图论之 最短路

图论之最短路

一、求最短路方法（对于一个包含环的图）

1、Dijkstra

2、Bellman-ford

3、SPFA

4、Floyd

二、Dijkstra思想（求单源点最短路，不含负边权）

1、设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v 到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2、Dijkstra步骤

（1）初始时，S只包含源点，即S＝v，距离为0。U包含除v外的其他顶点，U 中顶点u距离为边上的权；

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值为经过顶点k的值（松弛操作）；

（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

3、Dijkstra两种实现方法

（1）邻接矩阵+找最小边

（2）邻接表+优先队列

关键：松弛操作

if(d[v]>d[u]+e[u][v].w)

d[v]=d[u]+e[u][v].w

4、Dijkstra 稠密图的邻接矩阵

for(int i=0;i

{

int x,m=inf;

for(int y=0;y

m=dis[y];x=y;

vis[x]=1;

for(int y=0;ydis[x]+w[x][y])

dis[y]=dis[x]+w[x][y];

}

5、邻接链表+优先队列

memset(dis,127,sizeof(dis));

dis[1]=0;

q.push(make_pair(dis[1],1));

while(!q.empty())

{

int u=q.top().second;q.pop();

if(vis[u]) continue;

vis[u]=1;

for(int k=head[u];k!=-1;k=e[k].next)

{ if(dis[e[k].v]>dis[u]+e[k].w)

{ dis[e[k].v]=dis[u]+e[k].w;

q.push(make_pair(dis[e[k].v],e[k].v));

}

}

}

6、路径输出

方法一：从终点出发，不断顺着dis[y]==dis[x]+w[x][y]的边从y回到x，直到回到起点，但更好的方法是

方法二：在更新时维护father指针

for(int y=0;y

if(dis[y]>dis[x]+w[x][y])

father[y]=x;

7、邻接表+优先队列的dijkstra

（1）根据算法，我们需要在找到最短dis的节点序号v，所以入队的一个元素包含dis和v两部分，那么我们使用pair将捆绑两个整形:typedef pair pii （2）然后定义一个pii型的从小到大排列的优先队列(priority_queue ,greater > q; )

（3）注意：此时在元素入队时要加make_pair。如将(d[1],0)入队：q.push(make_pair(d[1],0));

（4）邻接矩阵的算法显然是O(N^2)的

稀疏图的邻接表

如果一个图的顶点很多，那它往往是稀疏图，那么使用邻接表和优先队列可以优化到O(MlogN)。

三、Bellman-ford（思想求单源点最短路，可含负边权）

1、算法步骤：

（1）初始化：将除源点外的所有顶点最短距离估计值d[v]=inf,d[s]=0；

（2）迭代求解：反复对边集E中每条边进行松弛操作，使得顶点集V中每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；

（3）检验负权回路：如果有存在点v，使得d[v]>d[u]+w[u][v],则有负权回路，返回false；

（4）返回true，源点到v的最短距离保存在d[v]中。

2、伪代码

bool bellman-ford(G,w,s)

{

for each vertex in V(G)d[v]=inf;d[s]=0;

for(i=1;i

for if(d[v]>d[u]+w[u][v])d[v]=d[u]+w[u][v];

for each edge(u,v) in E(G)//v-1次松弛结束若还可以松弛，则有负环

if(d[v]>d[u]+w[u][v])return false;

return true;

}

四、SPFA思想（使用队列优化后的Bellman-ford）

1、用一个队列来进行维护。

流程：初始时，将源点入队，每次从队列中取出一个元素，并对其所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队，直到队列为空时算法结束。

可以证明用队列维护的Bellman-Ford最坏情况下时间为O(nm)，通常时间为O(km)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。2、伪代码

q.push(s);vis[s]=1;

void spfa()

{

while(!q.empty())

u=q.front();q.pop();vis[u]=0;//出队标记

for each v in adj(u)

{if(dis[v]>d[u]+w[u][v])

