一 爱因斯坦求和约定 1.1指标 变量的集合： n n y y y x x x ,...,,,...,,2121 表示为： n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,== 写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。 用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。 1.2求和约定 若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。这是一个约定，称为求和约定。 例如： 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++
筒写为： i j ij b x A = ｊ——哑指标 ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。 1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号 Kronecker-δ符号定义 j i j i ij ji ≠=???==当当0 1δδ 置换符号 ijk ijk e e =定义为: ?? ? ??-==的任意二个指标任意k j,i,当021) (213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2， 1是k j,i,当1ijk ijk e e i,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式： 23123133122123321123123113322133221133 323 123222 113121 1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU 中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能
晶体物理性能 南京大学物理系
由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域． 《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用． 鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容． 由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．
第一节 集合 一．考试要求： 理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。 二．基本概念和性质 1．集合的基本概念： 某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来 表示集合要具体问题具体分析。 3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4．集合间的关系及运算 子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____; 真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____; 空集：____________________,记为_____ 补集：如果已知全集U ，集合A U ?，则U C A =_________________; 交集：A B =___________________;并集：A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质 若,A B B A ??则______，若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?，___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合： {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7．特别注意： （1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。 （2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面 直角坐标系来反映集合及其关系。 （3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。 三、例题选讲
统计基础知识第一章绪论习题及答案
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第一章绪论 一、单项选择题 1.统计学的研究对象是( D )（2012年1月） A.抽象的数量关系 B.总体现象的数量特征和数量关系的方法论科学 C.社会经济现象的规律性 D.社会经济现象的数量方面 2.要了解100名学生的学习情况，则个体是( B )（2012年1月） A.100名学生 B.每一名学生 C.100名学生的学习成绩 D.每一名学生的学习成绩 3．研究某企业职工的基本情况时，下列属于品质标志的是( B )（2011年10月）A．工龄 B.健康状况 C.工资级别 D.工资收入 4.下列哪位是政治算术学派的代表人物( A )（2011年1月） A.威廉·配第 B.康令 C.帕斯卡 D.凯特勒 5.变量的具体表现形式为( B )（2011年1月） A.标志 B.统计数据 C.指标 D.文字 6.某城市进行工业企业未安装设备普查，总体单位是（ B ）（2008年10月） A.工业企业全部未安装设备 B.工业企业每一台未安装设备 C.每个工业企业的未安装设备 D.每一个工业企业 7.统计指标按所反映的数量特点不同可以分为数量指标和质量指标两种。其中数量指标的表现形式是（ A ）（2008年10月） A.绝对数 B.相对数 C.平均数 D.相对数或平均数 8.某城市进行工业企业未安装设备普查，个体是（B ）（2009年1月） A.工业企业全部未安装设备 B.工业企业每一台未安装设备 C.每个工业企业的未安装设备 D.每一个工业企业 9.标志是说明个体特征的名称；标志值是标志的数值表现，所以（ C ）（2009年1月） A.标志值有两大类：品质标志值和数量标志值 B.品质标志才有标志值 C.数量标志才有标志值 D.品质标志和数量标志都具有标志值 10.以产品的等级来衡量某种产品的质量好坏，则该产品等级是( D )（2009年10月） A.数量标志 B.品质标志 C.数量指标 D.质量指标 11.工业企业的设备台数、产品产值是( D ) （2009年10月）
《微波技术基础》课程学习知识要点 第一章学习知识要点 1．微波的定义—把波长从1米到0.1毫米范围内的电磁波称为微波。微波波段对应的频率范围为: 3×108Hz～3×1012Hz。在整个电磁波谱中，微波处于普通无线电波与红外线之间，是频率最高的无线电波，它的频带宽度比所有普通无线电波波段总和宽10000倍。一般情况下，微波又可划分为分米波、厘米波、毫米波和亚毫米波四个波段。 2．微波具有如下四个主要特点：1) 似光性、2) 频率高、3) 能穿透电离层、4) 量子特性。 3．微波技术的主要应用：1) 在雷达上的应用、2) 在通讯方面的应用、3) 在科学研究方面的应用、4) 在生物医学方面的应用、5) 微波能的应用。 4．微波技术是研究微波信号的产生、传输、变换、发射、接收和测量的一门学科，它的基本理论是经典的电磁场理论，研究电磁波沿传输线的传播特性有两种分析方法。一种是“场”的分析方法，即从麦克斯韦方程出发，在特定边界条件下解电磁波动方程，求得场量的时空变化规律，分析电磁波沿线的各种传输特性；另一种是“路”的分析方法，即将传输线作为分布参数电路处理，用克希霍夫定律建立传输线方程，求得线上电压和电流的时空变化规律，分析电压和电流的各种传输特性。 第二章学习知识要点 1. 传输线可用来传输电磁信号能量和构成各种微波元器件。微波传输线是一种分布参数电路，线上的电压和电流是时间和空间位置的二元函数，它们沿线的变化规律可由传输线方程来描述。传输线方程是传输线理论中的基本方程。 2. 均匀无耗传输线方程为
