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求凸包算法详解

概念

凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。

这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）

问题

给定平面上的二维点集，求解其凸包。

过程

1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

2. 线段一定在凸包上，接着加入C。假设线段也在凸包上，因为就H，K，C 三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段才会在凸包上，所以将线段排除，C点不可能是凸包。

3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为p n + 1，上一点为p n，再上一点为p n - 1。顺时针扫描时，如果向量

与

>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所+ 1

有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

在上图中，加入K点时，由于线段相对于为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段相对为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。

复杂度

这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O(1)。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn)。后面的扫描过程复杂度为O(n)，因此整个算法的复杂度为O(nlgn)。

RC4加密算法C语言实现

RC4 加密算法 C 语言实现代码文件名 RC4.cpp Encrypt.h (代码详见后文) 备注：将以上两个文件放在相同的路径(建议不要放在中文路径下)编译执行！编译环境 Microsoft Visual C++ 6.0 C-Free 5.0 代码解释 RC4 加密算法是大名鼎鼎的RSA 三人组中的头号人物Ron Rivest 在1987 年设计的密钥长度可变的流加密算法簇。之所以称其为簇，是由于其核心部分的S-box 长度可为任意，但一般为256字节。该算法的速度可以达到DES 加密的10倍左右。 RC4 算法的原理很简单，包括初始化算法和伪随机子密码生成算法两大部分。假设S-box 长度和密钥长度均为为n。先来看看算法的初始化部分(用类C伪代码表示)： for (i=0; i

} 得到的子密码sub_k用以和明文进行xor运算，得到密文，解密过程也完全相同。 RC4加密算法在C++中的实现： RC4函数(加密/解密)：其实RC4只有加密，将密文再加密一次，就是解密了。 GetKey函数：随机字符串产生器。 ByteToHex函数：把字节码转为十六进制码，一个字节两个十六进制。十六进制字符串非常适合在HTTP中传输。 HexToByte函数：把十六进制字符串，转为字节码。。 Encrypt函数：把字符串经RC4加密后，再把密文转为十六进制字符串返回，可直接用于传输。 Decrypt函数：直接密码十六进制字符串密文，再解密，返回字符串明文。源代码以下为Encrypt.h文件代码 #ifndef _ENCRYPT_RC4_ #defi ne _ENCRYPT_RC4_ #in clude #defi ne BOX_LEN 256 int GetKey(c onst un sig ned char* pass, int pass_le n, un sig ned char *out); int RC4(c onst un sig ned char* data, int data_le n, const un sig ned char* key, int key_le n, un sig ned char* out, i nt* out_le n); static void swap_byte( un sig ned char* a, un sig ned char* b); char* En crypt(co nst char* szSource, const char* szPassWord); // 加密，返回加密结果 char* Decrypt(co nst char* szSource, con st char* szPassWord); // 解密，返回解密结果 char* ByteToHex(c onst un sig ned char* vByte, const int vLe n); // 把字节码pbBuffer转为十六进制字符串，方便传输 unsigned char* HexToByte(const char* szHex); // 把十六进制字符串转为字节码pbBuffer，解码 #e ndif // #ifndef _ENCRYPT_RC4_

算法分析与设计习题集整理

算法分析与设计习题集整理第一章算法引论一、填空题： 1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。 2、多项式10()m m A n a n a n a =+++L 的上界为O(n m )。 3、算法的基本特征：输入、输出、确定性、有限性、可行性。 4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：时间复杂度、空间复杂度。 5、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 3) 。 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) {c[i][j]=0; for(k=1;k<=n;k++) c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } 6、描述算法常用的方法：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD 图。 7、算法设计的基本要求：正确性和可读性。 8、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 2) 。 for （i ＝1；i

分治算法例题

目录 1031 输油管道问题 (2) 解题思路 (2) 程序代码 (2) 1032 邮局选址 (5) 解题思路 (5) 程序源代码 (5) 1034 集合划分2 (7) 解题思路： (7) 程序源代码： (7) 1033 集合划分 (9) 解题思路 (9) 程序源代码 (9)

