安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法
作者
院（系）数学与统计学院
专业数学与应用数学
年级2011级
学号
指导教师郭亚梅
论文成绩
日期2015年月日
学生诚信承诺书
本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.
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向量组线性相关性的判定方法
（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002）
摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他
许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.
关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言
线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义
（一维、二维、三维向量，推广到n 维向量）
定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算
行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.
全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）.
例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组
有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
11221
21222
12
(a)
(a)
(a)
n
n
m m mn
a a
a a
a a
11121
21222
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
??
??
??
??
??
??
?
1
1112
21222
12
,,,
n
n
m m mn
a
a a
a a a
a a a
?
???
??
?
??
?
??
?
??
?
??
???
???
3.2向量组的线性相关性的定义
3.2.1 线性组合与线性表示
设
12
:a,a,,a
m
A 是一向量组,表达式
1122m m
k a k a k a
+++
称为向量组A的一个线性组
合,其中
12
,k,,k
m
k 是一组实数,称为这个线性组合的系数.
如果向量b是向量组A的线性组合
1122m m
b a a a
λλλ
=+++
则称向量b能由向量组A 线性表示.
例如，任一n维向量，都可以由n维基向量线性表示.
例1. 设向量组)
()
()
()
(
1234
1,0,1,b1,1,1,b3,1,1,b5,3,1,
T T T T
b=-==-=试判断
4
b是否可由123
,b,b
b线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.
解设一组数
123
,k,k,
k使
4112233
,
b k b k b k b
=++即有
())
(12323123
5,3,13,k,k.T
T k k k k k k
=+++-+-
由向量相等的定义可得线性方程组
123
23
123
35,
k3,
k 1.
k k k
k
k k
++=
?
?
+=
?
?-+-=
?
该方程组的一个解为
123
2,k3,k0.
k===于是
412
23,
b b b
=+即
4
b由
123
,b,b
b线性表示.
定理1向量b能由向量组
12
:a,a,,a
m
A 线性表示的充分必要条件是矩阵
12
(a,a,)
m
A a
=
与矩阵
12
(a,a,,b)
m
B a
= 的秩相等,即(A)R(B)
R=.
3.2.2.向量组线性相关的定义
定义1 向量组
12
:a,a,,a(m2)
m
A≥
线性相关?在向量组A中至少有一个向量能由其余1
m-个向量线性表示.
定义2 给定向量组
12
:a,a,,a
m
A ，m个数
12
,k,,k,
m
k 构造
1122
0,
m m
k a k a k a
+++=
()*
如果存在不全为零的数
12
,k,,k,
m
k 使()*式成立，称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关.
这两个定义是等价的.
证明如下：
如果向量组A中有某个向量(不妨设
m
a)能由其余1
m-个向量线性表示,即有121
,,,,
m
λλλ
-
使
112211
,
m m m
a a a a
λλλ
--
=++
于是
112211
(1)a0.
m m m
a a a
λλλ
--
+++-=
因为
121
,,,,1
m
λλλ
-
-
不全为0,所以向量组A线性相关.
反过来，如果向量组A线性相关，则有
1122
0,
m m
k a k a k a
+++=
其中
12
,k,,k
m
k 不全为0,不妨设
1
k≠,于是
122
1
1
()(k),
m m
a a k a
k
=-++
即
1
a能由
2
,,a
m
a 线性表示.
例2 判断向量组
123
(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)
ααα
=-=-=--是否线性相关.
解：可取
123
,,
χχχ为未知数，建立下列方程式
112233
0,
χαχαχα
++=
看它是否有
123
,,
χχχ的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组
123
123
123
123
2420,
20,
3540,
40.
χχχ
χχχ
χχχ
χχχ
++=
?
?---=
?
?
++=
?
?+-=
?
前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方
程组.它有无线多解，当然有非零解，故
123
,,
ααα线性相关.特别的一组解，可取为123
(,,)(3,1,1),
χχχ=--即
123
30
ααα
--=或
312
3.
ααα
=-
定理2向量组
12
a,a,,a
m
线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵
12
(a,a,)
m
A a
= 的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是(A)m
R=
这是因为,
向量组
12
:a,a,,a
m
A 线性相关
1122
m m
x a x a x a
?+++=
即A x=0有非零解
(A)m.
