数形结合思想
、数学结合思想
所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相
互转化来解决数学问题的思想。
数学结合思想的应用包括以下几个方面：
(1)“以形助数”把，某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象思维，
提示数学问题的本质；
(2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。
二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化：
1．“数”：主要是指数和数量关系。
中学阶段的“数”有以下几类：
(1)复数；(2)代数式；(3)函数；(4)不等式；(5)方程；(6)向量。
2．“形”：主要是指图形，有点、线、面、体等。
中学阶段的“形”有以下几类：
(1)数轴；(2)Venn 图；(3)函数图象；( 4)单位圆；(5)方程的曲线；(6)平面几
何的图形；(7)立体几何图形；(8)可行域；
三、数形结合思想应用的关键：
1 ．由“数”联想到“；形2”．由“图”想“。数”
四、数形结合思想解决的问题类型：
1．运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、
集合的运算问题；
2．运用平面直角坐标系和函数的图象解决
函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4 .立体几何问题; 5.可行域求最优解问题; 6.数列问题;
7 .方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数冋题。
数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路
sin7ix(0 < X < 1)
例6 :(改编题)已知函数f(x)斗'
'，若a,b,c 互不相等,且
Iog 2011 x(x >1)
f (a) = f (b) = f (c)，则 a +b +c 的取值范围是(C )
例7 .设0 【分析及解】 由式子 沁的结构可知,沁的的几何意义是连接两点 0(0,0 ) x x T(x,si nx )的直线的斜率，于是，可以画出y=s in x 的图象，研究两点Ax 1,si n 为)和 Bx 2,sinx 2 )与O(O,O )连线的斜率，由图象可知，k OA Ak oB ,即a Ab. A . (1,2011) B . (1,2012) C . (2,2012) D . [2,2012] O a /b1 ? x 2011 X 2 x 5 例8: (1)下列四个函数图象，只有一个是符合y =|k i x+b, | + |k 2x + b 2 ITk s x+b s I (其中 k i ,k 2,k 3为正实数，b i ,b 2,b 3为非零实数)的图象，则根据你所判断的图 象，k 1 , k 2 / 斗可一定成立的关系是 >x 变式: 已知函数f(x) =sn ^ x (1)给出下列三个命题，其中真命题是 ①② ①f(x)偶函数；②fg ;③当xp 时，f(x)取得极小值。 O O A . k t + k^ = k s B . k t = k^ = k 3 C . k t + k 2》k 3 D . k t 中 k 2 吒 k 3 可行域与最值问题 例9.(周末练习7)设f (X)是定义在R 上的增函数，且对于任意的 X 都有 f(1^x +f (1片 X =0 恒成立. 「f(m 2-6m + 23 ) + f(n 2-8n)<0 2 2 如果实数m n 满足不等式组4 ( )( 丿，那么m 2 + n 2的取 m 〉3 值范围是() 解析：由已知可得f (X )的图象关于点(1,0)对中心对称，于是由 f(m 2 —6 m +23) + f(n 2 —8 n) c 0 可知：m 2—6 m + 23+n 2—8 n c 2 即(m -3)2 +(n -4)2 ?<4，又由m >3，可得可行域如图: 答案：D 借助图形巧求参数的范围(值) 例 10.已知 m 忘 R ，函数 f(x) =x 2 +2(m 2 +1)x + 7,g(x) = —(2m 2 -m+2)x + m 。 (1)设函数p(x) = f (X )+g(x)，如果p(x) =0在(1,5)内有解但无重根，求实数 m 的取值范围; A.(3, 7) B.(9, 25) C. (9, 49) D. (13, 49) fy ⑵函数h(x^J f(x),^ ，是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在 ig(x),x c0 唯一非零的实数b(bHa)，使得h(a)=h(b)成立，若存在，求m 的值, 若不存在，请说明理由。 ⑵由题意得，当x>0时，h(x)=x 2 +2(m 2 +1)x + 7，h(x)在x>0时单调递增, 且值域A =[7,畑)，当X c O 时，h(x) = -(2m 2 -m +2)x + m 在x c 0时单调递减, 且值域B =(m,畑) 解析：(1) T p(x)=f(x) + g(x) =x 2 +mx +7+m ，令 p (x)=0，① 因为方程①在(1,5)内有 实数解，且没有重根，由p(x) = 0得 m = -x ^ =2-(X +1)-￡，寫 x-(1,5)， X +1 X +1 +6 令t =x +1,2 C t c 6， 8 从而原问题转化为函数y =2-1-8 (2<心6) 与直线y = m 有 交点但不相切。如图，-16 < m 3 但m =2 -4血 时有两个相等的根， 2-442 2-4^2 <2-442 16 3 >x 6 平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2） { ==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3） 4 - （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 2 C. 4 D. 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =???? ? ? - - 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、7是2)7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根 C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数 D ．2a 的平方根是a ± 做家长信任的教育机构【中考冲刺】数形结合的5个常考类型 数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 1用数形结合的思想解题可分两类 (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等； (2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等. 22. 