{

dis[v]=d[u]+w[u][v];

if(!vis[v]){q.push(v);vis[v]=1;}

}

}

五、floyd思想（求各点间的最短路，可含负边权）

1、动态规划原理

设d(i,j)为从i到j的只以(1…k)集合中的节点为中间点的最短路的长度；

（1）若经过k，d(i,j)=d(i,k)+d(k,j)

（2）若不经过k(可能经过1~k-1中的点），d(i,j)=d(i,j)

则d(i,j)=min(d(i,k)+d(k,j), d(i,j))

2、伪代码

for(k=0;k

for(i=0;i

for(j=0;j

if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])

d[i][j]= d[i][k]+d[k][j];

注：初始时，d[i][i]=0,其他d值为inf

六、三种最短路算法

1、dijkstra(单源点最短路)：贪心的思想，每次从集合U中找一个离源点最近的点加入到集合S中，并以新加入的点作为中间点松弛U中的点到源点的距离。直到U为空算法结束。

使用优先队列优化。队列中存储的是U中点的子集。

不能处理负权存在的情况。

复杂度远小于O(M*N)，因为贪心所以速度三者中最快,用二项堆优化到O(ElogV)。

2、Bellman-Ford (单源点最短路)：对所有边，进行k遍松弛操作，就会计算出与源点最多由k条边相连的点的最短路。因为最短路一定不含环，所以最多包含n-1条边，那么我们进行n-1遍松弛操作就可以计算出所有点的最短路。

每次计算时，那些已经算出来最短路的点不用重复计算，可使用队列优化(SPFA)。可含负边权。

复杂度为远小于O(M*N)

3、Floyd(多源点最短路)：点i到j的最短路有两种情况，1：i直接到j，2：i经过k到j，所以对于每个中间点k，枚举它的起点和终点，进行松弛操作，最终将得到所有点的最短路。

邻接矩阵存储，可含负边权。

复杂度O(N^3)，

七、传递闭包

1、有向图的传递闭包表示由邻接矩阵A求得的所有节点间的路径可达情况，无向图同样适用。

因为要求各点间的可达情况，所以使用Floyd。

for(k=0;k

for(i=0;i

for(j=0;j

d[i][j]=d[i][j]||(d[i][k]&&

d[k][j]);

2、如果把检查所有节点k放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

3、图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。

图论中最短路径问题

图论最短路径问题 在消防选址中的应用 【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路 安装、厂区布局和设备更新等实际问题。介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。 【关键词】 最短路径；Floyd 算法；消防 1 引言 图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。 2 图论基本概念 2.1 图的定义 有序三元组),,(?E V G =称为一个图，其中： (1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边； (3)?是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。 2.2 图的分类 在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为 ),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为),(E V D =；既有无向边又有有 向边的图叫做混合图。 2.3 权 如果图G 中任意一条边),(j i V V 上都附有一个数ij W ，则称这样的图G 为赋权图， ij W 称为边),(j i V V 上的权。

最短路算法[1]

最短路算法及其应用 广东北江中学余远铭【摘要】 最短路问题是图论中的核心问题之一，它是许多更深层算法的基础。同时，该问题有着大量的生产实际的背景。不少问题从表面上看与最短路问题没有什么关系，却也可以归结为最短路问题。本文较详尽地介绍了相关的基本概念、常用算法及其适用范围，并对其应用做出了举例说明，侧重于模型的建立、思考和证明的过程，最后作出总结。 【关键字】 最短路 【目录】 一、基本概念 (2) 1．1 定义 (2) 1．2简单变体 (2) 1．3负权边 (3) 1．4重要性质及松弛技术 (4) 二、常用算法 (5) 2．1 Dijkstra算法 (5) 2．2 Bellman-Ford算法 (7) 2．3 SPFA算法 (8) 三、应用举例 (10) 3．1 例题1——货币兑换 (10) 3．2 例题2——双调路径 (11) 3．3 例题3——Layout (13) 3．4 例题4——网络提速 (15) 四、总结 (18)