R
?<
向量组
12
a,a,,a
m
线性无关
12
(a,a,,a)m.
m
R
?=
例3 证明n维单位坐标向量组
12
(1,0,,0),e(0,1,,0),,e(0,0,,1)
T T T
n
e===
线性无关.
证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数
12
,k,,k,
n
k 使得
11220,n n k e k e k e +++=
根据向量线性运算的定义可以得到
12(k ,k ,,k )(0,0,,0),T T n = 从而120.n k k k ==== 所以12,e ,,e n e 是线性无关的.
另证 我们利用定理，设向量组12,e ,,e n e 构成的矩阵为12(,e ,,e ),n I e = I 是n 阶单位矩阵.显然有(I)n,R =即(I)R 等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组I 是线性无关的.
例 4 已知向量123(1,1,1),a (0,2,5),a (2,4,7)T T T
a ===讨论向量组123,a ,a a 及向量组12a ,a 的
线性相关性.
解 对矩阵123(a ,a ,a )施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵123(a ,a ,a )及
12(a ,a )的秩，再利用定理2就可以得出结论.
易知123(a ,a ,a )23,R =<向量组123a ,a ,a 线性相关；12(a ,a )2,R =向量组12a ,a 线性无关.
4.向量组线性相关性的性质
（1）含零向量的向量组必线性相关.
线性无关的向量组中一定不含零向量. （2）一个向量α线性相关0.α?=
一个向量α线性无关?0α≠.
(3)两个非零向量12,αα线性相关12.k αα?=
两个向量12,αα线性无关?它们不成比例. (4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关. 向量组全体线性无关，则每一部分线性无关.
若向量组12:a ,a ,,a m A 线性相关, 则向量组121B:a ,a ,,a ,a m m + 也线性相关. 反之, 若向量组B 线性无关, 则向量组A 也线性无关.
结论可叙述为: 一个向量组若有线性相关的部分组, 则该向量组线性相关. 一个向量组若线性无关, 则它的任何部分组都线性无关.
性质（4）说明：这是因为, 记12(a ,a ,,a )m A = ,121(a ,a ,,a ,a )m m B += ,有(B)R(A)1R ≤+. 若向量组A 线性相关, 则有(A)R m <，从而(B)R(A)1 1.R m ≤+<+ 因此向量组B 线性相关. (5) 个数大于维数时，必线性相关.
个数等于维数时，看行列式.
m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地,
1
n+个n维向量一定线性相关.
这是因为,m个n维向量
12
a,a,,a
m
构成矩阵
12
(a,a,,a),
n m m
A
?
= 有R(A)n.
≤
若n m
<则R(A)n m,
≤<故m个向量
12
a,a,,a
m
线性相关.
(6)设向量组
12
:a,a,,a
m
A 线性无关,而向量组
12
B:a,a,,a,
m
b
线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.
这是因为,记
12
(a,a,,a)
m
A= ,
12
(a,a,,a,b)
m
B= ,有(A)(B)m1,
m R R
=≤<+
即有(B)R(A).
R m
==因此方程组有唯一解
12
(a,a,,a)x
m
b
=
即向量b能由向量组A线性表示,且表示式唯一.
5.向量组线性相关性的判定方法
5.1定义法
给定向量组
123
:,,,,,
m
A a a a a
如果存在不全为零的数
123
,,,,,
m
k k k k
使得1122
m m
k a k a k a
+++=
成立，则称向量组A是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的
数
123
,,,,,
m
k k k k
使得
1122
m m
k a k a k a
+++=
成立，也就是说，只有当
123
,,,,
m
k k k k
全部
为0时，
1122
m m
k a k a k a
+++=
才成立，则称向量组A是线性无关的.
例5 设向量组
123
,,
a a a线性无关，判断向量组
112223331
,,
b a a b a a b a a
=+=+=+的线性相关性.
解设一组数
123
,,,
k k k使
112233
0,
k b k b k b
++=则有
112223331
()()()0,
k a a k a a k a a
+++++=
即
131122233
()()()0.
k k a k k a k k a
+++++=
因为向量组
123
,,
a a a线性无关，所以
13
12
23
0,
0,
0.
k k
k k
k k
+=
?