() ()()()d U z dz U z d I z dz I z 22222 20 -=-=ββ 其解为 ()()() U z A e A e I z Z A e A e j z j z j z j z =+=---120121ββββ 对于均匀无耗传输线,已知终端电压U 2和电流I 2，则: 对于均匀无耗传输线,已知始端电压U 1和电流I 1，则: 其参量为 Z L C 00 0=，βπλ=2p ，v v p r =0 ε，λλεp r =0 3. 终端接的不同性质的负载，均匀无耗传输线有三种工作状态： (1) 当Z Z L =0时，传输线工作于行波状态。线上只有入射波存在，电压电流振幅不变，相位沿传播方向滞后；沿线的阻抗均等于特性阻抗；电磁能量全部被负载吸收。 (2) 当Z L =0、∞和±jX 时，传输线工作于驻波状态。线上入射波和反射波的振幅相等，驻波的波腹为入射波的两倍，波节为零；电压波腹点的阻抗为无限大，电压波节点的阻抗为零，沿线其余各点的阻抗均为纯电抗；电压（电流）波腹点和电压（电流）波节点每隔λ4交替出现，每隔2λ重复出现；没有电磁能量的传输，只有电磁能量的交换。 (3) 当Z R jX L L L =+时，传输线工作于行驻波状态。行驻波的波腹小于两倍入射波，波节不为零；电压波腹点的阻抗为最大的纯电阻R Z max =ρ0，电压波节点的阻抗为最小的纯电阻R Z min =0ρ； ()()?????-=-= sin cos sin cos 011011Z z jU z I z I z Z jI z U z U ββββ()()?????+=+= sin cos sin cos 022022Z z jU z I z I z Z jI z U z U ββββ
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计
《解剖学基础》知识点整理 第一章绪论 1、人体的构成：__________、__________、__________、__________。 细胞: ____________________________________。 2、人体的四类组织: __________、__________、__________、__________。 3、人体的九大系统: _________、__________、_________、__________、_________、__________、__________、___________、___________。 4、人体的分部：__________、__________、__________和__________。 5、根据标准姿势，人体可有互相垂直的三种类型的轴。 矢状轴：由前→后，与身体长轴和冠状轴相垂直的轴。 冠状轴：由左→右，与身体长轴和矢状轴相垂直的轴。 垂直轴：由上→下，与身体长轴平行的轴。 6、人体的切面 矢状面：以前后方向将身体分成左右两部的纵切面。 冠状面：以左右方向将身体分成前后两部的纵切面。 水平面：与垂直轴相垂直，将身体分为上、下两部的断面。 7、HE染色法下细胞质嗜碱性强说明_________________________________。 8、HE染色法下细胞质嗜酸性强说明_________________________________。 第二章细胞 1、细胞的结构：细胞膜、细胞质、细胞核。 2、细胞膜结构：__________、__________、__________。 3、细胞质：是细胞膜与细胞核之间的部分，包括：__________、__________、__________。__________、是细胞合成蛋白质的场所；__________、是细胞的“能量供应站”。 4、细胞核：细胞最重要的结构，是由__________、__________、__________和__________构成。 第三章基本组织 第一节上皮组织
NBLOCK:在调用Vumat时需要用到的材料点的数量 Ndir：对称张量中直接应力的数量（sigma11,sigma22,sigma33） Nshr：对称张量中间接应力的数量(sigma12, sigma13, sigma23) Nstatev:与材料类型相关联的用户定义的状态变量的数目 Nfieldv：用户定义的外场变量的个数 Nprops:用户自定义材料属性的个数 Lanneal：指示是否在退火过程中被调用例程的标志。Lanneal=0，指示在常规力学性能增量，例程被调用。Lanneal=1表示，这是退火过程，你应该重新初始化内部状态变量， stepTime：步骤开始后的数值 totalTime：总时间 Dt：时间增量值 Cmname：用户自定义的材料名称，左对齐。它是通过字符串传递的。一些内部材料模型是以“ABQ_”字符串开头给定的名称。为了避免冲突，你不应该在“cmname”中使用“ABQ_”作为领先字符串。 coordMp(nblock,*)：材料点的坐标值。它是壳单元的中层面材料点，梁和管（pipe）单元的质心。 charLength(nblock)： 特征元素长度，是基于几何平均数的默认值或用户子程序VUCHARLENGTH中定义的用户特征元长度。 props(nprops)：用户使用的材料属性 density(nblock)：中层结构的物质点的当前密度
strainInc (nblock, ndir+nshr)：每个物质点处的应变增量张量 relSpinInc (nblock, nshr)：在随转系统中定义的每个物质点处增加的相对旋转矢量 tempOld(nblock)：物质点开始增加时的温度。 defgradOld (nblock,ndir+2*nshr)：在增量开始时，每个物质点出的变形梯度张量，在3d中形为（F11, F22，F33，F12，F23，F31，F21，F32，F13）,在2d中形为（F11，F22，F33，F12，F21） stretchOld (nblock, ndir+nshr) fieldOld (nblock, nfieldv)：在增量开始时，每个物质点处用户定义场变量的值stressOld (nblock, ndir+nshr)：在增量开始时，每个物质点处的应力张量：stateOld (nblock, nstatev)：在增量开始时，每个物质点处的状态变量：tempNew(nblock)：在增量结束时，每个物质点处的温度 defgradNew (nblock,ndir+2*nshr)：在增量结束时，每个物质点出的变形梯度张量，在3d中形为（F11, F22，F33，F12，F23，F31，F21，F32，F13）,在2d中形为（F11，F22，F33，F12，F21） fieldNew (nblock, nfieldv)：在增量开始时，每个物质点处用户定义长变量的值