【正文】 一、基本概念 1．1 定义 乘汽车旅行的人总希望找出到目的地尽可能短的行程。如果有一张地图并 在地图上标出了每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？ 一种可能的方法是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。然而我们很容易看到，即使不考虑含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是没必要考虑的。 下面我们将阐明如何有效地解决这类问题。在最短路问题中，给出的是一 有向加权图G=(V ,E)，在其上定义的加权函数W:E →R 为从边到实型权值的映射。路径P=(v 0, v 1,……, v k )的权是指其组成边的所有权值之和： 11()(,)k i i i w p w v v -==∑ 定义u 到v 间最短路径的权为 {}{}min ():)w p u v u v v δυ→(,=∞ 如果存在由到的通路 如果不存在 从结点u 到结点v 的最短路径定义为权())w p v δυ=(,的任何路径。 在乘车旅行的例子中，我们可以把公路地图模型化为一个图：结点表示路口，边表示连接两个路口的公路，边权表示公路的长度。我们的目标是从起点出发找一条到达目的地的最短路径。 边的权常被解释为一种度量方法，而不仅仅是距离。它们常常被用来表示 时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。 1．2简单变体 单目标最短路径问题： 找出从每一结点v 到某指定结点u 的一条最短路 径。把图中的每条边反向，我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。 单对结点间的最短路径问题：对于某给定结点u 和v ，找出从u 到v 的一 条最短路径。如果我们解决了源结点为u 的单源问题，则这一问题也就获得了解决。对于该问题的最坏情况，从渐进意义上看，目前还未发现比最好的单源算法更快的方法。 每对结点间的最短路径问题：对于每对结点u 和v ，找出从u 到v 的最短 路径。我们可以用单源算法对每个结点作为源点运行一次就可以解决问题。

关于最短路问题算法的一点思考

关于最短路问题算法的一点思考 最短路问题，实际上是P95。也就是我们用一个算法解决SP问题时，就是在找这个加权图G中从s到t的P（s，t）中边权之和最小的P*(s,t). 由定义就可以看出，实际生活中经常有最短路问题的例子。例如： 实例1.某公司在六个城市s,t,a,b都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Vi到Vj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。 图+矩阵 实例2.如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道。若有一批货物要从s号顶点运往t号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 图+矩阵 因此怎么样快速又精确的求解一个最短路问题就显得至关重要。下面我们来介绍几种解决SP问题的有效途径。 一、把求最短路问题转化为LP问题 P95 二、最短路问题的原始对偶算法：Dijkstra算法 Pdf最短路+课本P138 综上，即为Dijkstra算法，它的有效实施体现在：P161 对Dijkstra算法的一点思考： 1.关于Dijkstra算法，书中的例子定义了一个使用范围，即寻求有向图中，从一固定顶点到其余各点的最短路径。那么一个简单的推广就是在于，对于无向图或者混合图的情况Dijkstra算法还能否使用？答案应该是肯定的。也就是说，实例2中无论是单行道，双行道的情况都是可以应用Dijkstra算法进行求解的。 2. 作为学习图论的一名学生，Dijkstra算法的本质可以说就是在一个图中，进行标号,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以s为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根s 节点之间的路径皆为最短路径. 3.Dijkstra算法明确要求权（费用）非负，这无疑会限制一些是实际生活中的例子进行求解，若出现的边权为负的情况，Dijkstra算法就要进行修改。并且，如果我们对Dijkstra算法进行编程，即使根据书中拟Algol语言的提示以我现有的水平也根本写不出Matlab的高级程序语言。但是有另外一种算法有效的避免了这个麻烦，它的逻辑更为简单，并允许网络中的弧有负权，能探测网络中负费用圈，与一般的原始对偶算法不同。 三、Floyd-Warshall算法 P164 并且，有一点比较吸引我的地方是在于Floyd-Warshall算法的逻辑较为简单，我可以跟据课本上拟Algol语言，编写出一部分Matlab的程序，但是因为编译程序的水平的限制，每次运行的时候都会出现不同的错误。在与计算数学的同学进行讨论的时候，因为他们偏重绘图而我们偏重优化，导致也为得出有效的解决措施。

图论之 最短路

图论之最短路 一、求最短路方法（对于一个包含环的图） 1、Dijkstra 2、Bellman-ford 3、SPFA 4、Floyd 二、Dijkstra思想（求单源点最短路，不含负边权） 1、设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v 到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2、Dijkstra步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝v，距离为0。U包含除v外的其他顶点，U 中顶点u距离为边上的权； （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）； （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值为经过顶点k的值（松弛操作）； （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 3、Dijkstra两种实现方法 （1）邻接矩阵+找最小边 （2）邻接表+优先队列 关键：松弛操作 if(d[v]>d[u]+e[u][v].w) d[v]=d[u]+e[u][v].w 4、Dijkstra 稠密图的邻接矩阵 for(int i=0;idis[x]+w[x][y]) dis[y]=dis[x]+w[x][y]; } 5、邻接链表+优先队列 memset(dis,127,sizeof(dis)); dis[1]=0; q.push(make_pair(dis[1],1)); while(!q.empty())

图论最短路径分析及应用

最短路问题及其应用 1 引言 图论是应用数学地一个分支，它地概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏地难题研究，如欧拉所解决地哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传地一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马地行走路线问题等．这些古老地难题，当时吸引了很多学者地注意．在这些问题研究地基础上又继续提出了著名地四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题． 1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学地发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域地问题时，发挥出越来越大地作用．在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题地有力工具之一. 最短路问题是图论理论地一个经典问题.寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小地路.最短路不仅仅指一般地理意义上地距离最短,还可以引申到其它地度量,如时间、费用、线路容量等. 最短路径算法地选择与实现是通道路线设计地基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域地研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题地范畴之中.经典地图论与不断发展完善地计算机数据结构及算法地有效结合使得新地最短路径算法不断涌现. 2 最短路 2.1 最短路地定义 对最短路问题地研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图()0 w≥地有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出地, ij 该算法能够解决两指定点间地最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点地最短路.后来海斯在Dijkstra算法地基础之上提出了海斯算法.但这两种算法都不能解决含有负权地图地最短路问题.因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权地最短路问题.但在现实生活中,我们所遇到地问题大都不含负权,所以我们在()0 w≥地情况下选择Dijkstra算法. ij 定义①1若图G=G(V,E)中各边e都赋有一个实数W(e),称为边e地权,则称这

最短路算法程序

Floyd最短路径算法 在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。下面让我们先把问题稍微的形式化一下： 如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。又有d(ii)=0。编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。 我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n 是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i 到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。 for(int i=0; i...->p->j，也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的最后一个城市。P矩阵的初值为p(ij)=i。有了这个矩阵之后，要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij)，令为p，就知道了路径i->...->p->j；再去找p(ip)，如果值为q，i到p的最短路径为i->...->q->p；再去找p(iq)，如果值为r，i 到q的最短路径为i->...->r->q；所以一再反复，到了某个p(it)的值为i时，就表示i到t 的最短路径为i->t，就会的到答案了，i到j的最短行径为i->t->...->q->p->j。因为上述的算法是从终点到起点的顺序找出来的，所以输出的时候要把它倒过来。 但是，如何动态的回填P矩阵的值呢？回想一下，当d(ij)>d(ik)+d(kj)时，就要让i到j 的最短路径改为走i->...->k->...->j这一条路，但是d(kj)的值是已知的，换句话说，就是 k->...->j这条路是已知的，所以k->...->j这条路上j的上一个城市(即p(kj))也是已知的，

图论最短路MATLAB程序

最短路法MATLAB 程序 例1： 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。 ??????????????????∞∞∞∞∞∞ 05525251055010202525100102040 2010015252015050102540500 用矩阵n n a ?（n 为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量pb 、1index 、 2index 、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分量 ? ??=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(； )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号； )(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。 求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下： 程序一： clc,clear

a=zeros(6); %邻接矩阵初始化 a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10; a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; a(3,4)=10;a(3,5)=20; a(4,5)=10;a(4,6)=25; a(5,6)=55; a=a+a'; %将矩阵数据对称赋予矩阵 a(find(a==0))=inf; %找到0值并赋值为inf pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=inf;d(1)=0; temp=1; %最新的P标号的顶点 while sum(pb)