热点内容 在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容. 【典型例题】 类型一、利用数形结合探究数字的变化规律 1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是． 【思路点拨】 首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n． 【答案与解析】 第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个； 第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个； 第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个； 按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）. 故答案为n（n+2）=n2+2n. 【总结升华】 这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律. 举一反三： 《平方根》典型例题及练习 平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根 是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2）{==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根， 即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根 数形结合 一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理： 2222 c b a b a 0.5ab 4=+=-+?）（）（ 解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式（平方差与完全平方）： ））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222 ++=+）（ 解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式： 解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为 2 b a +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a b ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正（余）弦定理： 解析： （1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 2 1 h a 21S ABC =??=?= ?的面积； 即sinC c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinA a 2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，； 综上，得正弦定理：2R sinC c sinB b sinA a ===。 （2）根据勾股定理2 2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即?--=?--=-； 整理可得余弦定理：2ac b c a cosB 2 22-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。 5、证明结论），（，2 0x sinx x x tan π ∈>> 算数平方根及平方根练习题 【知识要点】 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式）， 2、算术平方根： 3、平方根的性质： （1）一个正数有 个平方根，它们 ；（2）0 平方根，它是 ；（3） 没有平方根． 4、重要公式： （1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表： 6.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 7.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 8.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 9. 0的立方根是___________.(-1) 2005的立方根是______________.182726的立方根是________. 【典型例题】 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 12= 62= 112= 162= 22= 72= 122= 252= 32= 82= 132= ... 42= 92= 142= ... 52= 102= 152= ... ] 数的开方单元试题(华东师大版) 考试总分：120分 考试时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（共8题24分，每题3分） 1、4的算术平方根是（ ） A 、4- B 、4 C 、2- D 、2 2、“9的平方根是3±”的表达式正确的是（ ） A 、39±=± B 、39= 、 C 、39±= D 、39=- 3、若式子5+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、5->x B 、5- 平面直角坐标系------数形结合思想的平台 一、知识点： 1.平面直角坐标系的定义； 2.坐标平面内点的坐标的定义； 3.各象限内及坐标轴上点的坐标的特征； 4.一三（二四）象限角平分线上的坐标特点； 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征； 6.一维、二维坐标； 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系， 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系； 9、面积割补法； 10、绝对值的性质； 11、图形面积公式； 12、平移的性质； 二、基本思想方法： 1、思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法：画示意图、平移。 三、典型题目 （一）基础知识训练 称点是点C，则点C所表示的数是．在x轴上，到原 2.（1）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为（4，1），（1，-2）； （2）在（1）的条件下，过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在BM的延长线上截取MC=BM． ①写出点C的坐标； ②平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D 的坐标． （注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) 3．已知直角坐标平面内两点A（-2，-3）、B（3，-3），将点B向上平移5个单位到达点C，求： （1）A、B两点间的距离； （2）写出点C的坐标； （3）四边形OABC的面积． 4．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B （5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积 5．计算图中四边形ABOD的面积． 6．已知点A（-4，-1），B（2，-1） =12．求点C的坐标（写必要的（1）在y轴上找一点C，使之满足S △AB C 步骤）； =12的点C有多少个？这些（2）在直角坐标系中找一点C，能满足S △AB C 点有什么特征？ 7．如图，每个小正方形的边长为单位长度1． （1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标，说出各点到两坐标轴的距离；并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。（2）点C与E的坐标什么关系？ （3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？ （4）你能求出图中哪些线段的长度？（总结公式）哪些图形的面积？ 8．如图，在△ABC中，已知点A（0，3），B（-2，-3），C（3，-5）．（1）在给出的平面直角坐标系中画出△ABC； （2）将△ABC向左平移4个单位，作出平移后的△A′B′C′； （3）点B′到x、y轴的距离分别是多少？ 9．如，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a-4|+（b-2）2=0，c=a+b． （1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点； （2）在坐标轴上是否存在点Q，使△COQ得面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积． 第十 一章：数 的 开 方 一、平方根、算术平方根的概念及性质 1、如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，正数的平方根有 个，它们的关系是 ，0的平方根是 ，负数 正数a 的 叫做a 的算术平方根。121的平方根是±11的数学表达式是 2、________的平方等于25，所以25的平方根是________16的平方根是________算术平方根是______；(－4)2的平方根是 3、若一个正数的平方根是2a －1和－a ＋2，则a ＝________这个数是 ；若4a ＋1的算术平方根是3，则a 的值 4、若2 16a =，则a ＝________；若 1.2a =，则a ＝________ 5、若054=-++-y x x ，则=x ________，=y ________ 6、在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个 7、若42-x 有意义，则x . 当x = 时，有29x -最大值，最大值 是 8、88的整数部分是 ；若a<570 Ｂ．a ≥0 Ｃ．a<0 Ｄ．a ≤0 二、立方根的概念及性质 1、如果一个数的 等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，正数有 的立方根，负数有 的立方根，0的立方根为 2、64的立方根的平方根是 若033=+y x ，则x 与y 的关系是 3、若式子3112a a -+-有意义，则a 的取值范围为 4、如果 68.28,868.26.233 3 ==x ，那么x= 5、若x 3=216，则x= ；若x 3=729，则x = ; 6、若519x +的立方根为４，则27x +的平方根是______. 7、由下列等式： 3 333332233442 2,33,44,7726266363 ===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 三、实数、相反数、绝对值、数轴 1、有理数包括整数和 ；有理数可以用 小数和 小数表示； 叫无理数；无限 小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数； 2、下列各数：23 ，－3π，3.1415926，25，191，3 8-，3.101001000……，9-，? ? 9641.3中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个，整数有 个. 3、下列说法中正确的是（ ） A 、有限小数是有理数 B 、无限小数是无理数 C 、数轴上的点与有理数一一对应 D 、无理数就是带根号的数 4、下列说法正确的是（ ） Ａ、两个正无理数之和一定还是正无理数Ｂ、两个无理数之间没有有理数 Ｃ、无理数分为正无理数、负无理数和零Ｄ、无理数可以用数轴上的点表示 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式）， 2、算术平方根： 3、平方根的性质： （1）一个正数有 个平方根，它们 ；（2）0 平方根，它是 ；（3） 没有平方根． 4、重要公式： （1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表： 6.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 7.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 8.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 9. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.18 2726的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 算数平方根及平方根练习题 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） 数形结合总结 数形结合之规律 【典型例题】 例1 观察下列算式： , 65613,21873,7293,2433, 813,273,93,338 7 6 5 4321======== …… 用你所发现的规律写出20043的末位数字是__________。 