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二次函数与幂函数知识梳理

二次函数与幂函数

【考纲要求】

1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2.幂函数

(1)了解幂函数的概念．

(2)结合函数1(1,2,3,1,)2

y x α

α==-的图象，了解它们的图象的变化情况．【知识网络】

【考点梳理】

考点一、初中学过的函数（一）函数的图象与性质

1.过原点的直线的方程,图象,性质；

2.函数的最高次项的系数能否为零。（二）二次函数的最值

1.二次函数有以下三种解析式：

一般式：2

y ax bx c =++（0≠a ），

顶点式：2

()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =，

基本初等函数

图象与性质

一次函数二次函数

幂函数

常数函数

零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02

=++c bx ax 的根

2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值：

二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令

()2

x p q =

（1）（2）（3）（4）

（1）若2b

p a

<，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==；（2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2b

f x f m a =-=，max ()()f x f q M ==；（3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2b

f x f m a =-=，max ()()f x f p M ==；（4）若2b

q a

≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==.

要点诠释：

1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。考点二、幂的运算

a =　，1n

n a

a -=

，m n m n

a a -11

=(,1)m n N n +∈>、　

；

(2)

(,1)n

a n N n =∈>　

，

(1,a n n =>为奇数）

，

(0)((0)a a a n a a ≥?=?-

＝是正偶数）

　。考点三、幂函数的图象与性质

1.幂函数()y x x R α

=∈在第一象限的图象特征

2.幂函数()y x x R α=∈性质：

（1）1α>，图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如2y x =；（2）01α<<，图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如12

y x =；

（3）0α<，图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如1

,y x y x --==

要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。【典型例题】

类型一：基本函数的解析式

例1．已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--，且图像在y 轴上截距为1，在x 轴截

得的线段长为()f x 的解析式.

【解析】

【方法一】设2()f x ax bx c =++（0a ≠），

则1c =，且对称轴2

x a

=-，即4b a =， ∴2()41f x ax ax =++，

∵12||||

x x a -==， ∴12a =

∴2

1()212

f x x x =

++ 【方法二】∵(2)(2)f x f x -=--，∴二次函数的图象的对称轴为2x =-，

可设所求函数为2

()(2)f x a x h =++（0a ≠），

∵()f x 截x 轴上的弦长为， ∴()f x 的图像过点(2,0)

和

2,0)，

∴22)2]0a h ++=，即20a h += （1）又∵()f x 的图像过点(0,1)， ∴41a h += （2）（1）（2）联立，解得1

a =

，1h =-，

∴21()(2)12f x x =

+-，即21

()212

f x x x =++. 【方法三】∵()y f x =的图象对称轴2x =-，

又12||x x -=,

∴()f x 与x

轴的交点为(2,0)

和2,0)，

故可设()(2)(2)f x a x x =（0a ≠），由(0)1f =可得 1

a =.

∴1()(2)(2)2f x x x =

，即21

()212

f x x x =++. 【总结升华】二次函数的形式有以下三种：（1）一般形式：2()f x ax bx c =++（0a ≠），

（2）顶点式（或称配方式）2()()f x a x k h =-+（0a ≠），

（3）零点式（或称双根式）12()()()f x a x x x x =--（0a ≠），（前提：有根）

对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘

题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。

举一反三：

【变式】已知二次函数()=y f x

的对称轴为x =截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式

【答案】∵二次函数的对称轴为x =

2()(f x a x b =+，

又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x

过点(2,0)

和(2,0)，

()f x 又过点(0,1)-，

∴4021a b a b +=??+=-?，解得122

a b ?=?

??=-?，

∴21()(22f x x =

-，

即21

()12

f x x =+-. 类型二：函数的图象和性质

例2. 下图是指数函数（1）x

y a =，（2）x

y b =，（3）x

y c =，（4）x

y d =的图象，则a 、

b 、

c 、

d 与1的大小关系是（）

A.1a b c d <<<<

B.1b a d c <<<<

C.1a b c d <<<<

D.1a b d c <<<<

【解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小.

【答案】B

【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答，但作为选择题更多地利用特殊点解决.