?
+=
?
?+=
?
该方程组的系数行列式20,
D=≠故方程组只有零解
123
0,
k k k
===所以向量组
123
,,
b b b线性无关.
例6 判断向量组)
()
()
()
(
1234
1,0,1,b1,1,1,b3,1,1,b5,3,1
T T T T
b=-==-=的线性相关性.
解设一组数
1234
,,,,
k k k k使
11223344
0,
k b k b k b k b
+++=
比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组
1234
234
1234
350,
30,
0.
k k k k
k k k
k k k k
+++=
?
?
++=
?
?-+-+=
?
该方程组的一个非零解为
1234
2,3,0,1,
k k k k
====-故向量组
1234
,,,
b b b b线性相关.
5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定
定理3 向量组
123
:,,,,
m
A a a a a
线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量可以由其余1
m-个向量线性表示.
定理4 向量组
12
,,,
m
a a a
线性无关，而
12
,,,,
m
a a aβ
线性相关β
?可由
12
,,,
m
a a a
线性表示且表达方式唯一.
定理 5 若向量组
12
,,,
m
a a a
有一部分向量组线性相关?向量组
12
,,,
m
a a a
线性相关.与
此等价的一个说法为：向量组
12
,,,
m
a a a
线性无关?向量组
12
,,,
m
a a a
的任一部分向量组线性无关.
例7 已知
123
,,
ααα线性无关，
234
,,
ααα线性相关，问：
（1）
4
α能否由
123
,,
ααα线性表示？
（2）
1
α能否由
234
,,
ααα线性表示？
解（1）由
123
,,
ααα线性无关
23
,
αα
?线性无关，又由
234
,,
ααα线性相关
4
α
?能由23
,
αα线性表示且表达方式唯一，所以存在数
23
,
k k使得4223341
k k k k
ααααααα
=+?=++
，故
4
α能由
123
,,
ααα线性表示.
（2）反证法.假设
1
α能由
234
,,
ααα表示，则存在数
123
,,
λλλ，使得112233
,
αλαλαλα
=++又由（1）
4
α能由
23
,
αα线性表示，所以
1
α能由
23
,
αα线性表示，所
以
123
,,
ααα线性相关，与已知矛盾，故
1
α不能由
234
,,
ααα线性表示.
5.3 利用向量组的秩进行判定
向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.设向量组为12
,,,,
m
ααα
其秩记为
12
(,,,)
m
Rααα
，由极大无关组的定义和秩的定义可得：若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.
例8 判断向量组
123
(2,2,1,1,4),(2,1,2,0,3),(1,2,2,4,2)
T T T
ααα
=-=-=--的线性相关性.
解构造35
?矩阵并作初等行变换
可见3rankA =，故123,,ααα线性无关. 5.4 利用反证法进行判定
在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.
例9 设向量组12,,,m ααα 中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合，且0i α≠，证
明向量组12,,,m ααα 线性无关.
证明 （反证法）假设向量组12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得： 11220m m k k k ααα+++= ， (1) 由此可知0m k ≠，由上式可得
1122111()m m m m k k k k αααα--=-+++
即m α可以由它前面1m -个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0m k =，于是(1)式转化为
1122110m m k k k ααα--+++= .
类似于上面的证明可得1220,m m k k k --==== (1)式转化为110k α=.但10α≠，所以10k =这与12,,,m k k k 不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关. 例10 设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，若0A α≠，但20A α=. 证明：向量组,A αα线性无关. 证明：用反证法.
假设向量组,A αα线性相关，由于0A α≠，从而0α≠，则A α可由α线性表出，设为
(0)A k k αα=≠否则0α=，于是22()()0A A A A k kA k ααααα====≠，这与已知20A α=矛
盾，因此向量组,A αα线性无关.
例11 设12,,,n ααα 是一组n 维向量，已知单位坐标向量12,,,n εεε 可被它们线性表出，证明：12,,,n ααα 线性无关.
证明：法1 （反证法）若12,,,n ααα 线性相关，则至少有一i α可由其他j α线性表示（不妨设n α可由121,,,n ααα- 线性表示 ）.由题设，12,,,n εεε 可由12,,,n ααα 线性表示，从而可由121,,,n ααα- 线性表示，而任一n 维向量均可由12,,,n εεε 线性表示，因而也可由
121,,,n ααα- 线性表示.由此得全体n 维向量构成的向量集合n R 的秩小于n ，这与
n
R 的秩等于n 矛盾，故12,,,n ααα 线性无关.
法 2 设
12
,,,
n
ααα
的秩为r，则,
r n
≤而
12
,,,
n
εεε
的秩为.n由题设，
12
,,,
n
εεε
可由12
,,,
n
ααα
线性表出，因此n r
≤，故.
r n
=
5.5 利用齐次线性方程组的解进行判定
在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定.
对于各分量都给出的向量组
12
,,,
m
ααα
，若以
12
[,,,]
m
Aααα
= 为系数矩阵的齐次线性方程组0
AX=只有零解向量，则此向量组
12
:,,,
m
Aααα
是线性相关的.
例12 证明向量组
123
(2,1,0,5),(7,5,4,1),(3,7,4,11)
T T T
ααα
==--=--线性相关.
证明：以
123
,,
ααα为系数向量的齐次线性方程组是
112233
0,
x x x
ααα
++=
即
123
123
23
123
2730
570
440
5110
x x x
x x x
x x
x x x
++=
?
?-+=
?
?
+=
?
?--=
?
利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知，()23,
R A=<即齐次线性方程组有非零解，所以向量组
123
,,
ααα线性相关.
例13
12
(,,,),1,2,,.
i i i in
a a a i n
α==
证明：如果0
ij
a≠，那么
12
,,,
n
ααα
线性无关.
证明：设
1122
0,
n n
k k k
ααα
+++=
得到线性方程组
1112121
1212222
1122
n n
n n
n n nn n
a k a k a k
a k a k a k
a k a k a k
+++=
?
?+++=
?
?
?
?+++=
?
由于系数行列式的转置行列式0
ij
a≠，故齐次线性方程组只有零解，从而
12
,,,
n
ααα
线性无关.
5.6 利用矩阵的秩进行判定
设向量组
12
:,,,
m
Aααα
是由m个n维列向量所组成的向量组，则向量组A的线性相关
性可由向量组A所构成的矩阵
12
(,,,)
m
Aααα
= 的秩的大小来进行判定.即
（1）当()
R A m
=时，则向量组
12
:,,,
m
Aααα
是线性无关的.
（2）当()
R A m
<时，则向量组
12
:,,,
m
Aααα
是线性相关的.
例14 设
123
(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),
T T T
t
ααα
===问当t为何值时，向量组
123
,,
ααα线性相
关，并将
3
α表示为
1
α和
2
α的线性组合.
解：利用矩阵的秩有
[]
123
111111111
,,123012012
13021005
A
t t t
ααα
==→→
--
可见，当5
t=时，向量组
123
,,
ααα线性相关，并且有
111101
012012,
000000
A=→所以
312
2
ααα
=-+.
利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.
例15 断向量组
123
(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2)
ααα
=-=-=-的线性相关性.
解：以
123
,,
ααα为行向量构成矩阵A，并进行初等行变换化为行阶梯形
2131134213421342
31203120010106010106
1342213105530000
A
----????????
? ? ? ?
=-→-→--→--
? ? ? ?
? ? ? ?
----
????????
则()23
R A=<向量的个数，故向量组线性相关.
例16 向量组
1234
,,,
αααα线性无关，则下列线性无关的向量组是（）
12233441
12233441
12233441
12233441
(),,,;
(),,,;
(),,,;
(),,,.
A
B
C
D
αααααααα
αααααααα
αααααααα
αααααααα
++++
+++-
----
++--
分析对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法：
（1）定义法先设
1122
0,
s s
k k k
ααα
+++=
然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等，究竟用什么方法应当从已知条件去寻求信息.通过一次
或多次恒等变形来分析
12
,,,
s
k k k
能够不全为零还是必须全是0，从而得知
12
,,,
s
ααα
是线性相关还是线性无关.