例2 观察下列式子： 326241?==+?；4312252?==+?；5420263?==+?；6530274?==+?…… 请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。 例4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。 …… (1)将下表填写完整 （2）在第n 个图形中有____________________个三角形（用含n 的式子表示）。 例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为21的矩形，接着把面积为21的矩形等分成两个面积为4 1 的正方形，再把面积为 41的矩形等分成两个面积为8 1 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： =+++++++256 11281641321161814121 例7．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正 方体的个数是 例8.观察下列图形并填表。 ① ② ③ 1 1 周长 5 8 11 14 … 例9．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。 （1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2） 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？ 200 199198197196 19528272625242322212019181716151413121110987654321 例10．将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。 1001 10009999989979969952827262524232221 2019181716151413121110987 654321 例11.把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表． （1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x ，则另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． （2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x 的值；若不能，则说明理由． 例12. 把2011个正整数1，2，3，4，…，2010，2011按如图方式排列成一个表． 第11章数的开方 一、选择题 1．在﹣3，0，4，这四个数中，最大的数是（） A．﹣3 B．0 C．4 D． 2．下列实数中，最小的数是（） A．﹣3 B．3 C．D．0 3．在实数1、0、﹣1、﹣2中，最小的实数是（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 4．实数1，﹣1，﹣，0，四个数中，最小的数是（） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣ 5．在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 6．a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是（）A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8 7．估算﹣2的值（） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间8．在已知实数：﹣1，0，，﹣2中，最小的一个实数是（）A．﹣1 B．0 C．D．﹣2 9．下列四个实数中，绝对值最小的数是（） A．﹣5 B．C．1 D．4 10．在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（） A．﹣2 B．0 C．3 D． 11．在1，﹣2，4，这四个数中，比0小的数是（） A．﹣2 B．1 C．D．4 12．四个实数﹣2，0，﹣，1中，最大的实数是（） A．﹣2 B．0 C．﹣D．1 13．与无理数最接近的整数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 14．如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数3﹣的点P应落在线段（） A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上 15．估计介于（） A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间 16．若m=×（﹣2），则有（） A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣2＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜﹣2 17．如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（） A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C 18．与1+最接近的整数是（） A．4 B．3 C．2 D．1 19．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 20．若a=（﹣3）13﹣（﹣3）14，b=（﹣0.6）12﹣（﹣0.6）14，c=（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13，则下列有关a、b、c的大 小关系，何者正确？（） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 21．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（） A．6 B．7 C．8 D．9 22．估计×+的运算结果应在哪两个连续自然数之间（） A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 23．估计的值在（） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 二、填空题 24．把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为． 25．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则a b= ． 26．若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是． 