理想气体状态方程(2)·典型例题解析
【例1】某房间的容积为20m 3，在温度为17℃，大气压强为74 cm Hg 时，室内空气质量为25kg ，则当温度升高到27℃，大气压强变为76 cm Hg 时，室内空气的质量为多少千克？
解析：以房间内的空气为研究对象，是属于变质量问题，应用克拉珀龙方程求解，设原质量为m ，变化后的质量为m ′，由克拉珀龙方程pV RT ＝可得：m M m m m m 25kg 24.81kg ＝……①′＝……②②÷①得：＝∴′＝＝×××＝．MpV RT Mp V RT m m p T p T p T p T 122
211221127629074300
点拨：对于变质量的问题，应用克拉珀龙方程求解的比较简单．
【例2】向汽车轮胎充气，已知轮胎内原有空气的压强为1.5个大气压，温度为20℃，体积为20L ，充气后，轮胎内空气压强增大为7.5个大气压，温度升为25℃，若充入的空气温度为20℃，压强为1个大气压，则需充入多少升这样的空气(设轮胎体积不变)．解析：以充气后轮胎内的气体为研究对象，这些气体是由原有部分加上充入部分气体所混合构成．
轮胎内原有气体的状态为：p 1＝1.5 atm ，T 1＝293K ，V 1＝20L ．
需充入空气的状态为：p 2＝1atm ，T 2＝293K ，V 2＝？
充气后混合气体状态为：p ＝7.5atm ，T ＝298K ，V ＝20L 由混合气体的状态方程：＋＝得：p V T p V T pV T
111222 V (pV T )(7.520298)117.5(L)2＝－·＝×－××＝p V T T p 1112215302932931
. 点拨：凡遇到一定质量的气体由不同状态的几部分合成时，可考虑用混合气体的状态方程解决．
【例3】已知空气的平均摩尔质量为2.9×10-2 kg/mol ，试估算室温下，空气的密度．
点拨：利用克拉珀龙方程＝及密度公式ρ＝可得ρ＝， pV RT m M m V pM RT
在具体估算时可取p0＝1.01×105Pa，T＝300 K来计算．
参考答案：1.2Kg/m3
【例4】贮气筒的容积为100 L，贮有温度为27℃，压强为30atm的氢气，使用后温度降为20℃，压强降为20个大气压，求用掉的氢气质量．
点拨：方法一：选取筒内原有的全部氢气为研究对象，且没有用掉的氢气包含在末状态中．可求出用掉的氢气的体积．再取用掉的氢气为对象，同标准状态相比较，求出用掉氢气的质量，方法二：对使用前、后筒内的氢气用克拉珀龙方程．并可比较这两种方法的繁简程度．
参考答案：87.5g
跟踪反馈
1．活塞把密闭容器分隔成容积相等的两部分A和B，如图13－59所示，在A、B中分别充进质量相同、温度相同的氢气和氧气，则活塞将：
[ ] A．向右运动
B．向左运动
C．不动
D．不能确定
2．有一个充满氢气的氢气球，球的质量为球内充入氢气的3倍，氢气压强为外面空气压强的 1.45倍，温度相同，则氢气球开始上升的加速度为________(空气的平均摩尔质量为29g/mol)
3．当温度为27℃，压强为2.0×105Pa时，32g氧气的体积为多大？密度是多大？另有48g氧气，温度和压强跟上述数值相同，氧气密度是多大？
4．如图13－60所示，气缸A和容器B由一细管经阀门K相连，A和B 的壁都是透热的，A放在27℃、1标准大气压的大气中，B浸在127℃的恒温
槽内，开始时K是关断的，B内没有气体，容积V B＝2.4L，A内装有气体，体积V A＝4.8L，打开K，使气体由A流入B，等到活塞D停止移动时，A内气体体积是多大？假设活塞D与气缸壁之间没有摩擦，细管的容积忽略不计．
参考答案
1．C 2．1.5g 3．12.5dm32kg/m32kg/m34．3L
一、选择题 1、一石英钟的分针和时针的长度之比为3：2，均可看作是匀速转动，则（） A．分针和时针转一圈的时间之比为1：60 B．分针和时针的针尖转动的线速度之比为40：1 C．分针和时针转动的角速度之比为12：1 D．分针和时针转动的周期之比为1：6 2、有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的内侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示中虚线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h．下列说法中正确的是（） A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 3、 A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球的轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B 的转速为r/min，则两球的向心加速度之比为：（） A．1：1 B．6：1 C．4：1 D．2：1 4、两个质量相同的小球a、b用长度不等的细线拴在天花板上的同一点并在空中同一水平面内做匀速圆周运动，如图所示，则a、b两小球具有相同的 A．角速度B．线速度C．向心力D．向心加速度 5、关于平抛运动和匀速圆周运动，下列说法中正确的是（） A．平抛运动是匀变速曲线运动B．平抛运动速度随时间的变化是不均匀的 C．匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动D．做匀速圆周运动的物体所受外力的合力做功不为零 6、在水平面上转弯的摩托车，如图所示，提供向心力是 A．重力和支持力的合力B．静摩擦力C．滑动摩擦力D．重力、支持力、牵引力的合力 7、如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（） A．物块始终受到三个力作用 B．只有在a、b、c、d四点，物块受到合外力才指向圆心 C．从a到b，物体所受的摩擦力先减小后增大 D．从b到a，物块处于失重状态
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
***********学院 2015 ～ 2016 学年度第一学期 教师课时授课教案（首页） 学科系：基础部授课教师：**** 专业：药学科目：物理课次： 年月日年月日
理想气体状态方程 （一）引入新课 在讲授本节课之前，让学生完成理想气体方程的实验。上课时，利用学生实验的一组数据进行分析，归纳总结出气体状态方程，再引入理想气体。 （二）引出课程内容 1．气体的状态参量 （1）体积V 由于气体分子可以自由移动，所以气体具有充满整个容器的性质。因而气体的体积由容器的容积决定。气体的体积就是盛装气体的容器的容积。 体积的单位：立方米，符号是m3 。体积的其他单位还有dm3（立方分米)和cm3(立方厘米)。日常生活和生产中还用1L(升)作单位。 各种体积单位的关系： 1 m3=103 L=103 dm3=106 cm3 （2）温度 温度是用来表示物体冷热程度的物理量。要定量地确定温度，必须给物体的温度以具体的数值，这个数值决定于温度零点的选择和分度的方法。温度数值的表示方法称为温标。 ①日常生活中常用的温标称为摄氏温标。它是把1.013×105Pa气压下水的冰点定为零度，沸点定为100度，中间分为100等分，每一等分代表1度。用这种温标表示的温度称为摄氏温度，用符号t表示。 摄氏温度单位：摄氏度，符号是℃。 温标：温度数值的表示方法称为温标。 ②在国际单位制中，以热力学温标(又称为绝对温标)作为基本温标。这种温标以 -273.15 ℃作为零度，称为绝对零度。用这种温标表示的温度，称为热力学温度或绝对温度，用符号T表示。 绝对温度单位：开尔文，简称开，符号是 K。 热力学温度和摄氏温度只是零点的选择不同，但它们的分度方法相同，即二者每一度的大小相同。 ③热力学温度和摄氏温度之间的数值关系： T t=+（为计算上的简化，可取绝对零度为-273℃） 273 例如气压为1.013×105 Pa时 冰的熔点t =0 ℃→T = 273 K 水的沸点t =100 ℃→T =（100+273）K 温度与物质分子的热运动关系：温度越高，分子热运动越剧烈。分子平均速率也越大（各
2019高考物理练习(曲线运动)经典例题（带解析） 1、关于曲线运动，以下说法中正确的选项是〔AC〕 A.曲线运动一定是变速运动 B.变速运动一定是曲线运动 C.曲线运动可能是匀变速运动 D.变加速运动一定是曲线运动 【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，那么可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。 2、质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，假设突然撤去F1，而保持F2、F3不变，那么质点〔A〕 A、一定做匀变速运动 B、一定做直线运动 C、一定做非匀变速运动 D、一定做曲线运动 【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，那么撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，那么撤去F1后，质点可能做直线运动〔条件是F1的方向和速度方向在一条直线上〕，也可能做曲线运动〔条件是F1的方向和速度方向不在一条直线上〕。 3、关于运动的合成，以下说法中正确的选项是〔C〕 A.合运动的速度一定比分运动的速度大 B.两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C.两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D.合运动的两个分运动的时间不一定相等 【解析】根据速度合成的平行四边形定那么可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直线上。如果在一直线上，合运动是匀变速直线运动；反之，是匀变速曲线运动。根据运动的同时性，合运动的两个分运动是同时的。 4、质量m=0.2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如下图， 求： (1)物体所受的合力。 (2)物体的初速度。 (3)判断物体运动的性质。 (4)4s末物体的速度和位移。 【解析】根据分速度v x和v y随时间变化的图线可知，物体在x轴上的分运 动是匀加速直线运动，在y轴上的分运动是匀速直线运动。从两图线中求出物体的加速度与速度的分量，然后再合成。 (1) 由图象可知，物体在x轴上分运动的加速度大小a x=1m/s2，在y轴上分运动的加速度为0，故物体的合加速度大小为a=1m/s2，方向沿x轴的正方向。那么物体所受的合力F=ma=0.2×1N=0.2N，方向沿x轴的正方向。 (2) 由图象知，可得两分运动的初速度大小为v x0=0，v y0=4m/s，故物体的初速度
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6
"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角
第1章第零定律与物态方程 一、基本要点公式及其适用条件 1.系统的状态和状态函数及其性质 系统的状态—就是系统物理性质和化学性质的综合表现，它采用系统的宏观性质来描述系统的状态，系统的宏观性质，也称为系统的"状态函数"。 系统的宏观性质（状态函数）—就是由大量（摩尔级）的分子、原子、离子等微观粒子组成的宏观集合体所表现出的集团行为，简称"热力学性质"或“热力学函数”如p、V、T、U、H、S、A、G等。 Z=f(x,y)表示一定量、组成不变的均相系统，其任意宏观性质(Z)是另两个独立宏观性质(x,y)的函数。状态函数Z具有五个数学特征： (1)，状态函数改变量只决定于始终态，与变化过程途径无关。 (2)，状态函数循环积分为零，这是判断Z是否状态函数的准则之一。 (3)，系Z的全微分表达式 (4)，系Z的 Euler 规则，即微分次序不影响微分结果。 (5)，系Z、x、y满足循环式，亦称循环规则。 2.热力学第零定律即热平衡定律： 当两个物态A和B分别与第三个物体C处于热平衡，则A和B之间也必定彼此处于热平衡。T=t+273.15，T是理想气体绝对温标，以"K"为单位。t是理想气体摄氏温标，以"℃"为单位。 绝对温标与摄氏温标在每一度大小是一样的，只是绝对温标的零度取在摄氏温标的 -273.15℃处，可以看出，有了绝对温标的概念后，只需确定一个固定参考点(pV)0p=0，依国际计量大会决定，这个参考点选取在纯水三相点，并人为规定其温度正好等于 273.16K。 3.理想气态方程及其衍生式为: ；式中p、V、T、n单位分别为 Pa、m3、K、mol；R=8.314J·mol-1·K-1，V m为气体摩尔体积，单位为 m3·mol-1，ρ为密度单位kg·m-3，M 为
《曲线运动》经典例题 1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（AC） A. 曲线运动一定是变速运动 B. 变速运动一定是曲线运动 C. 曲线运动可能是匀变速运动 D. 变加速运动一定是曲线运动 【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。 2、质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，而保持F2、F3不变，则质点（A） A．一定做匀变速运动B．一定做直线运动 C．一定做非匀变速运动D．一定做曲线运动 【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动（条件是F1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F1的方向和速度方向不在一条直线上）。 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（C） A. 合运动的速度一定比分运动的速度大 B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等 【解析】根据速度合成的平行四边形定则可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直线上。如果在一直线上，合运动是匀变速直线运动；反之，是匀变速曲线运动。根据运动的同时性，合运动的两个分运动是同时的。 4、质量m=0.2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图所示，求： (1)物体所受的合力。 (2)物体的初速度。 (3)判断物体运动的性质。 (4)4s末物体的速度和位移。 【解析】根据分速度v x和v y随时间变化的图线可知，物体在x 轴上的分运动是匀加速直线运动，在y轴上的分运动是匀速直线 运动。从两图线中求出物体的加速度与速度的分量，然后再合成。 (1) 由图象可知，物体在x轴上分运动的加速度大小a x=1m/s2，在y轴上分运动的加速度为0，故物体的合加速度大小为a=1m/s2，方向沿x轴的正方向。则物体所受的合力 F=ma=0.2×1N=0.2N，方向沿x轴的正方向。 (2) 由图象知，可得两分运动的初速度大小为 v x0=0，v y0=4m/s，故物体的初速度
（二）理想气体状态方程 一、知识点击： 1.理想气体： 理想气体是一个理论模型，从分子动理论的观点来看，这个理论模型主要有如下三点：（1）分子本身的大小比起分子之间的平均距离来可以忽略不计。 （2）气体分子在做无规则运动过程中，除发生碰撞的瞬间外，分子相互之间以及分子与容器器壁之间，都没有相互作用力。 （3）分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的，即气体分子的总动能不因碰撞而损失。 由于不计分子之间的相互作用力，因而也就不计分子的势能，理想气体的内能就是所有分子的动能的总和。一定质量的理想气体内能的多少就只取决于温度，而与体积无关。在温度不太低，压强不太大的条件下，真实气体可看作为理想气体。 别为P1、V1、T1，经过某一变化过程到终了时分别变成P2、V2、T2，则应有。这就是理想气体的状态方程。
