在某一些模态不响应，没有参与变形或者变性太大，参与系数非常小，比如前六阶或者不正常的阶数，如果去掉贡献较小的模态阶数，便可以提高仿真的效率。 ………… 3、模态 谈到柔性体，就必然脱不了模态的概念，构件的模态是构件自身的一个物理属性，一个构件一旦制造出来，他的模态就是自身的一种属性，再将几何模型离散成有限元模型以后，有限元模型的各个节点有一定的自由度，这样所有的节点自由度的和就构成了有限元模型的自由度，一个有限元模型有多少自由度，它就有多少阶模态。由于构件各个节点的实际位移是模态的按一定比例的线性叠加，这个比例就是一个系数，通常成为模态参与因子，参与因子越大，对应的模态对于构件变形的贡献量越多，因此对构件的振动分析，可以从构件的模态参与因子大小来分析，如果构建在振动时，某阶模态的参与因子大，可以通过改进设计，抑制改接模态对振动贡献量，可以明显降低构件的振动。 利用有限元技术，通过计算构件的自然频率和对应的模态，按照模态理论，将构件产生的变形看作是由构件模态通过线性计算得到的。在计算构建模态时，按照有限元理论，首先要将构件离散成一定数量的单元，单元数量越多，计算精度越高，单元之间通过共用一个节点来转递力的作用，在一个单元上的两个点之间可以产生相对位移，再通过单元的材料属性，进一步计算出构建的内应力和应变。 …………柔性体模态与有限元模态区别不同？ …………约束模态？ …………正交模态？ ADAMS中建立柔性体的三种方法：离散柔性连接杆、ADAMS/ViewFlex模块生成mnf文件、FEA有限元软件输出mnf文件 二、离散柔性连接杆 1、定义：将一个构件离散成几段或者许多段小刚性构件，每个小刚性构件之间通过柔性梁连接，变形
万能公式推导Revised on November 25, 2020
万能公式推导 2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*， （因为cos^2（α）+sin^2（α）=1） 再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α=2α/（1+tan^2（α）） 然后用α/2代替α即可。 同理可推导的万能公式。的可通过比余弦得到。 三倍角公式推导 tan3α=sin3α/cos3α =（sin2αcosα+cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα） =（2sinαcos^2（α）+cos^2（α）sinα－sin^3（α））/（cos^3（α）－cosαsin^2（α）－2sin^2（α）cosα） 上下同除以cos^3（α），得： tan3α=（3tanα－tan^3（α））/（1-3tan^2（α）） sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2（α）+（1－2sin^2（α））sinα =2sinα－2sin^3（α）+sinα－2sin^3（α） =3sinα－4sin^3（α） cos3α=cos（2α+α）=cos2αcosα－sin2αsinα =[2cos^2（α）－1]cosα－2cosαsin^2（α） =2cos^3（α）－cosα+[2cosα－2cos^3（α）] =4cos^3（α）－3cosα 即 sin3α=3sinα－4sin^3（α） cos3α=4cos^3（α）－3cosα
和差化积公式推导 首先，我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb 所以，sina*cosb=[sin（a+b）+sin（a-b）]/2 同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=[sin（a+b）-sin（a-b）]/2 同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b） =cosa*cosb+sina*sinb 所以，把两式相加，我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb 所以我们就得到，cosa*cosb=[cos（a+b）+cos（a-b）]/2 同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]/2 这样，我们就得到了的四个公式： sina*cosb=[sin（a+b）+sin（a-b）]/2 cosa*sinb=[sin（a+b）-sin（a-b）]/2 cosa*cosb=[cos（a+b）+cos（a-b）]/2 sina*sinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]/2 好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到的四个公式 我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=（x+y）/2，b=（x-y）/2 把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式： sinx+siny=2sin[（x+y）/2]*cos[（x-y）/2] sinx-siny=2cos[（x+y）/2]*sin[（x-y）/2] cosx+cosy=2cos[（x+y）/2]*cos[（x-y）/2] cosx-cosy=-2sin[（x+y）/2]*sin[（x-y）/2] 同角的基本关系式