图论及其应用课程论文—— 解决城市道路最短路问题

图论及其应用 专业：计算机科学与技术 班级：图论及其应用5 学号： 姓名： 任课教师：

图论及其应用 ——解决城市道路最短路问题 （重庆邮电大学计算机科学与技术学院，重庆重庆市400065） E-mail: 1356310671@https://www.doczj.com/doc/513236076.html, 【摘要】本文通过Dijkstra算法编程计算出重庆市主城九区任意两区间的最短路径，并在VC下实现一个顶点到其余各个顶点的所有最短路径的查找。 【关键字】最短路径Dijkstra算法 中图分类号 O157 1引言 当前城市的规模越来越大，交通道路状况也越来越复杂，从城市的一个地方到另一个地方可能有很多种路径，如何从众多的路径中选择距离最短或者所需时间最短的路径便成了人们关注的热点。能够选择出一条最符合条件的路径会给我们的日常生活带来极大地方便。本文就通过找城市各地之间的最短距离路径为例，详细的介绍经典的最短路径算法Dijkstra算法及其算法的实现。 2相关知识 定义2.1.1图G是一个有序二元组，记作G=，其中V是一个非空集合，V中的元素成为结点；E是无序积V&V的多重子集，称E为G的边集。每一条边都是无向边的图称为无向图，每一条边都是有向边的图称为有向图。 定义2.1.2如果有两条边的端点是同一对顶点，则称这两条边为重复边。给定图G=(V，E)，设v0,v1,……,v n∈V，e1,e2,……,e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列称为联结v0到v n的路。当v0=v n时，这条路称作回路。 定义2.1.3若图G只有一个连通分支，则称G是连通图。设无向图G=(V，E)为连通图，若有边集E i?E，使图G中删除了E i的任一真子集后得到的子图是连通图，则称E i是G的一个边割集。若是E i单元集{e}，则称e为割边或桥。 定义2.1.4设图G=，若G为一个无向图，v∈V，与v关联边的次数为v的度数。若G为一个有向图，v∈V，v作为边的始点的次数为v的出数；v 作为边的终点的次数为v的入数。一个结点的度数为奇数，则该点称为奇点，否则称为偶点。奇点的总数称为奇点数，偶点的总数称为偶点数。 定义2.1.5结点v i到v j结点之间最短通路定义为v i到v j的最短路径。[1]

用matlab实现寻找最短路

用matlab寻找赋权图中的最短路中的应用 1引言 图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。 1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。 最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。 2 最短路 2.1 最短路的定义（short-path problem） 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图()0 w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法能ij 够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生 w≥的情况下选择Dijkstra算法。活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在()0 ij 若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的做优化问题。 定义1：若图G=G（V，E）中个边[v i,v j]都赋有一个实数w ij ，则称这样的图G为

图论最短路径问题

信息与管理科学学院信息与计算科学系 课程论文 课程名称：图与网络优化 论文名称：图论最短路径问题在消防选址中的应用 姓名：武冬冬 班级： 12级金数二班 指导教师：王亚伟 学号： 1210110057 实验室：信息管理实验室 日期： 2015.06.06

图论最短路径问题在消防选址中的应用 1210110057 武冬冬 【摘 要】 最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以直接应用于解决生产实际中的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等，而且还经常作为一个基本工具，用于解决其他优化问题。本文介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。 【关键词】 最短路径；Dijkstra 算法；消防选址 1 引言 图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。 2 图论基本概念 2.1 图的定义 有序三元组),,(?E V G =称为一个图，其中： (1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边； (3)?是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。 2.2 图的分类 在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与 V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫 做无向图，记为),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为 ),(E V D =；既有无向边又有有向边的图叫做混合图。