1031 输油管道问题解题思路本题目可以分为两个步骤： 1、找出主管道的位置； 2、根据主管道的位置，计算各个油井到主管道的长度之和。根据题意，设主管道贯穿东西，与y 轴平行。而各个子油井则分布在主输油管道的上下两侧。如下图：由上图，其实只需要确定主管道的y 坐标，而与各个子油井的x 坐标无关！根据猜测，易知：主管道的y 坐标就是所有子油井y 坐标的中位数。（可以用平面几何知识证明，略）求中位数的方法可以用排序后取a[(left+right)/2]，当然更推荐用书上的线性时间选择算法解决。记求得的主管道为m y ，最后要输出的结果只需要计算：1||n i m i y y =-∑，输出即可。另外要提醒的是本题多Case 。程序代码 #include #include void swap (int &a ,int &b ) { int tmp = a ; a = b ; b = tmp ; }

//本函数求arr[p:q]的一个划分i，使arr[p:i-1]都小于arr[i]，arr[i+1,q]都大于arr[i] int partition(int *arr,int p,int q) { int index = p-1,start = p,base = arr[q]; for(;start

多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现

多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现一．多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1）约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2）若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3）二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束

求凸包算法详解

概念凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）问题给定平面上的二维点集，求解其凸包。过程 1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。 2. 线段一定在凸包上，接着加入C。假设线段也在凸包上，因为就H，K，C 三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段才会在凸包上，所以将线段排除，C点不可能是凸包。 3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为p n + 1，上一点为p n，再上一点为p n - 1。顺时针扫描时，如果向量

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把点集凸包化Granham-Scan算法(使用水平序)概要

把点集凸包化Granham-Scan算法（使用水平序） #include #include #include #include using nameaace std; const int M=100000+5; struct Point { double x,y; } p[M]; double dis(Point A,Point B) { return sqrt((B.x-A.x)*(B.x-A.x)+(B.y-A.y)*(B.y-A.y)); } bool cmp(Point a,Point b) { if (a.xb.x) return false; if (a.y1 && p[i].x==p[i-1].x && p[i].y==p[i-1].y) continue; p[++t]=p[i]; } n=t; t=0; memset(bo+1,true,n*sizeof(bo[0])); if (n>0){ stack[++t]=1; bo[stack[t]]=false;

线性规划算法详解

线性规划算法详解线性规划首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。举个例子： ?M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为2吨怎样在这样的各个线性的条件中，得到最优的内外墙生产吨数，就是我们线性规划算法要做的事情。设外墙生产x1吨,内墙生产x2吨,设利润为z，要得到z的最大化，也就是最优解，上述条件罗列为公式可得出 6x1+4x2=24 x1+2x2=6 -x1+x2=1 z=5x1+4x2 如何从这个公式中求出最优解？有以下两大方法我们将上述约束条件画图，y轴为x2，x轴为x1，得出如下：圈红色的部分就是所有的可行解，表示这个区间内都的x1x2能满

足约束条件对于我们的z函数，其实表示的是一条截距为z斜率为-(5-4)的线性直线，我们要求z最大化的最优解，就是在所有的可行区域内找到可以满足z曲线截距最大的点。最后我们发现，可行区域内能让z函数达到最大截距的点就是我圈出来的那个角点，z再增大的话，就超出可行区域了，所以不满足要求，所以最终得出最优解为x1=3,x2=1.5 这就是图解法的做法，一个定理就是，线性规划的最优解总是发生在约束几何平面的角点上，例如上面圈出来的点，先当做是个定理，我也不知道怎么证明这个定理。以上就是线性规划的图解法，优点是简单明了，缺点就是当参数超过3个时，我们很难直观画出一个jihe几何平面来找角点，所以我们需要下面的另一种解法。单纯形法当超过3个参数时，单纯形法就派上用场了，单纯形法首先要做的就是把方程化为标准形式：所有的变量都是非负数所有的约束都是等式(非负限制除外)，且具有非负的右端项像上述的方程，如果化为标准形式，将会是如下 6x1+4x2+s1=24 x1+2x2+s2=6 -x1+x2+s3=1