举一反三：【变式】

（1）下图的曲线是对数函数log a y x =图象，已知a 的取值为10，2，0.6，0.25，则曲线

1234C ,C ,C ,C 对应的a 的值依次为；

（2）如图是幂函数y x α

=在第一象限内的图象，已知α取12,3,,12

-，则曲线1234

,,,C C C C 对应的α的值依次为；

【答案】

（1）依据对数函数log a y x =的图象中的特殊点(,1)a ，如图，令1y =，

由图知点3(,1)C 、4(,1)C 、1(,1)C 、2(,1)C 的左右位置关系，有34120C <<<

由图知点4(2,)C 、3(2,)C 、2(2,)C 、1(2,)C 的上下位置关系，有

123401C <<<<

∴相对于曲线1234,,,C C C C 的α依次为1-、1

、2、3. 类型三：比较大小

例3. 比较2315（），2312（，1

（这三个数的大小关系．【解析】比较式子的结构，依据其异同点选用不同的函数，结合函数的单调性或数形结合比

较大小。

【方法一】考察函数12x y=（），由于该函数是单调递减函数，故21

1122

<（（．

考察函数2

x y=，由于该函数在第一象限是单调递增函数，故22

1125

>（）（） ∴2315（），2312（），1312（）这三个数的大小关系是：122

333111225

（）>（）>(）

【方法一】考察函数12x y=（），由于该函数是单调减函数，故21

1122

<（）（）

考察函数12

y=（）与函数15

y=（），根据指数函数图象的分布规律知，在第一象限时12

y=（）的图象位于15

y=（）的图象的上方，

从而当自变量都取23时，22

1125

（）>(）

。 ∴2315（），2312（），1312（）这三个数的大小关系是：122

333

111225

（）>（）>(）【总结升华】大小比较是此处常见的一类考题。通常都是构想函数运用函数性质来解决，通

常两个同指的幂式比较就构想幂函数，同底的就构想指数函数，若混合比较即插入对数式或底指皆不同的幂式就用搭桥的办法，常用搭桥的思路有选0或选1或根据具体情况构作。

举一反三：【变式】

（1）设0x >，且1x x

a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（）

A. 1b a << B . 1a b << C. 1b a << D. 1a b << (2) 若2

1a b a >>>，则log b b

，log b a ，log a b 从小到大依次为；【答案】

（1）取1x =，知选B 。

(2) log b

1a b a >>>得b a a

<，故log b b a

【方法二】令2a =，3b =可得3323log log 21log 32<<<，故log b b

类型四：最值问题

例4.求函数1)21()41(+-=x

x y （[3,2]x ∈-)的最值.

【解析】令x u )21(=, 则4

3)21(122

+-=+-=u u u y ,

开口向上，对称轴1

2u =

∵[3,2]x ∈-,∴ 11()842x ≤≤, 即1

[,8]4

u ∈

∵11

[,8]24u =

∈， ∴12u =时，min 34y =；1

4u =时，1y =；8u =时，57y =；

∴12u =时，min 34

y =；

8u =时，max 57y =.

【总结升华】

1. 基本函数的最值问题一般都利用函数的单调性，并数形结合解决之；

2. 形如2x x y Aa Ba C =++(0a >,且1a ≠)的函数，可以转化为二次函数

2y At Bt C =++，但应注意x t a =的取值范围.

举一反三：

【变式】已知,x y R ∈，22228x y x +=+，求22x y +的最值。【答案】由已知得4212

++-

=x x y ， ∵2

0y ≥，∴21402

x x -++≥即24x -≤≤，

)1(21)421(22222++=++-+=+x x x x y x 于是

∵对称轴1[2,4]x =-∈-，

∴当1x =-时，

x y +=；当2x =-时，223x y +=；当4x =时，2216x y +=； ∴当1x =-时，22

x y +取得最小值72；

当4x =时，22

x y +取得最大值16.

课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数

课时跟踪检测（十二）二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝x 的图象是( ) 解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ，又其图象上凸，则排除C ，故选B. 2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R)，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( ) A ．f (－1) B ．f (1) C ．f (2) D ．f (5) 解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2. 当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)；当a <0时，f (5)＝f (－1)

∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)． 4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈ [a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为____________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈????－9 4，－2，故当m ∈????－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2 －5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：??? ?－9 4，－2 5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－4 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知f (x )＝x ，若00，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )