第三章平面一般力系 教学目的及要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 §3-1 平面一般力系向作用面内一点简化 教学重点：1.平面一般力系如何向作用面内一点简化 2. 主矢与主矩的概念 教学难点：对力的平移定理的理解和应用 教学内容： 首先对什么是平面一般力系进行分析。对于平面一般力系如何向其作用面内一点简化，从而引出力的平移定理。 1．力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点（新作用点）的矩，它是一般力系向上点简化的依据。2．基本概念 1) 合力矢：汇交力系一般地合成为一合力，合力的作用线通过汇交点，合力矢等于力系的主矢。 2）主矢：平面力系各力的矢量和，即 3．应用力的的平移定理将平面一般力系向作用面内一点简化 用图形来进行讲解力系向一点简化的方法和结果。最终平面一般力系向一点简化可以得到两个简单的力系：平面汇交力系和平面力偶系。应用前两章学过的内容，这两个简单的力系还可以进一步简化成一个主矢和对简化中心的主矩。 结论：平面一般力系向作用面内任选一点O简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个力偶的矩等于该力
系对于点O的主矩。 注意：主矢与简化中心无关；而主矩与简化中心有关，必须指明对于哪一点的主矩。 4．固定端约束 它是平面一般力系向作用面内一点简化的一个典型应用。可以将固定端支座的约束反力向作用平面内点A简化得到一个力和一力偶，这个力用两个未知分力来代替。 它限制了物体在平面内的转动，所以比铰支座多了一个给反力偶。 §3-2 平面一般力系简化结果与分析 教学重点：平面一般力系向作用面内一点简化的结果 教学难点：将一个力系向指定点简化的具体应用。 教学内容： 1．平面力系的简化步骤如下： 1)选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） 2) 建立直角坐标系Oxy 3) 求主矢 4) 求主矩：逆正顺负，画在图中 5) 简化结果讨论 2．平面力系的简化结果 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 平面一般力系向作用面内一点简化结果，有四种情况： 1) 简化为一个力偶的情形： 力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零。即： F R′=0，M o≠0 2) 简化为一合力的情形 力系向点O简化的结果为主矩等于零，主矢不等于零。即： F R′≠0，M o=0 3)若F R′≠0，M o≠0 平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 原力系合成为作用点为O′的力F R，合力作用线在点O的哪一侧，由主矢和
第四章化学平衡课后习题参考答案 4解：由2×②-2×①得反应：4H 2(g)+2SO 2(g) == 4H 2O(g) + S 2(g) 5解：反应开始时： 平衡时： 即平衡时NOCl 的分压增加了（8.53-6.97）×105=1.56×105（Pa ） 对于反应： 2NO(g) + Cl 2(g) === 2NOCl(g) 平衡分压/Pa (4.18-1.56)×105 (2.79-1/2×1.56)×105 8.53×105 8解：（1）2.2710252383142.0)10252383145.0(5 2 5 =??????=θK PCl 5的分解率=0.5/0.7×100%=71.4% （2） 加入Cl 2,平衡向左移动,设生成物转化了x mol/L PCl 5 ===== PCl 3 + Cl 2 平衡分压 (0.1+x)×8314×523 (0.25-x)×8314×523 (0.25+0.05-x)×8314×523 x= 0.01074(mol/L) PCl 5的分解率=%4.68%10035.0) 01074.01.0(35.0=?+- 平衡向左移动,其分解率减小到68.4%. （3）设生成PCl 3 x mol/L PCl 5 ===== PCl 3 + Cl 2 平衡分压 (0.35-x)×8314×523 x ×8314×523 (0.05+x)×8314×523 代入平衡常数表达式 x=0.239（mol/L ） PCl 5的分解率=0.239/0.35=68.4% 8 24 21 210 06.5)80.0108.1()(?=?==θθθK K K 2 .27105238314)1.0(10523 8314)3.0(105238314)25.0(5 5 5=??+??-???-=x x x K θ2 .2710523 8314)35.0(10523 8314)05.0(10523 83145 55=??-??+???=x x x K θ) (1018.40.15503 8314500.1)()(500Pa V RT NO n NO p ? =??==) (1079.20.15503 8314000.1)()(52020Pa V RT Cl n Cl p ?=??==) (1097.60.15503 8314500.2)()(500Pa V RT NOCl n NOCl p ?=??==) (1053.80 .155038314060.3)()(5Pa V RT NOCl n NOCl p ?=??==) (940.050383140.1510) 56.118.4()()(5mol RT V NO p NO n =???-==27 .5)1/01.2()1/62.2()1/53.8(]/)([]/)([]/)([22 222===θθθθp Cl p p NO p p NOCl p K
第四章 相平衡 一、 基本内容 本章运用热力学方法推导相平衡系统共同遵守的规律—相律；介绍单组分或多组分系统内达平衡时的状态图—相图的绘制、相图的分析和相图的应用。通过本章的学习，可以应用相律判断各类相平衡系统中的相数、组分数和自由度数；了解各类相图的绘制方法，正确分析相图中各点、线、面的意义，解释外界条件变化时系统经历的相变，并能根据所给条件粗略画出相图；能应用杠杆规则计算相平衡系统中各相的相对数量，明确蒸馏、精馏、结晶、萃取等工业过程分离、提纯物质的基本原理和最佳途径。 （一）相变 在聚集态内部能与其它物质区分的“均匀系”称为“相”，描述“相”的特征是：宏观 物理性质与化学性质均匀一致；其物质的数量可以任意改变（量变）；相与相之间不强求明显的物理界面。例如水池中插板、冰被破碎，并不改变原有相数的平衡状态。相变则标志质（物理性质和化学性质）的飞跃，根据物性的不同有一级相变和二级相变之分，一级相变广为存在，其特征是物质在两相平衡时化学势的一级偏微商不相等，?V ≠0，?H ≠0，?S ≠0，曲线变化呈现明显折点（有二条切线）。这类相变符合克拉贝龙方程： V T H dT dp ??= 。二级相变的特征是物质在二相平衡时化学势的一级偏微商相等，曲线变化呈现圆滑过渡（只有一条切线）。而二级偏微商不等，C p 、α(等压热膨胀系数)、β（等温压缩系数）在相变温度时曲线的变化不连续。二级相变因?H =0，不适用克拉贝龙方程而适用埃伦菲斯方程α ??=TV C dT dp p 。某些金属的铁磁→顺磁转变，低温下超导性能的转变等属于此类。 （二）相律 系统达热力学平衡时，若有C 种组分，Φ个相，通常仅将温度与压力2个强度性质考虑进去，组成一个全部是独立变量的以自由度数f 表达的函数关系式： f =C -Φ+2。此即为吉布斯相律公式。如有磁场、重力场以及有渗透压等其它因素影响，则应将常数2改为n 。 （三）相图 相图是一些描述相平衡规律的图形。将吉布斯相律与相图相结 合，可以了解多相平衡系统在不同T 、p 、x 条件下的相态变化。系 统的组分数不同，相图的绘制方法及相图的形貌也不尽相同。 1．单组分系统，重点研究p -T 图 参考图4-1，单组分系统C =1，f =C -Φ+2单相（面积区）时， Φ=1，f =2，温度和压力均可变，称为双变量系统；在汽化、凝固和
平面一般力系的平衡 一、 判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（ ） 图 1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（ ） 图 2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（ ） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度 轴，那么Σ =0。（ ） 图 3 图 4
5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（ ） 图 5 图 6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（ ） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（ ） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（ ） 图 7 图 8 9.图8所示梁，若求支反力 时，用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。 （ ） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（ ） 图 9 图 10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（ ）
12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M ＝Fa （ ）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为 ∑Fx＝0， ∑M A ＝0， ∑M B＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（ ） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（ ）。 A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承，在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。这说明（ ）。 图 11 A． 支反力R0与P平衡 B． m与P平衡 C． m简化为力与P平衡 D． R0与P组成力偶，其m（R0，P）=-P·r与m平衡 3. 图12所示三铰刚架，在D角处受一力偶矩为m的力偶作用， 如将该力力偶移到E角出，支座A、B的支反力 （ ）。 图12 A．A、B处都变化 B．A、B处都不变 C．A处变，B处不变
第四章相平衡习题
第四章相平衡习题 1.指出下列平衡系统的组分数、自由度数各为多少？ （1）NH4Cl(S)部分分解为NH3(g)和HCl(g) 物种数S＝3，化学平衡关系式数目R＝1， 浓度限制条件数目R’=1[NH3(g)和HCl(g)）浓度相等] 组分数K=S-R-R’=3-1-1=1 相数?＝2（固相和气相两相） 自由度f=k-?+2=1-2+2=1 （2）若上述体系中额外再加入少量的NH3（g） 物种数S＝3，化学平衡关系式数目R＝1， 浓度限制条件数目R’=0[NH3(g)和HCl(g)）不能建立浓度关系] 组分数K=S-R-R’=3-1-0=2 相数?＝2（固相和气相两相） 自由度f=k-?+2=2-2+2=2 （3）NH4HS(S)和任意量的NH3(g)及H2S（g）平衡； 物种数S = 3, 化学平衡式R ＝1，R’ = 0 组分数K = S –R - R’ = 3 – 1 – 0 = 2 相数?＝2（固相和气相两相） 自由度f = k –? + 2 = 2 – 2 + 2 = 2 （4）C(S)、CO（g）、CO2(g)、O2(g)在373K时达到平衡。
物种数S=4,存在下面的化学平衡式： C+O2?CO2 2C+O2?2CO 2CO+O2?2CO2 CO2+C?2CO 实际上后面两个化学式都可以通过前面两个平衡式获得，则R = 2,而不是等于4。无浓度限制条件，R’ = 0,则： K = S–R - R’ = 4 – 2 = 2 相数?＝2（固相和气相两相） 由于有温度条件限制，所以自由度为 f = K–? + 1 = 2 – 2 + 1 = 1 2.在水、苯和苯甲酸的体系中，若指定了下列事项，试问系统中最多可能有几个相，并各举一例。 （1）指定温度； K = S–R–R’,S = 3, R = R’ = 0, 则K = 3 f = K–Φ + 1 = 4 –Φ f = 0时，Φ= 4, 体系最多有四相，如气相、苯甲酸固体、苯甲酸饱和水溶液和苯甲酸饱和苯溶液。 （2）指定温度和水中苯甲酸的浓度； K = S–R–R’,S = 3, R = 1，R’ = 0, 则K = 2 f = K–Φ + 1 = 3 –Φ f = 0时，Φ= 3, 体系最多有三相，如气相、苯甲酸饱和水溶液和苯甲酸饱和苯溶液。 （3）指定温度、压力和苯中苯甲酸的浓度。 K = S–R–R’,S = 3, R =1，R’ = 0, 则K = 2 f = K–Φ = 2 –Φ
第三章 平面力系 一、填空题 1．力F 作用线向O 点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该 附加一力偶，该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。 2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。 3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。 二、选择题 1．一平面任意力系向点A 简化后，得到如图3.1所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A ） (A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶 2．在刚体同一平面内A ，B ，C 三点上分别作用1F ，2F ，3F 三个力，并构成封闭三角形，如图3.2所示，此力系是属于什么情况（C ） (A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断 3．均质杆长为l ，重为W ，在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A ，B 处对杆产生的反力A F ，B F 有关系（D ） (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F == (D ) 0A B F F =≠ 三、计算题 1．试求图3.4中力P 对点O 的矩，已知60a cm =，20b cm =，3r cm =，400P N =。 解：（a ）()4000.6240O M Pa N m ==?=?P （b ）o 1 ()sin304000.61202 O M P a N m =-?=-??=-?P 图3.2 图3.1 图 3.3
平面一般力系的平衡 一、判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（） 图1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（） 图2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度轴，那么Σ=0。（）
图3 图4 5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（） 图5 图6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（）
图7 图8 9.图8所示梁，若求支反力时，用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。（） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（） 图9 图10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（） 12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M ＝Fa （）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为∑Fx＝0，∑M A＝0，∑M B ＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（）。
A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承，在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。这说明（）。 图11 A．支反力R0与P平衡 B．m与P平衡 C．m简化为力与P平衡 D．R0与P组成力偶，其m（R0，P）=-P·r与m平衡 3. 图12所示三铰刚架，在D角处受一力偶矩为m的力偶作用， 如将该力力偶移到E角出，支座A、B的支反力（）。 图12
第四章相平衡习题 1.指出下列平衡系统的组分数、自由度数各为多少？ （1）NH4Cl(S)部分分解为NH3(g)和HCl(g) 物种数S＝3，化学平衡关系式数目R＝1， 浓度限制条件数目R’=1[NH3(g)和HCl(g)）浓度相等] 组分数K=S-R-R’=3-1-1=1 相数?＝2（固相和气相两相） 自由度f=k-?+2=1-2+2=1 （2）若上述体系中额外再加入少量的NH3（g） 物种数S＝3，化学平衡关系式数目R＝1， 浓度限制条件数目R’=0[NH3(g)和HCl(g)）不能建立浓度关系] 组分数K=S-R-R’=3-1-0=2 相数?＝2（固相和气相两相） 自由度f=k-?+2=2-2+2=2 （3）NH4HS(S)和任意量的NH3(g)及H2S（g）平衡； 物种数S = 3, 化学平衡式R ＝1，R’ = 0 组分数K = S –R - R’ = 3 – 1 – 0 = 2 相数?＝2（固相和气相两相） 自由度f = k –? + 2 = 2 – 2 + 2 = 2 （4）C(S)、CO（g）、CO2(g)、O2(g)在373K时达到平衡。 物种数S=4,存在下面的化学平衡式： C+O2?CO22C+O2?2CO 2CO+O2?2CO2CO2+C?2CO 实际上后面两个化学式都可以通过前面两个平衡式获得，则R = 2,而不是等于4。无浓度限制条件，R’ = 0,则： K = S–R - R’ = 4 – 2 = 2 相数?＝2（固相和气相两相） 由于有温度条件限制，所以自由度为 f = K–? + 1 = 2 – 2 + 1 = 1 2.在水、苯和苯甲酸的体系中，若指定了下列事项，试问系统中最多可能有几个相，并各举一例。 （1）指定温度； K = S–R–R’,S = 3, R = R’ = 0, 则K = 3 f = K–Φ + 1 = 4 –Φ f = 0时，Φ= 4, 体系最多有四相，如气相、苯甲酸固体、苯甲酸饱和水溶液和苯甲酸饱和苯溶液。 （2）指定温度和水中苯甲酸的浓度； K = S–R–R’,S = 3, R = 1，R’ = 0, 则K = 2
第四章相平衡 思考题 1.纯氮气和空气算一个相吗？ 【解】纯氮气和空气各算一个相。 2.当两个相的温度相同但压力不同时，两个相能达到平衡吗？如果两相的压力相同而温度 不同，两相能达到平衡吗？ 【解】一般而言，当系统达到热力学平衡时，系统将同时满足热平衡、力平衡、相平衡和化 学平衡。具体到相平衡，其条件是各物质在两相中的化学势相同。影响化学势的因素有温度和压力，达到相平衡时一般温度和压力亦相等。如果温度相同，而压力不等同样有达到相平 衡的可能，如渗透系统；同样地，在压力相同而温度不同的情况下，也应该有达到相平衡的 可能性。 3.在抽空的真空容器中，有一定量的 NH4HS（ s），加热后 NH4HS（ s）分解，试说明组分数和自由度。 【解】分解反应为NHHS（ s）→ NH （ g）+ H S（ g），组分数K = 3 - 1 – 1 = 1 ， 4 3 2 自由度 f = 1 - 2 + 2 = 1 。 4.恒温恒压下，某葡萄糖和氯化钠同时溶于水中，用一张只允许水通过的半透膜将此溶液 与纯水分开。当系统达到平衡后，系统的自由度为多少？ 【解】 f **= 3 - 2 + 1 = 2。 5.说明物系点和相点的区别，什么时候物系点和相点是统一的？ 两者是重【解】物系点表示系统的组成，而相点表示系统相的组成。当系统是单相的时候， 合的。 6.图 4-2 中，当系统处于临界点 C 时，自由度是多少？ 【解】自由度等于零。 7.如用二氧化碳超临界流体作萃取剂，最低的工作压力是多少？能在室温下进行此操作 吗？ 【解】二氧化碳的临界参数是t c= 31.26℃、 p c= 7.2 MPa，因此最低压力是7.2 MPa。因为t c= 31.26℃ 十分接近典型的室温值25℃，因此 CO2超临界流体萃取可以在近室温下操作。8.在一高压容器中有足够量的水，向容器中充入氮气压力到10 MPa，这时还能用 Clausius-Clapeyron方程计算水的沸点吗？ 【解】当压力达到10 MPa 时，而水的临界压力为22.129MPa，几乎接近一半，此时水的体 积不能忽略，水蒸气也不能视为理想气体，所以不能用Clausius-Clapeyron方程计算水的沸点。 9.平衡蒸发是静态的，而蒸馏是一个动态的过程，试用实验室常用仪器设计一个实验并结 合相图加以说明。 【解】蒸馏装置如下：