理想气体的状态方程是根据三条气体实验定律中的任意两条（例如玻意耳定律和查理定 律）推导而得的。 证明：如右图所示，a →b 为等容变化，根据查理定律有P 1/T 1= P c /T 2，b →c 为等温变化， 根据波意耳定律有P c ·V 1＝P 2·V 2，两式联立起来，得到P c ＝P 1/T 1·T 2＝P 2·V 2/ V 1，变形得到。 二、能力激活： 题型一：图像的物理意义： 示例1：如图所示是a 、b 两部分气体的V －t 图像，由图像可知：当t ＝0℃时，气体a 的体 积为 m 3；当t ＝273℃时，气体a 的体积比气体b 的体积大 m 3。 [分析]如图所示的V －t 图像描述的是等压过程，由，可知t ＝273℃时，气体的体积是0℃时 气体体积的两倍，则气体a 的体积为0.6m 3，气体b 的体积为0.2m 3。 [解析]气体a 的体积比气体b 的体积大0.6－0.2＝0.4m 3。 题型二：应用气体的P －V 图、P －T (或P －t )图解题： 示例2：有两个容积相等的容器，里面盛有同种气体，用一段水平玻璃管把它们连接起来。 在玻璃管的正中央有一段水银柱，当一个容器中气体的温度是0℃，另一个容器中气体的温 度是20℃时，水银柱保持静止。如果使两容器中气体的温度都升高10℃，管中的水银柱会 不会移动？如果移动的话，向哪个方向移动？ [分析]一般解法是，选假定两边密闭容器中的气体体积暂不改变，根据查理定律，分别计算 出两边气体各升温10℃后的压强，再比较两方压强的大小，就能判断水银柱会不会移动和 向哪个方向移动。即 。，℃的气体来说，对原来温度为；，℃的气体来说，对原来温度为0011 222121 001122212129310129330320273 1012732830P P P T T P T T P P P P P T T P T T P P ========''''''' ' ∴P 2>P 2'，因此水银柱应向原来温度高的那一侧移动。 这种解法如改用P －T (或P －t )图像来表述，将会更直观、鲜明。解题思路跟上面的一 样，即先假定两边密闭容器中的气体体积暂不改变，分别根据查理定律P －T 图上画出各自 的等容线。如图所示。其中在分别为273K 和293K 的初温时气体压强相等即P 0。再标出温 度各自升高10K(10℃)后的压强值P 2与P 2'，并与P 0比较标 明两侧压强的变化量?P 与?P '。显然从图中可以看出，由于 两条等容线的斜率不等，致使在相等的温度增量的情况下， 压强的增量不等，?P >?P '。因此应有P 2 (=P 0+? P )>P2'(=P 0+?P ')的结论。即水银柱应向原来温度较高的那一 侧移动。 [解析]水银柱应向原来温度较高的那一侧移动。 题型三：由三条实验定律的任意两条证明第三条实验定律： 示例3：证明：由玻意耳定律、查理定律证明盖·吕萨克定律。 [分析]设初状态1为（P 1，V 1，T 1），则末状态2为（P 1，V 2，T 2），利用玻意耳定律和查理 定律研究V 1，T 1与V 2，T 2的关系我们还需要构造一个中间状态，即3（P 2，V 1，T 2），1→3 为等容过程，根据查理定律，有P 1/T 1= P 2/T 2，3→2为等温过程，由玻意耳定律有P 2·V 1＝ P 1·V 2， [解析] P 1/T 1= P 2/T 2 P 2· V 1＝P 1·V 2 两式联立起来，化简得到V 1/T 1= V 2/T 2。
专题 曲线运动 一、运动的合成和分解 【题型总结】 1．合力与轨迹的关系 如图所示为一个做匀变速曲线运动质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，且质点的运动方向是从A 到E ，则下列说法中正确的是( ) A ．D 点的速率比C 点的速率大 B ．A 点的加速度与速度的夹角小于90° C ．A 点的加速度比D 点的加速度大 D ．从A 到D 加速度与速度的夹角先增大后减小 2．运动的合成和分解 例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4m ／s 时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7m ／s 时。他感到风从东南方向（东偏南45o）吹来，则风对地的速度大小为（ ） A. 7m/s B. 6m ／s C. 5m ／s D. 4 m ／s 3．绳（杆）拉物类问题 例：如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？ 练习1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为B A v v ,，则（ ） A 、 B A v v = B 、B A v v ? C 、B A v v ? D 、重物B 的速度逐渐增大 4．渡河问题 例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2,战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) 例2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) (B) (C) (D) 【巩固练习】 1、 一个劈形物体M ，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个 光滑小球m ，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（ ） m
勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
第五章 曲线运动 第五节 圆周运动 第六节 向心加速度 二. 知识要点： 1. 认识匀速圆周运动的概念，理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度；理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算。理解线速度、角速度、周期之间的关系：v=rω=2πr ／T 。理解匀速圆周运动是变速运动。 2. 理解速度变化量和向心加速度的概念，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。能够运用向心加速度公式求解有关问题。 3. 运用极限法理解线速度的瞬时性。掌握运用圆周运动的特点如何去分析有关问题。体会有了线速度后。为什么还要引入角速度。运用数学知识推导角速度的单位。 三. 重难点解析： 1. 线速度 （1）定义：质点沿圆周运动通过的弧长Δl 与所用时间Δt 之比叫做线速度。它描述质点沿圆周运动的快慢。 （2）大小： t l v ??= 单位：m/s （3）方向：质点在某点的线速度方向沿着圆周上该点的切线方向。 2. 匀速圆周运动 （1）定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动叫匀速圆周运动。 （2）因线速度方向不断发生变化，故匀速圆周运动是变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。 3. 角速度 （1）定义：在匀速圆周运动中，连接质点和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值，就是指点的角速度。描述质点转过圆心角的快慢。匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。 （2）大小： t ??= θω，单位：rad ／s 4. 周期T 、频率f 和转速n 定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用T 表示，单位为秒（s ）。 做圆周运动的物体运动一秒，所转过圆周的次数叫做频率，用f 表示，单位为赫兹（Hz ）。1 Hz=11 -S 。 做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速。用n 表示，单位为转每秒（r ／s ），或转每分（r ／min ）。 周期频率和转速都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。 5. 描述圆周运动各物理量的关系 （1）线速度和角速度间的关系。 v= rω。 （2）线速度与周期的关系。 T r v π2= 。 （3）角速度与周期的关系。
《曲线运动》复习提纲 一、曲线运动 1.曲线运动速度方向:时刻变化; 曲线该点的切线方向。 2.做曲线运动的条件：物体所受合外力方向与它的速度方向不在同一直线上(即F(a)与v 不共线) 3.曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动，即曲线运动的加速度a ≠0。 ①做曲线运动的物体所受合外力的方向指向曲线弯曲的一侧（凹侧）。 ②轨迹在力和速度方向之间 4.曲线运动研究方法：运动合成和分解。（实际上是F 、a 、v 的合成分解） 遵循平行四边形定则（或三角形法则） 二、运动的合成与分解 物体实际运动叫合运动 物体同时参与的运动叫分运动 (1)合运动与分运动的关系： ①独立性。 ②等时性。 ③等效性。 (2)几个结论：①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。 ②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，不一定是直线运动(如平抛运动)。 ③两个匀变速直线运动的合运动，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。 (3)典型模型：①船过河模型 1)处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际 上参与了 两个方向的分运动：随水流的运动（水速），在静水中的船的运动 （就是船头指向的方向）。 船的实际运动是合运动。 2)若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间： θsin 1v d v d t ==合 3)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，此时过河时间1 v d t =(d 为河宽)。因为在垂直于 河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。 ②绳（杆）端问题 船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成： a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v ； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为αcos v , 当船向左移动， α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A 却在做变速运动。 三、平抛运动 1．运动性质 a)水平方向：以初速度v 0做匀速直线运动． b)竖直方向：以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动． 说明：在水平和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．合运动是匀变速曲线运动．相等的时间内速度的变化量相等．由△v=gt ，速度的变化必沿竖直方向 2．平抛运动的规律 以抛出点为坐标原点，以初速度v 0方向为x 正方向，竖直向下为y 正 方向，如右图所示，则有： 分速度 gt v v v y x ==,0
勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用
理想气体状态方程 1、如图所示，U形管右管横截面积为左管2倍，管内水银在左管内封闭了一段长为26cm、温度为 280K的空气柱，左右两管水银面高度差为36cm，大气压为76cm Hg．现向右管缓慢补充水银． ①若保持左管内气体的温度不变，当左管空气柱长度变为20cm时，左管内气体的压强为多大？ ②在①条件下，停止补充水银，若给左管的气体加热，使管内气柱长度恢复到26cm，则左管 内气体的温度为多少？ 2、如图所示，两端开口、粗细均匀的足够长的玻璃管插在水银槽中，管的上部有一定长度的 水银，两段空气柱被封闭在左右两侧的竖直管中。开启上部连通左右水银的阀门A，当温度为 300 K平衡时水银的位置如图(h1＝h2＝5 cm，L1＝50 cm)，大气压为75 cmHg。求： (1)右管内空气柱的长度L2； (2)关闭阀门A，当温度升至405 K时，左侧竖直管内气柱的长度L3。 3、如图所示，截面均匀的U形玻璃细管两端都开口，玻璃管足够长，管内有两段水银柱封闭着一段空气柱，若气柱温度是270C时，空气柱在U形管的左侧，A、B两点之间封闭着的空气柱长为15cm，U形管底边长CD=10cm，AC高为5cm。已知此时的大气压强为75cmHg。 （1）若保持气体的温度不变，从U形管左侧管口处缓慢地再注入25cm长的水银柱，则管内空 气柱长度为多少？某同学是这样解的： 对AB部分气体，初态p1=100cmHg，V1=15S cm3，末态p2=125cmHg，V2=LS cm3， 则由玻意耳定律p1V1=p2V2解得管内空气柱长度L=12cm。 以上解法是否正确，请作出判断并说明理由， 如不正确则还须求出此时管内空气柱的实际长度为多少？ （2）为了使这段空气柱长度恢复到15cm，且回到A、B两点之间，可以向U形管中再注入一些水银，且改变气体的温度。问：应从哪一侧管口注入多长的水银柱？气体的温度变为多少？ 4、一圆柱形气缸，质量M为10 kg，总长度L为40 cm，内有一厚度不计的活塞，质量m为5 kg，截 面积S为50 cm2，活塞与气缸壁间摩擦不计，但不漏气，当外界大气压强p0为1′105Pa，温度t0为7° C时，如果用绳子系住活塞将气缸悬挂起来，如图所示，气缸内气体柱的高L1为35 cm，g取 10 m/s2．求：①此时气缸内气体的压强；②当温度升高到多少摄氏度时，活塞与气缸将分离． 5、如图所示，两个绝热、光滑、不漏气的活塞A和B将气缸内的理想气体分隔成甲、乙两部分， 气缸的横截面积为S = 500 cm2。开始时，甲、乙两部分气体的压强均为1 atm（标准大气压）、 温度均为27 ℃，甲的体积为V1 = 20 L，乙的体积为V2 = 10 L。现保持甲气体温度不变而使 乙气体升温到127 ℃，若要使活塞B仍停在原位置，则活塞A应向右推多大距离? 6、如图所示，一导热性能良好、内壁光滑的气缸竖直放置，在距气缸底部l=36cm处有一与气缸固定 连接的卡环，活塞与气缸底部之间封闭了一定质量的气体．当气体的温度T0=300K、大气压强p0＝1.0 ×105Pa时，活塞与气缸底部之间的距离l0=30cm，不计活塞的质量和厚度．现对气缸加热，使活塞缓 慢上升，求： ①活塞刚到卡环处时封闭气体的温度T1．②封闭气体温度升高到T2=540K时的压强p2． 7、使一定质量的理想气体的状态按图中箭头所示的顺序变化，图线 BC是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线。 (1)已知气体在状态A的温度T A＝300K，问气体在状态B、C和D的温度 各是多大?