补充全排列算法C语言实现

字符串全排列算法C语言实现问题描述：输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。输入: 123 输出: 123 132 213 231 312 321 问题分析：现象分析：这种问题，从直观感觉就是用递归方法来实现即：把复杂问题逐渐简单化，进而得出具体代码实现。（如何发现一个问题可以使用递归方式来解决？经分析可以发现：M 个数的排列方法与N(N>M)个数的排列方法没有区别，处理方法与数据的个数没有关系。处理方法的一致性，就可以采用递归）。 3个数（123）排列，第一位1不动，剩下两个数（23）的排列，只要相互颠倒一下，就可以出现关于1开头的所有排列 123 132 把2换到第一位，保持不动，剩下的两个数（13）的排列，只要相互颠倒一下，就可以出现关于2开头的所有排列 213 231 同理，把3换到第一位，可得到 312 321 扩展：把3个数的所有排列，前面加一个4，就可以得到关于4开头的所有的排列4123 4132 4213 4231 4312 4321 若把4与后续数据中的任意一个数据交换，通过完成对后续三个数的全排列，就可以得到相应的数开头的四数的排列。总结：对4个数的排列，可以转换成首位不动，完成对3个数的排列对3个数的排列，可以转换成首位不动，完成对2个数的排列对2个数的排列，可以转换成首位不动，完成对1个数的排列对于1个数，无排列，直接输出结果算法实现说明：

对n个数的排列，分成两步：（1）首位不动，完成对n-1个数的排列，（2）循环将后续其他数换到首位，再次进行n-1个数的排列注：排列完成后，最终的串要与原串相同 C语言代码实现： #include #include //将串左移一位，首位存到末尾。 void shift( char *s ) { if ( !s||!s[0] ) return ; //security code . null string char ch=s[0]; int i=0; while( s[++i] ) s[i-1]=s[i] ; s[i-1]=ch; } //本函数对于一个已排序好的数据进行全排列 void permutation(char list[], int head ) { int i,len; len=strlen(list) ; if ( len-head == 1 ) //后续没有再排列的，则输出排列数据 { printf( "%s\n", list ); } else { for (i = k; i

线性规划算法详解

机器学习--支持向量机（四）SMO算法详解上篇我们讲到，线性和非线性都转化为求解的问题即：求解的方法就是SMO算法，下面详细介绍SMO算法：在讲解SMO算法之前先说明一下讲解思路，首先先帮助大家理解这个式子，说明推倒的过程细节，然后和原论文对照，本文不打算刚开始就深入数学公式，先带大家感性认识一下SMO的算法实现过程，通过语言描述继续讲解，让大家对该算法有一个整体的认识?，然后在循序渐进深入数学公式，吃透原理，这样符合知识的接受过程。从倒数第二行，大家可以看到第一项我们可以看做一个含有未知数的常数项，第二项大家感觉是不是很眼熟即，向量的转置乘以本向量这就是求內积啊，只是说这里的A不简单而已，两个i不是同时变化的，因此为了方便把其合在一起，而合在一起的前提是需要表现两个i不一样，因此引入了j以示区别，至于为什么不一样，举一个简单的例子，因为里面是求和，大家各自展开求和在相乘,举个例子，含有三项的： ?（a1 + a2 + a3）* （a1 + a2 + a3）=?+ a1*a2 + a1+a3 + a2*a1 +?+ a2*a3 + a3*a1 + a3*a2 +? ? =?+?+?+ 2a1*a2 + 2a1*a3 + 2a2*a3 求和后各自展开，结果是上式，如果直接把两个i合并为一个i，那么化简会是什么样呢？ ?其实就只有平方项了即：++ 之所以讲解这个，原因是希望大家能拿笔自己推一下上面的式子，同

时按照下面的要求展开试试，虽然没必要推这些，但是如果去做一下，你会发现数学的推倒很有助于理解，同时这种“复杂”的式子其实还好，强化学习中的数学推倒比这里复杂多了，所以建议大家以后遇到数学公式尽量自己推一遍，比你看几遍有用的多，好了，废话不多说，把上面的结果按如下要求展开，把和看做未知数，其他的看做已知数进行展开，我先给出自己推倒的（讲真编辑这个式子很耗费时间，我查了一下网上其他人的推到感觉有点问题，所以打算自己推倒一下，为了确认自己正确把原论文读了一下，是正确的）：先令? ------------为內积，为了大家能看懂就做这一个假设：首先他假设的分离平面就和我们不一样，但是道理都是一样的：与我们之前的?是一样的意思他的优化目标相同即：经过引入拉格朗日因子和对偶后再求对w、b求导为：其实到这里就和我们的形式是一样的，只是正负号位置不一样的，所以极值就是求极小值了，这也是差异的原因继续往下：加入松弛变量以后：到这里就是我们最后的求解式子了，有点不同，但是原理都是一样的把和看做未知数，其他的看做已知数进行展开为：我和他展开的是差不多的，只是正负号问题，原因上面讲了，在查看相关的推倒博客，发现好多人目标是我们定义的目标，分解后就是这个结果，真不知道如何来的，所以自己动手推了一遍，形式和原著一样，结果

Graham算法求凸包完整程序代码

#include #include #include using namespace std; /* PointSet[]：输入的点集 ch[]：输出的凸包上的点集，按照逆时针方向排列 n：PointSet中的点的数目 len：输出的凸包上的点的个数 */ struct Point { float x,y; }; //小于,说明向量p0p1的极角大于p0p2的极角 float multiply(Point p1,Point p2,Point p0) { return((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y)); } float dis(Point p1,Point p2) { return(sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y))); } void Graham_scan(Point PointSet[],Point ch[],int n,int &len) { int i,j,k=0,top=2; Point tmp; //找到最下且偏左的那个点 for(i=1;i0) ||((multiply(PointSet[j],PointSet[k],PointSet[0])==0)

线性规划算法详解

Java基础算法详解查找和排序算法是算法的入门知识，其经典思想可以用于很多算法当中。因为其实现代码较短，应用较常见。所以在面试中经常会问到排序算法及其相关的问题。但万变不离其宗，只要熟悉了思想，灵活运用也不是难事。一般在面试中最常考的是快速排序和归并排序，并且经常有面试官要求现场写出这两种排序的代码。对这两种排序的代码一定要信手拈来才行。还有插入排序、冒泡排序、堆排序、基数排序、桶排序等。面试官对于这些排序可能会要求比较各自的优劣、各种算法的思想及其使用场景。还有要会分析算法的时间和空间复杂度。通常查找和排序算法的考察是面试的开始，如果这些问题回答不好，估计面试官都没有继续面试下去的兴趣都没了。所以想开个好头就要把常见的排序算法思想及其特点要熟练掌握，有必要时要熟练写出代码。冒泡排序冒泡排序是最简单的排序之一了，其大体思想就是通过与相邻元素的比较和交换来把小的数交换到最前面。这个过程类似于水泡向上升一样，因此而得名。举个栗子，对5,3,8,6,4这个无序序列进行冒泡排序。首先从后向前冒泡，4和6比较，把4交换到前面，序列变成5,3,8,4,6。同理4和8交换，变成5,3,4,8,6,3和4无需交换。5和3交换，变成3,5,4,8,6,3.这样一次冒泡就完了，把最小的数3排到最前面了。对剩下的序列依次冒泡就会得到一个有序序列。冒泡

排序的时间复杂度为O(n^2)。实现代码： *@Description:冒泡排序算法实现 public class BubbleSort { public static void bubbleSort(int[] arr) { if(arr == null || arr.length == 0) for(int i=0; i) { for(int j=arr.length-1; ji; j--) { if(arr[j]arr[j-1]) { swap(arr, j-1, j); public static void swap(int[] arr, int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; 抑或简单理解一点的正向排序 public class BubbleSort { public static void bubbleSort(int[] arr) { if(arr == null || arr.length == 0) for(int i=1;iarr.length-1;i++) { for(int j=0; jarr.length-i; j++) { if(arr[j]arr[j+1]) { swap(arr, j+1, j);