简单的说:张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量,矢量是一阶张量，矩阵(方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量,这几个线性空间的基可同时变换,或者只是只变 换几个,此时,张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标,也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中,一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间,所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算,必须比较流形上相距很近两点的张量的差,这就引出了联络的 概念，而联络的概念的引出,需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的,很多概念如果代数水平不行,是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识,最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实,线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在,我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等.线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价. 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说,是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义,但张量本身并不需要具有几何 比拟 其实,张量是有很强的几何背景的,不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了. 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的,这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射. 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关,对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解,而且理解那么深也没用。不过,他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃,很是佩服他们的计算
教学目的： 知识与技能： 1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 3、能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 过程与方法：针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引入了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展到集合的“交”的运算和“补”的运算。类比方法的使用体现了知识之间的联系，渗透了数学学习的方法。 情感、态度与价值观： 1、类比方法让学生体会知识间的联系； 2、Venn 图表达集合运算让学生体会数形结合思想方法的应用对理解抽象概念的作用； 3、通过集合运算的学习逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 教学过程： 一、复习回顾： 1：什么叫集合A 是集合B 的子集？ 2：关于子集、集合相等和空集，有哪些性质？ （1） .A A ?； （2） 若A B ?，且B A ?，则.A B =； （3） 若,,A B B C ??则C A ?； （4） A ??． 二、创设情境，新课引入 问：实数有加法运算，两个集合是否也可以相加呢？考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？ （1）{ }{}{}6,5,4,3,2,1,6,4,2,5,3,1===C B A ； （2）{}是有理数x x A =，{}是无理数x x B =，{} 是实数x x C =．
学生讨论并引出新课题． 三、师生互动，新课讲解： 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union） 记作：A∪B读作：“A并B”即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} 例1：（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求：A∪B。 （2）设集合A={x|－1 张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。 第一章 张量基础 第一章 张量基础 1.1 张量的基本知识（1） 1.1 张量的基本知识（2） 1.1 张量的基本知识（3） 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛 ，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到， 指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡?????? TR（time of repetition,TR）又称重复时间。MRI的信号很弱，为提高MR的信噪比，要求重复使用同一种脉冲序列，这个重复激发的间隔时间即称TR。 弛豫（relaxation，经常被误写为“驰豫”）是指在核磁共振和磁共振成像中磁化矢量由非平衡态到平衡态的过程。在统计力学和热力学中，弛豫时间表示系统由不稳定定态趋于某稳定定态所需要的时间。在协同学中，弛豫时间可以表征快变量的影响程度，弛豫时间短表明快变量容易消去。这个系统可以是具体或抽象的，比如弹性形变消失的时间可称为弛豫时间，又比如光电效应从光照射到射出电子的时间段也称为弛豫时间，政策实施到产生效果也可称为弛豫时间。 弛豫时间有两种即T1和T2。 T1 T1为自旋一晶格或纵向驰豫时间，纵向磁化强度恢复的时间常数T1称为纵向弛豫时间（又称自旋-晶格弛豫时间）。 T2 T2为自旋一自旋或横向弛豫时间，横向磁化强度消失的时间常数T2称为横向弛豫时间（又称自旋-自旋弛豫时间）。 T2* 在理想的状态下，在同一磁场下，给定的化学环境中，所有的核以同一频率进动。但是在实际系统中，各个核的化学环境有细微的不同。 1/T2* = 1/T2 + 1/T (inhomo) = 1/T2 + γΔB0 不像T2，T2*受磁不均匀性的影响，T2*总是比T2短。 T1总是比T2长吗？ 一般来说，2T1 ≥ T2 ≥ T2*。在大部分情况下，T1比T2长。 常见弛豫时间值 以下为常见健康人体组织的两个弛缓时间常数大概数值，仅供参考。 1.5特斯拉主磁场之下 组织类型T 1 大约值(毫秒) T 2 大约值(毫秒) 脂肪组织 240-250 60-80 全血（缺氧血） 1350 50 全血（带氧血） 1350 200 脑脊髓液（类似纯水） 2200-2400 500-1400 大脑灰质 920 100 集合的基本关系及运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 学习策略： 数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论． 二、学习与应用 1．集合元素的特征 性、 性、 性. 2．元素与集合的关系： (1)如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作a (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a A ，记作a 3．集合的分类 (1)空集： 元素的集合称为空集(empty set)，记作： . (2)有限集： 元素的集合叫做有限集. “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ (3)无限集：元素的集合叫做无限集. 4．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作 正整数集，记作*或+ 整数集，记作 有理数集，记作 实数集，记作 要点一：集合之间的关系 1.集合与集合之间的 “包含 ”关系 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B集合A； 子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A) ?? 或 要点诠释： （1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素， 即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A不是B的子集时，我们记作“A?B(或B?A)”， 读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）． 真子集：若集合A B，存在元素x B且x A，则称集合A是集合B 的真子集(proper subset).记作：(或) 规定：空集是任何集合的集，是任何非空集合的集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ?? 且，则A与B中的元素是一样的，因此A B 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#3072#388901 第1讲 集合的基本概念与运算 吴江市高级中学 李文静 一、高考要求 ①理解子集、补集、交集、并集的概念； ②了解空集和全集的意义；③了解属于、包含、相等关系的意义；④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 二、两点解读 重点：①集合的三大性质； ②集合的表示方法 ；③集合的子、交、并、补等运算． 难点：①新问题情境下集合概念的理解；②点集和数集的区别；③空集的考查． 三、课前训练 1．设集合A=｛1,2｝，B=｛1,2,3｝，C=｛2,3,4｝则=C B A Y I ）（（ ） ( A ) ｛1,2,3｝ ( B ) ｛1,2,4｝ ( C ) }4,3,2{ ( D ) }4,3,2,1{ 2．设集合}01{<<-=m m P ，044{2<-+∈=mx mx R m Q ，对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ） (A) P Q (B) Q P (C)Q P = (D)P Q =?I 3．已知集合}{2x y y A ==，}2{x y y B ==，则=B A I ____________． 4．设集合A={5，)3(log 2+a },集合B={a ，b }．若B A I ={2}，则B A Y = ． 四、典型例题 例1 设集合},412{Z k k x x M ∈+==，},2 1 4{Z k k x x N ∈+==, ,则（ ） (A) M N (B) N M (C)M N = (D)M N =?I 例2 设集合},,1),{(22R y R x y x y x M ∈∈=+=，},,1),{(2R y R x y x y x N ∈∈=-=，则集合N M I 中元素的个数为（ ） (A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 例3设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},|{Q b P a b a Q P ∈∈+=+，若},5,2,0{=P }6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______________． 例4 已知集合}06{2=-+=x x x M ，}01{=-=mx x N ，若M N ?，则实数m 的取值构成的集合为______________________． 例 5 已知R a ∈，二次函数a x ax x f 22)(2--=．设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合 ? ≠ ? ≠ ? ≠ ? ≠(完整版)张量分析中文翻译
01 张量基础
晶体的物理性质一般是各向异性的，这 些性质常常需要用与方向有关的两个可测量 的量之间的关系来定义，而用张量来描述， 张量是晶体物理的数学基础。
张量的基本知识 张量的变换定律 张量的几何表示法 晶体对称性对晶体性质的影响 晶体物理性质的相互关系
一、标量与矢量
1、标量
在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温 度、密度等等，它们都与方向无关。这些无方向的 物理量，称为标量（也称零阶张量）。它们完全由 给定的某一数值来确定。
2、矢量
与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张 量）。它们不仅有大小，而且有一定的方向。如电 场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。矢量用上 方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。 矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐 标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是 就可以 E 写成： E = [E , E , E ]
1 2 3
——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。这 样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴 上的分量来确定。
二、二阶张量
在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形 关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：
D =εE
ε——介电常数
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与 的三 个分量相关，此时，它们间的关系可表示为： D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E3张量分析中文翻译(最新整理)
脑成像基础知识
集合的基本关系及运算A
集合的基本概念与运算
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