第五章曲线运动经典分类例题 §5.1 曲线运动基础 一、知识讲解 二、【典型例题】 知识点1、力和运动的关系 1、曲线运动的定义： 2、合外力决定运动的速度： 】 3、合外力和速度是否共线决定运动的轨迹： 4、物体做曲线运动的条件： 习题 1、关于曲线运动的速度，下列说法正确的是：（） A、速度的大小与方向都在时刻变化 ) B、速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C、速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D、质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向 2、下列叙述正确的是：（） A、物体在恒力作用下不可能作曲线运动 B、物体在变力作用下不可能作直线运动 C、物体在变力或恒力作用下都有可能作曲线运动 D、物体在变力或恒力作用下都可能作直线运动 ^ 3、下列关于力和运动关系的说法中，正确的上：（） A．物体做曲线运动，一定受到了力的作用 B．物体做匀速运动，一定没有力作用在物体上 C．物体运动状态变化，一定受到了力的作用 D．物体受到摩擦力作用，运动状态一定会发生改变 4、下列曲线运动的说法中正确的是：（） A、速率不变的曲线运动是没有加速度的 B、曲线运动一定是变速运动 C、变速运动一定是曲线运动 D、曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线运动; 5、物体受到的合外力方向与运动方向关系，正确说法是：（） A、相同时物体做加速直线运动 B、成锐角时物体做加速曲线运动 C、成钝角时物体做加速曲线运动 D、如果一垂直，物体则做速率不变的曲线运动6．某质点作曲线运动时:（） A．在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 B．在任意时间内位移的大小总是大于路程
XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数）
一．选择题（共25小题） 1．（2015春?苏州校级月考）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下面说法正确的是（） A．物体做匀速运动，且v2=v1B．物体做加速运动，且v2＞v1 C．物体做加速运动，且v2＜v1D．物体做减速运动，且v2＜v1 2．（2015春?潍坊校级月考）如图所示，沿竖直杆以速度v为速下滑的物体A，通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（） A．物体B向右做匀速运动B．物体B向右做加速运动 C．物体B向右做减速运动D．物体B向右做匀加速运动 3．（2014?蓟县校级二模）如图所示，绕过定滑轮的细绳一端拴在小车上，另一端吊一物体A，A的重力为G，若小车沿水平地面向右匀速运动，则（） A．物体A做加速运动，细绳拉力小于G B．物体A做加速运动，细绳拉力大于G C．物体A做减速运动，细绳拉力大于G D．物体A做减速运动，细绳拉力小于G 4．（2014秋?鸡西期末）如图所示，用绳跨过定滑轮牵引小船，设水的阻力不变，则在小船匀速靠岸的过程中（） A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不变 C．船所受浮力增大D．船所受浮力变小 5．（2014春?邵阳县校级期末）人用绳子通过动滑轮拉A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，求A物体实际运动的速度是（） A．v0sinθB．C．v0cosθD． 6．（2013秋?海曙区校级期末）如图中，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度V1≠0，若这时B的速度为V2，则（）
勾股定理（基础） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条 边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以. 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为 的线段. 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝2，c ＝3，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3， ∴ 2222325a c b =-=-； （2）设3a k =，5c k =． ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、勾股定理的证明