27．黄金比（用“＞”、“＜”“=”填空） 平面直角坐标系------数形结合思想的平台 数的开方单元试题(华东师大版) 考试总分：120分 考试时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（共8题24分，每题3分） 1、4的算术平方根是（ ） A 、4- B 、4 C 、2- D 、2 2、“9的平方根是3±”的表达式正确的是（ ） A 、39±=± B 、39= C 、39 ±= D 、39=- 3、若式子5+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、5->x B 、5- 数的开方练习题集 数的开方小测试题（1） 追求卓越 肩负天下 1.计算: ()()2332481----- - 2.计算: ()91645232--+ ?- 3.计算: 313221---+ - 4.计算: （1）04.010363 2972+-; （2）()323832164---???? ??-+-. 5.计算: 4 128253+-- 6.已知y x ,为实数,且499+---=x x y ,求y x + 的值. 7.已知0276433=-++b a ,求()b b a -的立方根. 8.计算: （1）()()()11122++--x x x x ; （2）()()[]y x y x x y y x x 232223÷--. 数的开方小测试题（2） 追求卓越 肩负天下 1.计算: （1）()572243+-?-÷-; （2）()328235---+ -. 2.解下列方程: （1）()64122=-x ; （2）()6412273 -=--x . 3.求下列代数式的值: （1）若b a ,42=的算术平方根为3,求b a +的值; （2）已知x 是25的平方根,y 是16的算术平方根,且y x <,求y x -的值. 4.已知12-a 的平方根是3±,124++b a 的平方根是5±,求b a 2-得平方根. 5.已知b a ,互为倒数,d c ,互为相反数,求13+++d c ab 的值. 6.计算: 2 2341312764949??? ??+??? ??+--. 数的开方小测试题（3） 追求卓越 肩负天下 1.若322=+-+-y x x ,求y x 的值 2.一个正数a 的两个平方根分别是2+x 和82-x ,求a 的值. 3.若321x -与353-x 互为相反数,求x -1的值. 4.已知43=x ,且()03122 =-++-z z y ,求333z y x ++的值. 5.计算: ()4121813162 3÷??? ??---+ 七年级数学《平方根》典型例题及练习 【知识要点】 1、 平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式）， 2、 ________________________________________________________________ 算术平方根： 3、 平方根的性质： （1）一个正数有 _个平方根，它们 __________ ；（ 2）0 _____ 平方根，它是 _________ ；（ 3） ____ 没有平方根. 4、 重要公式： 1.正数有 _______________ 个立方根,0 有 _________________ 个立方根,负数有 ________________ 个立方根,立方根也叫做 2?—个正方体的棱长扩大 3倍，则它的体积扩大 ______________ . 3?若一个数的立方根等于数的算术平方根 ，则这个数是 _____________ . 4. 0的立方根是 .（-1） 2005的立方根是 ____________ .18 26的立方根是 _________ , 27 【典型例题】 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是6 2的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0; ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根. A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个 例2、 36的平方根是（ ) A 、 6 B 、 6 C 」6 D -6 例3、 卜列各式 屮， 哪些有意义？ (1) 5 (2) 2 (3) 4 (4) (3)2 (5) 10 例4、一个自然数的算术平方根是 a ,则下一个自然数的算术平方根是（ A . a 1 B . a 1 C ? -?--a 2 1 D - J a 2 1 【巩固练习】 (1) ( a)2 5、平方表: 12= 62 = 112= 162= 212= 22= 72 = 122= 172= 222= 32= 82 = 132= 182= 232= 42= 92 = 142= 192= 242= 52= 102= 152= 202= 252= 例5、求下列各式中的x : （1） x 2 25 0 (2) 4(x+1) 2-169=0 (2) a 2 a 5. 数的开方提高练习题 1．已知m≠n，按下列A，B，C，D的推理步骤，最后推出的结论是m=n，其中出错的推理步骤是（） A ∵（m﹣n）2=（n﹣m）2B． ∴= C．∴m﹣n=n﹣m D．∴m=n 2．下列说法错误的是（） A ． B．C． 2的平方根是D． 3．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（） A ． a=±B B．a=B C．a=﹣B D．以上结论都不对4．下列说确的个数（） ①=|3﹣n|，②，③，④2+=，． A ． 0个B．1个C．2个D．3个 5．实数的平方根为（） A ． a B．±a C．±D．± 6．（2002?）一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（） A ． a+2 B．C．D．a2+2 7．（2009?黔东南州）方程|4x﹣8|+=0，当y＞0时，m的取值围是（） A ． 0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2 8．如果（1﹣）2=3﹣2，那么3﹣2的算术平方根是（） A ． ±（1﹣）B．1﹣C．﹣1 D．3+2 9．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（） A ． 0 B．正实数C．0和1 D．1 10．﹣的平方根是（） A ． ±4B．2C．±2D．不存在 11．下列各式中错误的是（） A ． B．C．D． 12．如果x2=2，有；当x3=3时，有，想一想，从下列各式中，能得出的是（）A ． x2=±20B．x20=2 C．x±20=20 D．x3=±20 13．下列语句不正确的是（） A ．没有意义 B． 没有意义 C ﹣（a2+1）的立方根是 D．﹣（a2+1）的立方根是一个负数 14．使为最大的负整数，则a 的值为（ ） A ． ±5 B ． 5 C ． ﹣5 D ． 不存在 15．﹣a 的值必为（ ） A ． 正数 B ． 负数 C ． 非正数 D ． 非负数 16．在实数﹣ ，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 17．下列说确的是（ ） A ． 带根号的数是无理数 B ． 无理数就是开方开不尽而产生的数 C ． 无理数是无限小数 D ． 无限小数是无理数 18．在中无理数有（ ）个． A ． 3个 B ． 4个 C ． 5个 D ． 6 19．已知（﹣x ）2 =25，则x= _________ ；=7，则x= _________ ． 20．若a 的一个平方根是b ，那么它的另一个平方根是 _________ ，若a 的一个平方根是b ，则a 的平方根是 _________ ． 21．如果的平方根等于±2，那么a= _________ ． 22．已知：（x 2 +y 2 +1）2 ﹣4=0，则x 2 +y 2 = _________ ． 23．已知a 是小于的整数，且|2﹣a|=a ﹣2，那么a 的所有可能值是 _________ ． 24．若5+的小数部分是a ，5﹣的小数部分是b ，则ab+5b= _________ ． 25．已知A= 是m+2n 的立方根，B= 是m+n+3的算术平方根、则m+11n 的立方根是 26．若x 、y 都是实数，且y=+ +8，则x+3y 的立方根是 _________ ． 27、下列实数 1907，3 π -，0，49-，21，31-，1.1010010001…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则n m = 28、已知51m = +的小数部分为b ， 29、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示， 求(1)(2)m b -+的值。 化简2 2 ()a a b c a b c --+-+- 30、（1）942=x （2）()112 =+x （3）8)12(3-=-x （4）32 27644-+-（5）3 33 )8 1(16 1 3 125.01-+-+- 6.1平方根 学习目标： 1. 掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别. 2. 能够用符号正确地表示一个非负数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 知识点： ()() ()()()()双重非负性． 注：的算术平方根是 ；的算术平方根，即的正平方根叫做 正数 负数没有平方根． ０的平方根是０；，它们互为相反数； 正数的平方根有两个 平方根的性质： 运算 开平方与平方互为逆开平方的平方根的运算，叫做 求一个非负数， 符号表示：的平方根就叫做那么 即：如果）的平方根（或二次方根那么这个数就叫做平方等于 定义：如果一个数的;0,0. 00.5321.43 (20) 0,0, .12≥≥≥≥±=≥=a a a a a a a a a x a x a a x a a 知识应用类型： 题型一 求一个非负数的平方根 【例1】求下列各数的平方根 ()()()()()2-0310012100122 +?? ? ??a ５ ３２４ ； ； ()()() 即：和的平方根是 ，， 即：和的平方根是 ，，１ 答案 101 1001.10 1 -10110011001101-1001101210 10010-1010010010-100102 2 2 2± =±∴=? ?? ??=??? ??±=±∴== ()()() 的平方根是 即：的平方根是 ， 的算术平方根是 2253232-3232-32-32-32-324000 03222 22 22 2 2+±+± =?? ? ??±± ??? ??∴?? ? ??=??? ??? ? ? ??=??? ??∴=a a 题型二 求字母的取值范围 ()().32;112得取值范围没有意义，求若 的取值范围有意义，求２若】 【例x x x x -- 解析 根据平方根的意义，负数没有平方根可知12-x 是非负数；3-x 是负数. ()() .303 3 2 .21 012 12 1 ≤∴≤-∴-≥∴≥-∴-x x x x x x ， 没有意义， ， 有意义，答案 题型三 化简求值 ()()()()() 】求下列各式的值 【例29-481 49364.0-222513± ()()()()()()的算术平方根 表示 的平方根表示 负的平方根 表示 的算术平方根 表示解析 2 2 9-9-481 498149364.064.0-22252251±平方根典型例题及练习
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一、知识点： 1. 平 面 直 角 坐 标 系 的 定 义 ； 2. 坐 标 平 面 内 点 的 坐 标 的 定 义 ； 3. 各 象 限 内 及 坐 标 轴 上 点 的 坐 标 的 特 征 ； 4. 一 三 （ 二 四 ） 象 限 角 平 分 线 上 的 坐 标 特 点 ； 5. 与 坐 标 轴 平 行 的 直 线 上 的 点 的 坐 标 的 特 征 ； 6. 一 维 、 二 维 坐 标 ； 7、 点 的 坐 标 与 点 到 坐 标 轴 的 距 离 之 间 的 关 系 ， 8、 坐 标 平 面 内 线 段 长 度 与 线 段 两 端 点 坐 标 之 间 的 关 系 ； 9、 面 积 割 补 法 ； 10 、 绝 对 值 的 性 质 ； 11 、 图 形 面 积 公 式 ； 12 、 平 移 的 性 质 ； 二、基本思想方法： 1、 思 想 ： 数 形 结 合 思 想 、 分 类 讨 论 思 想 、 方 程 思 想 、 算 术 法 。 2、 方 法 ： 画 示 意 图 、 平 移 。 三、典型题目 （一）基础知识训练 1 ．如 图 ，数 轴 上 A ， B 两 点 表 示 的 数 分 别 是 1 和 2 ，点 A 关 于 点 B 的 对 称 点 是 点 C ，则 点 C 所 表 示 的 数 是 点距离为 5 的坐标 分 别 为 （ 4， 1） ， （ 1 ， -2 ） ； （ 2 ）在（ 1 ）的 条 件 下 ，过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 点 M ，在 BM 的 延 长 线 上 截 取 MC=BM ． ①写出点 C 的坐标； ② 平 移 线 段 AB 使 点 A 移 动 到 点 C ， 画 出 平 移 后 的 线 段 CD ， 并 写 出 点 D 的坐标． （注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) ． ．在 x 轴 上 ，到 原
2.（ 1 ）请 在 下 面 的 网 格 中 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，使 得 A ， B 两 点 的 坐 标
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