（2）利用矩阵的秩. 要论证
12
,,,
s
ααα
线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A，
利用rankA s
<或rankA s
=来说明.
（3）利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论.
（4）反证法.
解法1 观察可知
12233441
()()()()0
αααααααα
+-+++-+=，()A线性相关.
12233441
()()()()0
αααααααα
-+-+-+-=，()
C线性相关；
122334
()()()()0
αααααααα
+-++-+-=
，()
D线性相关.
由排除法可知应选()B.
法2 对()B，设
112223334441
()()()()0
k k k k
αααααααα
++++++-=，拆项重组为
141122233344
()()()()0
k k k k k k k k
αααα
-++++++=
由
1234
,,,
αααα线性无关知
14
12
23
34
k k
k k
k k
k k
-=
?
?+=
?
?
+=
?
?+=
?
，由于系数行列式
1001
1100
2,
0110
0011
-
=所以方
程组只有零解
1234
0,
k k k k
====从而()B线性无关.用此法可知(),(),()
A C D均线性相关.
5.7 利用行列式的值进行判定
若向量组
12
:,,,
m
Aααα
是由m个n维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵12
(,,,)
m
Aααα
= ，即A为m阶方阵，则
（1）当0
A=时，则向量组
12
:,,,
m
Aααα
是线性相关的.
（2）当0
A≠时，则向量组
12
:,,,
m
Aααα
是线性无关的.
若向量组
12
:,,,
m
Aααα
的个数m与维数n不同时，则
（1）当m n
>时，则向量组
12
:,,,
m
Aααα
是线性相关的.
（2）当m n
=时，转化为上述来进行判定，即选取m个向量组成的m维向量组，若此m维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的.
例17 已知
123
(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7)
ααα
===试讨论
123
,,
ααα的线性相关性.
证明：令
123
(,,)
Aααα
=
则
102
1240
157
A==，所以
123
,,
ααα线性相关.
行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组
是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.
例18 已知向量组
123
:,,
Aααα是线性无关的，且有
112223331
,,
b b b
αααααα
=+=+=+，证
明向量组
123
,,
b b b线性无关.
证明：设有
123
,,,
x x x使得
112233
x b x b x b
++=即
112223331
()()()0
x x x
αααααα
+++++=
整理为
131122233
()()()0
x x x x x x
ααα
+++++=
因
123
,,
ααα是线性无关的，所以
13
12
23
x x
x x
x x
+=
?
?
+=
?
?+=
?
由于此方程组的系数行列式
101
11020
011
=≠
故方程组只有零解
123
x x x
===，所以向量组
123
,,
b b b线性无关.
例19 已知向量组
1234
(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,9)
t t
αααα
===-+=+线性相关，试求t的值.
分析对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：
（1）先由定义写出
1122
s s
x x x
ααα
+++=
，再根据向量组相当写出齐次线性方程组；若该齐次线性方程组有非零解（即无穷多解），则向量组线性相关；若该
齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.
（2）排成矩阵
12
(,,,)
s
Aααα
= （列向量时）或
1
2
s
A
α
α
α
??
?
?
=
?
?
??
（行向量时），求A的秩；
若rankA s
<时，向量组线性相关；若rankA s
=时，向量组线性无关.
（3）对于n个n维向量，可同上将其排成矩阵A，用0
A=是否成立来判断
12
,,,
n
ααα
是否线性相关.
（4）利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定.
解1
t=-或2
-.
法1
1
2
3
4
102310231023
113501120112
11210120010
124902260002 A
t t t
t t t
α
α
α
α
????????
? ? ? ?
? ? ? ?
==→→
? ? ? ?
-+--+
? ? ? ?
+++
????????
1
t=-或2
t=-时，
1234
34,,,,
rankAαααα
=<线性相关.
法2
1023
1135
(1)(2)
1121
1249
t t
t
t
=++
-+
+
1
t=-或2
t=-时行列式为0.
6.结论
通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破.
参考文献
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[12]钱志强，线性代数教与学参考[M].北京：中国致公出版社，2002.
Methods to determine the correlation between the linear vector group
Hou xuling
(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002) Abstract:
Correlation between linear vector is a cornerstone in linear algebra, in which on the basis of derivation and derived from our many other theories. So skillfully master the method to determine the linear dependence of vector group, so that we can have a better understanding of other theoretical knowledge. In this paper, the linear relationship between the homogeneous solution of linear equations, the matrix rank, determinant between vectors in vector value and known conclusions knowledge in vector group by determining the linear correlation, and then sum up some methods of determination of linear vector correlation
Key words:
Vector group The linear correlation Linear independence Judging method
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠ 三．计算题： 1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？ 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号
第四章 向量组的线性相关性目标测试题 （参考答案） 一、填空题. 1. 设向量组) , ,0( ),0 , ,( ), ,0 ,(321b a c b c a ===ααα线性无关，则c b a ,,必满足关系式0abc ≠. 2. 已知向量组)1 ,1 ,3 ,4( ),2 ,6 ,2 ,4( ),0 ,2 ,1 ,3( ),1 ,3 ,1 ,2(4321-=-=-=-=αααα，则该向量组的秩为___2__. 3. 设三阶矩阵122212304A -?? ?= ? ???，三维向量11a α?? ?= ? ??? ，若向量A α与α线性相关，则a = -1 ． 4. 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ 3 ． 5. 设321,,ααα线性无关，问=k __1_时，312312,,αααααα---k 线性相关. 6．设12,,s ηηηL 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++L 也是方程组Ax b =的解， 则12s k k k L ，，，应满足条件12s + 1k k k ++=L . 二、选择题. 1．设有向量组 ),0 ,2 ,2 ,1( ),14 ,7 ,0 ,3( ),2 ,1 ,3 ,0( ),4 ,2 ,1 ,1(4321-===-=αααα),10 ,5 ,1 ,2(5=α 则该向量组的最大线性无关组( B ). (A ) 321 , ,ααα, (B ) 421 , ,ααα, (C ) 521 , ,ααα, (D ) 5421 , , ,αααα． 2. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ). (A ) 21αα+,,32αα+13αα+, (B ) ,1α21αα+,321a ++αα, (C ) 21αα-,,32αα-13αα-, (D ) 21αα+,,231αα+133αα+.
资料考点大提纲 请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。 注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材. 主要掌握： 1.向量的基本概念：(注意：不加说明的向量α是指列向量) 2.向量组的基本概念. 3.向量的基本运算：( 加减、数乘 ) 4.向量的线性相关性的概念： i. 线性组合的概念 ii. 线性表出的概念 iii. 线性相关和线性无关的概念. 5.矩阵秩的概念、向量组秩的概念. 4.向量的线性相关无关的基本判定方式： i. 向量β可以由向量组α1，α2，……，αn 线性表出 ? 非齐次线性方程组 []βαα=????? ?????????n n x x x a 2121,,,有解 ?.],,,,[],,,[2121βααααααn n r r ??=?? ii 向量组α1，α2，…，αn 线性相关?齐次线性方程组 0],,,[2121=???? ? ????????n n x x x ααα有解?n r n =n )必定相关. r(A) 向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名： 日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的 重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日 学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法 （安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组 ２－２ 向量组的线性相关性 一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系 例2.5［Ｐ８７ 不管］ 定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］ ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数； 向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。 例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么 β可由α１，α２，α３线性表出 ?向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解 α１ α２ α３ ??????=++=++=++33332231 1323322221121331221111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解。此时， 线性方程组有唯一解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一； 线性方程组有无穷多解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。 例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi 均可由该向量组线性表出。 证明：βI ＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ， ｉ＝１，２，…，ｍ。 作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。 二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系： 对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有 ０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。 所有向量组的共性。 定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１， ｋ２，，ｋｍ，使得 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６） 则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ 成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。 例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组 ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１） 令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０， 即 ?? ???==++=++003203321321x x x x x x x ，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０， 所以ξ １，ξ２，ξ３线性无关。 线性相关性 一、填空题 例设向量组1234(1,2,1),(2,3,1),(,3,1),(2,,3),T T T T x y αααα====的秩为2，则x = 2 ， y = 5 ． 例已知向量组()11,2,1T α=-，()22,0,T t α=，()30,4,5T α=-线性相关，则t = 3 ． 例若向量组123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)T T T t ααα===线性相关，则t =5． 二、 选择题 例设矩阵A 、B 、C 均为n 阶方阵，若AB C =，且B 可逆，以下正确的是【Ｂ】． (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价； （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价； （C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价； （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价． 例1234123400110,1,1,1C C C C αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相 关的为（ C ） （A ） 123,,ααα；（B ）124,,ααα; (C) 134,,ααα; (D) 234,,ααα. 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【B 】． （A ）对于任意一组不全为0的数12,,,s k k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠ ，则12,,,s a a a 线性无关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,s k k k 都有 s s k a k a k a 1122,0+++= ； （C ）12,,,s a a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D ）若12,,,s a a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是【A 】． （A ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关； ２－２ 向量组的线性相关性习题评讲 １９、把向量β表示成α１，α２，α３，α４的线性组合： （１）α１＝（1，1，1，1），α２＝（1，1，-1，-1），α３＝（1，-1，1，-1）， α４＝（1，-1，-1，1） ，β＝（1，2，1，1）。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组， A ＝????????? ???------11111111112111111111→????????????------00220020201220011111→????? ???????--12 2000011001010 11111 →????????????---12 200 011000101010101→?? ???? ??????--14 000 01100010101100 1 →?????? ??????? ?--411 00011000101011 001→ ? ? ??????? ?????????? ?--411000410100410 010450 001，得ｘ１＝45，ｘ２＝41，ｘ３＝－41，ｘ４＝－41， 所以β＝ 45α１＋41α２－41α３－4 1 α４ 。 （２）α１＝（1，1，0，1），α２＝（2，1，3，1），α３＝（1，1，0，0）， α４＝（0，1，-1，-1），β＝（0，0，0，10）。 解１：观察出β＝α１－α３。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组， A ＝????????? ???--11011010300111100121→????????? ???-----11110010300101000 121→????? ???????---12 100 020********* 101 →????????? ???-01 00 101000001000101→?? ??? ???????-010 00 10100000101000 1 ， 得ｘ１＝１，ｘ２＝０，ｘ３＝－１，ｘ４＝０，所以β＝α１－α３。 ５、证明向量组β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，β３＝α３＋α４，β４＝α４＋α１线性相关，其中α１，α２，α３，α４是任意ｎ维向量。 证明１：因为（α１＋α２）－（α２＋α３）＋（α３＋α４）－（α４＋α１）＝０， 即１β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 证明２：令ｘ１β１＋ｘ２β２＋ｘ３β３＋ｘ４β４＝０，即 ｘ１（α１＋α２）＋ｘ２（α２＋α３）＋ｘ３（α３＋α４）＋ｘ４（α４＋α１）＝０， 即（ｘ１＋ｘ４）α１＋（ｘ１＋ｘ２）α２＋（ｘ２＋ｘ３）α３＋（ｘ３＋ｘ４）α４＝０， 用观察法找一个充分条件：当ｘ１＝ｘ３＝１，ｘ２＝ｘ４＝－１时，上式成立。 即有不全为零的数１，－１，１，－１，使 １β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 ７、证明向量组α１＝（０，３，１，－１），α２＝（６，０，５，１）， α３＝（４，－７，１，３）线性相关，并求它们满足的线性关系。 证明：令ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０，解对应的齐次线性方程组，由 Ａ＝????????? ???--311 151703 460→????????????---460151703311→? ????? ??????--460460230311→?????? ????????--0000003210311 向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例. 向量组的线性相关性的判定 摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件. 关键词：向量组；线性相关；行列式 引言 向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子. 本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的. 1.向量组线性相关性的相关定义及性质 定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,,,n x x x L ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλL ，使得 11220n n x x x λλλ+++=L . 那么称12,,,n x x x L 是线性相关的.否则称12,,,n x x x L 是线性无关的. 师学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日 学生诚信承诺书 本人重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得师学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解师学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法 （师学院 数学与统计学院 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组 知识点3 向量的线性组合 一、向量组 定义1 ：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组． 例：n 个n 维向量12(1,0, ,0),(0,1, ,0), ,(0,0, ,1)T T T n e e e ===称为n 维单位向 量组。m n A ?矩阵按行分块可以看做是m 个n 维向量；按列分块可以看做是n 个m 维向 量. ()11 12131413421 2223241234231 32 33 343,,,βααααββT T T a a a a A a a a a a a a a ???? ? ?=== ? ? ? ????? 二、线性组合 定义: 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的组合系数. 定义: 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量β,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a βλλλ=+++ 则称向量β是向量组A 的一个线性组合,或称向量β可由向量组A 线性表示. 注1 任一个n 维向量12 n a a a a ?? ? ?= ? ??? 都可由n 维单位坐标向量组12,, ,n e e e 线性表示: 1122n n a a a a e e e =+++ . 注2 向量β可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示 ?方程组1122n n a a a x x x β+++=有解 m n A x β??=有解()(,)R A R A β?= 例1 设12311111210,,,21432301a a a b ???????? ? ? ? ? - ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ????????? 证明向量b 能由向量组123,,a a a 线性表示,并求出表示式. 证明 1231111103212100 121(,)(,,,)~2143000023010 000A b a a a b ???? ? ?--- ? ?== ? ? ? ? ???? ()(,)2R A R A b ∴== ∴ 向量b 能由向量组123,,a a a 线性表示 第四章 向量组的线性相关性 1．教学目的和要求： （1）理解n 维向量、向量的线性表示的概念. （2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的 有关性质及判别法. （3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及 秩. （4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. （5）理解线性方程组解的性质. （6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和 通解的求法. （7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. （8）会用初等行变换求解线性方程组. 2．教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3．教学难点： （1）向量组的线性相关性中相关定理的证明. （2）求向量组的秩及最大线性无关组. （3）线性方程组的解的结构定理及其应用. 4．教学内容： §1 向量组及其线性组合 定义1 n 个有次序的数n α α,,1 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数称为第i 个分量. 定义2 对n 维向量β及m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 , 使得m m k k ααβ++=11 ， 称β为m αα,,1 的线性组合,或β可由m αα,,1 线性 表示． 例1 设 ??????????-=1011β, ??????????=1112β, ??????????-=1133β, ?? ??? ?????=1354β 试判断4β可否由321,,βββ线性表示? 解 设 3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得 ??????????????????? ?--32111111031 1k k k ?? ????????=135, 求得一组解为??????????=??????????120321k k k 于是有3214 120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示． 向量组的线性相关性 （杨威 郭乔） ● 教学目的与要求 通过学习，使学生理解向量组的线性相关、线性无关概念，掌握判定向量组线性相关性 的方法。 ●教学重点与难点 教学重点：线性相关，线性无关的概念 教学难点：线性相关性的判定 ●教学方法与建议 先从简单的例子出发，使学生看到在解线性方程组的时候，有的方程是多余的，从向量 的角度来看，就是其中的一些向量是其余向量的线性组合。从而引出线性相关、线性无关的概念，并给出判别方法。 ● 教学过程设计 1. 问题的提出 方程组??? ??=-+=+-=-+0403202z y x z y x z y x 用向量的形式表示出来???? ? ??=????? ??--+????? ??-+ ???? ? ??000111132421z y x ， 不难看出，其中第3个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这个问题。 此方程组对应着三个向量T )4,2,1(1=α，,)1,3,2(2T -=αT )1,1,1(3--=α，所谓的第三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是1137 3 71ααα- -=或073321=++ααα， 即3α可由1α和2α线性运算得到，此时称3α是21,αα的线性组合。 2. 线性相关和线性无关 定义4.1 对于向量,,,...,,21ααααm 如果有数m k k k ,...,,21使 m m k k k αααα+++= 2211，则称向量α是向量m ααα,...,,21的线性组合，或α可由 向量m ααα,...,,21线性表示。 定义4.2 设有n 维向量m ααα,...,,21，如果存在不全为零的数,,...,,21m k k k 使 02211=+++m m k k k ααα 则称此向量m ααα,...,,21线性相关的，否则称为线性无关。向量组线性相关性判定
向量组线性相关性判定
2-2 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
2-2 向量组的线性相关性习题评讲
向量组线性相关与线性无关解析
向量组的线性相关性的判定
向量组线性相关性判定
知识点1——向量组及其线性相关性
向量组的线性相关性教案
向量组的线性相关性
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