第四章相平衡 一、选择题 1. NH4HS(s)和任意量的NH3(g)及H2S(g)达平衡时,有: ( ) (A) C= 2，Φ = 2，f= 2 (B) C= 1，Φ = 2，f= 1 (C) C= 2，Φ = 3，f= 2 (D) C= 3，Φ = 2，f= 3 2. Fe(s)、FeO(s)、Fe3O4(s)与CO(g)、CO2(g)达到平衡时,其独立化学平衡数R、组分数 C和自由度数f分别为： ( ) (A) R = 3；C= 2；f= 0 (B) R = 4；C= 1；f= 1 (C) R = 1；C= 4；f= 2 (D) R = 2；C= 3；f= 1 3. 将固体NH4HCO3(s) 放入真空容器中，恒温到400 K，NH4HCO3按下式分解并达到平 衡: NH4HCO3(s) = NH3(g) + H2O(g) + CO2(g) 体系的组分数C和自由度数f为： ( ) (A) C= 2，f= 1 (B) C= 2，f= 2 (C) C= 1，f= 0 (D) C= 3，f= 2 4. FeCl3和H2O能形成FeCl3·6H2O，2FeCl3·7H2O，2FeCl3·5H2O，FeCl3·2H2O四种水合 物,则该体系的独立组分数C和在恒压下最多可能的平衡共存的相数Φ分别为: ( ) (A) C= 3，Φ = 4 (B) C= 2，Φ = 4 (C) C= 2，Φ = 3 (D) C= 3，Φ = 5 5. 硫酸与水可形成H2SO4·H2O(s)、H2SO4·2H2O(s)、H2SO4·4H2O(s)三种水合物,问在 101 325 Pa 的压力下，能与硫酸水溶液及冰平衡共存的硫酸水合物最多可有多少种? ( ) (A) 3 种 (B) 2 种 (C) 1 种 (D) 不可能有硫酸水合物与之平衡共存。 6. 某体系存在C(s),H2O(g),CO(g),CO2(g),H2(g) 五种物质，相互建立了下述三个平衡： H2O(g) + C(s) =H2(g) + CO(g) CO2(g) + H2(g) =H2O(g) + CO(g) CO2(g) + C(s) =2CO(g) 则该体系的独立组分数C为: ( ) (A) C=3 (B) C=2 (C) C=1 (D) C=4 7. 某一水溶液中有n种溶质，其摩尔分数分别是x1,x2,...,x n,若使用只允许水出入的半 透膜将此溶液与纯水分开,当达到渗透平衡时水面上的外压为p w,溶液面上外压为p s，则 该体系的自由度数为: ( ) (A) f=n (B) f=n+1 (C) f=n+2 (D) f=n+3 8. 当乙酸与乙醇混合反应达平衡后，体系的独立组分数C和自由度f应分别为: ( ) (A) C= 2，f= 3 (B) C= 3，f= 3 (C) C= 2，f= 2 (D) C= 3，f= 4 9. NaCl水溶液和纯水经半透膜达成渗透平衡时，该体系的自由度是： ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 10. 将AlCl3溶于水中全部水解，此体系的组分数C是： ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 11. 在101 325Pa的压力下，I2在液态水和CCl4中达到分配平衡 (无固态碘存在)，则 该体系的自由度数为: ( ) (A) f*= 1 (B) f*= 2 (C) f*= 0 (D) f*= 3
第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。 1．二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴，如图4－13所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即 ?? ? ?? =∑=∑=∑000B A M M X (4－6) 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明：首先将平面一般力系向A 点简化，一般可得到过A 点的一个力和一个力偶。若0A =M 成立，则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态。如果0B =∑M 又成立，说明R 必通过B 。可见合力R 的作用线必为AB 连线。又因0=∑X 成立，则0X =∑=X R ，即合力R 在X 轴上的投影为零，因AB 连线不垂直X 轴，合力R 亦不垂直于X 轴，由0X =R 可推得 0=R 。可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向A 点简化，其主 矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。 2．三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C ，如图4－14所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即
?? ? ?? =∑=∑=∑000C B A M M M （4－7） 式中，A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样，若0A =∑M 和0B =∑M 成立，则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力（图4－14）或者平衡。如果0C =∑M 也成立，则合力必然通过C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，0C =∑M 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。 综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、 式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例4－7】 某屋架如图4－15（a ）所示，设左屋架及盖瓦共重 kN 31=P ，右屋架受到风力及荷载作用，其合力kN 72=P ，2P 与BC 夹角 为?80，试求A 、B 支座的反力。 【解】 取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴X 轴和Y 轴，如图4－15（b ）所示，列出三个平衡方程 kN 39.2342.0770cos 0 70cos 02A 2A =?=?==?-=∑P X P X X 30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =????+??-?-?=∑P P P Y M
第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。 1．二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴，如图4－13所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即 ?? ? ?? =∑=∑=∑000B A M M X (4－6) 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明：首先将平面一般力系向A 点简化，一般可得到过A 点的一个力和一个力偶。若0A =M 成立，则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态。如果0B =∑M 又成立，说明R 必通过B 。可见合力R 的作用线必为AB 连线。又因0=∑X 成立，则0X =∑=X R ，即合力R 在X 轴上的投影为零，因AB 连线不垂直X 轴，合力R 亦不垂直于X 轴，由0X =R 可推得0=R 。可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向A 点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。 2．三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C ，如图4－14所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即
?? ? ?? =∑=∑=∑000C B A M M M （4－7） 式中，A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样，若0A =∑M 和0B =∑M 成立，则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力（图4－14）或者平衡。如果0C =∑M 也成立，则合力必然通过C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，0C =∑M 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。 综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、 式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例4－7】 某屋架如图4－15（a ）所示，设左屋架及盖瓦共重 kN 31=P ，右屋架受到风力及荷载作用，其合力kN 72=P ，2P 与BC 夹角 为?80，试求A 、B 支座的反力。 【解】 取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴X 轴和Y 轴，如图4－15（b ）所示，列出三个平衡方程 kN 39.2342.0770cos 0 70cos 02A 2A =?=?==?-=∑P X P X X 30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =????+??-?-?=∑P P P Y M
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．． 线 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．
分配记 20 ∑Fy＝0 ∑MO(F)＝0 不难看出，平面平行力系的二矩式平衡方程为 ∑MＡ(F) ＝0 ∑MＢ(F) ＝0 其中A、B两点的连线不能与各力平行。 平面平行力系只有两个独立的方程，因而最多能解出两个未知量。 三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下： (1) 根据题意，选取适当的研究对象。 (2) 受力分析并画受力图。 (3) 选取坐标轴。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。 (4) 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为矩心。 (5) 校核结果。 应当注意：若由平衡方程解出的未知量为负，说明受力图上原假定的该未知量的方向与其实际方向相反。而不要去改动受力图中原假设的方向。 例4-2 已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力。 解(1) 画受力图，并建坐标系 (2) 列方程求解 图4-8
分配记 20例4-3 如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝10kN.m ，载荷集度为q＝10kN/m的均布载荷。求支座A、B处的反力。 图4-9 解取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图4-9(b)所示。 列平衡方程并求解
分配记 结果均为正，说明图示方向与实际方向一致。 例3-4 塔式起重机如图4-10所示。设机架自重为G，重心在C点，与右轨 距离为e，载重W，吊臂最远端距右轨为l，平衡锤重Q，离左轨的距离为a， 轨距为b。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。 图4-10 解取塔式起重机为研究对象，作用在起重机上的力有重物W、机架重G、 平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB，这些力构成了平面平行力系，起 重机在该平面平行力系作用下平衡。 (1)满载时W＝Wmax，Q＝Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平衡状 态，A处悬空，NA＝0，受力图如图3-10b所示。则
第三章 力系简化的基础知识 作用在物体上的一组力称为力系。 如果某力与一力系等效，则此力称为该力系的合力。 本章将介绍力学中的几个重要基本概念：力对点的矩；力偶和力偶矩；力的等效平移等。这些概念不但是研究力系简化的基础知识，而且在工程问题中得到广泛应用。 § 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件 力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。在工程中经常遇到。例如在施工中起重机的吊钩所受各力就构成一个平面汇交力系，如图3-1（a ）、（b ）所示。 图3-1 一、两汇交力的合成 二、平面汇交力系的合成 1．平面汇交力系合成的几何法 如图)(33a -示，可以先将力系中的二个力按力的平行四边形法则合成，用所得的合力再与第三个力合成。如此连续地应用力的平行四边形法则，即可求得平面汇交力系的合力，具体作法如下： 任取一点a ，作矢量1__F ab =，过b 点作矢量2__F bc =，由力的三角形法则，矢量21__1F F ac R +==，即为力1F 和2F 的合力矢量。再过c 点作矢量3___F cd =，矢量32131__2F F F F R ad R ++=+==，即为力21F F 、和3F 的合力矢量。最后，过d 点作矢量4__F de =,则矢量432142F F F F F R R +++=+= ，即为力系中各力矢量的合矢量。 图3-3 上述过程示于图)(33b -。可以看出，将力系中的各力矢量首尾相连构成开口的力多边形abcde ，然后，由第一个力矢量的起点向最后一个力矢量的末端，引一矢量R 将力多边形封闭，力多边形的封闭边矢量R 即等于力系的合力矢量。这种通过几何作图求合力矢量
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
平面一般力系得平衡 一、判断题：?１、下图就是由平面汇交力系作出得力四边形,这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。( ) 图１ 2、图示三个不为零得力交于一点，则力系一定平衡。（ ) ?图 2 3、如图3所示圆轮在力F与矩为ｍ得力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。( ） 4、图4所示力偶在x轴上得投影ΣX=0,如将x轴任转一角度轴，那么Σ =0。（ ) ?图 3 图４ 5、如图５所示力偶对a得力矩Mａ（F,F＇）=F·ｄ，如将ａ任意移到ｂ,则力矩Mｂ（F,F'）将发生变化。( )
图 5 图 ６ 6、图６所示物体得A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出得力多 7、如果两个力偶得力偶矩大边形闭合,则此物体处于平衡状态。( ）? 小相等，则此两个力偶等效.( ）? 8、图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到Ｂ点，试判断其作用效果就是否相同（） ?图 7 图 8 9、图8所示梁,若求支反力时，用平面一般力系得平衡方程不能全部 10、图9所示物体接触面间静摩擦系数就是ｆ,要使物体求出. （）? 向右滑动。试判断哪种施力方法省力。( ） 图 9 图1０ 11、力在坐标轴上得投影与该力在该轴上分力就是相同得。( ） ?1２、如果将图1０所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩Ｍ＝
13、平面任意力系，其独立得二力矩式平衡方程为∑Fｘ=0，Fa ( )。? ∑ＭA＝0, ∑MＢ=0，但要求矩心A、B得连线不能与x轴垂直。（）?二、选择题? 1、同一个力在两个互相平行得同向坐标轴上得投影（）。?A、大小相等，符号不同 B、大小不等,符号不同 C、大小相等，符号相同Ｄ、大小不等,符号相同 2、图11所示圆轮由O点支承，在重力Ｐ与力偶矩ｍ作用下处于平衡. 这说明( ）。 图 11 A. 支反力R0与Ｐ平衡 B。m与Ｐ平衡 C. m简化为力与Ｐ平衡?D．R0与P组成力偶，其m（R０，P)=-P·r与m平衡 ３、图１2所示三铰刚架，在D角处受一力偶矩为m得力偶作用， 如将该力力偶移到E角出,支座A、B得支反力（）. 图12 Ａ.A、B处都变化?B。A、B处都不变? C.A处变，B处不变?Ｅ．B处变,A处不变 4、图1３所示一平面上A、B、C、D四点分别有力作用，这四个力?画出得力多边形自行闭合,若向平面内任一点Ｏ简化可得（ ). 图13 A．Ｍ０=0, Ｒ′＝0?B、M0≠0,R′=0 C。Ｍ0≠0,R′≠0 D、 M0=０，Ｒ′≠0 5、图１4所示物体放在平面上，设AB间与BC间得最大静摩擦力分别为FAB与FBC,外力P在什么情况下，使Ａ、Ｂ一起运动？( ) 图14 A.Ｐ＞F AB〉F BC B、ＦAB〈 P 〈 F BC? C、 F BC＜P 〈F AＢ
第三章 力系的平衡 力系的平衡条件及其应用是刚体静力学研究的重点内容，在工程实践中有广泛的应用。本章首先介绍各种力系的平衡方程，然后应用平衡方程研究物体及物体系统的平衡问题。 3.1 力系的平衡方程 ● 空间力系的平衡方程 根据1.4中力系的简化结果分析，空间任意力系n F F F ,,21平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对于任意简化点的主矩均等于零矢量。即 01 =∑=n i i F ，0)(1 =∑=n i i O F M (3–1) 以任意简化中心为原点建立直角坐标系Oxyz ，并将以上二式分别投影到各个坐标轴上，得到空间任意力系平衡条件的解析表达式。 )(0 )(0 )(0 1 1 1111======∑∑∑∑∑∑======n i i z n i i y n i i x n i ix n i ix n i ix F M F M F M F F F (3–2) 式(3–2)称为空间任意力系的平衡方程。一般情况下共有6个独立方程。对于空间特殊力系，式(3–2)中的某些方程将变成恒等式，独立方程的个数相应减少。 例3–1：如图3–1(a)，镗刀杆在根部被夹具固定，刀头在镗削工件时受到切向力z P 、径向力y P 和轴向力x P 作用，其 大小分别为N 5000 、N 1500和N 750，方向如图。刀尖B 位于Axy 平面内。试求刀杆根部约 束力的各个分量(图中 尺寸单位为mm )。 解：如图3–1建立坐标系。夹具对镗刀杆构成空间固定端约束，镗刀杆受力如图3–1(b)所示。现在镗刀杆受空间任意力系作用，根据平衡方程(3–2)，故有 00=-=∑x Ax x P N F 00=-=∑y Ay y P N F (a) (b) 图3–1 例3–1图
第四章相平衡 思考题 1. 纯氮气和空气算一个相吗？ 【解】纯氮气和空气各算一个相。 2. 当两个相的温度相同但压力不同时，两个相能达到平衡吗？如果两相的压力相同而温度不同，两相能达到平衡吗？ 【解】一般而言，当系统达到热力学平衡时，系统将同时满足热平衡、力平衡、相平衡和化学平衡。具体到相平衡，其条件是各物质在两相中的化学势相同。影响化学势的因素有温度和压力，达到相平衡时一般温度和压力亦相等。如果温度相同，而压力不等同样有达到相平衡的可能，如渗透系统；同样地，在压力相同而温度不同的情况下，也应该有达到相平衡的可能性。 3. 在抽空的真空容器中，有一定量的NH4HS（s），加热后NH4HS（s）分解，试说明组分数和自由度。 【解】分解反应为NH4HS（s）→ NH3（g）+ H2S（g），组分数K = 3 - 1 – 1 = 1，自由度f = 1 - 2 + 2 = 1。 4. 恒温恒压下，某葡萄糖和氯化钠同时溶于水中，用一张只允许水通过的半透膜将此溶液与纯水分开。当系统达到平衡后，系统的自由度为多少？ 【解】f** = 3 - 2 + 1 = 2。 5. 说明物系点和相点的区别，什么时候物系点和相点是统一的？ 【解】物系点表示系统的组成，而相点表示系统相的组成。当系统是单相的时候，两者是重合的。 6. 图4-2中，当系统处于临界点C 时，自由度是多少？ 【解】自由度等于零。 7. 如用二氧化碳超临界流体作萃取剂，最低的工作压力是多少？能在室温下进行此操作吗？ 【解】二氧化碳的临界参数是t c = 31.26℃、p c = 7.2 MPa，因此最低压力是7.2 MPa。因为t c = 31.26℃十分接近典型的室温值25℃，因此CO2超临界流体萃取可以在近室温下操作。 8. 在一高压容器中有足够量的水，向容器中充入氮气压力到10 MPa，这时还能用 Clausius-Clapeyron 方程计算水的沸点吗？ 【解】当压力达到10 MPa 时，而水的临界压力为 22.129 MPa，几乎接近一半，此时水的体积不能忽略，水蒸气也不能视为理想气体，所以不能用Clausius-Clapeyron 方程计算水的沸点。 9. 平衡蒸发是静态的，而蒸馏是一个动态的过程，试用实验室常用仪器设计一个实验并结合相图加以说明。 【解】蒸馏装置如下：